第7章 参数估计

第七章 参数估计

一、估计量的概念

()()()的估计量往往是不同的

观测值，，而对于不同的的样本量实际上是个随机变量的估计值；注意，估计为，，，的估计量，称为，，

，的近似值。我们称未做未知参数，，，个适当的统计量

点估计问题就是构造一是相应的一个样本值，，，，是一个样本，，，，是待估参数。的形式为已知，可同样讨论多于一个未知参数时，的分布函数设总体θθθθθθθθθn n n n n x x x X X X X X X x x x X X X x F X ...............))(;(2121212121Λ

Λ

Λ

二、求估计量的两种常用方法

称为矩（法）估计值

估计量，相应的观测值的估计量称为矩（法）阵，所求得称为矩估计法，简称矩这种构造估计量的方法总体未知参数的估计。的估计量，并依此求出体矩的连续函数的连续函数作为相应总矩的估计量，以样本矩用样本矩作为相应总体连续函数，因此我们就体矩，总体矩的依概率收敛于相应的总矩，样本矩的连续函数：根据大数定律，样本替换原则基本思想矩估计法

)(.1{}矩估计值

为，，，的矩估计量，为则，，，的矩估计为

，得到第三步，求解上述方程称为矩法方程个联立方程组的，，，个未知参数这是一个包含总体矩，即

第二步，令样本矩的函数

，，，是存在，一般来说，他们可能取值的范围是其中为离散型，，，为连续型，，，阶原点矩

的前第一步，计算总体的样本

是来自总体，，，为待估参数，设，，，其中，，，，其分布律为为离散型随机变量或，，，概率密度为为连续型随机变量，其设矩估计法的一般步骤：l n l l l n l l l k n i l l i k k x R x l l l k l l l n k k k X X X k l X X X k k k l X E X n X x R k l X x p x X E X dx x f x X E k X X X X X x p x X P X x f X θθθθθθθθθθθθθθθθμθθθμθθθθθθθθθ)...()

,...,2,1)(...()

(...),...,2,1)((1...))(,,...,2,1()

)(...;()()()...;()(......),...;(),...;(2121211

2121)(2121212121ΛΛΛ

Λ=∈∞

+∞-=======

=====∑∑? ，矩从低阶开始

总体未知参数估计量时我们约定：用矩法方程约定或补充其他准则。个选定的标准，就需要了使矩法矩阵计量有一的估计量并不唯一。为求得的定，因此基于矩法方程取多少并没有明确的规的关键。在这里的矩估计量是求得及解矩法方程

存在即可。计算矩阵从什么分布，只要总体矩法估计不要求总体服θθθl EX X n EX EX n i l l i l l Λ=∑=1

1

{}即可

代替上述的概率密度属离散型时，用分布律当总体的最大似然估计量

为，，，的最大似然估计值，称为，，，则称，，，，，，若

都是常数是已知的样本值，他们，，，称为样本的似然函数，，，的函数

的一个样本值，则，，，是相应于，，

，设的联合概率密度为，，，的样本，则是来自总体，，，设可能取值的范围

是为待估参数，的形式已知，属连续型，其概率密度设总体取得最大

的估计值使概率就取与未知参数有关，我们，而在连续型的情况的领域内的概率为，，，落在这一样本值，，，或在离散型的情况率为而取到这一样本值的概，，，的样本值，，，样本基本思想：若已观测到最大似然估计法

