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29锐角三角函数及解直角三角形

（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十九章锐角三角函数及解直角三角形

29.1 锐角三角函数以及特殊角

（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（） A.

12 B. 2 C. 3 D.1 【解析】sin45°2

【答案】B

【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。

（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的

值为

A ．

12 B 5 C 10 D 25 【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝

CD AC 210

．

【答案】B

【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．

29.2 三角函数的有关计算

（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，

C B A

图4

C B

图4

如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（） A ．200米 B. 2003

C. 2203

D. 100(31)米

解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,tan CD CD

A B AD DB

==，又CD=100，因此 AB=AD+DB=

100100

1003100tan tan tan 30tan 45

CD CD A B +=+=。答案：D

点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。

( 2012

年浙江省宁波市,8,3)如图，R t △ABC,∠C=900

,AB=6,cosB=23 ,则BC 的长为

（A ）4 (B)2 5 (C)

18 1313 (D) 1213

【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BC AB =2

，又∵AB=6∴BC=4,故选A

【答案】A

【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.

（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠A BC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是，cosA 的值是 .（结果保留根号）

解析：由已知条件，可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形，且DA=DB=BC ，可证△BDC ∽△ABC ，则有

BC DC AC BC =，设BC=x ，则DC=1-x ，因此21,101x x

x x x

-=+-=即，解方程得， 8题图

A B

125151

,22

x x -=

（不合题意，舍去），即51-；又cosA=51

25151

2AB

==--?

5151

-+点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解

法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。

（2012连云港，3，3分）小明在学习―锐角三角函数‖中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是

C D

3 B.

2 C. 2.5 5【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE 和△AEF 都是等腰三角形。得到67.5°的角为∠FAB 。【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE 中，用勾股定理求出2于是BF=

2）x.在直角三角形ABF 中，tan ∠FAB=

(21)BF x

AB x

=2.选B 。【点评】根据折叠得到A 、E 关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出

两线段的长。

(2012山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AB BE ⊥，EF BE ⊥，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有（）

（A ）1组（B ）2组

（C ）3组（D ）4组

【解析】对于①，可由公式AB=BC ×tan ∠ACB 求出A 、B 两点间的距离；对于②，可设

AB 的长为x ，则BC=

x tan ACB ∠，BD=x

tan ADB ∠，BD-BC=CD ，可解出AB ．对于③，

易知△DEF ∽△DBA ，则DE BD

EF AB

=，可求出AB 的长；对于④无法求得，故有①、②、③三个，故选C ．【答案】C ．【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA ，SAS ，SSS ，两直角三角形相似的判定还有HL ．

（2012贵州铜仁，22，10分）如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α=BC

=的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定

义，

解下列问题：

（1）ctan30?= ；

（2）如图，已知tanA=

，其中∠A 为锐角，试求ctanA 的值．【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它

边长，根据余切定义进而求出ctan30?。

（2）由tanA=

，

为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA 的值．【解析】（1）设BC=1, ∵α=30? ∴AB=2

∴由勾股定理得：AC=3

22题图

ctan30?=

BC =3 (2) ∵tanA=

∴设BC=3 AC=4 ∴ctanA=

BC AC =3

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和直角三角形的性质，锐角三角函数往往和直角三角形联系在一起考查。命题时常常和现实中的一些实际问题结合在一起。需要注意的是，在运用三角函数概念及其关系式时，计算易错，名称易混淆；特殊角的三角函数值易混淆，也容易把一个角与其余角的三角函数值混淆。

（2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF=120°.

（1）当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________；（2）若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________.

【解析】：AE=

21AB=3.在Rt △ADE 中，tan ∠ADE=3

=AD AE =3.所以∠ADE=60°，

所以DE=

322

13cos ==∠ADE

AD ，∠AED=∠EDF=∠BEF=30°，所以ED=EF.过点E 作EG ⊥DC 于G ，则DF=2DG=2×DE ·cos30°=2×23×

=6；（2）过C 作CH ⊥直线AB 于E ，那么CH=AD=3，由勾股定理D 得BH=1。所以CD=7。易知△BCE ～△EDC ，所以BE ：CE=CE ：CD ，所以CE 2

=CD ×DC ，设BE=x ，则CE 2

=7x 。在Rt △CEH 中，由勾股定理得CE 2=EH 2+CH 2，得（x+1）2

+3=7x ，解之，得x=1或4。当x=1时，AE=5；当x=4时，AE=2。故AE 的长为5或2。

【答案】：（1）6；（2）2或5 【点评】：本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识，应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.

