key2
第2章习题及解答
2－1 已知电网络如题图所示，输入为u t ，输出为，试列写微分方程。
i ())(t u o
(a)
(b)
习题2－1
题解： （1）由题图，设电流变量如图所示，写出变量约束方程为
)()()(211t u t i R t i R i
=+
)()()(21t i t i t i =+
0)(1)(211=?∫dt t i C
t i R )()(2t u t i R o =
化简，消去中间变量得到输出变量为，输入变量为的微
分方程为
)(),(),(21t i t i t i )(t u o )(t u i )(d )
(d )()(d )(d 2212121t u R t
t u C R R t u R R t t u C
R R i i o o +=++ 可简写为
)()()()()(2212121t u R t u C R R t u R R t u C R R i i o o +=++?
?
（2）由题图，设电流变量如图所示，写出变量约束方程为
)()(1
)(11t u dt t i C
t i R i =+
∫
)()()(21t i t i t i =+ ∫=+dt t i C t i R dt t di L )(1
)()(1222
)()(22t u t i R o =
化简，消去中间变量得到输出变量为，输入变量为的微
分方程为
)(),(),(21t i t i t i )(t u o )(t u i )()()()()()(221211t u R t u R R t u C R R L t u LC R i o o o =++++?
??
解毕。
2－2 电磁铁的磁拉力计算公式为
F x i S Ni x (,)()=
μ02
2
4，（单位：N ）
式中，μ0为空气导磁率，S 为磁极面积，N 为激磁绕组匝数，i 为激磁电流，x 为气隙大小，求出F x i (,)的线性化方程。 题解：
由于磁拉力F x i (,)为电流i 和位移x 的双元函数，在工作点邻域，其泰勒级数展开式为
),(000i x F +??+??+===?
==?)(),()(),(),(),(000000
00
0i i i x F x x i x F i x F i x F i i x x i i i x x x
Λ+??+??+==??==??202
0)(),(!21)(),(!210
000i i i x F x x i x F i i x x i i i x x x 忽略二次以上各项有
)(),()(),(),(),(000000
00
0i i i x F x x i x F i x F i x F i i x x i i i x x x ??+??+===?
==?
令
),(),(000i x F i x F F ?=Δ 0
0),(i i x x x x i x F K ==?
=3
2
002)(x Ni S μ?
=
0),(i i x x i i i x F K ==?
=20
202x i SN μ=
0x x x ?=Δ 0i i i ?=Δ
则有磁拉力增量式
i K x K F i x Δ?+Δ?=Δ
将增量式写为一般函数表达式有
i x i SN x x Ni S i K x K F i x 20
2030
2
0022)(μμ+
?
=?+?=
解毕。 2－3 求下列时间函数f t ()的拉氏变换。
F s ()
（a ） f t t ().(cos )=?0515 （b ）
t t f t
314cos e
)(2.0?= （c ）)
35sin()(π
+=t t f
（d ）
t
t t f 32e )(??=题解：
（a ） f t t ().(cos )=?05
15
由定义或者查表
)
25(5
.12)251(5.0)(22+=+?=s s s s s s F
（b ） t t f t
314cos e
)(2.0?=
由于
2
2314]314[cos L +=
s s
t
应用拉氏变换的衰减定理有
)2.0314(4.02
.0314)2.0(2.0)(22222++++=
+++=
s s s s s s F
（c ）f t t ()sin(=+53
π
由于
t t t t t 5cos 2
35sin 215cos 3
sin
5sin 3
cos
)3
5sin(+=
+=+
π
π
π
所以
25
5
.2866.05235521)(22222++=
+?++?=
s s s s s s F
（d ）
t
t t f 32
e )(??=
由于
32!
