数学建模——水塔流量问题

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实验十四 水塔流量问题

【实验目的】

1．了解有关数据处理的基本概念和原理。

2．初步了解处理数据插值与拟合的基本方法，如样条插值、分段插值等。 3．学习掌握用MA TLAB 命令处理数据插值与拟合问题。

【实验内容】

某居民区有一供居民用水的圆形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间是无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约两小时。水塔是一个高12.2米、直径17.4米的正圆柱。按照设计，水塔水位降到约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作。

某一天的水位测量记录如表1所示，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。

【实验准备】

在生产实践和科学研究中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到的一批离散样点，

需要确定满足特定要求的曲线或曲面（即变量之间的函数关系或预测样点之外的数据）。如果要求曲线（面）通过所给的所有数据点（即确定一个初等函数通过已知各数据，一般用多项式或分段多项式），这就是数据插值。在数据较少的情况下，这样做能够取得好的效果。但是，如果数据较多，那么插值函数是一个次数很高的函数，比较复杂。如果不要求曲线（面）通过所有的数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函数，这就是数据拟合。函数插值和曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。 1．数据插值的基本方法 拉格朗日插值

若知道函数y ＝)(x f 在互异的两个点0x 和1x 处的函数值0y 和1y ，而想估计该函数在另一点ξ处的函数值，最自然的想法是作过点（0x ，0y ）和点（1x ，1y ）的直线y ＝)(1x L ，用)(1ξL 作为准确值的近似值，如果得到的结果误差太大，还可增加一点)(x f 的函数值，即已知y ＝)(x f 在互异的三个点0x ，1x 和2x 处的函数值0y ，1y 和2y ，可以构造过这三点的二次曲线y ＝)(2x L ，用)(2ξL 作为准确值)(ξf 的近似值。

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一般的，若已知y ＝)(x f 在互异的n ＋1个点0x ，1x ，…，n x 处的函数值0y ，1y ，…，

n y ，则可以考虑构造一个过这n ＋1个点的次数不超过n 的多项式)(x L n

)(x L n ＝m

x a 0＋1

1-m x

a ＋…＋x a m 1-＋m a （1）

通过所有n ＋1个点，即满足

)(k n x L ＝k y ，k ＝0，1，…，n （2） 然后用)(ξn L 作为准确值)(ξf 的近似值。这样构造出来的多项式)(x L n 称为)(x f 的n 次拉格朗日插值多项式或插值函数。 分段插值

多项式历来都被认为是最好的逼近工具之一，它插值光滑，但不具有收敛性，会随着节点数目增多而次数升高，一般不宜采用高次多项式（如m ＞7）插值，否则逼近的效果往往是不理想的，甚至发生龙格振荡（当节点数目n 不断增大时，)(x L n 在区间中部趋于)(x f ，但对于区间两端的x ，)(x L n 并不趋于)(x f ，也称龙格现象）。

在插值范围较小，用低次插值往往就能奏效。最直观的办法就是将各数据点用折线连接起来，这种增加节点，用分段低次多项式插值的化整为零的处理方法称作分段插值法，即不去寻求整个插值区间上的一个高次多项式，而是把区间划分为若干个小区间。如果 a ＝0x ＜1x ＜…＜n x ＝b （3） 那么分段线性插值公式为 )(x P ＝

11----i i i i y x x x x ＋i i i i y x x x x 1

1

----，1-i x ＜x ≤i x ，i ＝0，1，…，n （4）

分段线性插值通常有较好的收敛性和稳定性，算法简单，克服了龙格现象，其缺点是不如拉

格朗日插值多项式光滑。 样条插值

分段线性插值函数在节点的一阶导数一般不存在，且不光滑，这就导致了样条插值函数的提出。在机械制造、航海、航空工业中，经常需要解决下列问题：已知一些数据点（0x ，

0y ），（1x ，1y ），（n x ，n y ），如何全部通过这些数据点作一条比较光滑的曲线呢？

绘图员解决了这一问题，首先把数据描绘在平面上，再把一根富有弹性的细直条（称为样条）弯曲，使其一边通过这些数据点，用压铁固定其形状，沿样条边绘出一条光滑的曲线，往往要用几根样条，分段完成上述工作，同时也应让连接点处保持光滑。对绘图员用样条画出的曲线，进行数学模拟，就导出了样条函数的概念。如今已经成为了一个应用极为广泛的数学分支。现在数学上所说的样条，实质上指分段多项式的光滑连接。

设有区间［a ，b ］的一个划分如（3）式，称分段函数)(x S 为k 次样条函数，若它有：

（1）)(x S 在每个小区间上的次数不超过k 多项式； （2）)(x S i ＝i y

（3）)(x S 在区间［a ，b ］上有k －1阶连续的导数；

用样条函数作出的插值称为样条插值，工程上广泛采用三次样条插值。 2．曲线拟合的基本方法

曲线拟合问题是指：已知平面上n 个点（i x ，i y ），i ＝0，1，…，n ，i x 互不相同，寻求函数y ＝)(x f ，使)(x f 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，其基本思路是，令