（2012江苏泰州市，18,3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、

D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是．

【解析】要求tan ∠APD 的值，只要将∠APD 放在直角三角形中，故过B 作CD 的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．【答案】作BM ⊥CD ，DN ⊥AB 垂足分别为M 、N ，则BM=DM=

22，易得：DN=1010

，设PM=x ，则PD=22-x ，由△DNP ∽△BMP ，得：PN DN PM BM =，即10

102

x =，∴5，由DN 2+PN 2=PD 2，得：

110+15

x 2

=(22-x)2，解得：x 1=24，x 22（舍去），∴tan ∠

APD=2

BM PM =．

【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础，还要注意网格中线段的长度都可以在直角三角形中去解决．

（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（） A ．200米 B. 2003

C. 2203

D. 100(31)米

解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,

tan CD CD

A B AD DB

==，又CD=100，因此 AB=AD+DB=

100100

100tan tan tan 30tan 45

CD CD A B +=+=。答案：D

点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。

（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1

，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是，cosA 的值是 .（结果保留根号）

解析：由已知条件，可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形，且DA=DB=BC ，可证△BDC ∽△ABC ，则有

BC DC AC BC =，设BC=x ，则DC=1-x ，因此21,101x x

x x x

-=+-=即，解方程得， 125151

x x ---=

51-；又cosA=51

25151

2AB

==--?

5151

-+点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解

法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。

（2011山东省潍坊市，题号9，分值3）9、轮船从B 处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在观测灯塔A 北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（）海里 A ．

325 B ． 225 C ．

50 D ．25

考点：方位角和等腰三角形的判定

解答：根据路程=速度时间得 BC=50×0.5=25海里；根据方位角知识得，∠BCD=30°，=75°－30°；

CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°；

∠A=∠CBD=45°所以CA=CB 所以CB=25海里，本题正确答案是D

点评：本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识。在解决方位角问题时，利用平行线的有关知识得到角度的关系，从而得到线段的关系是解决问题的常用方法和思路。

（2012湖北襄阳，10，3分）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ．如图5，已知李明距假山的水平距离BD 为12m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为

A ．3 1.6)m

B ．3 1.6)m

C ．2 1.6)m

D ．3

【解析】如下图，过点A 作AF ⊥CD 于F ，则AF ＝BD ＝12m ，FD ＝AB ＝1.6m ．再由

OE ∥CF 可知∠C ＝∠AOE ＝60°．所以，在Rt △ACF 中，CF ＝tan 60AF

＝3CD ＝CF ＋FD ＝3 1.6)m ．

【答案】A 【点评】通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键，其间需要具有良好的阅读理解能力，能将对应线段和角之间的关系理清．

（2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF=120°.

（1）当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________；（2）若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________.

A O B

F 图5

A B

O E

【解析】：AE=

21AB=3.在Rt △ADE 中，tan ∠ADE=3

=AD AE =3.所以∠ADE=60°，

所以DE=

322

13cos ==∠ADE

AD ，∠AED=∠EDF=∠BEF=30°，所以ED=EF.过点E 作EG ⊥DC 于G ，则DF=2DG=2×DE ·cos30°=2×23×

=6；（2）【答案】：（1）6；（2）2或5 【点评】：本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识，应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.

（2012安徽，19，10分）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=32，求AB 的长，

解析：本题在一个三角形中已知两个角和一边，求三角形的边.不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，过点C 作CD ⊥AB 于D,利用构造的两个直角三角形来解答. 解:过点C 作CD ⊥AB 于D,

在Rt △ACD 中，∠A=30°，AC=32 ∴CD=AC ×sinA=32×0.5=3，

AD=AC ×cosA=32×

=3，在Rt △BCD 中，∠B=45°，则BD=CD=3， ∴AB=AD+BD=3+3

点评：解直角三角形中，除了直角外，还知道两个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角. 一般三角形中，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角. 这时将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件.

（2012湖南娄底，20，7分）如图9，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG =30?，在E 处测得∠AFG =60?，CE =8米，仪器高度CD =1.5米，求这棵树AB 的高

45°

30°C B

第19题图

度（结果保留两位有效数字，3≈1.732）.

