从阶乘的推广到分数阶导数
从阶乘的推广到分数阶导数*
倪致祥
( 阜阳师范学院物理系，安徽阜阳236032 )
摘要：本文从创新思维的角度，把阶乘的定义从自然数推广到了实数域。在此基础上，进一步对排列、组合和二项式定理进行了推广。并创造性地给出了导函数概念从自然数阶到分数阶的推广。
关键词：阶乘，二项式定理，导数，推广
分类号：O411
1．引言
人类的进步史归根结底是一部创造史，创造是历史进步的真正动力[]1。在科学技术的范围内，创造主要指科学创新和技术发明。科学创新大体上可以分为两个层次：原始创新与继承创新。原始创新指的是发现前人未曾发现的新现象、新规律等；继承创新指的是在原始创新基础上在新的领域发现同类现象或把同类规律推广应用到新的范围。两者在方法上有各自的特点，但没有绝对的区别。科学推广是继承创新的常用方法，在科学创造的过程中具有相当重要的作用。本文从数学上最常用的阶乘概念出发，把阶乘的定义从自然数推广到了实数域。在此基础上，进一步对排列、组合和二项式定理进行了科学推广。上述推广的合理性和有用性已得到了实践的检验。除此之外，本文还创造性地给出了导函数概念从自然数阶到分数阶以及实数阶的推广。
本文的第2节给出了阶乘概念从自然数集合到实数集合的推广过程；第3节给出了排列、组合和二项式定理的推广过程；在此基础上，第4节
*安徽省自然科学基金（99047217号）和安徽省教育委员会资助课题
给出了导数概念从自然数阶到实数阶的推广结果；最后是一个简明的小结。
2．阶乘的推广
阶乘是一个非常重要和常用的数学概念。按定义，n 的阶乘是前n 个自然数的连乘积，即
n n !=??123 。 (1) 由于个数总是自然数，因此从映射的观点看，阶乘的定义域为自然数集合。很明显，阶乘n!具有性质
n n n n n n n n k n k k !()!()()!()()!,=?-=?-?-=->112 。 (2) 其中?=?-?--+()()()()n n n n n k k 121 。
自然数集合N 是整数集合Z 的子集，Z 是有理数集合Q 的子集，Q 又是实数集合R 的子集，推广阶乘概念第一步应该是把定义域扩充到整数集合Z 中。如果没有限制条件，这种扩充可以有无限多种可能，但是仅当扩充后能够保持原来的性质时才是合理的推广，才能够继续称之为阶乘。这就要求我们按照阶乘的固有性质(2)来进行扩充。由(2)式，我们得到
()!!/n n n -=1 。 (3) 在上式中取n = 1，我们得出0 ! = 1。这样就把阶乘的定义域扩充到了非自然数零，这个结果与高中代数教材上的补充定义是一致的[]2，表明了该补充定义实质上是一种合理的推广。容易看出继续推广可以通过在(3)式中取n = 0得到，将n = 0代入(3)式后，我们发现
()!!/-==∞100 。 (4) 这表明在通常的意义下，负整数的阶乘没有意义。然而如果我们把负一的阶乘看成是一个特定的超限数，即记()!-=1ω，则由(3)式我们不难推出
()!()/!--=-≥n n n n 110ω 。 (5) 上式虽然不能给出负整数阶乘的具体数值，但给出了它们与超限数ω的明
确关系。利用这个关系，我们可以算出任意两个负整数阶乘之比
()!/()!()()!/()!--=----n m m n n m 111 。 (6) 进一步的推广是把定义域扩充到有理数集合或实数集合。由于实数域具有完备性，我们直接考虑把阶乘推广到实数集合中。为了保证推广的合理性和唯一性，我们要求推广后的阶乘函数x !具有连续性和光滑性，即有连续的一阶导数。为了方便，定义
ψ()ln !x d d x
x = 。 (7) 利用性质(2)，不难得到
ψψ()()x x x +=+
+111
。 (8) 由上式容易递推出 ψψ()()x n x x k
k n +=++=∑11 。 (9) 在(9)式中取n →∞，我们得到
ψψ()()∞=++=∞∑x x k
k 11 。 (10) 在上式中令x = 0，又得到
ψψ()()∞=+=∞∑011k k
。 (11) 比较上面两式，不难推出
ψψ()()x k x k
k =+-
