2013年中考数学复习第九讲--相似形与三角函数

2013年中考数学复习

第九讲-----相似形与三角函数

课时1．相似三角形

【重点、难点】(1)了解相似三角形的定义；（2）理解相似三角形的判定方法；（3）理解相似三角形的性质

【课前热身】

1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为

________，面积之比为_________．

2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为

__________．

3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（ ）

A ．A D A E A

B A

C = B ．A E A

D B C B D = C ．

D E A E B C

A B

= D ．

D E A D B C

A C

=

4．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件：

（1）

''

''

AB BC A B B C =；（2）

''

''

BC AC B C A C =

；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．

如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B′C′的共有多少组（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【考点链接】

一、相似三角形的定义

三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法

1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．

2. 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）

则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．

3. 两个角对应相等的两个三角形__________．

4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．

5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质

1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．

2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．

3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，

周长之比也等于________比，面积比等于_________．

【典例精析】

例1 在△ABC 和△DEF 中，已知∠A=∠D ，AB=4，AC=3，DE=1，当DF 等于多少时，这两个

三角形相似．

例2 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，?要把它加工成正方

形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，?这个正方形零件的边长是多少？

例3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m

×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？

【中考演练】

1.（大连）如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为______________．

2. (杭州) 在R t A B C ?中, C ∠为直角, AB CD ⊥于点D ,5,3==AB BC , 写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_____.

（第1题） （第2题） （第3题）

B

C

3.( 常州) 如图，在△ABC 中,若DE ∥BC,

A D D B

＝

12

,DE ＝4cm,则BC 的长为 ( )

A.8cm

B.12cm

C.11cm

D.10cm

4. （无锡） 如图，已知E 是矩形A B C D 的边C D 上一点，BF AE ⊥于F ，

试证明A B F E A D △∽△．

课堂小结：(1)了解相似三角形的定义；（2）理解相似三角形的判定方法；（3）理解相似三角形的性质

课时2 锐角三角函数 【课前热身】

1．（06黑龙江）在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA

＝23

，则AC 的长是（ ）

A

．3 C ．

45

D

2．Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值（ ）

A ．

2

1 B ．

2

2 C ．

2

3 D ．1

3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），点B （0，－4），则cos O A B ∠ 等于_______． 4．

?

+?30sin 130cos =____________．

【考点链接】

1．sin α，cos α，tan α定义 sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值

【典例精析】

例1 在Rt △ABC 中，a ＝5，c ＝13

，求sinA ，cosA ，

tanA ．

例2 计算:4sin 304560?-?+?．

例3 等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，求底角∠B 的四个三角函数值．

α a

b c

【实战演练】

1.（扬州）正方形网格中，A O B ∠如图放置，则cos A O B ∠的值为（ ）

A

．

5

B

．

5

C ．

12

D ．2

2.（连云港）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h =6m ，迎水斜坡AB =10m ，斜坡的坡角为

α，则tan α的值为（ ）

A ．

5

3 B ．

5

4 C ．

3

4 D ．

4

3

3.（辽宁）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是（ ）

A .m

)233

35(

+ B .m )2

335(+ C .

m

3

35 D .4m

4.

（雅安）计算1

2cos 60|1(2tan 30)5-??+-

--+ ?

??

的值为__________________.

5.（丽水）如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离A C =3米，3cos 4

B A

C ∠=

，则梯子A B

的长度为 米．

6.（20新疆）如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后， 经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．

7.（20沈阳）如图所示，某河堤的横断面是梯形A B C D ，BC AD ∥，迎水坡A B 长13米，

且12tan 5

B A E ∠=

，则河堤的高B E 为 米．

8.（成都）如图，甲、乙两栋高楼的水平距离B D 为90米，从甲楼顶部

C

点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30°，测得乙楼底部B 点的俯角β

为60°，求甲、乙两栋高楼各有多高？ （计算过程和结果都不取近似值）

A B

O

B

A

B

C

B

C

D

E

A

9.（安徽）如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲乙两人分别在相距8米的A、B两处测得D

点和C点的仰角分别为45°°和60°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE=15米，求这块

广告牌的高度．(

取 1.73，计算结果保留整数)

10.（20贵阳）如图，某拦河坝截面的原设计方案为：A H∥BC，坡角74

ABC

∠= ，坝顶到坝脚的距

离6m

A B=．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55o，由此，点A需向右平移至点D，请

你计算AD的长（精确到0.1m）．

11.（20荆州）载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在

古城荆州传递，途经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45o方向，在B地正北方向，在C地北偏西60o方向．C地在A地北偏东75o方向．B、D

两地相距2km．问奥运圣火从A地传到D地的路程大约是多少？（最后结果

．．．．保留整数，参考数

1.7

≈≈）

【中考演练】

1．(威海) 在△ABC中，∠C ＝90°，tan A ＝1

3，则sin B ＝( )

第19题图

E

D

C

B

A

450600

A

B C

D H

55

o

A

10

B ．

23

C ．

34

D

10

2．若3cos 4

A =，则下列结论正确的为（ ）

A ． 0°< ∠A < 30°

B ．30°< ∠A < 45°

C ． 45°< ∠A < 60°

D ．60°< ∠A < 90°

3. (连云港) 在R t ABC △中，90C ∠= ，5A C =，4B C =，则tan A = ．

4.（济宁） 计算

45tan 30

cos 60sin -的值是 .

5.

已知3tan 0 A -=∠A =则 ． 6．△ABC 中，若（sinA －

12

）2＋

|

2

－cosB|＝0，求∠C 的大小．

课时3 解直角三角形及其应用

【课前热身】

1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，

这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）

（第1题） 2. 某坡面的坡度为1

_______度．

3．(07山东)王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( )

A ．150m

B ．3

50

m C ．100 m D ．3

100

m

【考点链接】

1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的类型： 已知____________；已知___________________．

3．如图（1）解直角三角形的公式：

（1）三边关系：__________________．

（2）角关系：∠A+∠B ＝_____，

（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．

cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．

4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．

5．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． 6．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．

（图2）

（图3） （图4）

【典例精析】

例1 Rt A B C ?的斜边AB ＝5, 3cos 5

A =

，求A B C ?中的其他量.

例2 (十堰) 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点

A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达

B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．

例3（辽宁）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下

底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示） 求：（1）渠面宽EF ；

（2）修200米长的渠道需挖的土方数．

【中考演练】

1．在R t A B C ?中，090C ∠=，AB ＝5，AC ＝4，则 sinA 的值是_________.

2．(乌兰察布)升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视

O A B C

线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______.

，结果精确

1.73

到0.1m）

3．（云南）已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号)

﹡4．（哈尔滨）如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）