【解析】在Rt △ADG 中，可设AG=x ，利用已知角的三角函数可用x 表示出DG 的长，在Rt △AFG 中，根据∠AFG 的正切函数可用x 表示出FG 的长，因为DG-FG=DF ，所以可列方程求出x 的长，AG 再加上仪器的高度即为大树的高．

【答案】解：设AG=xm ，在Rt △ADG 中，∠ADG=30°，∴33；

在Rt △AED 中，∠AFG=60°，AG=x ，FG=

33x ，∵DG-FG=DF,DF=CE=8 33

x=8,解得3 6.93, ∴AB=AG+BG=6.93+1.5≈8.4.

答：大树AB 的高约为8.4米．

【点评】本题考查直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．

(2012重庆，20，6分)已知：

如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形。若AB=2，求△ABC 的周长。（结果保留根号）

解析：由△ABC 是直角三角形和△ABD 是等边三角形，可求出∠C=30°,利用三角函数可求出答案。

答案：解：∵△ABD 是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°∴∠C=30°∵sinC=BC

∴BC=

C AB sin =4, ∵cosC=BC

∴AC=BC ·cosC=23 ∴△ABC 的周长是6+23 点评：在直角三角形中计算线段长度问题，通常利用勾股定理和三角函数来解决，本题也可由勾股定理来计算AC 的长。

（2012浙江省温州市，21，9分）某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l （如图）。

G B

F E

D 30? 60?

救生员甲在A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B 处有人发出求救信号。他立即沿AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙。乙马上人C 处入海，径直向B 处游去。甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D 处，再向B 处游去。若CD=40米，B 在C 的北偏东35

方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒。问谁先到达B 处？请说明理由。（参考数据：sin550.82,cos550.57,tan55 1.43≈≈≈ ）

【解析】根据特殊角的三角函数值,利用直角三角形的边角关系,利用直角三角形的边CD 建立等式.

【答案】解：由题意得∠BCD=55°，∠BDC=90°， ∴BD

tan BCD CD

∠=

， ∴BD CD tan BCD=40tan5557.2=?∠?≈

（米）

∴CD 40

BC =70.2cos BCD cos55=

≈∠ （米）

∴57.2t 1038.6(2=+=甲秒），70.2

t 35.1(2

==乙秒） ∴t t >乙甲．答：乙先到达B 处．

【点评】本题考查了利用三角函数值解决实际问题．重点考查学生是否认真审题，挖掘出题

目中的隐含条件，运用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．

（2011山东省潍坊市，题号20，分值10）20、(本题满分10分)校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超载和超速.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等

于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=30°，∠CBD =60° (1)求AB 的长（精确到0.1米，参考数据：73.13=，41.12=）；

(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由.

考点：直角三角形的边角关系

解答：（1）由题意得，在RT △ADC 中， AD=

33.363213

30tan ===?CD ，

在RT △BDC 中，11.12373

60tan ===?=

CD BD

所以AB=AD －BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）

（2）汽车从A 到B 用时2秒，所以速度为24.2÷2=12.1（米/秒）因为12.1×3600=43560,

所以该车速度为43.56千米/小时

大于40千米/小时，所以此校车在AB 段超速.

点评：本题考察了直角三角形的边角关系，已知一边和一锐角解直角三角形。在解决此类问题时，要找到所解的直角三角形，分析其中已知的边和角，分析类型，选择方法求解。

（湖南株洲市3,13）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度。小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高

度是米。

【解析】设旗杆的高度为x 米，由题意，得tan 6010

?=，解之得：x=103【答案】103【点评】在直角三角形，已知一角与一个角可以利用直角三角形的边角关系来求线段的长.

（2012四川攀枝花，19，6分）（6分）如图6，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A 地观测到我渔船C 在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B 处，此时观测到我渔船C 在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C 的距离最近？（假设我渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）

【解析】解直角三角形的应用-方向角问题．

【答案】作CD ⊥AB 于D ，设BD =x ，∵∠BCD =30°，∴CD 3，因为∠CAD =45°，∴AD =CD 3，AB 3–x 3–x =0.5，x =314，答：再航行31

小时，离渔船C 的距离最近。

【点评】利用勾股定理或三角函数都可很顺利的解出结果。此题的关键是用小时来表示AB 间的距离。

（2012江西，22，9分）小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图1．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ， B 、D 两点立于地面，经测量： AB =CD =136cm ，OA =OC =51cm ，OE =OF =34cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF =32cm ．

(1)求证：A C ∥BD ；

(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角OEF ∠的度数（精确到0.1°）；

(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由．

（参考数据：sin 61.90.882,cos 61.90.471,tan 28.10.533?≈?≈?≈，可使用科学计算器）

图1 图2

解析：（1）利用等腰三角形的性质或三角形相似，可得AC ∥BD ；（2）过点O 作OG ⊥EF 交EF 于G ，构造直角三角形，利用三角函数可求得∠OEF 的度数；（3）利用三角形相似或三角函数可求解。答案：解：（1）证法一：