2][s
t L =
应用拉氏变换的衰减定理有
3
)
3(2
)(+=
s s F 解毕。
MATLAB 语言求解
（a ） f t t ().(cos )=?05
15 syms t
f=0.5*(1-cos(5*t)); F=laplace(f) F =
1/2/s-1/2*s/(s^2+25)
（b ） t t f t
314cos e
)(2.0?=syms t
f=exp(-0.2*t)*cos(314*t); F=laplace(f) F =
(s+1/5)/((s+1/5)^2+98596)
（c ）f t t ()sin(=+
53
π
syms t
f=sin(5*t+pi/3); F=laplace(f) F =
(1/2*s*3^(1/2)+5/2)/(s^2+25)
（d ） f t t e t ()=??23syms t
f=t^2*exp(-3*t); F=laplace(f) F =
2/(s+3)^3 解毕。
2－4 求出题图所示时间信号f t ()的拉氏变换F s 。
()
f (t t
f (t
f (t
（a ）
（b ）
（c ） 习题2－4
题解：
（a ） 由于信号可以分解为信号的组合如图所示，
)(t f
→)(1)(1t t t f ?=2
11)(s s F =
→)(1)()(002t t t t t f ????=s t e s
s F 0221
)(???=
→)(1)(003t t t t f ???=s
t e s
t s F 01)(03????=
所以拉氏变换为
)()()()(321s F s F s F s F ++=2
0022)
1(1111000s
s t e e s t e s s s t s t s t +?=?????=??? （b ） 由于信号可以分解为信号的组合如图所示，
)(t f f (t)A t A t f ωsin )(1=
→2
21)(ωω
+=s A s F
(1sin )(2ω
πω??=t t t f →s e s A s F ω
π
ωω??+=22
2)( 所以拉氏变换为
)()()(21s F s F s F +=)1(2
2s e s A ω
π
ω
ω?
+?+=
（c ） 由于信号为周期信号，第一周期的信号如图所示，
)(t f 其拉氏变换为
f (t)
)21(2Ts Ts Ts Ts e e s
M
e s M e s M s ????+?=+?ηη)(1M s F =
已知，则周期信号的拉氏变换为
)(1s F )(1
1s F e
Ts
???1)(s F = 所以占空比为η的方波脉冲信号的拉氏变换为
Ts
Ts
Ts Ts
e e e s M s F e s F ?????+??=??=121)(11)(1η 解毕。
2－5 已知下列拉氏变换F s ，求出时间表达式()f t ()，并画出曲线草图。
（a ）F s s s s s ()()=+++22100
100
（b ）F s s s s s ()=++++2235
24
（c ）F s e s Ts
()=??12
（d ）F s e Ts ()=
??1
1
题解：
（a ）将作海维塞分解可分解为
)(s F 1001+1)(2
+=
s s s F
作拉氏反变换，有
t t s 10sin 101)(1]10012
+=+s L t f 1
[)(1+==
时间曲线如图所示。
（b ）将作海维塞分解可分解为 )(s F 22)3()1(11
421
++21)(++=++s s s ++
=s s s F
作拉氏反变换，有
t
e t s s t
3cos )(])
3()112
2
?+=+++
δL t f (1[)(1
?+
=
时间曲线如图所示。
（c ）可分解为 )(s F Ts
e s ?2
1s s F ?
=
21)( 作拉氏反变换，有
)(1)()(1]1122T t T t
t t e s Ts
?????=??[
)(1s L t f =?
时间曲线如图所示。
（d ）可作等比级数分解为 )(s F Λ+++=???Ts Ts Ts
e e 21?=
e s F 11
)(
作拉氏反变换，有
]1[)(21
Λ+++=???Ts
Ts
e e L t f
Λ+?+?+=)2()()(T t T t t δδδ 时间曲线如图所示。 解毕。
2－6 用拉氏变换法求解下式微分方程。
（a ），r c c c =++?
?
?572r R t =?1()， 0)0(,0)0(==?
c c （b ），0572=++?
?
?c c c 0)0(c c =， 0)0(?
?=c c 题解：
（a ），r c c c =++?
?
?572r R t =?1()， 0)0(,0)0(==?
c c
将方程两边作拉氏变换
][]572[r L c c c L =++?
??
由拉氏变换的线性定理有
][]5[]7[]2[r L c L c L c L =++?
??
由拉氏变换的微分定理有
)()(5)]0()([7)]0()0()([22
s R s C c s sC c sc s C s =+?+???