);(),;()...()...();...(max );...()...(),;();...()(......).;(......),;()()...()...()(),...()...(.2212121212112121211212121212121θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθx f x p x X P X X X X x x x x x x L x x x L x x x x f x x x L L X X X x x x x f X X X X X X X x f X p p p x x x X X X p x x x X X X n n n n n n

i i n n n n

i i n n n n n n Θ∈===Θ∈==ΘΘ∈Λ

ΛΘ∈Λ

==∏∏的不变性

性质称为最大似然估计的最大似然估计。这一是，则具有单值的反函数函数的最大似然估计，知参数的概率密度或分布律未是总体设题的关键

，并求其最大值点是解或对数似然函数函数密度，写出样本的似然

知道总体的概率分布或的最大似然估计量必须求总体分布中未知参数同一函数估计量

，，的函数作为，，的估计量，用，，作为参数，，用方法求得解，则应由定义用其他不可微，或似然方程无关于，，或，，如果，，的最大似然估计量求得，采用对数似然方程组处取极值。所以更多的在同一与的单调增函数，因此是又是乘积的形式，由于或可微，则令关于，，或，，）如果，，达到最大值的第二步，求出使，，或，，，，，，然函数

第一步，写出样本的似般步骤：

求最大似然估计量的一)()()()()(..........)3)...;()...;()2)

,...,1)(...(0ln )(ln )(ln )(),...,1(0ln 0)...;()...;(1...)()

...;()...;()...;...()(1111111111111111θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθu u u u u u X x f x p k i X X L L L x x L k i L L x f x p L x f x p x x L L k k k k i

i k i k i n i i i i

i i i k i k i k

n i k i n i k i k n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

Λ========??==??=??==∏∏三、常考题型及其解题方法与技巧

题型一、点估计的概念

题型二、矩估计与最大似然估计

概率统计第七章参数估计参考答案

概 班级 姓名 学号 任课教师 第七章 参数估计 教学要求： 一、理解点估计的概念，了解矩估计法和极大似然估计法； 二、了解无偏性、有效性、一致性等估计量的评判标准； 三、理解区间估计的概念，会求单个正态总体均值与方差的置信区间，会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间． 重点：极大似然估计法、矩估计法． 难点：置信区间的定义及求法． 习题一 点估计 1.随机抽取8只活塞环，测得它们的直径（单位：mm ）为： 74.001， 74.005， 74.003， 74.001， 74.000， 73.998， 74.006， 74.002 试求总体均值μ与总体方差2σ的矩估计值，并求样本方差2 s ． 解：总体的一、二阶原点矩分别为： ()μ=X E ， () ()()[]222 2μσ+=+=X E X D X E ； 样本的一、二阶中心矩分别为： X X n A n i i ==∑=111， ∑==n i i X n A 1 2 21； 由矩估计法有 ()X A X E ===∧ ∧ 1μ, ()22 2 2 A X E =+=∧∧ ∧ μσ , 即 X =∧ μ， () ∑∑==∧∧ -=-=-=n i i n i i X X n X X n A 12 2122 22 11μσ 由题中所给数据得 001.74=∧ μ， 52 10388.1-∧?=σ

2.设总体X 的密度函数为，()??? ??≤>=-;0, 0,0,1x x e x f x θθ 其中θ0>是未知参数，求θ的矩 估计． 解：因为 ()θθ θ=== - ∞ +∞ +∞ -? ? dx e x dx x xf X E x 1 )( 则 X =∧ θ. 3.设总体X 服从泊松分布，其分布律为λλ-==e x x X P x ! }{， ,2,1=x ．试求未知参 数λ)0(>λ的矩估计． 解：因为 λλλλλλλ λ λ λ =-=-=? =? =∑∑ ∑∑∞ =---∞ =-∞ =∞ =-1 1 11 )!1()! 1(! ! )(x x x x x x x x x e e x e x x x e x X E ， 故 X =∧ λ. 4.设总体X 的密度函数为：σ σ x e x f -=21)( ，)(+∞<<-∞x 求参数σ)0(>σ的最大似然估计． 解：似然函数为 ()σ σσσ σ∑=∏==---=n i i i x n x n i e e L 1 221)(1， σ σσ∑=- -=n i i x n L 1 )2ln()(ln ， 对σ求导得似然方程 01 )(ln 1 2 =+-=∑=n i i x n d L d σ σσσ 求得σ的最大似然估计为 ∑=∧ =n i i ML x n 1 1σ. 5.已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布，其分布参数均未知．在某个星期所生产的这种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：小时）为： 1067， 919， 1196， 785， 1126， 936， 918， 1156， 920， 948. 试用最大似然估计法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率．

