2020-2021学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷

2020-2021学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1．（5分）将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为( ) A ．23A

B ．23C

C ．23

D ．32

2．（5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( ) A ．

3

10

B ．13

C ．38

D ．

29

3．（5分）若直线240x y --=在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则a b -的值为( ) A ．6

B ．2

C ．2-

D ．6-

4．（5分）若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P 、Q 两点，且90POQ ∠=?（其中O 为原点），则k 的值为( )

A B ．1

C ．

D ．1-或1

5．（5分）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为( ) A ．150

B ．300

C ．60

D ．90

6．（5分）34821()()x x x x

-++的展开式中的常数项为( )

A ．32

B ．34

C ．36

D ．38

7．（5分）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||(MN = )

A ．

B ．8

C ．

D ．10

8．（5分）双曲线22

:142

x y C -

=的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上．O 为坐标原点，则下列说法错误的是( )

A

B ．双曲线22

142

y x -=与椭圆C 的渐近线相同

C ．若PO PF ⊥，则PFO ?

D ．||PF 的最小值为2

9．（5分）某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科．现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有( ) A ．24种

B ．30种

C ．48种

D ．60种

10．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上

顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+?，则椭圆C 的离心率是( ) A ．

51

- B ．

31

- C ．

21

- D ．

3 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）如果椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3

，那么双曲线22221(0,0)

x y a b a b

-=>>的离心率为 ．

12．（5分）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．

13．（5分）如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作．若每个部件的可靠性均为(01)r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为 ．

14．（5分）甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为

23，乙命中的概率为4

5

，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为ξ，则()E ξ= ．

15．（5分）已知点(2,4)A 在抛物线22(0)y px p =>上，直线l 交抛物线于B ，C 两点，且直线AC 与AB 都是圆22:430N x y x +-+=的切线，则B ，C 两点纵坐标之和是 ，直线l 的方程为 ．

三、解答题共5小题，共45分。解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16．（10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为

1

2

，13，14． （Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；

（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

17．（10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>，过点(0,1)-，离心率e ．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)，设直线AM 和BM 的斜率分别为

AM

和

BM

，求

AM

BM

+

的值．

18．（10分）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同．

（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；

（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；

（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）．

19．（10分）设椭圆22

1222:1(0),,x y C a b F F a b

+=>>为左、右焦点，B 为短轴端点，长轴长为

4，焦距为2c ，且b c >，△12BF F （Ⅰ）求椭圆C 的方程

（Ⅱ）设动直线:l y x m =+椭圆C 有且仅有一个公共点M ，且与直线4x =相交于点N ．试探究：在坐标平面内是否存在定点P ，使得以MN 为直径的圆恒过点P ？若存在求出点P 的坐标，若不存在．请说明理由．

20．（5分）（1）设i 为虚数单位，则7)i 的实部为 ． （2）计算：224361009201810102020

202120212021202120212021

1(133333)2

C C C C C -+-+?-+= ．

2020-2021学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1．（5分）将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为( ) A ．23A

B ．23C

C ．23

D ．32

【解答】解：根据分步原理的应用，

所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种， 故一共有2333?=种投法． 故选：C ．

2．（5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( ) A ．

3

10

B ．13

C ．38

D ．

29

【解答】解：设“第一次拿到白球”为事件A ，“第二次拿到红球”为事件B

P ∴（A ）21105=

=，131

()5915

P A B =?= 则所求概率为1

()1

15(|)1()

35P A B P B A P A =

== 故选：B ．

3．（5分）若直线240x y --=在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则a b -的值为( ) A ．6

B ．2

C ．2-

D ．6-

【解答】解：直线240x y --=化为截距式为124

x y

+=-， 2a ∴=，4b =-，

2(4)6a b ∴-=--=，

故选：A ．

4．（5分）若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P 、Q 两点，且90POQ ∠=?（其中O 为原点），则k 的值为( )

