高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数试题及其答案详解
指数函数、对数函数、幂函数专题
1．函数()3(02)x f x x =<≤值域为（ ）
A ．(0)+∞，
B ．(19]，
C ．(01)，
D ．[9)+∞，
2．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=-．下列
函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A ．()3x f x =
B ．()sin f x x =
C ．2()log f x x =
D ．()tan f x x =
3．以下四个数中的最大者是（ ）
A ．（ln2）2
B ．ln （ln2）
C ．ln 2
D ．ln2
4．若A=}822|{2<≤∈-x Z x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A 的元素个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 5．设2
()lg(
)1f x a x
=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞
6．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：
命题甲：(2)f x +是偶函数；
命题乙：()f x 在()-∞2，
上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，
上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）
A ．①③
B ．①②
C ．③
D ．②
7．函数y=1
21
2+-x x 是（ ）
（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数
8．设,,a b c 均为正数，且11222
112log ,log ,log ,22b
c
a
a b c ????
=== ? ?????则（ ）
A.a b c <<
B.c b a <<
C.c a b <<
D.b a c <<
9．已知函数x
x f -=
11
)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N （ ） A ．{}1>x x B ．{}1 11<<-x x D ．? 10．设a ∈{－1，1， 2 1，3}，则使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，3 11．设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x ，则有（ ） A ．)31(f <)23(f <)32(f B ．)32(f <)23(f <)31 (f C ．)32(f <)31(f <)23(f D ． )23(f <)32(f <)3 1(f 12．函数()???>+-≤-=1 ,341 ,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 13．函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =1 2 +-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） 14．设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为 2 1 ，则a =（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 15．若1>a ，且y a x a a y a x log log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ） A ．0>>y x B ．0>=y x C ．0>>x y D ．无法确定 16．函数|1|| |ln --=x e y x 的图象大致是（ ） 17．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称， 则()f x =____________。 18．函数()()lg 43 x f x x -= -的定义域为_________。 19．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为_________。 20．方程96370x x -?-=的解是_________。 21．若函数2 ()()x f x e μ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m μ+=________． 22．已知函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象如图，则函数x a y ?? ? ??=1的图象可能是________ 23．设x x f a log )(=（0>a 且1≠a ），若1)()()(21=+++n x f x f x f （+∈R x i ，n i ,,2,1 =），则)()()(3 3231n x f x f x f +++ 的值等于________。 24．将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为________。 25．若函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ，则实数a 的取值范围为________。 26．若函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________。 27．给出下列四个命题： ①函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义域相同； ②函数3x y =和x y 3=的值域相同； ③函数12121-+=x y 与x x x y 2 )21(2 ?+=都是奇函数； ④函数2 )1(-=x y 与1 2 -=x y 在区间),0[+∞上都是增函数。 其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上） 28．直线a x =（0>a ）与函数x y ?? ? ??=31、x y ??? ??=21、x y 2=、x y 10=的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是________。 29．若关于x 的方程m x x =?-+-+-|1|| 1|5425 有实根，则实数m 的取值范围是________。 30．已知lgx+lgy=2lg （x －2y ），求y x 2 log 的值。 31．根据函数|12|-=x y 的图象判断：当实数m 为何值时，方程m x =-|12|无解？