第七章参数估计练习题

第七章参数估计练习题 一．选择题 1. 估计量的含义是指（） A. 用来估计总体参数的统计量的名称 B. 用来估计总体参数的统计量的具体数值 C. 总体参数的名称 D ?总体参数的具体取值 2．一个95%的置信区间是指（） A. 总体参数有95%的概率落在这一区间内 B. 总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。 D. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。 3.95%的置信水平是指（） A. 总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95% B ?在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% C.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5% D ?在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5% 4. 根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（） A .以95%的概率包含总体均值 B .有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值 D ?要么包含总体均值，要么不包含总体均值 5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（） A .随着置信水平的增大而减小 B. .随着置信水平的增大而增大 C.与置信水平的大小无关D。与置信水平的平方成反比 6. 当置信水平一定时，置信区间的宽度（） A?随着样本量的增大而减小 B..随着样本量的增大而增大 C.与样本量的大小无关D。与样本量的平方根成正比 7. 在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与 总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（） A .无偏性 B.有效性C. 一致性D.充分性 8. 置信水平（1-a）表达了置信区间的（） A .准确性 B.精确性C.显著性D.可靠性 9. 在总体均值和总体比例的区间估计中，边际误差由（） A .置信水平决定 B.统计量的抽样标准差确定 C. 置信水平和统计量的抽样标准差 D. 统计量的抽样方差确定 10. 当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（） A.正态分布 B. t分布 C. x 2分布 D. F分布

第七章 参数估计

第七章 参数估计 §7.1 参数的点估计 §7.2 估计量的评选标准 一、 填空题 1．矩估计法是通过 参数 与 总体矩 的联系，解出参数，并用 样本矩 代替 总体矩 而得到参数估计的一种方法； 2．极大似然估计法是在 总体分布形式 已知情况下的一种点估计方法； 3．设n X X X 2,1是正态总体),(2σμN 的一个样本，则μ的极大似然估计为 =μ? ∑=n i i X n 11 ；总体方差的矩估计为=σ2 ? ∑=-n i i X X n 1 2)(1 ； 4.设()12?,,,n X X X θ 为未知参数θ的估计量，若() ?E θθ=，则称?θ为θ的无偏估计量； 5．设n X X X 2,1为总体X 的一个样本，则总体均值)(X E 的无偏估计为 ∑==n i i X n X 11 ；总体方差)(X D 的无偏估计为 ∑=--=n i i X X n S 1 22 )(11 ； 6.设总体X 服从二项分布(),,B N p N 已知，()12,,,n X X X 是来自X 的样本，则p 的极大似然估计量为 X N ； 解 {}() 1i i i N x x x i N P x x C p p -==-， ()()11 1111n n i i i i i i i i n n x N x nN x x x x N N i i L C p p C p p ==--==∑??∑=-=- ??? ∏∏， ()111ln ln ln ln 1i n n n x N i i i i i L C x p nN x p ===?????? =++-- ? ? ??? ????∑∑∏， 令11ln 11 0,1n n i i i i d L x nN x dp p p ==????=--= ? ?-????∑∑得到1n i i x X p nN N ===∑。 7.在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 ()2,0.2N a ，若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，则为使{} 0.10.95n P X a -<≥，n 的最小值应不小于自然数16。 解 ()()2 2 0.2,n n E X a D X n n σ===，所以20.2,n X N a n ?? ???