)(x f ＝)(11x r a ＋)(22x r a ＋…＋)(x r a m m （5） 其中)(x r k 是事先选定的一组函数，系数k a （k ＝0，1，…，m ,m

∑=-n

i i

x f 1

2

i

)

y )(( （6）

达到最小。这里的建模原理实质上与实验七中的回归分析是一致的。

3．数据插值与拟合的MATLAB命令

对于多项式插值和拟合，有一个方便的方法

对于一维和二维插值，其命令格式如下

对于线性最小二乘拟合，用得较多的是多项式拟合，使用前面所讲的polyfit命令；若要寻求f（x）任意的非线性函数，则称为非线性最小二乘拟合，MATLAB提供了两个求解命令：curfit和leastsq。二者都要事先定义M－函数文件，但定义方式稍有不同：

【实验方法与步骤】

1．引例问题的分析

流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。

水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为拟合的原始数据，我们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。我们可以考虑先用表中数据拟合水位～时间函数，

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然后对之求导即可得到各时段的流量。有了任意时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如由某一时段水位下降量乘以水塔的截面积（水塔截面积是常数S＝(17.4/2)2 ＝237.8（m2））就得到这一时段的用水量。这个数值可以还可以用来检验拟合效果。

流量是时间的连续函数，只取决于水位差，与水位本身无关，与水泵是否工作无关。按照Torricelli定律从小孔流出的液体的速度正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最高

10＝1.15，可以和最低水位分别为10.8米和8.2米（设出水口的水位为0），因为2.8/8.

忽略水位对流速的影响。简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的）。

水泵第1次供水时段为t＝9.0到t＝11.0（小时），第2次供水时段为t＝20.8到t＝23.0（小时）。这是根据最高和最低水位分别为10.8米和8.2米，及表1的水位测量记录作出的假设，其中前3个时刻直接取自实测数据（精确到0.1小时），最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，第2次供水时段应在记录的22.96小时之后不久结束）。水泵工作时单位时间的供水量大致为常数，这个常数应该大于单位时间的平均流量。

首先考虑拟合水位～时间函数，从表1测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段），和三个水泵不工作时段（简称第1时段t＝0到t＝8.97，第2时段t＝10.95到t＝20.84，第3时段t＝23以后）。对第1、2时段的测量数据可直接分别作多项式拟合，得到水位函数。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般在3～6次。由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出较好的拟合。

接着确定流量～时间函数，对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3时段流量包含在第2供水时段内。

最后一天总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段（将第3时段包含在第2供水时段内）用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分再乘以水塔截面积得到。

2．MATLAB命令求解

拟合第1、2时段的水位，并导出流量，t，h为时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），程度代码如下：

>> t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91];

>> h=[968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018];

>> c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);%用3次多项式拟合第1时段的水位

>> a1=polyder(c1);%对拟合的多项式求导数得到第1时段流量

>> tp1=0:0.1:9;%对第1时段的时刻进行划分

>> x1=abs(polyval(a1,tp1));%计算第1时段各时刻的流量

类似地，可计算第2时段各时刻的流量。

>> c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3);

>> a2=polyder(c2);

>> tp2=11:0.1:20.8;

>> x2=abs(polyval(a2,tp2));

在第1供水时段（t＝9～11）之前（即第1时段）和之后（即第2时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合水泵第1供水时段的流量。为使流量函数在t＝9和t＝11连续，我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下：

>> xx1=abs(polyval(a1,[8 9]));

>> xx2=abs(polyval(a2,[11 12]));

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>> xx12=[xx1,xx2];

>> c12=polyfit([8 9 11 12],xx12,3);%拟合水泵供水时段的流量函数

>> tp12=9:0.1:11;

>> x12=polyval(c12,tp12); %计算第1供水时段各时刻的流量

在第2供水时段之前取t＝20，20.8两点的流水量，第3时段仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量：

>> dt3=diff(t(22:24));%最后3个时刻的两两之差

>> dh3=diff(h(22:24));%最后3个水位的两两之差

>> dht3=-dh3./dt3;%%用差分计算t（22）和t（23）的流量

>> t3=[20 20.8 t(22) t(23)];%取第2时段20，20.8两点和第3时段23.88，24.99两点

>> xx3=[abs(polyval(a2,t3(1:2))),dht3];取第2时段20，20.8两点和第3时段23.88，24.99两点的流量

>> c3=polyfit(t3,xx3,3)%拟合出第2水泵供水时段的流量函数

>> tp3=20.8:0.1:24;

>> x3=polyval(c3,tp3);%输出第2供水时段（外推到t＝24）各时刻的流量求第1、2时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量。虽然诸时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析地算出，这里仍可用数值积分计算：