将初值及输入信号的拉氏变换0)0(,0)0(==?
c c s
R t R L s R 1
)](1[)(?=?=代入上式
s
R s C s sC s C s 1
)(5)(7)(22?=++
有输出信号的拉氏变换为
R s s s s C ??++=
15721)(2
]5
.21
1521131151[+?++????=s s s R 作拉氏反变换解得
]15
2
31)(151[)(5.2t t e e t R t c ???+????=
（b ），0572=++???c c c 0)0(c c =，
0)0(?
?=c c 本题为齐次方程求解，初始条件不为零而输入信号为零。
将方程两边作拉氏变换
0]572[=++?
??c c c L
由拉氏变换的微分定理有
0)(5)]0()([7)]0()0()([22
=+?+???
s C c s sC c sc s C s
将初值，代入上式
0)0(c c =0)0(?
?
=c c 0)(57)(722)(20002
=+?+???
s C c s sC c sc s C s
整理有
)72(2)(]572[0002
c c s c s C s s ++=++?
方程解的拉氏变换为
5
72)
72(2)(2
000++++=
?
s s c c s c s C
作拉氏反变换解得
t
t e c c e c c t c 5.200003
22352)(??
???+??+=
解毕。
MATLAB 符号运算求解
（a ），r c c c =++?
??572r R t =?1()，
0)0(,0)0(==?
c c f='2*D2c+7*Dc+5*c=R,c(0)=0,Dc(0)=0'; dsolve(f) ans =
1/5*R-1/3*R*exp(-t)+2/15*R*exp(-5/2*t)
（b ），0572=++?
?
?c c c 0)0(c c =， 0)0(?
?=c c f='2*D2c+7*Dc+5*c=0,c(0)=c1,Dc(0)=c2'; dsolve(f,'t') ans =
(5/3*c1+2/3*c2)*exp(-t)+(-2/3*c1-2/3*c2)*exp(-5/2*t) 解毕。 2－7 用运算放大器组成的有源电网络如题图所示，试采用复数阻抗法写出它们的传递函数。
（a ）
（b ）
习题2－7
题解：
（a ）应用复数阻抗法，如图所示计算反馈复数阻抗
)(1
11
)(222223s I R Cs R R Cs R R R s U o =?+?++
则反馈复数阻抗为
3232)
()
()(R R Cs R R s I s U s Z o f ++==
对于反相运算电路，其传输关系为，)
()()()
()(s Z s Z s U s U s G i f i o ?==，输入阻抗为，
将输入阻抗与反馈阻抗代入上式，得到传递函数为
1)(R s Z i =)(1)(32321R R Cs R R R s G ++?
=)1(3
23
2132+++?=Cs R R R R R R R
（b ）应用复数阻抗法，计算反馈复数阻抗，由于
)(1
1
)1()
1()
1
()1()(33
2332533
2533
2533254s I Cs R R Cs R R R R Cs R R R R Cs R R R Cs R R R R s U f o =++
?+++++
?++++++
则反馈复数阻抗为
433
23
2554321
1
))(()()()(R Cs R Cs R R R R R R R R R s I s U s Z f o f ++++?++==
输入阻抗为1)(R s Z i =，将输入阻抗与反馈阻抗代入上式，得到传递函数为
]11
))(([)()()()()(1
43323
2515432R R
Cs R Cs R R R R R R R R R R s Z s Z s U s U s G i f i o ++++?++?=?==
解毕。
2－8 力学系统如图所示，试写出系统的微分方程，并求取传递函数。
m
k 1x (t )k 2
F (t )
y o
(a) (b)
习题2－8
题解：
（a ）忽略重力，应用牛顿第二定律∑=
F ma ，写出运动平衡方程为
)(21t F F F ma k k ++=
其中，，而x k F k 22?=x k F k 11?=22dt x
d a =，均代入平衡方程得
)(2122t F x k x k dt x
d m +??= 整理，得到微分方程为 )()(2122t F x k k dt
x
d m =++
传递函数为 )
(1
)()()(212k k ms s F s X s G ++=
= 解毕。
（b ）忽略重力，设中间变量质量的位移量为，应用牛顿第二定律，
写出运动平衡方程如下。 1m x y ∑=
F ma 对于质量有
1m )()(211o x i x x y y k y y k y m ????=?
?
对于质量有
2m o x o o y f y y k y m ?