∵AB 、CD 相交于点O ，∴∠AOC =∠BOD ，

∵OA =OC ，∴∠ OAC =∠OCA=

（180°-∠AOC ），

B F

E O C A

H A

O E

F B

同理可证：∠ OBD =∠ODB=

（180°-∠BOD ）， ∴∠ OAC =∠OBD ， ∴AC ∥BD ．证法二：

∵AB =CD =136 cm ，OA =OC =51 cm ， ∴OB =OD =85 cm ，

OA OC OB OD ==；又∵∠AOC =∠BOD ，

∴ △AOC ∽△BOD ，∴∠ OAC =∠OBD ， ∴AC ∥BD ．

（2）在△OEF 中，OE ＝OF ＝34cm ，EF =32cm ；

作OM ⊥EF 于点M ，则EM =16cm ；

∴16

cos 0.47134

EM OEF OE ∠=

=≈，用科学计算器求得∠OEF =61.9°；

（3）解法一：小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面．

在Rt △OEM 中，∴2

341630OM OE EM =--=cm ；同（1）可证： EF ∥BD ，∴∠ABD =∠OEF ，

过点A 作AH ⊥BD 于点H ，则Rt △OEM ∽Rt △ABH ， ∴

OE OM

AB AH

=，30136120cm 34OM AB AH OE ??=

==． ∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm ＞晒衣架高度AH=120cm ．

解法二：小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面．同（1）可证： EF ∥BD ，∴∠ABD =∠OEF=61.9°，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，在Rt △ABH 中，

∵sin AH

ABD AB

∠=

， ∴sin 136sin 61.91360.882120.0AH AB ABD =?∠=??=?≈cm ；

∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm ＞晒衣架高度AH=120cm ．

点评：这是一道几何应用题，体现了新课标理念：数学来源于生活，并服务于生活。背景情境的设置具有普遍性和公平性。涉及到知识点有：平行线的判定、等腰三角形的性质或三角形相似、锐角三角函数等。题目设置由易到难，体现了对数学建模思想的考察，以及由理论到实践的原则，比较全面地考察了学生对几何基础知识的掌握情况和对知识的应用能力。题目平实、新颖、综合性强。

（2012湖北黄石，22，8分）如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平线夹角为错误！未找到引用源。1，且在水平线上的的射影AF 为1．4m ．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为错误！未找到引用源。2，并已知tan 错误！未找到引用源。1＝1．082，tan 错误！未找到引用源。

2＝0．

412．如果安装工人已确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？

【解析】如图所示，过A 作AE ∥BC 交CD 于点E ，则所求CD 转化为CE ＋DE ，而CE ＝AB ＝25cm ，只要求出DE ，而DE ＝DF －EF ，分别在R t △DAF 与R t △EAF 中表示出DF 与EF ．

【答案】如图所示，过A 作AE ∥BC 交CD 于点E ，则∠EAF ＝∠CBG ＝θ2，

且EC ＝AB ＝25cm ...........................2分 R t △DAF 中：∠DAF ＝θ1，DF ＝AF tan θ1 (1)

分 R t △EA F 中：∠EAF ＝θ2，EF ＝AF tan θ2 ∴DE ＝DF －EF ＝AF (tan θ1－tan θ2) 又∵AF ＝140cm ， tan θ1＝1．082， tan θ2＝0．412

∴DE ＝140×(1．082－0．412)＝93．8

∴DC ＝DE ＋EC ＝93．8＋25＝118．8 cm ≈119cm 答：支架DC 的高应为119cm ．

【点评】本题着重考查了解直角三角形的应用，难点在于作出辅助线，将问题转化到直角三角形中及线段和差．

（2012年四川省德阳市，第6题、3分．）某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航

行

小时到达B 处，那么tan ∠ABP= A.

B.2

C.55

D.552

【解析】如图6所示，根据题意可知∠APB=90°．且AP=20, PB=60×

=40. 所以tan ∠ABP=

201

402

PA PB ==,故选D ． G F

θ2θ1

【答案】D

【点评】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键

（2012连云港，24，10分）（本题满分10分）已知B 港口位于A 观测点北偏东53.2°方向，且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16km 。一艘货轮从B 港口以40km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行，15min 后到达C 处。现测得C 处位于Ａ观测点北偏东79.8°方向。求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长（精确到0.1km ）.