有一解？有两解？ 32．已知1x 是方程xlgx=2008的根，2x 是方程x ·10x =2008的根，求12x x 的值． 33．已知实数a 、b 、c 满足2b=a+c ，且满足2lg （b －1）=lg （a+1）+lg （c －1），同时a+b+c=15，求实数a 、b 、c 的值。 34．已知x x x f a -+=11log )()1,0(≠>a a 。 （1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围。 35．已知函数x x f x f 2lo g )1 (1)(?+=。 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求)2(f 的值；（3）解方程)2()(f x f =。 36．已知函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）。 （1）求)(x f 的定义域、值域；（2）判断)(x f 的单调性； （3）解不等式)()2(21 x f x f >--。 指数函数、对数函数、幂函数专题 1．函数()3(02)x f x x =<≤值域为（ ） A ．(0)+∞， B ．(19]， C ．(01)， D ．[9)+∞， B ；[解析] 函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，。 2．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++=-．下 列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x = B ．()sin f x x = C ．2()log f x x = D ．()tan f x x = B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=， C 满足 ()() ()f x y f x f y = +，而D 满足()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++= -，B 不满足其中任何一个等式。 3．以下四个数中的最大者是（ ） A ．（ln2）2 B ．ln （ln2） C ．ln 2 D ．ln2 D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2 2 1 ln2 4．若A=}82 2|{2<≤∈-x Z x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A 的元素个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 C ；[解析] 由于A=}82 2|{2<≤∈-x Z x =}321|{<-≤∈x Z x =}11|{≤<-∈x Z x =｛0，1｝ ，而B=}1|log ||{2>∈x R x =}22 1 0|{>< <∈x x R x 或，那么)(C R B A =｛0，1｝，则)(C R B A 的元素个数为2个。 [考点透析] 从指数函数与对数函数的单调性入手，解答相关的不等式，再根据集合的运算加以分析和判断，得出对应集合的元素个数问题。 5．设2 ()lg( )1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞ A ；[解析] 由10)0(-==a f 得，011lg )(<-+=x x x f ，得???????<-+>-+1 11011x x x x ，01<<-∴x 。 [考点透析]根据对数函数中的奇偶性问题，结合对数函数的性质，求解相关的不等式问题，要注意首要 条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件。 6．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数； 命题乙：()f x 在()-∞2， 上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞， 上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） A ．①③ B ．①② C ．③ D ．② D ；[解析] 函数①()lg(21)f x x =-+，函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数；且()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 但对命题丙：(2)()f x f x +-=||1 lg(||1)lg(|2|1)lg |2|1 x x x x ++--+=-+在x ∈(－∞,0)时，(||1)12 lg lg lg(1)(|2|1)213 x x x x x +-+==+-+-+-为减函数，排除函数①，对于函数③， ()cos(2) f x x =+函数(2)cos(2)f x x +=+不是偶函数，排除函数③，只有函数②2 ()(2)f x x =-符合要求。 [考点透析]根据对数函数、幂函数、三角函数的相关性质来分析判断相关的命题，也是高考中比较常见的问题之一，正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题。 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ）A （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．设,,a b c 均为正数，且11222 112log ,log ,log ,22b c a a b c ???? === ? ?????则（ ） A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c << A ；[解析] 由122log a a =可知0a >21a ?>121l o g 102a a ?>?<<，由12 1l o g 2b b ?? = ???可知0b >?12 0l o g 1b <<112b ?<<，由21log 2c c ?? = ???可知0c >20log 112c c ?< [考点透析] 根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一。关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。 9．已知函数x x f -= 11 )(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N （ ） A ．{}1>x x B ．{}1 11<<-x x D ．? C ；[解析] 依题意可得函数x x f -= 11 )(的定义域M =}01|{>-x x =}1|{ 所以M N =}1|{ 11<<-x x 。 [考点透析] 本题以函数为载体，重点考查幂函数与对数函数的定义域，集合的交集的概念及其运算等基础知识，灵活而不难． 10．设a ∈{－1，1， 2 1 ，3}，则使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，3 A ；[解析] 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 [考点透析] 根据幂函数的性质加以比较，从而得以判断．熟练掌握一些常用函数的图象与性质，可以比较快速地判断奇偶性问题．特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质． 11．设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x ，则有（ ） A ．)31(f <)23(f <)32(f B ．)32(f <)23(f <)31 (f C ．)32(f <)31(f <)23(f D ． )23(f <)32(f <)3 1(f B ；[解析] 当1≥x 时，)(x f =13-x ，其图象是函数x y 3=向下平移一个单位而得到的1≥x 时图象部 分，如图所示， 又函数)(x f 的图象关于直线x =1对称，那么函数)(x f 的图象如下图中的实线部分， 即函数)(x f 在区间)1,(-∞上是单调减少函数， 又)23(f =)21(f ，而 322131<<，则有)32()21()31(f f f >>，即)32(f <)23(f <)3 1(f ． [考点透析] 利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析，通过图象可以非常直观地判断对应的性质关系． 12．函数()?? ?>+-≤-=1 ,341 ,442 x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 B ；[解析] 函数()? ??>+-≤-=1,341 ,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象如下： 根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点。 [考点透析] 作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断。指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线x y =对称。在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂。 13．函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =1 2 +-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） C ；[解析] 函数)(x f =x 2log 1+的图象是由函数x y 2log =的图象向上平移1个单位而得来的；又由于)(x g =1 2 +-x =) 1(2 --x ，则函数)(x g =1 2 +-x 的图象是由函数x y -=2 的图象向右平移1个单位而得来的； 故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是：C 。 [考点透析] 根据函数表达式与基本初等函数之间的关系，结合函数图象的平移法则，得出相应的正确判断。 14．设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为 2 1 ，则a =（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 D ；[解析] 由于1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为 2 1， 那么a a a a log 2log -=21，即2log a =2 1 ，解得221 =a ，即a =4。 [考点透析] 根据对数函数的单调性，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 的端点上取得最值，由1>a 知函数在对应的区间上为增函数。 15．若1>a ，且y a x a a y a x log log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ） A ．0>>y x B ．0>=y x C ．0>>x y D ．无法确定 A ；[解析] 通过整体性思想，设x a x f a x log )(-=-，我们知道当1>a 时，函数x a y -=1与函数 x y a log 2-=在区间),0(+∞上都是减函数，那么函数x a x f a x log )(-=-在区间),0(+∞上也是减函数， 那么问题就转化为)()(y f x f <，由于函数x a x f a x log )(-=-在区间),0(+∞上也是减函数，那么就有 0>>y x 。 [考点透析] 这个不等式两边都由底数为a 的指数函数与对数函数组成，且变量又不相同，一直很难下手。通过整体思维，结合指数函数与对数函数的性质加以分析，可以巧妙地转化角度，达到判断的目的。 16．函数|1|| |ln --=x e y x 的图象大致是（ ） D ；[解析] 函数|1|| |ln --=x e y x 可转化为????? ≥<<-+=1, 11 0,11x x x x y ，根据解析式可先排除（A ），（C ），又当10< [考点透析] 把相应的含有指数函数和对数函数的关系式，加以巧妙转化，转化成相应的分段函数，结 合分段函数的定义域和基本函数的图象加以分析求解和判断。 17．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称， 则()f x =____________。 ()f x =3()x x ∈R ；[解析] 函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对 称，则()f x 与函数3log (0)y x x =>互为反函数，()f x =3()x x ∈R 。 [考点透析]对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称，在实际应用中经常会碰到，要加以重视。 18．函数()()lg 43 x f x x -= -的定义域为_________。 {}34≠ 30x x ->??-≠? ?{}34≠ [考点透析] 考察对数函数中的定义域问题，关键是结合对数函数中的真数大于零的条件，结合其他相关条件来分析判断相关的定义域问题。 19．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为_________。 [5，+∞）；[解析] 反函数的定义即为原函数的值域，由x ≥3得x-1≥2，所以1)1(log 2≥-x ，所以y ≥5，反函数的定义域为[5，+∞），填[5，+∞）。 [考点透析]根据互为反函数的两个函数之间的性质：反函数的定义即为原函数的值域，结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题。 20．方程96370x x -?-=的解是_________。 3log 7x =；[解析] 2(3)63703731x x x x -?-=?==-或（舍去） ，3log 7x ∴=。 [考点透析]求解对应的指数方程，要根据相应的题目条件，转化为对应的方程加以分析求解，同时要注 意题目中对应的指数式的值大于零的条件。 21．若函数2 ()()x f x e μ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m μ+=________． 1；[解析] 2 2 ()() 1()x x f x e e μμ---?? == ??? ，设() ()2 0t x t μ=-≥，此时1()t f x e ?? = ??? 是减函数，则最大 值是0 11m e ?? == ??? ，又()f x 是偶函数，则0μ=，∴1m μ+=． [考点透析] 根据函数的特征，结合指数函数的最值问题，函数的奇偶性问题来解决有关的参数，进而解得对应的值。研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图象研究性质中的作用,注意从特殊到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养。 22．已知函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象如图，则函数x a y ?? ? ??=1的图象可能是________。 D ；[解析] 根据函数x a y =的图象可知1>a ，那么对应函数x a y ?? ? ??=1的图象是D 。 [考点透析]根据对应指数函数的图象特征，分析对应的底数1>a ，再根据指数函数的特征分析相应的图象问题。 23．设x x f a log )(=（0>a 且1≠a ），若1)()()(21=+++n x f x f x f （+∈R x i ，n i ,,2,1 =），则)()()(3 3 23 1n x f x f x f +++ 的值等于________。 3；[解析] 由于)()()(21n x f x f x f +++ =n a a a x x x log log log 21+++ =)(log 21n a x x x =1，而 )()()(33231n x f x f x f +++ =3 3231log log log n a a a x x x +++ =321)(log n a x x x =3)(log 21n a x x x =3 [考点透析]根据对数函数的关系式，以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题，关键是加以合理地转化。 24．将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为________。 1)1(log 2++=x y ；[解析] 将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1所对应的解析式 为)1(log 2+=x y ；要此基础上，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为 )1(l o g 12+=-x y 。 [考点透析]根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题，一般可以结合“左加右减，上减下加”的规律加以应用。 25．若函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ，则实数a 的取值范围为________。 [0，1]；[解析] 由于函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ?（0，+∞）?{u （x ）|u （x ）=ax 2+2x+1}，当a=0时，u （x ）=2x+1的值域为R ，符合题意；当?? ? ≥-=?>0 440a a 时，即10≤ [考点透析]通过引入变元，结合原函数的值域为R ，转化为u （x ）的问题来分析，要根据二次项系数的取值情况加以分类解析。 26．若函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________。 ?? ????43,0；[解析] 函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ?kx 2 +4kx +3>0恒成立，当k=0时，3>0恒成立； 当?? ?<-=?>0 121602 k k k 时，即43 0< 析。 27．给出下列四个命题： ①函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义域相同； ②函数3x y =和x y 3=的值域相同； ③函数12121-+=x y 与x x x y 2 )21(2 ?+=都是奇函数； ④函数2)1(-=x y 与12-=x y 在区间),0[+∞上都是增函数。 其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上） ①、③；[解析] 在①中，函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义 域都是R ，则结论正确；在②中，函数3x y =的值域为R ，x y 3=的值域为+ R ，则结论错误；在③中，函 数12121-+=x y 与x x x y 2 )21(2?+=都是奇函数，则结论正确；在④中，函数2 )1(-=x y 在),1[+∞上是增函数，1 2 -=x y 在R 上是增函数，则结论错误。 [考点透析]综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关内容。 28．直线a x =（0>a ）与函数x y ?? ? ??=31、x y ??? ??=21、x y 2=、x y 10=的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是________。 D 、C 、B 、A ；[解析] 结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D 、C 、B 、A 。 [考点透析]结合指数函数的图象规律，充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题，加以判断对应的交点的上下顺序问题。 29．若关于x 的方程m x x =?-+-+-|1|| 1|5425 有实根，则实数m 的取值范围是________。 {m|4-≥m }；[解析] 令| 1|5+-=x y ，则有10≤ 得042=--m y y ，根据题意，由于042=--m y y 有实根，则0)(4)4(2≥---=?m ，解得4-≥m 。 [考点透析]通过换元，把指数方程转化为一元二次方程来分析求解，关键要注意换元中对应的参数y 的 取值范围，为求解其他参数问题作好铺垫。 30．已知lgx+lgy=2lg （x －2y ），求y x 2 log 的值。 [分析] 考虑到对数式去掉对数符号后，要保证x >0，y >0，x －2y >0这些条件成立。假如x=y ，则有x －2y=－x <0，这与对数的定义不符，从而导致多解。 [解析] 因为lgx+lgy=2lg （x －2y ），所以xy=（x －2y ）2， 即x 2－5xy+4y 2=0，所以（x －y ）（x －4y ）=0，解得x=y 或x=4y ， 又因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x=y 不符合条件，应舍去， 所以 y x =4，即y x 2 log =4log 2=4。 [考点透析] 在对数式log a N 中，必须满足a >0，a ≠1且N >0这几个条件。在解决对数问题时，要重视这几个隐含条件，以免造成遗漏或多解。 31．根据函数|12|-=x y 的图象判断：当实数m 为何值时，方程m x =-|12|无解？有一解？有两解？ [分析] 可以充分结合指数函数的图象加以判断．可以把这个问题加以转换，将求方程m x =-|12|的解的个数转化为两个函数|12|-=x y 与m y =的图象交点个数去理解。 [解析] 函数|12|-=x y 的图象可由指数函数x y 2=的图象先向下平移一个单位，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴对称图形，如下图所示， 函数m y =的图象是与x 轴平行的直线， 观察两图象的关系可知： 当0 =-|12|无解； 当0=m 或1≥m 时，两函数图象只有一个公共点，所以方程m x =-|12|有一解； 当10< =-|12|有两解． [考点透析]由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以求解，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键． 32．已知1x 是方程xlgx=2008的根，2x 是方程x ·10x =2008的根，求12x x 的值． [分析] 观察此题，易看到题中存在lg x 和10x ，从而联想到函数1y gx =与10x y =．而1x 可以看成 1y gx =和x y 2008= 交点的横坐标，同样2x 可看成10x y =和x y 2008 =交点的横坐标，若利用函数1y gx =与10x y =的对称性，此题便迎刃而解了． [解析] 令1a y gx =，x y b 2008 = ，设其交点坐标为11(,)x y ， 同样令10x c y =，它与x y b 2008 =的交点的横坐标为22(,)x y ， 由于反比例函数关于直线y x =对称，则有11(,)x y 和22(,)x y 关于直线y x =对称， 点11(,)x y 即点12(,)x x 应该在函数x y b 2008 = 上，所以有12x x =2008． [考点透析] 中学数学未要求掌握超越方程的求解，故解题中方程是不可能的．而有效的利用指数函数和对数函数的性质进行解题此题就不难了，否则此题是一个典型的难题．以上求解过程不能算此题超纲． 33．已知实数a 、b 、c 满足2b=a+c ，且满足2lg （b －1）=lg （a+1）+lg （c －1），同时a+b+c=15，求实数a 、b 、c 的值。 [分析] 在解题过程中，遇到求某数的平方根时，一般应求出两个值来，再根据题设条件来决定取舍，如果仅仅取算术平方根，那么往往会出现漏解。 [解析] 因为2b=a+c ，a+b+c=15，所以3b=15，即b=5， 由于2b=a+c=10，则可设a=5－d ，c=5+d ， 因为2lg （b －1）=lg （a+1）+lg （c －1）， 所以2lg4=lg （6－d ）+lg （4+d ），即16=25－（d －1）2，则有（d －1）2=9， 所以d －1=±3，则d=4或d=－2， 所以实数a 、b 、c 的值分别为1，5，9或7，5，3。 34．已知x x x f a -+=11log )()1,0(≠>a a 。 （1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围。 [解析] （1） 011>-+x x ，即01 1 <-+x x ，等价于0)1)(1(<-+x x ，得11<<-x ， 所以)(x f 的定义域是)1,1(-； （2）x x x x x f x f a a +-+-+=-+11log 11log )()(=1log a =0， 所以)()(x f x f -=-，即)(x f 为奇函数； （3）由0)(>x f ，得011log >-+x x a ， 当1>a 时，有 111>-+x x ，解得10< x x ，解得01<<-x ； 故当1>a 时，)1,0(∈x ；当10< 35．已知函数x x f x f 2lo g )1 (1)(?+=。 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求)2(f 的值；（3）解方程)2()(f x f =。 [解析] （1）由于x x f x f 2lo g )1(1)(?+=， 上式中，以 x 1代x 可得：x x f x f 1log )(1)1(2?+=，则有x x f x f 2log )(1)1 (?-=， 把x x f x f 2log )(1)1(?-=代入x x f x f 2lo g )1 (1)(?+=可得： x x x f x f 22log ]log )(1[1)(??-+=，解得x x x f 2 22log 1log 1)(++= ； （2）由（1）得x x x f 2 22log 1log 1)(++= ，则12 log 12log 1)2(2 22=++= f ； （3）由（1）得x x x f 222log 1log 1)(++=，则（2）得1)2(=f ， 则有1)2(log 1log 1)(2 22==++= f x x x f ，即x x 2 22log 1log 1+=+， 解得0log 2=x 或1log 2=x ，所以原方程的解为：1=x 或2=x 。 [考点透析]对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式，要合理选取比较适合的方法加以分析处理，关键是要结合抽象函数关系式的特征，这里用到的是以x 1 代x 的方式来达到求解函数解析式的目的。 36．已知函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）。 （1）求)(x f 的定义域、值域；（2）判断)(x f 的单调性； （3）解不等式)()2(21 x f x f >--。 [分析]根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。 [解析] （1）要使函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）有意义，则需要满足0>-x a a ， 即a a x <，又1>a ，解得1 又1log )(log =<-a a a a x a ，即1)( a a -=μ在)1,(-∞上是减函数， 又μa y log =是增函数，所以函数)(log )(x a a a x f -=在)1,(-∞上是减函数； （3）设)(log x a a a y -=，则x y a a a -=，所以y x a a a -=，即)(log y a a a x -=， 所以函数)(x f 的反函数为)(log )(1 x a a a x f -=-， 由于)()2(21 x f x f >--，得)(log )(log 2 2 x a x a a a a a ->--， 由于1>a ，则x x a a a a ->--2 2 ，即x x a a <-2 2 ， 所以x x <-22 ，解得21<<-x ， 而函数)(x f 的定义域为)1,(-∞，故原不等式的解集为}11|{<<-x x 。 [考点透析] 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等。 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 第8课 幂函数、指数函数及其性质 【考点导读】 1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3 y x =，1 y x =，1 2y x =的图像了解它们 的变化情况； 2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】 1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)． 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+． 3.函数2 20.3 x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1 (,]2 -∞-；值域1 4(0,0.3]． 4.已知函数1()41x f x a =+ +是奇函数，则实数a 的取值1 2 -． 5.要使1 1 () 2 x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2 ． 【范例解析】 例1.比较各组值的大小： （1）0.2 0.4 ，0.20.2 ，0.2 2 ， 1.6 2； （2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<； （3）131()2，1 21 ()3 ． 分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性． 解：（1） 0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<， 0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<． （2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>． （3）111 32 2111()()()223 >>． 点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注 意通过0，1等数进行间接分类． 例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数,求,a b 的值； 高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2 整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈. (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈. （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ；规律：底数a 保持不变 3注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化。规律：底数a 保持不变 幂值 真数 （二）对数的运算性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是0，即01log =a (a ＞0,且a ≠1)；特殊地：ln10= (3)底的对数是1，即1log =a a (a ＞0,且a ≠1)；特别地：ln 1e = （三）对数运算法则。若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = （5）对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). a b b a log 1 log = (a ＞0,且 b ＞0). （6）指数恒等式：a N a N l o g = （由②N log b ①N a a b ==，,将②代入①得a N a N l o g =） 2015高考数学专题复习：指数函数 一，定义： 函数 叫做指数函数， R x ∈ 指出下列哪些是指数函数 （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y 4-= （4）x y )4(-= （5）x y π= （6）24x y = （7）x x y = （8） )121 ()12(≠> -=a a a y x 且. 填空：1.=?n m a a 2.=n a a 3. ()=m ab 4.=-m a = 5.=m n a 6.=- m n a 7.() =n m a = 8.= ? ? ? ??-m b a ()x a x f =，则有()()=?n f m f ()()=n f m f ()()=n m f 指出下列函数所经过象限及值域： （1）131 -=+x y （2）21 - =-x e y （3）23.0-=x y ()14+=x y π 练习： 1.下列命题中，正确的是 （ ） A ．函数x y 2=，当0 （4）91 32 2≥-x （5）124 32<--x x （6）3 3135≤?? ? ??-x 4.计算： （1）=3 28 (2)=- 2 1 25 (3)=??? ??-5 21 (4)=??? ??3 5 278 (5) 3 264- (6) =??32 3a a a (7) = ??2 3 3 2 a a a a (8) 2 133 2 3 121 )()1.0()4()4 1(---- ?b a ab = ( ) ()2 14 06 3 4 3383213212015238116--??? ??--+-+?+ ?? ? ??--= ==-+x x 10,25102则 (11) ==-x x 10,25102则 5.已知10<a ，且1≠a )的图像必经过点 9.（1）函数()x f 对任意实数满足()()()y x f y f x f +=?