>> y1=0.1*trapz(x1)%第1时段用水量，0.1为积分步长

y1 =

146.1815

>> y2=0.1*trapz(x2) %第2时段用水量

y2 =

258.0441

>> y12=0.1*trapz(x12) %第1水泵供水时段用水量

y12 =

50.3990

>> y3=0.1*trapz(x3) %第2水泵供水时段用水量

y3 =

74.9138

>> y=(y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01%总用水量为水位差乘以水塔截面积，0.01是因为流量单位为厘米

y =

1.2592e+003

【结果分析】

计算出来的各时段用水量可以用测量记录来检验，y1可用第1时段水位测量下降高度为968－822＝146来检验，类似地，y2用1082－822＝260来检验。

供水时段流量的一种检验方法如下：供水时段用水量加上水位上升值260是该时段泵入的水量，除以时间长度得到水泵的功率（单位时间泵入水量），而两个供水时段的功率应大致相等。第1、2时段水泵的功率计算如下：

>> p1=(y12+260)/2

p1 =

155.1995

>> tp2=20.8:0.1:23;

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>> xp2=polyval(c3,tp2);

>> p2=(0.1*trapz(x3)+260)/2.2

p2 =

152.2335

可以看到，两次水泵泵水的功率差别不大。下面是水塔一天的流量曲线图：

图14.1 当取三次多项式拟合的流量曲线图

由图14.1我们可以看到，流量曲线与原始记录基本上相吻合，但在第1时段和第1泵水时段的交接处曲线不太光滑，这说明我们采用3次曲线通过4点的做法不够好，应该多取几点进行拟合。0点到10点很流量很低，10点到下午3点即中午时间段是用水高峰期。

【练习与思考】

1．假定某天的气温变化见下表，试找出这一天的气温变化规律：

2．在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度T 和压力P 下的导热系数

K 。下面是实验得到的一组数据：

试求T ＝99（℃）和P ＝10.3（1032

/m kN ）下的导热系数。

3．下表给出了某一海域以码为单位的直角坐标为X 、Y 的水面一点处以英尺为单位的水深Z ，水深数据是在低潮时测得的。船的吃水深度为5英尺，问在矩形区域（85200）×（－40150）里，哪些地方船要避免进入。

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数学建模专题方法总结

最短路问题、公路连接问题、指派问题、中国邮递员问题、推销员问题、旅行商问题、运输问题 上述问题有两个共同的特点： 一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化问题； 二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构称为网络。 与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化问题。所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。

离散数据的处理可用插值、拟合。 插值：已知某些离散点的函数值，构造一个简单的函数通过所有离散点，可求离散点区域内其他中间点的值。若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题。 拟合：不要求通过所有数据点，可预测以前的值。若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。

元法建模3用模拟近似法建模。 微分方程数值解求近似解。 有限差分法--------偏微分方程的一种数值解法

非线性------曲线线性-------直线

预测方法总结：1回归拟合预测------最小二乘法（数据较多、不能太多也不能太少、适合中 等数据量的问题） 2灰色预测（小样本的预测，数据量少）需做数据预处理 3模糊数学预测

模糊数学是研究和揭示模糊现象的定量处理方法。 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择 模糊聚类分析--------对所研究的事物按一定标准进行分类。对客观事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计的一种分类方法。 模糊模式识别------已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪一类模型。 模糊综合评判------从某一事物的多个方面进行综合评价 模糊线性规划-----将线性规划的约束条件或目标函数模糊化,引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题, 其最优解称为原问题的模糊最优解。

水塔水流量估计2009

实验水塔水流量的估计 实验目的 本次实验的主要目的是让学生会用数学软件进行插值计算并解决一些具体的实际问题。介绍一些经典的插值方法，包括拉格朗日插值法、埃尔米特插值法、分段插值法、三次样条插值法等等。 实验内容 1实验问题 美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量。许多社区没有测量流入或流出水塔的水量装置,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其误差不超过5%。更重要的是,当水塔中的水位下降到最低水位L 时水泵就启动向水塔输水直到最高水位H,期间不能测量水泵的供水量。因此,当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和用水量之间的关系。水泵每天输水一次或两次,每次约二小时。 试估计任何时刻(包括水泵正在输水时间)从水塔流出的水流量f(t),并估计一天的总用水量。已知该水塔是一个高为40英尺（ft），直径为57英尺(ft)的正圆柱，表12.1给出了某个小镇一天水塔水位的真实数据，水位降至约27.00ft水泵开始工作,水位升到35.50ft停止工作。(注：1英尺（ft）=0.3024米（m）) 2 问题分析 流量是单位时间内流出水的体积,由于水塔是正圆柱形,横截面积是常数,所以在水泵不工作时段,流量很容易根据水位相对时间的变化率算出。问题的难点在于如何估计水泵供水时段的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量经插值或拟合得到。作为用于插值或拟合的原始数据,我们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。这些流量大体上可由两种方法计算,一是直接对表12.1中的水量用数值微分算出各时段的流量,用它们拟合其它时刻或连续时间的流量;二是先用表中数据拟合水位—时间函数,求导数即可得到连续时间的流量。 有了任何时刻的流量,就不难计算一天的总用水量。其实,水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到,由表12.1中下降水位乘以水塔的截面积就是这一时段的量这