+?? ???=∞∑0111 。 (12) 将上式对变量x 积分，积分范围从0到x ，可以得到
ln !()ln x x x k x k k k =?+-+?? ???=∞
∑ψ01
， (13)
在推导中我们已经利用了条件0 ! = 1。将x = 1代入(13)式，我们有
00111
=+-+?? ???=∞
∑ψ()ln k k k k 。 (14) 综合(13)和(14)式，最终得到 ln !ln ln x x k k x k k k =+-+?? ???=∞
∑1
1 ， (15) 或者 x k x k k x !=+?? ???+?? ???=∞-∏11
111 。 (16) 上面给出了在满足连续可导性条件下阶乘在实数集合中的推广，可以从形式上认为是x 个自然数的连乘积。由于(16)式是无穷连乘积的形式，使用不够方便，通常用它的恒等变形[]3
x e t d t x t x !()==+∞
-?01Γ ， (17) 这也是有的文献把伽玛函数称为广义阶乘的原因。
3．排列、组合和二项式定理的推广
3.1．排列组合数的推广
从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记为P n m 。在通常情况下要求n m ≥≥1，这时有性质
P n n n m n m m ==-()!()!
。 (18) 另一方面我们也可以将(18)式作为排列数的定义，把原定义作为性质。这样在上节的基础上，我们容易把排列数的概念推广到整数集合
P n n m n n m m n n m P n n m n m m m n m =-≥≥>≥∞>≥-<
我们还可以把排列数的概念推广到实数集合，即
P αβααβ=-!/()! 。 (20) 从n 个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做组合数，记为C n m 。组合数有性质
C n m n m n m =-!!()!
。 (21) 类似地，我们可以把组合数的概念推广到整数集合
C n m n m n m C m n C n m n m m m n m n m m n =-≥≥-≥>->≥?????????-------!!()!()()010100
111其它 。 (22) 也可以把组合数的概念进一步推广到实数集合，即
C αβαβαβ=-!!()!
。 (23) 3.2．二项式定理的推广
二项式定理的一个常用形式为
()100+=>=∑x C x n n
k n n k k 。
(24) 考虑到组合数的性质(22)，上式可以改写为
()100+=>=∞∑x C x n n
k n k k 。
(25)
我们猜想当上式中左边的指数为负整数时公式依然成立，即
()()110001+==->-=∞-=∞+-∑∑x C
x C x n n k n k k k k n k k k 。 (26)
上式的正确性可以很容易地加以验证。同理，二项式定理也可以推广到非整数指数的情况
()()!
100+===∞=∞∑∑x C x k x k k k
k k k ααα 。 (27) 上面的结果与牛顿二项式展开完全一致。
4．n 阶导数概念的推广
函数f ( x )的一阶导数为
f x f x x f x x
x '()lim ()()=+-→???0 。 (28) 将上述求导过程重复n 次，我们得到函数f ( x )的n 阶导数。从原始的定义来看，n 必须是自然数。然而，我们也可以将此定义推广到整数集合甚至于实数集合。一般说来，推广的方法可以多种多样，但是只有保持原来性质的推广才有合理性和实用意义。从函数论的角度看，求导是对函数的一个线性变换，因此推广后的导数必须保持线性性。一个可以重复求导的函数总是可以展开为幂级数的，即
f x a x b k k k ()()=-=∞
∑0 。 (29)
因此上式的导数完全由幂函数的导数所决定。由原始定义(28)式，幂函数x n 的m 次导数为
()()x P x
n m n m n m =- 。 (30) 我们假定上式可以推广到m 为负整数的情况，即
()!()!