(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，

东

北

【解析】过点B 作AC 的垂线，把所求线段AC 换为两线段的差。利用Rt △ABH 和Rt △BCH 求线段AH 、CH 的长，利用AH －CH 确定AC 的长。【答案】BC=40×

=10. 在Rt △ADB 中，sin ∠DAB=DB

, sin53.2°≈0.8。所以AB=

DAB DB

sin ≈1.60.8

=20.

如图，过点B 作BH ⊥AC ，交AC 的延长线于H 。在Rt △AHB 中，∠BAH=∠DAC －∠DAB=63.6°―37°=26.6°，

tan ∠BAH=

AH ,0.5=AH

,AH =2BH. BH 2＋CH 2=AB 2,BH 2+(2BH)2=2025所以5 在Rt △AHB 中，BH 2＋CH 2=BC 2，2108025-= 所以555

【点评】本题的关键是把方位角放到相应的直角三角形中，找到直角三角形利用三角函数求

出线段的长。

(2012山东省聊城，22，8分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛P 处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图），小船从P 处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A 处，接着向正南方向划行一段时间到B 处.在B 处小亮观测妈妈所在的P 处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？

解析：题目相当求线段PB 长，需要把图形转化为解直角三角形来解决，过点P 作PC ⊥AB 于 C ，先解Rt △APC ，求出PC 长，在解Rt △PBC 即可求出PB 长.

解：过点P 作PC ⊥AB 于C ，

在Rt △APC 中，AP=200m ，∠ACP=90°，∠PAC=60°. ∴ PC= 200×sin60°=200 ×

=1003 m.

∵在Rt△PBC中，sin37°=

PB ，∴PB=≈

?60

sin

289（m）

答：小亮与妈妈相距约289米.

（2012山东泰安，13，3分）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30o，朝物体AB方向前进20米到达点C，再次测得A点的仰角为60o，则物体的高度为（）

3 B.10米3 D.203 3

【解析】设AB高为x米，在R t△ABD中，∠D=30o，所以33，在R t△ABC中，

∠ACB=60o，所以33

，因为BD-BC=CD3

20，解得3

即物体的高为3.

【答案】A.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，分别在两个直角三角形中，设出未知数，由锐角三角函数把与已知线段在同一条直线上的两条未知线段表示出来，然后构建方程，解方程即可求出未知线段的长．

（2012四川成都，17，8分）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求

出旗杆AB的高度．(结果精确到0.13 1.732

≈ )

解析：由题意可知，四边形BCED是矩形，所以BC=DE，然后在Rt△ACE中，根据tan∠

AEC=AC

,可求出AC的长。

答案：由题意可知，四边形BCED是平行四边形，所以CE=BD=6米，CB=ED=1.5米

在Rt △ACE 中，tan ∠AEC=EC

即tan60°=

∴36 1.7326≈?10.4≈(米)

∴AB=AC+CB=10.4+1.5=11.9（米）

点评：解直角三角形问题时，要选准三角函数并加以应用，是解题的关键。

（2012贵州贵阳，19，10分）小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差.如图，他利用测角仪站在C 点处测得∠ACB=68°,再沿BC 方向走80m 到达D 处，测得∠ADC=34°,求落差AB.（测角仪高度忽略不计，结果精确到1m ，可以使用计算器）

解析：由已知可得△ACD 是等腰三角形，故得AC=CD=80,在Rt △ACB 中解直角三角形可求AB.

解：∵∠ACB=68°, ∠D=34°, ∴∠CAD=68°-34°=34°, ∴∠ CAD=∠D, ∴AC=CD=80.

在Rt △ABC 中，AB=AC ×sin 68°=80×sin 68°=74, ∴瀑布的落差约为74m.

点评：解直角三角形在实际生活中的应用是中考热点之一，解题时，首先是根据题意画出图形（已经画图的则需要弄懂图形所表示的实际意义），解直角三角形时就结合图形分清图形中哪个是直角三角形，已知锐角的对边、邻边和斜边．此外还应正确理解俯角、仰角等名词术语．

（2012浙江丽水，19，6分）学校校园内有一小山坡，经测量，坡角∠

ABC=30°，斜坡AB 长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1:3（即为CD 与BC 的长度之比），A ，D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.

【解析】：因为AD=AC-CD ，故欲求AD ，只需先求AC 、CD.为止可先解直角△ABC ，求出BC

，再根据坡比即可求出CD.

【解】：在Rt △ABC 中，∠ABC=30°，

第19题图