第十一讲 估计水箱水流量模型

第十一讲估计水箱水流量模型 一、问题的提出 随着社会和经济的不断发展，环境和资源问题日益突出，水便是其中的主要问题之一。1997年联合国水资源会议曾郑重向全世界发出警告：“水，不久将成为继石油危机之后的下一个社会危机”。我国是一个缺水的国家，人均水资源拥有量仅为2150m3/a（按13亿人计），不到世界人均水平的四分之一，排在世界第109位。特别是“三北”（东北、华北和西北）地区和经济发达的沿海地区，水的供需矛盾已十分突出。有关资料表明，我国每年因缺水而

影响工业产值已达2300多亿元。预计到本世纪末，全国年总需水量将达到700亿m3，而缺水量也将达到70亿m3，水资源短缺已成为制约我国经济和社会发展的重要因素。 某些地区的用水管理机构为了达到节约用水的目的，需估计公众的用水速度（单位是G/h）和每天总用水量的数据。现在许多地方没有测量流入或流出水箱流量的设备,而只能测量水箱中的水位（误差不超过5%）。当水箱水位低于某最低水位L时，水泵抽水，灌入水箱内直至水位达到最高水位H为止，但是也无法测量水泵的流量，因此在水泵启动时不易建立水箱中水位和水泵工作时用水量之间关系。水泵一天灌水1～2次，每次约2h。试估计在任意

法测量水泵的流量，因此在水泵启动时不易建立水箱中水位和水泵工作时用水量之间关系。水泵一天灌水1～2次，每次约2h。试估计在任意时刻(包括水泵灌水期间)流出水箱的流量，并估计一天的总用水量。 表1给出了某镇中某一天的真实用水数据，表中测量时间以秒为单位，水位以E为单位。例如3316s以后，水箱中的水深降至31.10E时，水泵自动启动把水输入水箱；而当水位回升至35.5E时，水泵停止工作。 本问题中使用的长度单位为E(=30.24cm）;容积单位为G(=3.785L(升))。水箱为圆柱体，其直径为57E.

数学建模——水塔流量问题

实验十四 水塔流量问题 【实验目的】 1．了解有关数据处理的基本概念和原理。 2．初步了解处理数据插值与拟合的基本方法，如样条插值、分段插值等。 3．学习掌握用MATLAB 命令处理数据插值与拟合问题。 【实验内容】 某居民区有一供居民用水的圆形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间是无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约两小时。水塔是一个高米、直径米的正圆柱。按照设计，水塔水位降到约米时，水泵自动启动，水位升到约米时水泵停止工作。 某一天的水位测量记录如表1所示，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 表1 水位测量启示录（ 0101001111012012)(2x L )(2ξL )(ξf y )(x f n 0x 1x n x 0y 1y n y n n )(x L n )(x L n m x a 011-m x a x a m 1-m a n )(k n x L k y k n )(ξn L )(ξf )(x L n )(x f n m n )(x L n )(x f x )(x L n )(x f a 0x 1x n x b ) (x P 11----i i i i y x x x x i i i i y x x x x 1 1 ----1-i x x i x i n 0x 0y 1x 1y n x n y a b )(x S k )(x S k )(x S i i y )(x S a b k n i x i y i n i x y )(x f )(x f )(x f )(11x r a )(22x r a )(x r a m m )(x r k k a k m m n k a Q ∑=-n i i x f 1 2 i ) y )((

水塔流量问题

本科生课程设计报告 实习课程数值分析 学院名称管理科学学院 专业名称 学生姓名 学生学号 指导教师 实验地点 实验成绩 二〇一六年六月二〇一六年六月

估计水塔的水流量 摘要 水塔流量的估计是一个较为经典的数学建模问题，本问题最大的困难在于不知泵启动时水位的变化和向外水流的速度.解决该问题，先确定近似流速，利用中点数值求导公式计算出每个时间点出的流速，再利用插值与拟合计算出流速与时间的函数，对0到24小时积分可得总用水量，这是第一种方法.第二种方法，水泵没有开动时利用高度差计算用水量，水泵开动时利用积分，这样计算出的结果较为准确，2种方法比较，可得出误差. 关键词：中点数值求导；插值与拟合；积分

目录 第1章前言 (1) 内容及要求 (1) 研究思路及结构安排 (2) 第2章模型建立与求解 (3) 模型假设 (3) 确定近似流速 (3) 确定水泵启动时的流量及总流量曲线 (4) 确定总用水量 (4) 第3章算法步骤 (6) 中点数值求导函数步骤及流程图 (6) 三次样条插值函数步骤及流程图 (7) 第4章算法实现 (7) 程序总体结构 (7) 源程序清单 (8) 程序运行 (9) 第5章误差分析 (12) 第6章模型的评价和改进 (13) 优点 (13) 缺点 (13) 模型的改进方向 (13) 参考文献 (13)