()x P x n n m x n m n m n m n m --++==+ 。 (31)
上式的推导中已经用了推广的排列数的性质。不难看出任意一个幂函数的负n 次导数恰好是其从0到x 的n 次积分，由于积分是求导的逆运算，上述推广具有非常明显的合理性和实用意义。根据叠加原理，由上式可以推出任意在原点邻域解析的函数负整数阶导数。
为了进一步把导数概念推广到非整数阶，我们很自然地设想对非整数α，应有
()!()!
()x P x n n x n n n n ααααα==--- 。 (32) 为了保证结果在x = 0处有意义，我们要求α≤n 。
由上式容易验证
[][]()()()()()()()()x x x n n n αββααβ==+ 。 (33) 这表明推广的定义能够很好地保持求导的原有性质。由于任何实数都可以分解为整数部分与小数部分之和，根据(33)式，对非整数阶求导可以只考虑小数阶情况，即01<<α。作为一个具体的例子，我们有
()!()!(/)/x n n x n n n 12121212
=-≥- 。 (34) 上面结果的数学意义为：1/2阶求导是把一个函数变换成另一个函数的线性变换，该变换重复两次的结果恰好是通常的一阶求导。
上述推广的合理性还可以通过对结果的拉普拉斯变换看出来。按拉普拉斯变换，我们有[]4
[][][]L x p L f x p L f x f αααα=?≥-=?-+!'()()()11
0 。 (35) 由此可知，当α>>m 0时有
()[][]
L x p L x p m m m αααα()!=?=?-+1 。 (36) 而按照本文的推广定义，我们有
()[]L x L x p αβαβαβααβα()!()!!=-?????
?=?--+1 。 (37) 比较(36)与(37)两式，容易看出我们的新定义是合理的推广。
5．讨论与结论
上面我们从创新思维的角度给出了阶乘、排列、组合和二项式定理的推广，并给出了导函数概念从自然数阶到分数阶的推广。在过程中容易看出一个适当的推广必须尽可能地保持原有的性质，以保证该推广的合理性以及新结果对原结果的包容性。必须指出，真正的推广不可能完全符合逻辑，即不可能是纯粹逻辑推理的结果。例如，阶乘定义从整数的实数的推广好像完全合乎逻辑，然而其中隐含着一个无法证明的假定，即极限lim ()x x →∞ψ存在。正是新假定的引入使我们的推广不再是平凡的结果，而具有了创新性。由此也应该注意到在引入新的假设之后，所得到的结果往往具有一些与原来不同的新特点。例如：在(25)式中自变量x 可以取任何实数，但是在(26)和(27)式中自变量x 只能取绝对值小于1的实数，公式的适用范围发生了变化。
还要说明的是：在经过实质性的推广之后，概念的意义很可能会发生变化，这需要我们去重新理解和解释。本文中提出的分数阶导数的数学意义究竟应该如何理解，将是一个十分有意义的问题，值得我们去进一步探讨。
参考文献
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230
[3] 王竹溪、郭敦仁，特殊函数概论，北京：科学出版社，1979，105
[4] 梁昆淼，数学物理方法（第三版），北京：高等教育出版社，1998，
115
From the Generalizing of Factorial to the Derivative
with Fraction-Order
Ni Zhi-xiang
(Physics Department, Fuyang Teachers College, Fuyang 236032)
Abstract
In this paper, the conception of factorial is generalized from the set of natural numbers to the set of real numbers, and the conceptions of permutation, combination, binomial theorem and derivalive as well.