，且()643=f ，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值. （2）函数)(x f 满足：对任意的实数b a ,，都有,2)1(),()()(=?=+f b f a f b a f 且则)3()0(f f += 10.作出函数 x y 3=的图像并求值域 若函数 ()11x m f x a =+ -是奇函数，则m =__________ 12.若函数 )10(1)(≠>-+=a a b a x f x 且的图像经过第二、三、四象限，则一定有 （ ） A ．010><>b a 且 C ．010<<b a 且 13.函数b x a x f -=)(的图像如图，其中b a ,为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10>< 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： 指数与指数幂的运算 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数 与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且 m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义： 3．运算法则 当a ＞0,b ＞0时有： （1）n m n m a a a +=?； （2）()mn n m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； （4）()m m m b a ab =. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-； (3)幂指数不能随便约分.如2 142 )4()4(-≠-. 要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y . n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式 （1）当1n >且*n N ∈时， ()n n a a =； （2）???=)(||) (,为偶数为奇数n a n a a n n 要点诠释： ①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误． ②指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数． 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如 )，先要化成假分数（如15/4）， ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: .. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式 【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ． 指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）1 m n n m a a - = （6）,||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数： 【基础过关】 类型一：指数运算的计算题 指数函数 0 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、526+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ，16=mn a ，则m 的值为………………………………………………( ) A ．3 B ．4 C ．3 a D ．6 a 3、化简 22 1 () 2b a b a ab b b a +---+-的结果是………………………………( ) A 、a a b -- B 、a b a -- C 、b a a -- D 、2b b a a +-- 4、已知0.001a =，求：413 3 3 223 33 8(12)24a a b b a a a b b -÷-++=_________________ 5、已知1 3x x -+=，求（1）1 12 2 x x - +=________________（2）332 2 x x -+=_________________ 6、若22y y x x -+=，其中1,0x y ><，则 y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数 的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ 21},x s x A B =-?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固 撰稿：刘杨审稿：严春梅责编：丁会敏 一、知识框图 二、目标认知 学习目标 1.指数函数 (1)通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景； (2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函 数的单调性与特殊点； (4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅 读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； (2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函 数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数 的单调性与特殊点； 3.反函数 知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1). 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念； (2)结合函数的图象，了解它们的变化情况. 重点 指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 难点 指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质. 三、知识要点梳理 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 幂函数与指数函数得区别 1、指数函数：自变量x在指数得位置上，y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0； 当0<ａ<1时,函数就就是递减函数,且y>0、 2、幂函数:自变量ｘ在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同得值，图像及性质就就是不一样得。 