第1章前言 内容及要求 某地的用水管理机构要求各社区提供各个时刻的用水率以及每天所用的总用水量。但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其误差不超过%。更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到最低水位L时，水泵就自动启动向水塔重新充水直到最高水位H时水泵自动停止，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中水位与水泵工作时的用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约二小时。下表为某地一天中的真实的数据。 表1某天水塔水位测量记录 时刻t（秒）0 3316 6635 10619 13937 17921 21240 水位（0.01英尺）3175 3110 3054 2994 2947 2892 2850 时刻t（秒）25223 28543 32284 35932 39332 39435 43318 水位（0.01英尺）2795 2752 2697 水泵启动水泵启 3550 3445 动 时刻t（秒）46636 49953 53936 57254 60574 64554 68535 水位（0.01英尺）3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 时刻t（秒）71854 75021 79254 82649 85968 89953 93270 水位（0.01英尺）2767 2697 水泵启动水泵启动3475 3397 3340 水塔是一个高40英尺、直径57英尺的圆柱。按照设计，水塔水位降至约L=27英尺时，水泵自动启动加水；当水位升高到约H=35.5英尺米时，水泵自动停止工作。 试估计在任何时刻（包括水泵正在供水时）水从水塔流出的流量f(t)，并估计一天的总用水量。

估计水塔用水量

估计水塔流量实验报告 姓名:祁华东 学号：110714220 班级：11级测绘工程（2）班 指导老师：刘利斌

估计水塔流量实验报告 一．问题的提出 某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时. 水塔是一个高12.2m ，直径17.4m 的正圆柱．按照设计，水塔水位降至约8.2m 时，水泵自动启动，水位升到约10.8m 时水泵停止工作． 表 1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量． 表1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动） 二．问题分析 流量是单位时间流出水的体积，由于水塔是圆柱形，横截面积是时刻(h) 水位(cm) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 时刻(h) 水位(cm) 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 时刻(h) 水位(cm) 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 866 843 822 // // 1059 1035 1018

水塔水流量估计问题

水塔水流量估计问题 一．问题描述 某居民区有一供居民用水的园柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量， 但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量． 通常水泵每天供水一两次，每次约两小时. 水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正园柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作． 表1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量． 表1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动） 二．流量估计的解题思路

1.拟合水位~时间函数 测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段），和3个水泵不工作时段（以下称第1时段t=0到t=8.97，第2次时段t=10.95到t=20.84和第3时段t=23以后）。 对第1、2时段的测量数据直接分别作多项式拟合，得到水位函数．为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般在3~6．由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出较好的拟合。 2.确定流量~时间函数 对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3时段流量包含在第2供水时段． 3.一天总用水量的估计 总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。 三．算法设计与编程 1、拟合第1时段的水位，并导出流量 设t ，h 为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第1时段各时刻的流量可如下得： 1） c1=polyfit （t （1：10），h （1：10），3）； %用3次多项式拟合第1时段水位，c1输出3次多项式的系数 2）a1=polyder （c1）； % a1输出多项式（系数为c1）导数的系数 3）tp1=0：0.1：9； x1=-polyval （a1，tp1）；% x1输出多项式（系数为a1）在tp1点的函数值（取负后边为正值），即tp1时刻的流量 4）流量函数为： 1079 .227173.22356.0)(2 -+-=t t t f

估计水塔水流量的求解模型

估计水塔水流量的求解模型 摘要 由所给的题目可知，本问题是一个关于如何计算居民用水的问题，由题目给出的表格，可知不同时刻的水位，根据所要求的不同时刻水位的不同入手，此计算问题就可以转化为插值或拟合问题。这里主要考虑采用插值的方法，可以利用MATLAB软件进行插值和曲线拟合计算并解决一些具体的实际问题。根据题目建立模型并采用插值的方法进行求解，推算出任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 关键词：用水规律与水泵的工作功率原始数据用水规律与水泵的工作功率 一、问题重述 1.1基本情况 某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 已知水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。 1.2 所要解决的问题 现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率。按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。 可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率。表1是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有4个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录(表

中用符号//表示)。所要解决的问题就是，要估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 表1水位测量记录（符号//表示水泵启动） 二、问题背景 1991年的美国大学生数学建模竞赛A题(AMCM1991A),由于它是水库调度、自来水管理、公共场所的人流量估计等问题的代表,因此有许多文献对其进行了研究,但一般都是采用差分与拟合的方法。而由于居民何时用水是无法准确的预报的,可能引起的水位的变化是随机事件,因此,可以以水容量作为随机变量,建 立一个随机数学模型,不仅可以给出了水塔流量函数,同时还可以讨论水容量函 数的数学期望。

MATLAB--水塔流量的估计

MATLAB--水塔流量的估计

水塔水流量的估计 摘要:数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。本文采用曲线拟合的方法，并利用数学软件MATLAB对水塔流量进行计算，计算结果与实际记录基本吻合。 关键词:建模，流量，拟合，MATLAB 1.问题重述 美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=4.54596dm3，美制单位下，1加仑=3.78533dm3）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内从水塔流出的流量() f t，并估计一天的总用水量。水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。 下表给出了某个小镇某一天的真实数据： 表1 某小镇某天的水塔水位（1m=3.281英尺） 时间（秒）水位 （英 尺） 时间 （秒） 水位 （英 尺） 时间 （秒） 水位 （英 尺） 0 31.75 35932 水泵工作68535 28.42 3316 31.10 39332 水泵工作71854 27.67 6635 30.54 39435 35.50 75021 26.97 10619 29.94 43318 34.45 79154 水泵工作13937 29.55 46636 33.50 82649 水泵工作17921 28.92 49953 32.67 85968 34.75 21240 28.50 53936 31.56 89953 33.89