Keywords：Factorial, Binomial theorem, Derivalive, Generalizing
阶乘的计算和处理程序设计
阶乘的计算及处理程序设计 一、问题描述 要求输入一个自然数n，求n！，同时统计结果中有几个0。 二、课题分析 1）计算n！。 2）统计0的个数。 三、数据结构的设计 x:输入的数n i:n! b:储存数据i上的各位上的数，从而判断b是否为0 j:统计0的个数 四、处理结构的设计 建立两个函数f1和f2，使f1函数起到求阶乘的作用，f2函数起到求0个数的作用。
求阶乘流程图
计算0的个数流程 五、源程序 1）主要结构体： f1函数： long int f1(int x) { long int i; //声明长整型变量i if (x==0||x==1) //采用递归函数f1求阶乘i=1; else i=f1(x-1)*x; return (i); }
f2函数： int f2(int i) {int j=0; int b=0; while(i>=10) //循环结构，判断末位是否为零，再去末位{b=i %10; if(b==0)j++; i=i/10; } return (j); } 2)整体： #include
导数的概念及运算
导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所
以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0
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计算N的阶乘
北华航天工业学院 课程设计报告（论文） 设计课题：计算N的阶乘 专业班级： 学生姓名： 指导教师： 设计时间：2010年12月16日
北华航天工业学院电子工程系 微机原理与接口技术课程设计任务书 指导教师：刘金梅教研室主任： 2010年12 月18 日
内容摘要 本次课程设计编写计算N！的程序。数值N由键盘输入，结果在屏幕上输出，通过编制一个阶乘计算程序，了解怎样在汇编语言一级上实现高级语言中的数学函数。其难点在于随着N的增大，其结果远非寄存器所能容纳。这就必须把结果放在一个内存缓冲区中。然而乘法运算只限于两个字相乘，因此要确定好算法，依次从缓冲区中取数，进行两字相乘，并将DX中的高16位积作为产生的进位。 索引关键词：N的阶乘汇编语言内存缓冲区
目录 序言————————————————————5 正文————————————————————5 一、程序算法————————————————-—-5 二、源程序—————————————————-—-6 三、程序运行与调试—————————————-—11 四、N的阶乘程序流动图——————————-—-—11 心得体会——————————————————13 参考文献——————————————————13
序言 本文是关于微型计算机原理写文件课程设计。编写程序，将内存区域中用调试程序（DEBUG）设置好的一连串数据（以Ctrl+z为结束符）做为一个文件存入磁盘，文件名为DATA.ASM。内存区域的段地址和偏移地址在程序中输入。 随着计算机的高速发展，微型计算机已经应用到各个领域，微型计算机原理应用技术已经成为电子信息的核心产业。 微型计算机原理是计算机科学与技术、通讯工程、电气工程、机电工程的核心课程。 通过这次课程设计，是我们更好地理解了课程中所学的理论知识，并把实际问题转化为理论知识，学会如何把学到的知识用于解决实际问题，培养我们的动手能力。 正文 一、程序算法 阶乘的定义为N!=N(N-1)(N-2)……2,从左至右依次计算，结果保存在缓冲区BUF中。缓冲区BUF按结果由高到低依次排列。程序首先将BP初始化为N，N 不等于0或1则将N送入BUF缓冲区最低字节单元中。然后使BP为N-1，以后BP依次减1，直到变化为1为止。每次让BP与BUF中的字节单元按由低到高的次序相乘。低位结果AX仍保存在相应的BUF字节单元中，高位结果DX则送到进位字单元CY中，作为高字相乘时从低字来的进位，初始化CY为0.计算结果的长度随着乘积运算而不断增长。由字单元LEN指示。LEN单元初始化为1。当最高字单元与BP相乘时。若DX不为0，则结果长度要扩展。
分数阶微积分的性质
分数阶微积分的性质 根据上述三种分数阶微积分的定义，可以得到分数阶微积分一些性质如下 [66] ： （1） 记忆属性。当t 在时刻时，函数()f t 的分数阶微分值由初始时刻到t 时 刻的所有时刻的函数值取值。 （2） 当1a t D β算子的1β是整数时，整数阶微积分和分数阶微积分二者为等 同关系，1β为任意阶时，整数阶微积分被包含在分数阶微积分内。 （3） 分数阶微积分算子1a t D β是线性的，符合线性系统中的齐次特性和迭 加特性，即对任意常数,a b 均满足： 1110 00[()()]()()t t t D af t bg t a D f t b D g t βββ+=+ （4） 解析函数()f t 分数阶导数10()t D f t β对t 和a 都是可以解析的。 2.4 分数阶系统的模型描述 实际生活中，大多数的对象的内在特性都能通过整数阶微分方程的形式来表征，比如物理特性、化学特性等。但往往存在一些特别的对象其特性无法靠整数阶微分方程精确表征，但分数阶次的微分方程刚好能考虑到整数阶次微分方程所忽略的特性，所以，用分数阶微分方程描述的系统，其内在特性反应更真实、更全面。 