第七章参数估计

第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθL d x θc θn θn θL

第七章 参数估计-含答案

第七章参数估计 一、单项选择题 1.区间X 2.58x S的含义是（）。 A. 99%的总体均数在此范围内 B. 样本均数的99%可信区间 C. 99%的样本均数在此范围内 D. 总体均数的99%可信区间 答案：D 2.以下关于参数估计的说法正确的是（）。 A. 区间估计优于点估计 B. 样本含量越大，参数估计准确的可能性越大 C. 样本含量越大，参数估计越精确 D. 对于一个参数只能有一个估计值 答案：B 3.假定抽样单位数为400，抽样平均数为300和30，相应的变异系数为50%和20%，试以0.9545的概率来确定估计精度为（）。 A.15和0.6 B.5%和2% C.95%和98% D.2.5%和1 答案：C 4.根据10%抽样调查资料，甲企业工人生产定额完成百分比方差为25，乙企业为49。乙企业工人数四倍于甲企业，工人总体生产定额平均完成率的区间（）。 A. 甲企业较大 B. 乙企业较大 C. 两企业一样 D. 无法预期两者的差别 答案：A 5.对某轻工企业抽样调查的资料，优质品比重40%，抽样误差为4%，用多大的概率才能确信全及总体的这个指标不小于32%（）。 A.0.6827 B.0.9545 C.0.9973 D.2.00 答案：B 6.根据抽样调查的资料，某城市人均日摄入热量2500千卡，抽样平均误差150千卡，该市人均摄入热量在2350千卡至2650千卡之间的置信度为（）。 A.0.9545 B. 0.6827 C.1 D. 0.90 答案：B 7.对进口的一批服装取25件作抽样检验,发现有一件不合格。概率为0.9545时计算服装不合格率的抽样误差为7.3%。要使抽样误差减少一半,必须抽（）件服装做检验。 A.50 B.100 C.625 D.25 答案：B 8.根据以往调查的资料，某城市职工平均每户拥有国库券和国债的方差为1600，为使极限抽样误差在概率保证程度为0.9545时不超过4元，应抽取（）户来进行调查。 A.I600 B.400 C.10 D.200 答案：B

第七章、参数估计

第七章、参数估计 一、选择题： 1．若12,,,n X X X 是取自总体X 的样本，且DX = 2 σ，又X 与2 S 分别是样本均值与样本方差，则必有 （ ） A ．2 S 是2 σ的矩法估计量 B ．2 S 是2σ的最大似然估计量 C ．2()()E S E X = D ．22()E S σ= 2．若总体X 在（0，θ）上服从均匀分布，θ>0，12,,,n X X X 是取自总体X 的样本，则θ的矩法估计量为 （ ） A ．X B ．2X C ．S D ．2S 3．若总体X 的分布律为 {},0,1,2 ! x e P X x x x λ λ-== = 而1，2，5，7，8是X 的样本观测值，则λ的最大似然估计值为 （ ） A ．4 B ．5 C ．23/5 D ．3 4．若总体2 ~(,)X N μσ ，已知σ2 =σ20 ，则未知参数μ的置信区间为 （ ） A. 22 001 122122()(),n n i i i i x x x x ααμμ==- ?? --? ? ??? ???? ? ∑∑ B. 22 2 2122(1)(1),n s n s x x α α -? ? --???????? C. 2 2,x x αασσ? ?- + ??? ? D. 22,s s x x αα??- +??? ? 5．若总体2 ~(,)X N μσ ，未知σ2，则未知参数μ的置信区间为 （ ） A. 22001 122122()() ,n n i i i i x x x x ααμμ==- ?? --?? ??? ???? ? ∑∑ B. 22 2 2122(1)(1),n s n s x x α α -? ? --????????