水塔流量估计

水塔流量的估计 一.问题的提出 某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。 水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m 是正圆 柱。按照设计,水塔水位降至约8.2m 时,水泵自动 启动,水位升到约为10.8m 时水泵停止工作。 表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水 泵启动)，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。 表1：水位测量记录（时刻：h ，水位：cm ） 时刻 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 水位 968 948 931 913 898 881 896 852 839 822 时刻 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 水位 // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 时刻 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 水位 866 843 822 // // 1059 1035 1011 二、问题分析 流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数， 在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。 这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表1中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。 二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。 一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤 12.2m 17.4m 10.8m 8.2 m

MATLAB水塔流量的估计

水塔水流量的估计 摘要:数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。本文采用曲线拟合的方法，并利用数学软件MATLAB对水塔流量进行计算，计算结果与实际记录基本吻合。 关键词:建模，流量，拟合，MATLAB 1.问题重述 美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=，美制单位下，1加仑=）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在%以内。更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内从水塔流出的流量() f t，并估计一天的总用水量。水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。 下表给出了某个小镇某一天的真实数据： 表1

2.问题分析 数据的单位转换： 流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表2中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。二是先用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。 一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。下面我们用第二种方法处理。 有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表2可知从t=0到t=(h)水位下降了(m)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检查拟合的结果。 3.模型假设 供水时段的假设 水泵第1次供水时段为t=9到t=11(h),第2次供水时段为t=到t=23(h)。这是根据最低和最高水位分别是和及表2的水位测量记录作出的假设。其中前3个时刻取自实测数据（精确到）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，第2次供水时段应在有记录的之后不久结束）。水泵工作时单位时间的供水量基本为常数，这个常数大于单位时间的平均流量。流量是单位时间流出水的体积，这里假设

估计水塔的水流量

估计水塔的水流量 1、问题提出： 某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量） 和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m ，塔的直径为17.4m 。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m 时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m 时，水泵停止工作。 表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。 2、问题分析： 3、模型假设： 影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求； 水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小； 水泵充水速度水塔的水流量与水泵状态独立； 恒定，且远大于水塔的水流速度； 水流量曲线是一条连续光滑的曲线； 表1数据是准确的； 4、模型的建立与求解： （1）、 水塔中水的体积 表1 水塔中水位原始数据

其中， ，（r 为底面半径,d 为水面高度） （2）在Matlab 命令窗口直接运行(不包括未知三点) >>t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.958,23.880,24.986,25.908]; >>v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954.6,2572.9,2496.8,242 7.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005.3,1954.6,2572.9,2518.4,2462.0,2420.7]; >> scatter(t,v) 得到 水塔中水体积的散点图 0510******** （3）在Matlab 中编写脚本文件（不包括未知三点） 采用数值微分的一阶微商的两点公式（末位处近似为sd(n)=sd(n-1)) t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.958,23.880,24.986,25.908]; v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954.6,2572.9,2496.8,2427.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005d r V 2π=

水塔流量的估计

2014年数学建模竞赛题（必做题） 1、水塔流量的估计 某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。 下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 2、最佳广告费用及其效应 某装饰材料公司以每桶2元的价钱购进一批彩漆，为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王先生进行咨询。李经理认为，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算（见表1）。他问王先生广告有多大效应。王先生说：“投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。例如，投入3万元的广告费，销售增长因子为1.85，即销售量将是预期销售量的1.85倍。据经验，广告费与销售增长因子的关系有表2。”李经理听后，迫切想知道最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大，试经过计算给出解答。 表1 售价与预期销售量 售价（元）预期销售量（千桶）2.00 41 2.50 38 3.00 34 3.50 32 4.00 29 4.50 28 5.00 25 5.50 22 6.00 20 表2 广告费与销售增长因子广告费（元）销售增长因子0 1.00 10000 1.40 20000 1.70 30000 1.85 40000 1.95 50000 2.00 60000 1.95 70000 1.80 表1 水位测量记录（符号//表示水泵启动）

MATLAB数学建模估计水塔的水流量问题

估计水塔的水流量 自动化12K2 许杨旸 摘要：在估计某地区的用水速度和日总用水量的时候，在已知某时间t下的水位h，以及水塔直径，求出t时刻的水体积，由于没有具体函数，故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度，再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。最终，通过数值积分方法求出日用水总量I。 符号及含义：t：时刻；h：水位高度；D：水塔直径；V：水体积；dV：水流速度；I：日用水总量。 一、提出问题 某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。 表2给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。 表2 水塔中水位原始数据

