浙江省中考数学总复习 专题提升五 与圆有关的证明与计算

专题提升五 与圆有关的证明与计算

一、选择题

1．(2016·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连结BD ，AD ，若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D )

A ．15°

B ．30°

C ．60°

D ．75°

,第1题图) ,第2题图)

2．(2016·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)，与y 轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D )

A ．10

B ．8 2

C ．413

D ．241

3．(2016·昆明)如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，AB ⊥弦CD ，垂足为G ，EF 切⊙O 于点B ，∠A ＝30°，连结AD ，OC ，BC ，下列结论不正确的是( D )

A ．EF ∥CD

B ．△COB 是等边三角形

C ．CG ＝DG D.BC ︵的长为3

2

π

,第3题图) ,第4题图)

4．(2016·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( D )

A ．2π

B ．π C.π3 D.2

3

π

二、填空题

6．(2016·黔西南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，若CD ＝6，BE ＝1，则⊙O 的直径为__10__．

,第6题图) ,第7题图)

7．(2016·青岛)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝__62°__．

8．(2016·成都)如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的

半径OC ＝13，则AB ＝__39

2

__．

,第8题图) ,第9题图)

9．(2016·乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点C 为圆心，CB

的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD ︵

绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中

阴影部分的面积为__23－2π

3

__.

10．(2016·无锡)如图，△AOB 中，∠O ＝90°，AO ＝8 cm ，BO ＝6 cm ，点C 从A 点出发，在边AO 上以2 cm /s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5

cm /s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了__17

8

__s 时，以C

点为圆心，1.5 cm 为半径的圆与直线EF 相切．

三、解答题

11．(2016·丽水)如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.

(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连结CD ，求证：∠A ＝2∠CDE ；

(3)若∠CDE ＝27°，OB ＝2，求BD ︵

的长．

(1)证明：连结OD ，BD (图略)，∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ⊥BC ，即∠ABO ＝90°，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO ，∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO ，∴∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴AD 是半圆O 的切线． (2)证明：由(1)知，∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ，∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°，∴∠BDO ＝∠CDE ，∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO ，∴∠DOC ＝2∠CDE ，∴∠A ＝2∠CDE. (3)解：

∵∠CDE ＝27°，∴∠DOC ＝2∠CDE ＝54°，∴∠BOD ＝180°－54°＝126°，∵OB ＝2，∴BD

︵

的长＝126·π×2180＝75π.

12．(2016·绵阳)如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵

的中点，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F.

(1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若OF ＝4，求AC 的长度．

解：(1)DE 与⊙O 相切．证明：连结OD ，AD ，∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵

，∴∠DAO ＝∠DAC ，∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ，∴∠DAC ＝∠ODA ，∴OD ∥AE ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 与⊙O 相切． (2)连结BC 交OD 于H ，延长DF 交⊙O 于G ，由垂径定理可得：OH ⊥BC ，

BH ＝HC ，BG ︵＝BD ︵＝DC ︵，∴DG ︵＝BC ︵

，∴DG ＝BC ，∴OH ＝OF ＝4，∵OB ＝OA ，BH ＝HC ，OH ∥AC ，∴OH 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2OH ＝8.

13．(2016·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心的圆分别交x 轴的正

半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N.劣弧MN ︵的长为65π，直线y ＝－4

3

x ＋4与x 轴，y 轴分别

交于点A ，B.

(1)求证：直线AB 与⊙O 相切；

(2)求图中所示的阴影部分的面积．(结果用π表示)

(1)证明：作OD ⊥AB 于D ，如图所示：∵劣弧MN ︵的长为65π，∴90π×OM 180＝6

5

π， 解得

OM ＝125，即⊙O 的半径为125，∵直线y ＝－4

3x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，当y ＝0时，

x ＝3；当x ＝0时，y ＝4，∴A (3，0)，B (0，4)，∴OA ＝3，OB ＝4，∴AB ＝32

＋42

＝5，∵

△AOB 的面积＝12AB ·OD ＝12OA ·OB ，∴OD ＝OA ×OB AB ＝12

5

＝OM ，∴直线AB 与⊙O 相切． (2)

解：阴影部分的面积＝12×3×4－14π×(125)2＝6－36

25

π.

14．(2016·扬州)如图1，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，且ED ⊥AC.