?????=)(22
化简消去中间变量，得到输入为位移，输出为质量的位移的微分方程为
x y x y 2m o y +++++++dt dy k k f dt
y d k k m k m dt y d f m dt y d m m o
o o o )()]([212
2212213314421
i o y k k y k k k k 212
2212])([=?++传递函数为
]
)([)()]([)(22212212
21221314212
1k k k k s k k f s k k m k m fs m s m m k k s G ?++++++++=
解毕。 2－9 画出下面电网络的结构图，并化简求取传递函数。
(a) (b)
习题2－9
题解：
（a ）设电容C 2的电位为u x ，得到如下算子方程组
111C o
i i s C u u =? 11
R x
i i R u u =? i i i R C =+11 x u i s
C =21
o C x u i R u =+12依照方程组的变量关系得到结构图如图所示。
由梅逊公式化简该结构图 共有3个前向通路
s C R p 121=，212C C p =
，s C R p 2131= 共有3个独立回路
s C R L 121?=，212C C L ?
=，s C R L 2131
?= 不相接触回路
2
11
231C R C R L L =
特征式
31321)(1L L L L L +++?=Δ2
11221211211C R C R s C R C C s C R +++
+= 余子式
s
C R L 21311
11+
=+=Δ，12=Δ，13=Δ 传递函数为
ΔΔΔΔ3
3221
1)(p p p s G ++=2
11221211221212112111)11(C R C R s C R C C s C R s C R C C s C R s C R +
++++
++
=
1
)(1
)(12211122121121122121+++++++=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R
（b ）设电阻R 2的电位为u x ，得到如下算子方程组
11R x
i i R u u =?
111C o
i i s
C u u =?
i i i C R =+11
x u i R =2
o R x u i s
C u =+121
依照方程组的变量关系得到结构图如图所示。
由梅逊公式化简该结构图 共有3个前向通路
s C R p 2111
=
，1
22R R p =，s C R p 123=
共有3个独立回路
s C R L 2111
?
=，1
22R R L ?=，s C R L 123?= 不相接触回路
2
11
231C R C R L L =
特征式
31321)(1L L L L L +++?=Δ2
1121212211
1C R C R s C R R R s C R ++++
= 余子式
s C R L 123111+=+=Δ，12=Δ，13=Δ
传递函数为
ΔΔΔΔ33221
1)(p p p s G ++=2
112121221121212211)1(1C R s C R R s C R s
C R R R
s C R s
C R +++++++=
1
)(1
)(1222212
2121221222121+++++++=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R 解毕。 2－10 已知陀螺动力学系统的结构图
如题图所示，试分别求取传递函数
C s R s 11()()，C s R s 12()()，C s R s 21()()以及C s R s 22()
()
。 题解：
习题2－10
按照回路化简法则，各传递函数为
)()()()(1)
()()(4321111s G s G s G s G s G s R s C ?=
)()()()(1)
()()()()(432142121s G s G s G s G s G s G s G s R s C ??=
)()()()(1)
()()()()(432132112s G s G s G s G s G s G s G s R s C ??=
)
()()()(1)
()()(4321222s G s G s G s G s G s R s C ?=
解毕。
2－11 题图所示的力学测量系统原理，在满足相应要求的条件下，可以用于地震测量，也可以用于测量物体的加速度，位移量 y (t) 和 y 0 (t) 均为相对于惯性空间的位移。
k
y
f
m y 0
习题2－11
（a ）试写出以 y (t) 为输出量，以 y 0 (t) 为输入量的传递函数。 （b ）试写出用于地震测量的传递函数。 （c ）试写出用于加速度测量的传递函数。 题解：
（a ）忽略重力，应用加速度第二定律∑=
F ma ，写出运动平衡方程为
()(0022dt
dy dt dy f y y k dt y d m ????= 则传递函数为
k
fs ms k
fs s Y s Y s G +++==
2
0)()()(
（b ）由于位移量 y (t) 和 y 0 (t) 均为相对于惯性空间的位移，可测量为，
即质量m 相对于壳体的位移，则有0y y y k ?=0y y y k +=，代入基本方程有
dt
dy
f ky dt y d dt y d m k k k ??=+)(20222
整理
20222dt
y d m ky dt dy f dt y d m k k k ?=++ 相应传递函数为
m
k s m f s s s Y s Y s G k ++?==220)()()(
即可用于地震测量，一般质量m 做得较大。
（c ）由于壳体的位移为，其加速度为0y 2
02dt
y d ，拉氏变换为，则有可测量与加速度的传递关系为
)(02
s Y s m k s m
f s s Y s s Y s G k ++?==
202
1)()
()( 即可用于加速度测量，一般质量m 做得较小。
解毕。