一个典型的单输入单输出分数阶线性系统的微分方程可用如下形式来表示： 3123 1 2 123122()()()()=()()()() m n m n a D y t a D y t a D y t a D y t b D u t b D u t b D u t b D u t ααααββββ+++++++ + （2.10） 其中,(1,2, ,),(1,2, ,)i j a i m b j n ==分别表示输出和输入相应的系数， 12m ααα<<<，12n βββ<<<分别表示输出和输入分数阶的阶次，()() u t y t 、分别表示系统的输入和输出。 结合前面的式（2.6）和式（2.10）对系统进行拉普拉斯变换，得到系统的传递函数模型为： 121 2 1212()n m n m b s b s b s G s a s a s a s βββααα++=+++ （2.11） 若(1,2, ,)i i i m αα==，(1,2, ,)i i i n ββ==，该系统可称为“同源次”分 数阶系统，则上式进一步可表示为: 11 ()n j j j m i i i b s G s a s β α === ∑∑ （2.12）
(完整word版)导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。
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导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
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采用汇编语言实现阶乘运算
汇编语言程序设计报告 课程设计题目：采用汇编语言实现阶乘运算 学号：10081437 姓名：张子琦 院系：测试与光电工程学院 专业：测控技术与仪器 指导教师：陈振华
采用汇编语言实现阶乘运算 学生姓名：张子琦班级：10081437 指导老师：陈振华 摘要：汇编语言是微型计算机原理及应用的基础，微机主机和接口所要实现的功能都要通过汇编语言来实现。尽管汇编语言程序设计编程效率低，但其运行效率高、速度快。因此掌握汇编语言是学好微机原理和接口设计的第一步。编写计算N！的程序。数值由键盘输入，结果在屏幕上输出。[1] 关键字:汇编语言N！键盘输入屏幕输出 指导老师签名：
Factorial implemented in assembly language Student name :Ziqi Zhang Class:10081437 Supervisor:Zhenhua Chen Abstract:Assembly language is the basis of the principles and applications of the microcomputer, the microcomputer host functions and interfaces to achieve should be achieved through the assembly language. Despite the low efficiency of assembly language programming programming, but it’s high operating efficiency, and speed. Therefore, the assembly language is the first step to learn Microcomputer Principle and Interface Design. Written calculation of N! Procedures. Numerical keyboard input, output results on the screen. Key words:Assembly language N! Keyboard input Screen output Signature of Supervisor:
阶乘排列组合公式计算
阶乘排列组合公式计算 加法原理：做一件事，完成它可以有N类加法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法。那么完成这件事共有N=M1+M2+...+MN 种不同的方法。即一次性完成的用加法原理。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，……，做第N步有MN种不同的方法，那么完成这件事共有 N=M1×M2×... ×MN 种不同的方法。即二次以上完成的用乘法原理。 排列：从N个不同元素中，任取M（M<=N）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。 排列数：从N个不同元素中取出M（M<=N）个元素的所有排列的个数，叫做从N个不同元素中取出M个元素的排列数。记作：Pmn 排列数公式：Pmn =n(n-1)(n-2)...(n-m+1) 全排列：N个不同元素全部取出的一个排列，叫做N个不同元素的一个全排列。 自然数1到N的连乘积，叫做N的阶乘。记作：n! 。0!=1。 全排列公式：Pnn =n! 排列数公式还可写成：Pmn = n!/(n-m)! 组合：从N个不同元素中，任取M（M<=N）个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合。 排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关。 组合数：从N个不同元素中取出M（M<=N）个元素的所有组合的个数，叫做从N个不同元素中取出M个元素的组合数。记作：Cmn 组合数公式：Cmn = Pmn / Pmm = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m! = n!/m!/(n-m)! 组合性质1：Cmn = Cn-mn ( C0n =1) 组合性质2：Cmn+1 = Cmn + Cm-1n