(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；

(2)如图2，若线段AB ，DE 的延长线交于点F ，∠C ＝75°，CD ＝2－3，求⊙O 的半径和BF 的长．

解：(1)△ABC 是等腰三角形，理由是：如图1，连结OE ，∵DE 是⊙O 的切线，∴OE ⊥DE ，∵ED ⊥AC ，∴AC ∥OE ，∴∠1＝∠C ，∵OB ＝OE ，∴∠1＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等腰三角形；

(2)如图2，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，则得四边形OGDE 是矩形，∵△ABC 是等腰三角形，∴∠B ＝∠C ＝75°，∴∠A ＝180°－75°－75°＝30°，设OG ＝x ，则OA ＝OB ＝OE ＝2x ，AG ＝3x ，∴DG ＝OE ＝2x ，根据AC ＝AB 得：4x ＝3x ＋2x ＋2－3，∴x ＝1，∴OE

＝OB ＝2，在直角△OEF 中，∠EOF ＝∠A ＝30°，cos30°＝OE OF ，OF ＝2cos30°＝2÷32＝43

3，

∴BF ＝43

3

－2，⊙O 的半径为2.

中考数学-圆的切线证明方法

专题-------圆的切线证明 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M,求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. D ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,

∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD ， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线 例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 例3 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP . 求证：PC 是⊙O 的切线. C D

证明：连结OC ∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线. 二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例4 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足.

中考数学专题训练圆专题复习

——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d

中考数学总复习专题六圆的有关证明与计算试题新人教版

专题六圆的有关证明与计算 圆的切线的判定与性质 【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点． （1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明； （３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似 【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝ ＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵

2019年中考数学圆专题复习试卷含详解

2018-2019学年初三数学专题复习圆 一、单选题 1.下列说法，正确的是( ) A. 半径相等的两个圆大小相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 直径不一定是圆中最长的弦 D. 圆上两点之间的部分叫做弦 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 3.已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系是( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定 4.如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6.一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为（）。 A. B. C. D. 7.钝角三角形的外心在（） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的钝角所对的边上 D. 以上都有可能 8.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（） A. 5πcm B. 6πcm C. 8πcm D. 9πcm 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( ) A. 6π B. 9π C. 12π D. 15π 10.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD=OB，则∠DAC等于（）

深圳中考数学专题--圆

2017届深圳中考数学专题——圆 一．解答题（共30小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．

4．如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O 于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

6.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 8．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED． （1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线； （2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径． 9．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．

6.中考数学圆的综合证明题

中考复习——圆的综合证明题 1．如图，在Rt△ABC中， ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=1 2 ，求 AE AC 的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 4．如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点． （1）请直接写出∠COD的度数； （2）求AC?BD的值； 5．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B； （2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求tan∠CFE的值； 6．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．

（1）判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CD =15，BE =10，tanA=512 ，求⊙O 的直径． 7．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与OD 交于点F ，连接DF ， DC ．已知OA =OB ，CA =CB ，DE =10，DF =6． （1）求证：①直线AB 是⊙O 的切线；②∠FDC =∠EDC ； （2）求CD 的长． 8．如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别相 交于点E ，F ，连接AD 与EF 相交于点G ． （1）求证：AD 平分∠CAB （2）若OH ⊥AD 于点H ，FH 平分∠AFE ，DG =1． ①试判断DF 与DH 的数量关系，并说明理由； ②求⊙O 的半径． 10．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径， OD ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CF 于点E 、 D ，且D E =DC ． A B C D E F G H O

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）

中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)

圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△

△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△

△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．

中考数学圆专题练习

中考数学圆 专题练习-- 一、选择题 1.（2010年 湖里区 二次适应性考试）已知半径分别为5 cm 和8 cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ） A ．1 cm B ．3 cm C ．10 cm D ．15 cm 答案：C 2.（2010年教育联合体）如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下列结论 正确的个数是（ ） ①AD ⊥BC ，②∠EDA ＝∠B ，③OA ＝ 1 2AC ，④DE 是⊙O 的切线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：D 3.（2010安徽省模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若CE=2,则 ⊙O 中阴影部分的面积是（ ） A ．433π- B ．2 3π C ．2 23 π- D ．1 3 π 答案：A 4.（2010年重庆市綦江中学模拟1）.在直角坐标系中，⊙A 、⊙B 的 位置如图所示.下列四个点中，在⊙A 外部且在⊙B 内部的是（ ） A.（1，2） B.(2,1). C.(2,-1). D.(3,1) 答案C 5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm 的圆形纸片 第4题图 O D B C E A 第3题 A O B C D E