2－12 惯性导航装置中的地垂线跟踪系统结构图如题图所示，试求其传递函数。
习题2－12
题解：
将结构图中的并联支路作一次化简如图
应用梅逊公式求解。 前向通路共有6个 s
K s K s s K s K s p 4
3
431)1)()(
(+?=+?= s K s K s s K s K s s p 43
4322)1
)()(1)((+=+= 1)1
)(1)((23==s s s p
2114)1)(1)((s
K
s s K p ==
3
4314315)
()1)()(1)((s
K s K K s s K s K s K p +=+=
s K s s K s p 226)1
)(1)()((=??=
闭合回路共有3个
s
K s K L 221)1
)((?=?=
3
4314312)
()1)()(1)((s K s K K s s K s K s K L +?=+?=
2113)1)(1)((s
K
s s K L ?=?=
没有互不接触回路，且各回路都与各前向通路相接触，故由梅逊公式写出传递函数为
())(13416
54321L L L p p p p p p s G ++?+++++=
11)(12
1343122
3
431214343=+++++++++++?=
s
s s s K s K s K K s K s K s K s K s K 解毕。
2－13 分别用等价变换法与梅逊公式法化简图示各系统的结构图。
(a)
(b)
(c)
(d)
习题2－13
题解：
（a ）等价变换法
前向通路化简：由叠加原理有
)()()(1)()()(121411s H s G s G s G s G s G o +=
，)
()()(1)
()()()(1213212s H s G s G s G s G s G s G o +=
前向通路传递函数为
)
()()(1)
()()()()()()()(1213214121s H s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G o o o ++=
+=
闭环传递函数为
)
()(1)
()(2s H s G s G s G o o +=
)
()()()()()()()()()(1)
()()()()(232124112132141s H s G s G s G s H s G s G s H s G s G s G s G s G s G s G ++++=
梅逊公式法 前向通路2个 ，)()(411s G s G p =)()()(3212s G s G s G p =
独立回路3个
，)()()(1211s H s G s G L ?=)()()()(23212s H s G s G s G L ?=
)()()(2413s H s G s G L ?=特征式
)(1321L L L ++?=Δ
)()()()()()()()()(12412321121s H G s G s H s G s G s G s H s G s G ++=
余子式 1,121==ΔΔ
传递函数为
Δ
ΔΔ2
211)(p p s G +=
)
()()()()()()()()()(1)
()()()()(232124112132141s H s G s G s G s H s G s G s H s G s G s G s G s G s G s G ++++=
（b ）等价变换法
分别化简前向通路与反馈通路。前向通路为环节并联
)()()(21s G s G s G o +=
反馈通路也为环节并联
)()()(21s H s H s H ?=
闭环传递函数为
)()(1)()(s H s G s G s G o o +=
)]
()()][()([1)
()(212121s H s H s G s G s G s G ?+++=
梅逊公式法 前向通路2个 ，)(11s G p =)(22s G p =
独立回路4个
，)()(111s H s G L ?=)()(122s H s G L ?=，)()(213s H s G L =
)()(224s H s G L =特征式
)(14321L L L L +++?=Δ
)()()()()()()()(122211211s H s G s H s G s H s G s H s G ??++= 余子式 1,121==ΔΔ
传递函数为
Δ
ΔΔ2
211)(p p s G +=
)
()()()()()()()(1)
()(2221121121s H s G s H s G s H s G s H s G s G s G ??+++=
（c ）等价变换法
相加点右移如图
相加点易位如图
环节并联化简与回路化简
传递函数为
)
()(1)
()()(221s H s G s G s G s G ++=
梅逊公式法 前向通路2个 ，)(11s G p =)(22s G p = 独立回路1个 )()(2s H s G L ?=
特征式
L ?=1Δ)()(12s H s G += 余子式
1,121==ΔΔ
传递函数为
Δ
ΔΔ2
211)(p p s G +=
)
()(1)
()(221s H s G s G s G ++=
（d ）等效变换法 化简反馈通路得到
传递函数为
)()()(1)]
(1)[()
(1)()
(1)()(s H s H s G s H s G s H s H s G s G s G c ?+?=?+=
梅逊公式法 前向通路1个
)(s G p =独立回路2个 ，)()(1s H s G L ?=)(2s H L =
特征式 211L L ??=Δ)()()(1s H s H s G ?+= 余子式
)(1s H ?=Δ
传递函数为
)
()()(1)]
(1)[()(s H s H s G s H s G p s G ?+?=
=
Δ
Δ
解毕。
2－14 已知系统结构图如题图所示，试用梅逊公式法求取传递函数。
(a)
(b) 习题2－14
题解：
（a ）应用梅逊公式求解 4个通路
1个回路 s
p 1
1=
)
1(101
110+?=??+?