二、求解问题 1、水塔中的水体积计算 求解的问题的关键是求解出用水的速度，即单位时间内的用水体积，由于水塔可以近似成圆柱体，所以水塔的体积V可近似成： V=π 4 D2? 式中D为水塔直径D=17.4m，h为水位高度。 其中，在三个无法得到水位的时刻，其水位高度用一个负数表示，即该时刻水位为负值，显然现实当中无法出现这样的情况，现在我们用-1表示其水位。 现在开始计算水塔的体积: 输入t=[0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 ... 7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 ... 12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 ... 19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908]; h=[9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686 ... 8.525 8.388 8.220 -1 -1 10.820 10.500 ... 10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662 ... 8.433 8.220 -1 10.820 10.591 10.354 10.180]; D=17.4；V=pi/4*D^2*h;

水塔问题

一 问题的重述 有一个几何形状不规则的水塔，水塔高12米, 上顶圆的半径为9米，下底圆的半径为3米，同时，测得水面高度h 与水平截面圆的半径r 有一定关系。 问题要求完成如下工作： （1） 建立数学模型求出不规则水塔的容积？ （2） 当水塔装满水，以后不再向水塔中放水。在水塔底部有一个截面为0.02 平方米的小孔，假设水流速度v 与水面高度h 有下面的关系，30.3v h = 单位：立方米/小时 求出水流完需要多少时间？ 二 问题分析 由于水塔是不规则的，为了能够求出水塔的容积，我们首先想到的就是微元法的思想，因为它是考察研究对象的有关变量在一个很小的时间内的变化情况，这种思想符合我们所要解决的问题，思路如下： （1） 将不规则水塔近似看成一个圆柱体，根据圆柱体体积公式: 2V r h π= （2） 通过上面的体积公式，我们可以运用微分法得到水塔的容积公式： 2 dV r dh π= （3） 此时，我们只要得到r 与h 的关系就可以求出水塔的容积，从而轻松解 决第一小问题。 对于第二小题求水流完所需要的时间，我们可以运用物理学和水力学知识进行求解，基本思路是考虑物理学中的能量变化和水力学中水从孔口流出的流量与通过孔口横截面水的体积和时间的关系。 在求解此题时，不由得让我们联想到如今社会上存在的一些问题，例如企业管理、企业培训等。一个企业好比一个水塔，这个企业的最大竞争力往往不只取决于某几个人的超群和突出，更取决于它的整体状况，取决于它是否存在某些突出的薄弱环节。当市场竞争不激烈时这一点恐怕还不明显，但随着市场竞争不断加剧，某些薄弱环节的瓶颈作用就会表现得越来越突出。正如水塔里的水的高度越高则其流速越快，尽管是一个0.02平方米的小孔，但水塔里的水却在每时每刻的减少，直至流完。也许一个公司的倒闭正因为那个不起眼的小孔，那个最薄弱的环节。 三 基本假设 问题（1）的模型 （1） 求解时不存在偶然失误； （2） 当水面高度小于5米时，认为截面圆的半径为一定值，3米。 问题（2）的模型 （1）水塔除底部有一个小孔外，其它地方完好； （2）水塔放水过程中，不会出现偶然事故； （3）t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h(t)。

水流问题数学建模

估计水塔的水流量 1问题提出 某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供．水塔高12.2米，直径17．4米．水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每大水泵工作两次．现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率．按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8．2米时，水泵自动启动加水；当水位升；高到一个最高水位，约10．8米时，水泵停止工作． 可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率．表4．2是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位 作功率． 2问题分析与数据处理 由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t)，又称水流速度．如果能够通过测量数据，产生若干个时刻的用水率，也就是f(t)在若干个点的函数值，则f(t)的计算问题就可以转化为插值问题．1．假设 1）水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响． 2）水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2小时 3）水塔为标准圆柱体． 考虑到假设2）结合表4．2中具体数据，推断得出 4）水泵第一次供水时间段为［8．967，10．954］，第二次供水时间段为「20．839，22．958］．

2．体积计算 水塔是一个圆柱体，体积为h D V 24 π = ．其中D 为底面直径，h 为水位高度。 水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数（微商）由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只有一个离散的函数值表4．3，因此考虑用差商代替微商，这也是离散反映连续的常用思想．为提高精度，采用二阶差商，即i i v t f 2)(-?= 具体地，因为所有数据被水泵两次工作分割成三组数据，对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能够采用中心差商，改用向前或向后差商． 中心差商公式

51 水塔水流量的估计 作业1

开放性实验（五） 一、实验题目：水塔水流量的估计 作业1 1. 一．问题分析 根据以上数据的形式和以往经验，适合采用线性拟合的方式进行数据处理。对第1、2、3未供水时段可直接进行用五次多项式进行拟合。对第1、2供水时段分别在两端各取两个点用前后时刻的流速拟合得到。结果可以用分段函数表示分为5段，分别是第一未供水时段，第一供水时段，第二未供水时段，第二供水时段，第三未供水时段。 得出流速之后再乘以水塔横截面积即得任何时刻与水塔流出水流量的关系，即流速与时间的关系。对流速进行分段积分并求和，即得一天的总水流量。 二．程序的设计与求解方法 1.数据的单位转换