折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ） A ．2cm B ．3cm C ．32cm D ．52cm 答案C 6.（2010年广州市中考六模）、如果圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. 2 9cm π B. 2 18cm π C. 2 27cm π D. 2 36cm π 答案：B 7.（2010年广州市中考六模）如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ， 的度数为60°， 的度数为100°，则∠AEC 等于（ ） A. 60° B. 100° C. 80° D. 130° 答案：C 8.（2010年广西桂林适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝ 12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）． A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米 答案：A 9.（2010年广西桂林适应训练）如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD=30o ， 则∠A 的度数为（ ）．[来 A.30o B.45o C.60o D.75o 答案：C 10.（2010山东新泰）已知⊙O 1的半径为5cm ，⊙O 2的半径为3cm ，圆心距O 1O 2＝2，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 答案：D 11.（2010年济宁师专附中一模）如图，A B C D ，，，为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路 7题图 8题图 9题图

中考数学专题：圆.(学生版)

中考数学试题专题复习：圆 【学生版】 一、选择题 1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是 (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 A 、相交 B 、外切 C 、外离 D 、内含 3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点， 过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 A 、30° B 、60° C 、45° D 、50° 4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1， AB=AC=AD=2．则BD 的长为 A. 14 B. 15 C. 32 D. 23 5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O 1的半径是cm 2，⊙2的半径是cm 5，圆心距是cm 4，则两圆的位置关系为 A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切 6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点, 则线段OM 长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上 ，∠BOD=110°， AC∥OD，则∠AOC 的度数 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ， 如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为 A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 17．填空题 1.（天津3分）如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 ▲ 。

“中考数学专题复习 圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】

【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备

3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离）， 此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。

中考数学圆的证明讲义

【2017】23．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时． （1）求弦AC的长； （2）求证：BC∥PA． 【2016】23．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF ∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G． 求证： （1）FC=FG； （2）AB2=BC?BG．

【2014】23、（本题满分是8分） 如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB,且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C. (1)求证：AD平分∠BAC; (2)求AC的长。 A B D O C (第23题图)

【2013】23、（本题满分8分）如图，直线l 与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE 、AF,并分别延长交直线l 于B 、C 两点， （1）求证：∠ABC+∠ACB=0 90 （2）当⊙O 得半径R=5，BD=12时，求tan ACB 的值. 【2012】23．（8分）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ，MN ⊥AP ，垂足为N ． （1）求证：OM=AN ； （2）若⊙O 的半径R=3，PA=9，求OM 的长． （第23题图）

【2011】23．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，0 60B =∠,⊙O 是△ABC 外接圆，过点A 作的切线，交CO 的延长线于P 点，CP 交⊙O 于D (1) 求证：AP=AC (2) 若AC=3，求PC 的长 【2010】23．如图，在RT △ABC 中∠ABC=90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 与D 点，交AC 与E 点，连接BE （1）若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC 外界圆的半径

中考数学 圆的证明及计算

圆的证明与计算 1、如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积． 2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，求阴影部分的面积． 3、如图，以AB为直径作半圆O，点C为半圆上与A，B不重合的一动点，过点C作CD⊥AB 于点D，点E与点D关于BC对称，BE与半圆交于点F，连CE． （1）判断CE与半圆O的位置关系，并给予证明． （2）点C在运动时，四边形OCFB的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时∠AOC的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由．

4、已知：如图，△ABC中，内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE． （1）求证：BF与⊙O相切； （2）若BF=5，cosC=，求⊙O的半径． 5、如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B． （1）求证：DA是⊙O切线； （2）求证：△CED∽△ACD； （3）若OA=1，sinD=，求AE的长． 6、如图所示，AB为半圆O的直径，点D是半圆弧的中点，半径OC∥BD，过点C作AD 的平行线交BA延长线于点E． （1）判断CE与半圆OD的位置关系，并证明你的结论． （2）若BD=4，求阴影部分面积．

7、如图，△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）若∠C=30°，连接EF，求证：EF∥AB； （3）在（2）的条件下，若AE=2，求图中阴影部分的面积． 8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC=3，∠B=30°． ①求⊙O的半径； ②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

2018届中考数学复习专题题型(七)--圆的有关计算与证明

（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD ∽△CBE ； （2）求半圆O 的半径r 的长 ： 试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ， ∴CD ⊥OD ， ∴∠CDO=90°， ∵BE ⊥CD ， ∴∠E=90°=∠CDO ， 又∵∠C=∠C ， ∴△COD ∽△CBE ． （2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9， ∴22CE BE +=15， ∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC =，即15915r r -=， 解得：r= 458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质. 2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. （1）求证：DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.