高中数学里面,主要要掌握a=-１、２、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。 3、ｙ＝８＾(-0、7)就就是一个具体数值，并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=８),当x＝-0、7时,y得值;或者将其瞧成：幂函数y=x^（-0、７)(a=－0、7），当x=8时,y得值。 ? 幂函数得性质: 根据图象，幂函数性质归纳如下： （１)所有得幂函数在（0，+∞)都有定义,并且图象都过点（1，1); （2)当ａ＞0时，幂函数得图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、 特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸；当0＜ａ＜1时,幂函数得图象上凸；(3)当ａ<0时，幂函数得图象在区间(0,＋∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴ｘ正半轴。 指出：此时ｙ=ｘ０＝1;定义域为(－∞,０）∪（0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时，函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于ｘ轴得两条射线,但点(0，1)要除外。 思考讨论: (１)在幂函数y=xａ中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? （2)在幂函数ｙ=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时，函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。 函数（2）学案 主备人：_________ 编号：___005______ 【本课概论】 1、对数的定义：在方程N =x a 中，已知底数和幂，定义指数N log a x = 2、指数函数x a x f =) (，对数函数x x f a log )(=，幂函数a x x f =)( 【概念应用】 1、利用对数的降次特征化简大数据运算。 2、利用指数函数、对数函数和幂函数刻画数学模型。 【知识点及习题剖析】 对数 1、对数的定义与转化。 在N log a x =中，a 叫做底数，N 叫做真数，该式读作“x 等于N 以a 为底的对数” 其中a>0且a ≠1，真数N>0（若N=0或N<0则无意义） 指数式N =x a 与对数式N log a x =可相互转化。 例：将指数式64 1 26 = -，对数式416log 2 1-=分别转为对数式和指数式。 解：①6641 log 2-= ②16214 =??? ? ??- 剖析：指数式和对数式底数相等，真数与幂相等，指数与对数相等，不要搞混。 2、对数的运算法则（请自行用对数的定义推导）。 推导过程： 公式：①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log -log = ③M n M a n a log log = n M M a a log log n = ④x a a x a x a ==log log 例1：求 125log 3 log 30log 3 1022+-的值。 解：由公式②④③⑤得 原式=310log 3)5log 2(log 35log 310 log 1 3101010102==+=+? 剖析：合理运用公式。记住从对数里提为降次，放到对数里为升次。 *例2（应用）：已知5.145.23170log ,2416777216log 22== 求 5.2317016777216 的近似值。 解：5.95.14245 .2317016777216 log 2 =-=， 3.7144.110002 225.2317016777216105.9=≈==（实际724左右，误差2%以内） 剖析：合理运用对数及编制好的对数表可以极大地简化问题。 3、常用对数与自然对数。 定义：M M 10log lg =，称为常用对数。 M M e log ln =，称为自然对数，其中自然对数的底数e=2.718281828459…… 例1：求5100lg 解：5 2 5 100lg 100lg 5== 剖析：lg 和ln 只是一种简写的记法，对数公式完全可以套用。 例2：计算50lg 2lg )5(lg 2 ?+ 解： 1 2lg 5lg 2lg )5lg 2(lg 5lg 2lg 5lg 2lg )5(lg )15(lg 2lg )5(lg 原式22=+=++?=+?+=+?+= 剖析：遇到与lg 有关的问题，想尽一切办法将真数靠近10的幂（尤其是看到2和5）。 注意辨别：!15lg 2lg ,15lg 2lg ≠?=+ 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 一、指数函数 1．形如(0,0)x y a a a =>≠的函数叫做指数函数，其中自变量是x ，函数定义域是R ，值域是(0,)+∞． 2.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点(0,1)． 3.当1a >时，函数x y a =单调性为在R 上时增函数； 当01a <<时，函数x y a =单调性是在R 上是减函数． 二、对数函数 1． 对数定义： 一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，b a N =与log a b N =所表示的是,,a b N 三个量之间的同一个关系。 2. 对数的性质： （1）零和负数没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a = 这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。 3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N ②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 28…… ， log e N 简记为ln N ． 4.对数恒等式（1）log b a a b =；（2）log a N a N = 要明确,,a b N 在对数式与指数式中各自的含义，在指数式b a N =中，a 是底数，b 是指数，N 是幂；在对数式log a b N =中，a 是对数的底数，N 是真数，b 是以a 为底N 的对数，虽然,,a b N 在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求 对数log a N 就是求b a N =中的指数，也就是确定a 的多少次幂等于N 。 三、幂函数 1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
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