水塔的横截面积为A=（17.4）^2*pi/4=237.0661(平方米)。 2.拟合水位——时间函数 （1）对第1未供水时段的数据进行拟合。 t=[0 0.92 1.84 2.90 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91] h=[ 9.68 9.48 9.31 9.13 8.98 8.81 8.69 8.52 8.39 8.22 10.82 10.50 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 10.59 10.35 10.18] f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5); tm1=0:0.1:9.0; y1=polyval(f1,tm1); plot(tm1,y1)

计算水塔水流量

一、课程设计目的： 1．训练学生灵活应用所学数值分析知识，独立完成问题分析，结合数值分析理论知识，编写程序求解指定问题。 2．初步掌握解决实际问题过程中的对问题的分析、系统设计、程序编码、测试等基本方法和技能； 3．提高综合运用所学的理论知识和方法独立分析和解决问题的能力； 4.训练用数值分析的思想方法和编程应用技能模拟解决实际问题，巩固、深化学生的理论知识，提高学生对数值分析的认知水平和编程水平，并在此过程中培养他们严谨的科学态度和良好的工作作风 二、课程设计任务与要求： 课程设计题目：计算水塔的水流量 【问题描述】 某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供，水塔高12.2米，直径17.4米。水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每天水泵工作两次，现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率。按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。 可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率，原始数据表是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录。 试建立合适的数学模型，推算任意时刻的用水率、一天的总用水量。 进一步：可自己增加一些新的计算功能。 【问题假设】 1.水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水 流速度的影响。 2.水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度。 3.水塔为标准的圆柱体。体积V=PI*D*D*h/4 其中D为底面直径，h为水位高。 4.水泵第一次供水时间段为[8.967,10.954]，第二次供水时间段为[20.839,22.958]。【实验数据】 原始数据（单位：时刻（小时），水塔中水位（米））

建模作业_水塔供水

《数学建模》课程作业题-10 第二章算法模型-水塔供水 将水塔供水的两个供水时段、两个用水时段的水流量、用水量程序实现，给出相关数据表。将所有程序和计算结果呈现在此文档中。 一、问题提出 某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。 水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆柱。按照设计,水塔水位降至约8.2m 时,水泵自动启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。 表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水泵启动 )，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。 表1：水位测量记录（时刻：h，水位：cm） 二、问题分析 流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱体，横截面积是常数，在水泵不工作的时候，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。 水泵供水时段的流量只能依靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合

的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准越好。 这些流量答题可利用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，由表1克制从 08.97h t =水位下降了968-822=146（cm ） ，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量，这个数值可以用来检查拟合的结果。 三、模型假设 （1）流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli 定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分 别是8.2m 和10.8m （设出口的水位为0） 1.151=≈，所以可忽略水 位对速度的影响。 （2）水泵第一次供水时段为9 11h t =，第二次供水时段为 20.823t =h ，这是根据最低和最高水位分别是8.2m 和10.8m 及表1的水位 测量记录做出的假设，其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h ），最后1个时刻来自每次供水约2h 的已知条件。 （3）水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间单位的平均流量。 （4）流量是对时间的连续函数。 （5）流量与水泵是否工作无关。 （6）由于水塔截面积是常数，22(17.4/2)237.8 (m )S π==，为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S 即可， 水位是时间的连续函数()h h t =； 水位对时间的变化率（流量）d () d h t h t '= ； 任何时刻的流量：( )()v t h t S '=-。 四、建立模型 （1）拟合水位-时间函数

《水塔流量估计》word版

水塔流量的估计 一.问题的提出 某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其 流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向 水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵 的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约Array 2h(小时)。 水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆 10.8m 柱。按照设计,水塔水位降至约8.2m时,水泵自动 启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。 表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水 泵启动)，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的 总用水量。 表1：水位测量记录（时刻：h，水位：cm） 二、问题分析 流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数， 在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计 水泵供水时段的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的 原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。 这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表1中的水位用数值微分算 出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。

二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。 一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。下面我们用第二种方法处理。 有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。 其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表1可知从 t=0到t=8.97(h)水位下降了968 –822=146(cm)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检查拟合的结果。 三、模型假设 1. 流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli (托里切利, 1608-1647, 意大利数学家、物理学家、气压计原理发现者)定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是 8.2m 和10.8m(设出口的水位为零), 1.151=≈,所以可忽略水位对速度的影响。 2. 根据最低和最高水位分别是8.2m 和10.8m 及表1的水位测量记录,假设水泵第1次供水时段为9t =到11t =,第2次供水时段为20.8t =到23t =。 其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h ）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，每2次供水时段应在有记录的22.96h 之后不久结束）。 3. 水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间的平均流量。 4. 流量是对时间的连续函数。 5. 流量与水泵是否工作无关。 6. 由于水塔截面积是常数, ()2 2217.4/2237.787S r m ππ==?≈,为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S 即可。 即：水位是时间的连续函数 ()h h t = 水位对时间的变化率(流量) () dh t h dt '= 任何时刻的流量： ()()V t h t S '=