导数的概念、几何意义及其运算
导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -
分数阶控制理论概述--总成
得分：_______ 南京林业大学 研究生课程论文 2013 ～2014 学年第 1 学期 课程号：PD03088 课程名称：工程应用专题 题目：分数阶控制理论研究及工程领域的应用 学科专业：机械工程 学号：8133013 姓名：钱东星 任课教师：陈英 二○一四年一月
分数阶控制理论研究及工程领域的应用 摘要: 作为控制科学与工程中一个新的研究领域，分数阶控制的研究愈来愈被关注。本文简要介绍分数阶控制的数学背景和基本知识,对分数阶控制理论及应用(分数阶系统模型、系统分析、分数阶控制器、非线性分数阶系统、系统辨识) 的研究作了总结、评述和展望。 关键词:控制理论；分数阶微积分(FOC)；分数阶系统 Fractional Control Theory and Engineering Applications Qian Dongxing （Nanjing Forestry University, Nanjing Jiangsu 210037）Abstract: As a new study field of control theory and applications , the fractional order control is attracted much attention recently. In this paper, an overview in this field is surveyed. The historical development and the basic knowledge of fractional-order control are introduced. The latest works of fractional-order control are summarized and reviewed, including mathematical model, system analysis, fractional-order controller, nonlinear fractional order system and identification, etc. Some future trends in its further studies are prospected. Key words: Theory of control ；Fractional order calculus( FOC) ；Fractional order system
用汇编语言计算N阶乘(0到FFFFH)
一、设计题目 编写计算N！的程序（数值N由键盘输入，结果在屏幕上输出。N的范围为0-65535，即刚好能被一个16位寄存器容纳）。 二、开发目的 由于当N值较大时（N>10），N的阶乘计算很繁琐并且计算容易出错。 所以可以编写计算N！的程序，利用计算机强大的计算能力计算N！。这不仅能节省繁琐计算的时间，而且得到的N！的积比起手工算的要准确。 三、设计方案 N的阶乘为1*2*3……(N-1)*N,N的范围为（0000H—FFFFH），N!以字为单位存在一个或几个定义的数据段中。 若已算到（n-1）！，假如它占4个字的空间，接下来它乘以n的原理，如图1所示。
图1 （n-1）！* n的原理 因此计算N！的算法可以这样编写，当前n！的值为被乘数，内容存在str2中，单位为字，n+1的值为乘数,存在str1中，单位也为字。被乘数从str2首地址中内容开始与乘数相乘，得到32位的积，它的低16位覆盖掉当前被乘数所在存储空间的内容。接着str2下一个字的内容与乘数相乘，也得到32位的积，前一个积的高16位与现在积的低16位相加，它们的和覆盖掉当前被乘数所在存储空间的内容，若它们的和有进位，把进位加到现在积的高16位。直到把str2中内容乘完。然后乘数增1，循环上面的内容。 直到执行完（N-1）！*N 输入的N为4位16进制数，输出也为16进制数。 四、程序流程图
五、程序清单 data1 segment input1 db 'please input the number :','$' input2 db 10,?,10 dup(?) ；输入的16进制数 error db 'Out of range','$' output1 db 'The answer is 1','$' output2 db 'The answer is :','$' str1 dw 100 dup(?) ；保存1—N（后一个数覆盖前一个数）str2 dw 7000h dup(?) ;N！乘积的值（1） p dw 100 dup(?) ;上一个乘积的高16位 data1 ends data2 segment str3 dw 7fffh dup(?) ；N！乘积的值（2） data2 ends code segment assume cs:code,ds:data1,es:data2 org 100h ；程序从偏移地址100h开始执行 start: mov ax,data1 ；程序初始化 mov ds,ax mov ax,data2 mov es,ax ；初始化结束 mov ah,9 lea dx,input1 int 21h
完整版导数的概念与计算练习题带答案
