2013年高考真题——理科数学(陕西卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项:

1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 设全集为R ,

函数()f x M , 则C M R 为

(A) [－1,1]

(B) (－1,1)

(C) ,1][1,)(∞-?+∞-

(D) ,1)(1,)(∞-?+∞-

2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61

3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·

”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14

5. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．

信号的概率是

(A)14

π

-

(B)

12

π

-

(C) 22π

- (D) 4

π

6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是

(A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =

(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z =

(D) 若12||||z z =, 则2122z z =

7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形

状为

(A) 锐角三角形

(B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

8.

设函数6

1,00.,

()x x f x x x ???

-

≥???

? , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15

9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是

(A) [15,20] (B) [12,25]

(C) [10,30] (D) [20,30] 10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有

(A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ]

(C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 双曲线22116x y m

-=的离心率为5

4, 则m 等于 .

12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .

13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则

2x －y 的最小值为 . 14. 观察下列等式: 211=

22123-=- 2221263+-=

2222124310-+-=- …

照此规律, 第n 个等式可为 .

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)

A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .

B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内

一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .

C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 . 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)

x

已知向量1

(cos ,),,cos2),2

x x x x =-=∈a b R , 设函数()·

f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π??

????

上的最大值和最小值.

17. (本小题满分12分)

设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;

(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.

18. (本小题满分12分)

如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD

, 1AB AA ==

1

A

(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;

(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.

19. (本小题满分12分)

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分13分)

已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ) 已知点B (－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.

21. (本小题满分14分)

已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a

()()2f a f b +与()()

f b f a b a

--的大小, 并说明理由.