(1)如图所示，连接OE，CE ∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED＝1 2 BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.

考点：圆切线判定定理及相似三角形 3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线． （1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：223AB AN -=， ∴B （32）． （2）连接MC ，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，

中考数学培优专题复习圆的综合练习题附详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4，

∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24． 2．已知 O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ，

[全]中考数学有关圆的证明与计算题型解析

中考数学有关圆的证明与计算题型解析 有关圆的证明与计算涉及到的主要知识点有圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、 特殊四边形的判定与性质、特殊三角形的性质、全等与相似三角形的判定与性质等． 本节主要对其相应的题型总结归纳如下： 类型一、切线的性质 【例题1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C， 过点C 作CE⊥AB，交⊙O 于点E，垂足为点D. (1) 求证：∠PCB＝∠BAC； (2) 过点B 作BM∥PC 交⊙O 于点M，交CD 于点N，连接AM . ①求证：CN＝BN； ②若cos P = 4/5 , CN = 5 , 求AM 的长 .

例题1图 【参考答案】 (1)证明：如解图1 所示，连接OC，交BM 于点F . 解图1 ∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC⊥PC . ∴∠PCO＝90°. ∴∠PCB＋∠BCO＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠ACO＋∠BCO＝90°.

∴∠PCB＝∠ACO. ∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠BAC. ∴∠PCB＝∠BAC. (2) 例题1图①证明： ∵BM∥PC， ∴∠CBM＝∠PCB. ∵CE⊥AB， ∴︵BC＝︵BE . ∴∠BAC＝∠BCE. ∵∠PCB＝∠BAC， ∴∠BCE＝∠PCB＝∠CBM.

∴CN＝BN. ②解： 例题1图∵BM∥PC， ∴∠MBA＝∠P. ∴cos ∠MBA＝cos P＝4/5 . 在Rt △BDN 中， cos ∠MBA＝BD / BN＝4/5，BN＝CN＝5，∴BD＝4. ∴CD＝CN＋ND＝8. 在Rt △OCD 中，设OC＝r， 则OD＝OB－BD＝r－4.

2021中考数学专题训练——圆 (解析版)

2021中考数学专题训练——圆 考点一 圆的有关概念及性质 1.(2018衢州,10,3分)如图,AC 是☉O 的直径,弦BD ⊥AO 于E,连接BC,过点O 作OF ⊥BC 于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF 的长度是?( ) A.3 cm B.6cm C. 2.5cm D.5cm 答案 D ∵AC ⊥BD,∴BE=DE=2 1BD=4 cm. 设☉O 的半径为r cm. 连接OB,则在Rt △BOE 中,r 2=42+(r-2)2,解得r=5. ∴CE=8 cm.∴BC=54 cm. 又∵OF ⊥BC,∴CF=2 1BC=52 cm, ∵OC=5 cm,∴OF=5 cm.故选D. 2.(2016杭州,8,3分)如图,已知AC 是☉O 的直径,点B 在圆周上(不与A,C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交☉O 于点E.若∠AOB=3∠ADB,则?( ) A.DE=EB B.?DE=2EB C.3DE=DO D.DE=OB 答案 D 连接OE,∠AOB=∠ADB+∠B=3∠ADB, ∴∠B=2∠ADB,∵OE=OB, ∴∠OEB=∠B=2∠ADB=∠ADB+∠EOC, ∴∠ADB=∠EOC,∴DE=EO,∴DE=OB.故选D. 3. (2019台州,14,5分)如图,AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线,点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为_______ . 答案 52° 解析 由题意得∠D=180°-∠ABC=116°, ∵点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上, ∴∠D=∠AEC=116°, ∴∠BAE=116°-64°=52°. ? 4.(2018杭州,14,4分)如图,AB 是☉O 的直径,点C 是半径OA 的中点,过点C 作DE ⊥AB,交☉O