=s s k k s s L s s )1(1011102+=?+=s s s s p 1
103+=
s p
)
1(10110
)(14+?=
+???=s s k s k s p s s 传递函数为
L p p p p s G ?+++=1)(4321)
1(101)
1(10110
)1(101++
+?
++++=
s s k s s k s s s s s s
s
s k s s k s 10)
1011(112++?+=
（b ）应用梅逊公式求解 4个通路
3个回路
)(21s G p =)(11s G L ?=
)()(212s G s G p =)()(212s G s G L ?=
)(13s G p =)(13s G L ?=
)(14s G p ?=
传递函数为
3
214
3211)(L L L p p p p s G ???+++=
)()()()(1)()()()()(121111212s G s G s G s G s G s G s G s G s G +++?++=)
()()(21)
()()(211212s G s G s G s G s G s G +++=
解毕。
2－15 写出题图所示系统的输出表达式C s ()。
习题2－15
题解：
该题为多信号输入系统，可以应用叠加原理得到系统的输出。系统的输出为
)()()()()(321s C s C s C s C s C N N N R +++=
)()
()(0
)(30)(20)(1s R s G s C s N s N s N R R ?====
)
()()()()(1)
()()(2211221s H s G s G s H s G s G s G s G R ++=
)()
()(10
)(30)(20)(11s N s G s C s N s N s R N N ?==== )
()()()()(1)
()(2211221s H s G s G s H s G s G s G N ++=
)()
()(20
)(30)(10)(22s N s G s C s N s N s R N N ?==== )
()()()()(1)
()(2211222s H s G s G s H s G s G s G N ++=
)()
()(30
)(20)(10)(33s N s G s C s N s N s R N N ?==== )
()()()()(1)
()()()(221122213s H s G s G s H s G s H s G s G s G N ++?=
)
()
()()()()(1)
()()()()()()(1)()()(12211222211221s N s H s G s G s H s G s G s R s H s G s G s H s G s G s G s C +++++=
)()()()()()(1)()()()()
()()()()(1)
(3221122212221122s N s H s G s G s H s G s H s G s G s N s H s G s G s H s G s G ++?
+++
解毕。
2－16 已知系统的微分方程组描述如下，试画出结构图，并化简求取传递函数。
x x x 061?= x x x 152?= x x x 13?=4
2
3
32dx dt x x += 05554.dx dt
x x +=
x x x 356+=
题解：
步骤1：将微分方程组写为算子方程。 微分方程为 算子方程为
x x x 06?=1 )()()(160s X s X s X =? x x x 15?=2 )()()(251s X s X s X =? x x x 13?=4 )()()(431s X s X s X =?
233dx
dt x x +=2
)(121
)(23s X s s X +=
0555.dx dt x x +=4
)(1
5.01
)(45s X s s X +=
x x x 35+=6
)()()(653s X s X s X =+
步骤2：按照算子方程组的变量约束作出结构图如图所示。
步骤3：应用梅逊公式化简前向通路
1211+=
s p ，1
5.01
2+=s p )15.0)(12(13++?=s s p ，)
15.0)(12(1
4++?=s s p
)15.0)(12(1
++=s s L
前向通路传递函数为
L
p p p p s G o ?+++=
1)(4
3215.25.2+=
s