09高数(B)II试卷(A)答案 (2)

《高等数学（B ）Ⅱ》试卷 第1页 共4页

东莞理工学院（本科）试卷（A 卷）答案

一、试解下列各题（共20分 每题4分）

1． 解：x

t

e x t x sin d lim

2

?→x

e

x x cos lim

2

0→==1．

（2分） （2分）

2． 解：

?

∞

+1

3

d 1x x +∞

???

???-=1

221x 21

=． （2分） （2分）

3．解：y

xye x

z 2=??，

y e y x y x z )1(22+=???． ．解：因为n

n n n )]

1[ln(1

lim +∞

→)1ln(1lim +=∞→n n 0=，所以原级数收敛． ． 解：特征方程0342

=+-r r ，特征根3,121==r r ，

（2分） 通解x x e C e C y

321+=，（21,C C 为任意常数）． （2分）

30分 每题5． 解：

x x x d )cos( 0

2

?

π

)(d cos 2

1

20 2x x ?

=

π

π02|sin 21x =2

sin 2

1π=

． 解：设z e yz x x z y x F --+=22),,(2，

22+=x F x ，z z e y F --=2，

则

z z x e

y x F F x z ++=-=??22

2 ． 解：

??

D

xy

y x xe d d ?

?=1

10

d d y x

e x xy

?

?=1

10

)d(d xy e x xy

[]?=

10

1

d x

e xy

[]?-=

10

d 1x e

x

2-=e

《高等数学（B ）Ⅱ》试卷 第2页 共4页

4． 解：因为n

n n a a 1lim +∞→!1010)!1(lim 1n n n

n n ?+=+∞→+∞=，所以原级数发散． （3分） （1分） （1分） 5. 解：因为

2)12()1(+-n n 2)12(1+=n 2

41n

<，（3分） 而级数

∑

∞

=1

2

41

n n

收敛， （1分） 所以原级数绝对收敛．（1分） 6.解：为一阶线性非齐次微分方程，

)d )((d )(d )(C x e x Q e y x x p x

x p +=???- （1分）

)d s i n (d 1

d 1C x

e x

x e x x x x

+=??

?

-

（1分）

)d sin (ln ln C x e x

x e

x x

+=?

- （1分）

)d sin (1C x x x +=?

)cos (1

C x x

+-=，

（2分） 三、试解下列各题（共30分 每题6

1． 解：

x xe x

d 1

?

-)(d 1

x e x --=?

（2分）

x e e

x x x d 1

1

?

--+

-= （2分）

e

e e x 2

1|110

-=--=- （2分） 2． 解：x

v

v z x u u z x z ????+

????=?? （1分） y ue e v v ?+?=1)1(2y xy e xy ++= （2分）

y

v v z y u u z y z ????+????=?? （1分） x ue e v v ?+?=1)1(2x xy e xy ++= （2分）

姓名: 学号: 系别: 年级专业:

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………密………………………………………………封………………………………………线………………………………………………………

《高等数学（B ）Ⅱ》试卷 第3页 共4页

3． 解：

??+D

y x y x d d )(??+=y

y x y x y 2

20

d )(d （2分）

?

+=2

02

2

d ]21[y xy x y y （2分） ?

=2

2d 8

7y y 3

7

|247203==

y （2分） 4．解：收敛半径 n

n R n n n 3)

1(3lim 1+=+∞→3=， （2分） 当31=-x ，即4=x

时，级数

∑

∞

=1

1

n n

发散， （1分） 当31-=-x ，即2-=x 时，级数

∑

∞

=-1

)1(n n

n

收敛， （1分） 故幂级数收敛域为)4,2[- （2分）

5．解：特征方程01342

=+-r r ， （2分）

特征根i r i r 32,

3221-=+=， （2分）

通解)3sin 3cos (212x C x C e y

x +=，

（21,C C 为任意常数） （2分） 四、（8分）

解：设利润为T ，有

,102054051y x y

y

x x y x R T --+++=--=

限制条件为.25=+

y x

令)25(1020540)

,,(-++--+++=

y x y x y

y

x x y x L λλ， （2分）

系别: 年级专业:

线 内 不 答 题 ) ………………封………………………………………线……………………………………

《高等数学（B ）Ⅱ》试卷 第4页 共4页

有,,02501)10(200,01)5(2002

2????

??

???=-+=+-+=??=+-+=??y x y y L

x x L λλ （3分） 有唯一驻点???==.

10,

15y x （2分）

依题意，唯一驻点就是最大值点．所以当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时，可使利润最大． （1分）

五、（6

解：求交点

?????==x y x y ，),1,1( ???

??

==2

1x x y ，),21,2( ??

?==x y x 2，)2,2( （2分） ?

-=21d ]1[x x x A 2ln 2

3)ln 21(2

12-=-=x x ．

（2分） （1分） （1分）

六、（6解：

)()(x f x f '=， （1分）

分离变量

x x f x f d )

()

(d =， （1分） 积分

?

?

=x x f x f d )

()

(d ， C x x f ln )(ln +=， （2分）

故 ,)(x Ce x f = C 为任意常数． （1分）

由

1)0(=f ，得1=C ， 所求函数为x e x f =)(．

（1分）