增量代换法处理高考线性规划问题

重庆市武隆县武隆中学数学组 梁承勇 邮编408500 liaceny@https://www.wendangku.net/doc/349722785.html,

增量代换法处理高考线性规划问题

（重庆市武隆中学 梁承勇 408500）

线性规划问题在高中数学中是一个新增加的内容，在近几年的高考中都是一个热点问题，各省市自主命题中都要考察这一内容，因此显得特别地重要。纵观该问题的解法均是：先画出不等式组的图象得到可行域，再作直线mx+ny=0的一组平行直线：mx+ny=t ，通过平移并保持与可行域有公共点，求出在y 轴上的截距t 的最大值和最小值，进而求出z 的最大值和最小值。这种解法要在同一坐标系内画出很多复杂的直线即可行域的边界直线和平行移动的直线。能否不画图象，通过代数问题代数求解的原则进行呢？本文就举例谈谈增量代换法在高考线性规划问题的使用，引入变量t ，p 来处理这类问题。现举例说明：

例1：设y x z +=2，式中x ，y 满足下列条件

??

???-≤-≤+≥3

425

531y x y x x 求z 的最大值和最小值。

解：由于1≥x 可设)0(1≥+=t t x 引入变量t 带入不等式组有 ?????++≥≤++3

1425

533t y y t 由314++≥t y 又可设)0(314≥+++=p p t y 所以)0(4

4≥++=p p t y 带入25533≤++y t 化简有68517≤+p t 同时0≥t ，0≥p

由442222p t t y x z +++

++=+= 4

493p t ++= )5

2855517(413t p t +++= 5

7)517(2013t p t +++= 结合68517≤+p t 同时0≥t ，0≥p 易知0==p t 时z 取最小值3 又5

72068357)517(2013t t p t z ++≤+++=知当4=t ，0=p 时 z 取最大值12。

例2：（06天津，3）设变量x ，y 满足约束条件

??

???≤≥+-≥x

y y x x y 2

63 则目标函数y x z +=2的最小值为（ ） A ．2 B 。3 C 。4 D 。9 解：由于x y ≤可设)0(≥+=t t y x 引入变量t 带入不等式组有 ?????≥+-≥263y x x y 得?????≥+-≤22362y t t

y 由22t y -≥又可设)0(22≥+-=p p t y 带入t y 362-≤化简有2≤+p t 同时0≥t ，0≥p 由p t t y x z 323622+-+

=+= 332++=p t

2

5)22(3p p t

+++= 结合2≤+p t 同时0≥t ，0≥p 易知0==p t 时z 取最小值3 又2

5425)22(3p p p t z +≤+

++=知当0=t ，2=p 时z 取最大值9。 所以选B 。

例3：（06福建文15）已知实数x ，y 满足?????≤-≥11

y x y 则x+2y 的最大值是 最小值是 。

解：由1≤y 可设t y -=1，0≥t 带入1-≥x y 即11-≥-x t 得 t x t -≤-≤-111

即t x t -≤≤2

取x t ≤又设p t x +=0≥p 带入t x -≤2

得22≤+p t

所以t t p t p t p t y x 3)2(22222-++=-+=-++=+

结合22≤+p t ，0≥t ，0≥p 易知

当0=t ，2=p 时x+2y 的最大值是4

当1=t ，0=p 时x+2y 的最小值是1。

例4：（06重庆16）已知变量x ，y 满足约束条件 41≤+≤y x 22≤-≤-y x

若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在（3，1）处取得最大值

则a 的取值范围为

解：由1≥+y x 可设t y x +=+1，0≥t 又4≤+y x 所以41≤+t

得30≤≤t

由2-≥-y x 可设p y x +-=-2，0≥p 又2≤-y x

所以22≤+-p 得40≤≤p

由t y x +=+1，p y x +-=-2得2

1p t x ++-=

23p t y -+=

2

)1()1()3(232p a t a a p t ap at a y ax z -+++-=-++++-=

+= 仅在（3，1）处取得最大值，即2

13p t ++-= 231p t -+= 得3=t ，4=p 即当30≤≤t ，40≤≤p 时仅在3=t ，4=p 处

2

)1()1()3(p a t a a z -+++-=取得最大值。 故只有 ???>+>-010

1a a 得 1>a 。 评析：用增量代换法处理高考线性规划问题，关键是引入新的变量t ，p ，并明确t ，p 满足的线性关系，进而把x ，y 转化为t ，p 进行求解最大值和最小值。避免了画图象的繁杂工作。在高考中利用此种方法不但可以提高准确率，还可以节省大量的时间。