导数概念与计算 4 2 若函数f(x) ax bx c ，满足f '⑴ 2，贝y f'( 1)( 已知点P 在曲线f(x) x 4 x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线 3x y 0,则点P 的 坐标为( ) A . (0,0) B . (1,1) C . (0,1) D . (1,0) 已知f(x) xln x ，若 f '(X 。) 2，则 X 。 ( ) 2 In 2 D . In2 A . e B . e C . 2 曲线y e r 在点 A(0,1)处的切线斜率为( ) A . 1 B . 2 C . e 1 D .- e 设 f °(x) sin x , f'x) f o '(x) , f 2(x) f 1 '(x) ,…,f n 1(x) f n '(x) , n N ，则 f 2013(X ) 等于( ) A . si n x B . si nx C . cosx D . cosx 已知函数 f (x) 的 勺导函数为f '(x)，且满足 f(x :)2xf '(1) Inx ，则 f'(1)( ) A . e B . 1 C . 1 D . e 曲线y Inx 在与x 轴交点的切线方程为 _____________________ 过原点作曲线y e x 的切线，则切点的坐标为 _____________ ，切线的斜率为 求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式: (3) f (x) x ^ax 2 ln(1 x) 2 (5)y xe 1 cosx 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. & 9. B . 2 C . 2 D . 0 (1) f (x) ax 1 2ln x x (2) f(x) x e 2 1 ax (4) y xcosx sin x (6) y
天文数的阶乘计算
天文数的阶乘计算 在C语言里unsigned long int型的的整数的仅可表示0～4294967295之间的数，而12! = 479001600，13! = 6227020800。可见，用unsigned long int型的整数做阶乘运算时最多只能计算到12的阶乘。用函数double sqrt(double x)做开方算运算时，只能计算到16位有效数字。long double型的实数虽然可表示10-4931～10-4932的数，但其有效数字也只有18～19位。 我编写了一个"天文数字计算"程序突破了这一限制，可以把数字的长度扩充到无穷多位。除了能做加、减、乘、除、求模等基本运算外还可以做阶乘、乘方、开平方等运算。 例如：10000! = ?、(2002^2000)%9999 = 9394、2002的平方根的小数点后第10000位是4。 下面这个程序只是我用编写的"天文数字计算"里的一个计算。 因为在程序代码中使用了中文，所以这个程序如果不在中文DOS下运行，可能会出现乱码，但不影响程序的计算结果。 注：因为DOS能访问的内存有限，所以在DOS下可把计算结果扩充到30000多位。但如果用VC把它编绎成Windows程序，则可以计算到"真正的无穷多位"（与机子配置有关），一般计算到几十万位是没有问题的。 /* 此程序在TC2.0、TC3.0，BC，VC下都可编绎 */ #define M 20000 /* 结果位数，DOS能访问的内存有限，不要超过 30000 位*/ #define N (M+5) main() { int Num; reGISter int i,j,k,flag; register unsigned int n,m,pc; unsigned char str_n[5],result_0[N],result_1[N]; void fun_print_result(char *result,int flag); int fun_mul(char *a,char *b,char *c,int flag);
分数阶微积分的定义
分数阶微积分的定义 分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为： （1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义 若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时， m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为： [()/] ()lim ()t a h a t i h i D f t h f t ih αα αω--→==-∑ （2.1） 其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整， = (-1)i i i ααω?? ??? 是多项式系数，(1)(2)(1) = ! i i i ααααα??---+ ??? ，我们可以用以下 递推公式直接求出该系数： 01+11,1,1,2,...,i i i n i α αααωωω-??==-= ??? （2.2） 进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义： 0,0 ()lim ()()()1 ()()(1)(1)a t h nh t a i i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i α α αααξξξαα-→=--+-=?? =- ??? -=+-Γ-++Γ-+∑? （2.3） 其中，()Γ?为欧拉gamma 函数，10 ()t z z e t dt ∞--Γ=?，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。 若：()=0i f t ，,q p R ∈，则微分算子D 满足式（2.4）： （2.4） （2）Riemann -Liouville 分数阶微分定义 对于1,m m m N α-<<∈，有 11() ()()()m t a t m m a d f D f t d m dt t α αττατ-+= Γ--? （2.5） 其中，当R α∈，上述定义也称为Riemann -Liouville 分数阶微积分定义。 通常情况下，为了方便使用Riemann -Liouville 分数阶微积分定义，要对其取拉普拉斯变换，假设()F s 表示()f s 的原函数，则式（2.5）经过拉普拉斯变换 +(())()q p q p a t a t a t D D f t D f t =