中考数学专题训练圆的证明与计算

圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA ＝PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D. （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若PA＝4 5 PO，⊙O的半径为10，求线段PD的长. 第1题图(1)证明：如解图，连接OA、OB， 第1题解图∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP， ∴△OAP≌△OBP(SSS)， ∴∠OAP＝∠OBP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB为⊙O的半径，

(2)解：∵PA ＝4 5PO ，⊙O 的半径为10， ∴在Rt △AOP 中，OA ＝PO 2－（45 PO ）2＝10， 解得PO ＝ 503 ， ∴cos ∠AOP ＝AO OP ＝OD AO ， ∴OD ＝6， ∴PD ＝PO －OD ＝32 3 . 2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，且AD ＝DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连接DE . （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若cos C ＝3 5 ，AC ＝24，求直径AE 的长. 第2题图 (1)证明：∵AB ＝AC ，AD ＝DC ， ∴∠C ＝∠B ，∠DAC ＝∠C ， ∴∠DAC ＝∠B ， 又∵∠E ＝∠B ， ∴∠DAC ＝∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∴∠E ＋∠EAD ＝90°， ∴∠DAC ＋∠EAD ＝90°，

∴AE ⊥AC ， ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ， 第2题解图 ∵DA ＝DC ， ∴CF ＝1 2 AC ＝12， 在Rt △CDF 中，∵cos C ＝CF CD ＝3 5 ， ∴DC ＝20， ∴AD ＝20， 在Rt △CDF 中，由勾股定理得1622==CF CD DF －， ∵∠ADE ＝∠DFC ＝90°，∠E ＝∠C ， ∴△ADE ∽△DFC ， ∴AE DC ＝AD DF ， 即 AE 20＝16 20 ，解得AE ＝25， 即⊙O 的直径AE 为25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF ⊥BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求⊙O 的半径．

中考初三数学专题隐形圆

中考初三数学专题 隐形圆 辅助圆 模型一：“隐形圆”解点的存在性 模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点 在两段弧上. 1. 如图，已知线段AB. （1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P； （2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P； （3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P. 2. （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；（3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝ .请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P. 3. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________. . 模型二：“隐形圆”解角的最值 模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角. 如图①，∠ B＝∠D＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.

4. 如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由. 5. 如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点. （1）使∠APB＝30°的点P有________个； （2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由. 模型三：“隐形圆”解线段的最值 模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）： 第一种：当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为（d＋r），DE的最小值为（d－r）； 第二种：当点D在圆上时，d＝r，如图③：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r＝2r（即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D，E重合）； 第三种：当点D在⊙O内时，d

中考数学专题训练 圆的证明与计算

1 圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于⊙O ， P 是圆外一点，PA 为⊙O 的切线，且PA ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若PA ＝4 5 PO ，⊙O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：如解图，连接OA 、OB ， 第1题解图 ∵PA ＝PB ，OA ＝OB ，OP ＝OP ， ∴△OAP ≌△OBP (SSS)， ∴∠OAP ＝∠OBP ， ∵PA 为⊙O 的切线，

∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB为⊙O的半径， ∴PB为⊙O的切线； (2)解：∵PA＝ 4 5 PO，⊙O的半径为10， ∴在Rt△AOP中，OA＝PO2－（ 4 5 PO）2＝10， 解得PO＝ 50 3 ， ∴cos∠AOP＝ AO OP ＝ OD AO ， ∴OD＝6， ∴PD＝PO－OD＝ 32 3 . 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D 三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE. （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若cos C＝ 3 5 ，AC＝24，求直径AE的长. 第2题图 (1)证明：∵AB＝AC，AD＝DC， 2

3 ∴∠C ＝∠B ，∠DAC ＝∠C ， ∴∠DAC ＝∠B ， 又∵∠E ＝∠B ， ∴∠DAC ＝∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∴∠E ＋∠EAD ＝90°， ∴∠DAC ＋∠EAD ＝90°， 即∠EAC ＝90°， ∴AE ⊥AC ， ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ， 第2题解图 ∵DA ＝DC ， ∴CF ＝1 2 AC ＝12， 在Rt △CDF 中，∵cos C ＝CF CD ＝3 5 ， ∴DC ＝20，