第七章参数估计讲解

第七章 参数估计 参数估计是数理统计研究的主要问题之一. 假设总体X ~N （μ，σ2），μ，σ2是未知参数，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本，样本值是x 1，x 2，…，x n ，我们要由样本值来确定μ和σ2的估计值，这就是参数估计问题，参数估计分为点估计（Point estimation ）和区间估计(Interval estimation). 第一节 点估计 所谓点估计是指把总体的未知参数估计为某个确定的值或在某个确定的点上，故点估计又称为定值估计. 定义7.1 设总体X 的分布函数为F （x ，θ），θ是未知参数，X 1，X 2，…，X n 是X 的一样本，样本值为x 1，x 2，…，x n ，构造一个统计量（X 1，X 2，…，X n ），用它的观察值 （x 1，x 2，…，x n ）作为θ的估计值，这种问题称为点估计问题.习惯上称随机变量（X 1，X 2，…，X n ）为θ的估计量,称（x 1，x 2，…，x n ）为的估计值. 构造估计量（X 1，X 2，…，X n ）的方法很多，下面仅介绍矩法和极大似然估计法. 1.矩法 矩法（Moment method of estimation ）是一种古老的估计方法.它是由英国统计学家皮尔逊（K .Pearson ）于1894年首创的.它虽然古老，但目前仍常用. 矩法估计的一般原则是：用样本矩作为总体矩的估计，若不够良好，再作适当调整. 矩法的一般作法：设总体X ~F （X ；θ1,θ2，…，θl ）其中θ1,θ2,…,θl 均未知. （1） 如果总体X 的k 阶矩μk =E (X k ) (1≤k ≤l)均存在，则 μk =μk (θ1,θ2,…,θl )，（1≤k ≤l ）. (2) 令?? ?????. ),,,(,),,,(, ),,,(212 2121211l l l l l A A A θθθμθθθμθθθμ 其中A k （1≤k ≤l ）为样本k 阶矩. 求出方程组的解,?,,?,?21l θθθ 我们称),,,(??21n k k X X X θθ=为参数θk (1≤k ≤l )的矩估计量, ),,,(??21n k k x x x θθ=为参数θk 的矩估计值. 例7.1 设总体X 的密度函数为： f （x ）=???-><<+., 0), 1(,10,)1(其他αααx x 其中α未知，样本为（X 1，X 2，…，X n ），求参数α的矩法估计. 解 A 1=X .由μ1=A 1及

第7章参数估计习题及答案

第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<

是未知参数， X X ,,212 α1 α0++= ∑=++=∴n i i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 1 01ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0,x e x f x λλ-?>=?? 其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1） 求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.

解：（1）由于1 ()E X λ = ，令 1 1X X λλ =?= ，故λ的矩估计为1?X λ = （2）似然函数1 12(,,,)n i i x n n L x x x e λ λ=-∑= 11 1 ln ln ln 0n i i n i n i i i L n x d L n n x d x λλλλλ====-=-=?=∑∑∑ 故λ的极大似然估计仍为 1 X 。 3、设总体()2~0,X N σ，12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本，求2 σ的极大似 然估计； [解] (1) 于是ln L 2ln d L d σ=令 2ln d L d σ4、设总体, （1）求未知参数解：（1 （2）似然函数1121 (,,,)! n i i x n n n i i e L x x x x λ λ=-=∑= ∏ 1 1 11 ln ln ln ! ln 0n n i i i i n n i i i i L x n x x x d L n x d n λλλλλ =====--=-=?==∑∑∑∑故λ的极大似然估计仍为X 。

第7章参数估计习题与答案

第7章 参数估计 ----点估计 一、填空题 1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<

α是未知参数， n X X X Λ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计. 解：因? ?++=+= 10 1 1α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2 α1 α2α1α102++= ++= +|a x 令2α 1α ++==??)(X X E X X --=∴112α ?为α的矩估计 因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x α αα=+L L ∑=++=∴n i i X n L 1 α1αln )ln(ln ，由∑==++=??n i i X n L 101ααln ln 得， α的极大似量估计量为)ln (?∑=+-=n i i X n 1 1α 2、设总体X 服从指数分布 ,0 ()0, x e x f x λλ-?>=??其他 ，n X X X Λ,,21是来自X 的样本，（1）