变化率与导数、导数的计算知识点与题型归纳
1 ●高考明方向 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. ★备考知考情 由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x y e 在点()0,3处的切线方程为 ； 2014广东文科11 曲线53=-+x y e 在点()0,2-处的切线方程为 ；
一、知识梳理《名师一号》P39 知识点一导数的概念 (1)函数y ＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化 率lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f x ＋Δx－f x0 Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x . (2)称函数f′(x)＝lim Δx→0f x＋Δx－f x Δx 为f(x)的导 函数. 注意:《名师一号》P40 问题探究问题1 f′(x)与f′(x )有什么区别 f′(x)是一个函数，f′(x )是常数， f′(x )是函数f′(x)在点x0处的函数值． 例.《名师一号》P39 对点自测1 1.判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ) (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．( ) 2
高中数学分数阶导数
分数阶导数 1引言 我们都熟悉的导数的定义。通常记作1 ()()df x D f x dx 或 222 ()()d f x D f x dx 或这些都是很容易理解的。我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如[()()]()()D f x f y Df x Df y +=+但是 像这样的记号1/21/2 1/2 ()D ()d f x f x dx 或者又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。因为几乎没有任何教科书会提到它。然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz 已经开始探讨。在之后的岁月里，包括L’Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville 等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。Wheeler 在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。 本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。首先我们从熟悉的n 阶导数的例子开始，比如D n ax n ax e a e =。然后用其他数字取代自然数字n 。这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。） 随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧…… 2指数函数的分数阶导数 我们将首先研究指数函数ax e 的导数。因为他们导数的形式，比较容易推广。我们熟悉ax e 的 导数的表达式。 12233,,ax ax ax ax ax ax D e ae D e a e D e a e ===，在一般情况下，当n 为整数时，n ax n ax D e a e =。那么我们能不能用1/2取代n ，并记作1/21/2ax ax D e a e =呢？我们何不尝试一下？ 为什么不更进一步，让n 是一个无理数或者复数比如1+i ？ 我们大胆地写作 ax ax D e a e αα=， （1） 对任意一个α，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。当α是负整数时，考虑（1） 式的意义是很有趣的。我们自然希望有1(())ax ax e D D e -=成立。因为1(())ax ax e D e a =，所以我们有1()ax ax D e e dx -=?。同理2()ax ax D e e dxdx -=??。当α是负整数时，我们将D α 看作是 n 次迭代的积分是合理。当α是正实数，D α代表导数，当α是负实数，D α 代表积分。 请注意，我们还没对一般函数给出分数阶导数的定义。但是，如果这一定义被发现，我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式（1）。我们注意到，刘维尔在他的论文[5]和[6]中就是采用这种方法去考虑微分的。 问题 问题1：在上述情况下， 12121212()a x a x a x a x D c e c e c De c De α+=+成立吗？ 问题2：在上述情况下， ax ax D D e D e αβαβ+=成立吗？