A B ．1 C ． D ．1-或1

【解答】解：直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P 、Q 两点，且90POQ ∠=?（其中O 为原点），

直线经过定点(0,1)，

故P 、Q 中有一个点的坐标为(0,1)， 故另一个点的坐标为(1,0)或(1,0)-， 故直线的斜率1k = 或1k =-， 故选：D ．

5．（5分）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为( ) A ．150

B ．300

C ．60

D ．90

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5个小球分成3组，若分为1、2、2的三组，有221

531

2

2

15C C C A =种分组方法， 若分为1、1、3的3组，有5310C =种分组方法， 则有151025+=种分组方法，

②将分好的三组放入三个不同的盒子中，有3

3

6A =种情况， 则有256150?=种放法， 故选：A ．

6．（5分）34821

()()x x x x

-++的展开式中的常数项为( )

A ．32

B ．34

C ．36

D ．38

【解答】解：342()x x -的展开式的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r

r T C x C x

x --+=-=-， 令1240r -=，可得3r =，所以342()x x -的展开式的常数项为33

4

(2)32C -=-， 81()x x +的展开式的通项公式为8821881

()T C x C x x

--+==，

令820-=，可得4=，所以81

()x x +的展开式的常数项为4870C =，

所以34821

()()x x x x

-++的展开式中的常数项为327038-+=．

故选：D ．

7．（5分）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||(MN = ) A

．B ．8

C

．D ．10

【解答】解：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则1930

16442014970D E F D E F D E F ++++=??

++++=??++-+=?

，

2D ∴=-，4E =，20F =-，

2224200x y x y ∴+-+-=， 令0x =，可得24200y y +-=，

2y ∴=-±

||MN ∴=

故选：C ．

8．（5分）双曲线22

:142

x y C -=的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上．O 为坐标

原点，则下列说法错误的是( ) A

B ．双曲线22

142

y x -=与椭圆C 的渐近线相同

C ．若PO PF ⊥，则PFO ?

D ．||PF

【解答】解：由题意知，2a =

，b =

，c ∴=

，F 0)，

∴

离心率c e a =

=

A 正确； 双曲线C

的渐近线方程为y x =， 而双曲线22

142

y x -=

的渐近线方程为y =，即选项B 错误； 不妨取点P

在渐近线y x 上， PO PF ⊥

，||PF ∴=

=

||2PO ∴===，

PFO ∴?的面积为11

||||222

S PO PF =

?=?C 正确；

当PF 垂直渐近线时，||PF 最小，由上可知，||min PF =D 正确． 故选：B ．

9．（5分）某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科．现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有( ) A ．24种

B ．30种

C ．48种

D ．60种

【解答】解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有122

2

4212C C C =种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有212

2

4348A C A =种选法， 所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有124860+=种， 故选：D ．

10．（5分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上

顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+?，则椭圆C 的离心率是( )

A B C D 【解答】解：如图，

tan b NMF a ∠=

，tan b NFO c

∠=， 90MFN NMF ∠=∠+?，18090NFO MFN NMF ∴∠=?-=?-∠，

即1

tan tan NFO NMF

∠=

∠，

∴

b a

c b

=，则222b a c ac =-=，

210e e ∴+-=，得e =

故选：A ．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）如果椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3

，那么双曲线22221(0,0)

x y a b a b

-=>>的离心率为

5

． 【解答】解：因为椭圆的离心率22223

1()a b b e a a -==-=， 所以21

()4

b a =，

所以双曲线的离心率2222

5

1()a b b e a a +'==+=． 故答案为：

5

． 12．（5分）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 2 ．

【解答】解：设抛物线上的一点P 的坐标为2(a ，2)a ，

则P 到直线2:1l x =-的距离221d a =+； P 到直线1:4360l x y -+=的距离21|466|

5

a a d -+=

， 则222

124669611155

a a a a d d a -+-++=++=

， 当1

3

a =时，P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为2

故答案为2

13．（5分）如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作．若每个部件的可靠性均为(01)r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为 242r r - ．