【2016年高考数学】(山东版)2016届高三数学【理】上学期第二次月考试题(含答案)
第二次月考数学理试题【山东版】
注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．禁止使用计算器．
3．答卷之前将姓名、班级等信息填写在答题卡与答题纸的相应位置.
4．答卷必须使用黑色0.5毫米中性笔，使用其它类笔不给分． 画图题可先用铅笔轻轻画出，确定答案后，用中性笔重描． 禁止使用透明胶带，涂改液，修正带．
5．选择题填涂在答题卡上，填空题的答案抄写在答题纸纸上．
解答题必须写出详细的解题步骤，必须写在答题纸相应位置，否则不予计分．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：每小题5分，共10题，50分．
1．已知集合 A ＝{0,1, 2,3} ，集合 {|||2}B x N x =∈≤ ，则A B =（ ） A ．{ 3 } B ．{0，1，2} C ．{ 1，2} D ．{0，1，2，3}
2．若0()3f x '=-，则000
()()
lim
h f x h f x h h
→+--=（ ）
A ．3-
B ．6-
C ．9-
D ．12- 3．函数)ln()(2
x x x f -=的定义域为（ ）
A.)1,0(
B. ]1,0[
C. ),1()0,(+∞-∞
D. ),1[]0,(+∞-∞
4．已知函数||5)(x x f =，)()(2
R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. -1
5．已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(2
3++=-x x x g x f ，则
=+)1()1(g f （ ）
A. 3-
B. 1-
C. 1
D. 3
6．已知集合A ={2，0，1，4}，B ={k |k R ∈，2
2k A -∈，2k A -?}，则集合B 中所有元素之
和为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．0 D
7．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．1 8．若1
2
()2(),f x x f x dx =+?
则1
()f x dx =?（ ）
A.1-
B.13-
C.1
3
D.1
9．下列四个图中，函数 ）
A
B
C
D
10．如图所示的是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2
2
21x x +等于（ ）
A ．
32 B ．34 C ．38 D ．3
16
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：每小题5分，共5题，25分．
11．物体运动方程为23t S =-，则2t =时瞬时速度为
12．已知()f x =2
lg(
)1a x
+-是奇函数，则实数a 的值是
13．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为a ，拱高为b ，其面积为____________．
14．不等式6
32(2)(2)x x x x -+>+-的解集为____________．
15．已知()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34x
f f x ??-=??，
则(2)f =____________．
三、解答题：共6小题，75分．写出必要文字说明、证明过程及演算步骤.
16．(本小题满分12分)
已知函数()f x 的定义域为(2,2)-，函数()(1)(32)g x f x f x =-+- （Ⅰ）求函数()g x 的定义域；
（Ⅱ）若()f x 是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式()0g x ≤的解集.
17．(本小题满分12分)
已知曲线 3
2y x x =+- 在点 0P 处的切线 1l 平行直线410x y --=，且点 0P 在第三象限. （Ⅰ）求0P 的坐标；
（Ⅱ）若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点0P ,求直线
l
的方程.
18．（本小题满分12分）
若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为()f x 的不动点．已知函数3
()3f x x bx =++，
其中b 为常数．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若存在一个实数0x ，使得0x x =既是()f x 的不动点，又是()f x 的极值点．求实数b 的值； 19．（本小题满分12分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
313
8
(0120)12800080
y x x x =
-+<≤
已知甲、乙两地相距100千米
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 20．(本小题满分13分)
已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1
()()(0)()
g x af x x f x '=
+≠' （Ⅰ）当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;
（Ⅱ）若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求直线27
36
y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积. 21．（本小题满分14分）
设关于x 的方程012
=--mx x 有两个实根βαβα<,,，函数()1
22
+-=
x m
x x f 。 （Ⅰ）求()()ββααf f +的值；
（Ⅱ）判断()x f 在区间()βα,的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若μλ,均为正实数，证明：βαμλλβμαμλμβλα-
? ??++-?
???
??++f f
参考答案
一、选择题：BBCAC BCBCC
二、填空题：11．4ln 2 12． -1 3．
2
3
ab 14.｛x|x<-1或x>2｝ 15．10 13．建立平面直角坐标系，求出抛物线方程积分即可．2-2课本P60原题．
14．原不等式等价于623(2)(2).x x x x +>+++设3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调增.
所以，原不等式等价于22()(2)212f x f x x x x x >+?>+?<->或 所以，原不等式解集为｛x|x<-1或x>2｝
15．依题意，()3x f x -为常数。设()3x f x m -=，则()4f m =，()3x f x m =+。
∴ 34m
m +=，340m
m +-=。易知方程340m
m +-=有唯一解1m =。 ∴ ()31x f x =+，2(2)3110f =+=。 三、解答题： 16．解：
（Ⅰ）由题意可知：13
21215232222
x x x x -?--??
???--???＜＜＜＜＜＜＜＜
，解得1522x <<…………………………3分
∴函数()g x 的定义域为15
(,)22
………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由()0g x ≤得(1)(32)f x f x -+-≤0， ∴(1)(32)f x f x -≤--
又∵()f x 是奇函数， ∴(1)(23)f x f x -≤- …………………………………8分
又∵()f x 在(2,2)-上单调递减，∴212
1223222123
x x x x x --??
--???--?
＜＜＜＜＜≤≥………………11分
∴()0g x ≤的解集为???
??2,21
………………………………………………………………12分
17．解:
（Ⅰ）由32y x x =+－，得231y x '=+，…………………………………………………………2分
由1l 平行直线410x y --=得2
314x +=，解之得1x =±.
当1x =时， 0y =; 当1x =－时，
4y =－.…………………………………………4分
又∵点0P 在第三象限, ∴切点0P 的坐标为(1,4)－
－ ……………………………………6分 （Ⅱ）∵直线1l l ⊥, 1l 的斜率为4, ∴直线l 的斜率为1
4
-
, ………………………………8分 ∵l 过切点0P ,点0P 的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为1
4(1)4y x +=-
+ ………………………………………………………11分
即4170x y ++= …………………………………………………………………………12分
18．解：
（Ⅰ）因3
()3f x x bx =++，故2
()3f x x b '=+． ………………………………………1分
当0b ≥时，显然()f x 在R 上单增； …………………………………………………………3分
当0b <
时，由知x >
x < ………………………………………5分 所以，当0b ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；
当0b <时，()f x
的单调递增区间为(,-∞
，)+∞ …………………………6分
（Ⅱ）由条件知2
03000
303x b x bx x ?+=?++=?，于是3
00230x x +-=，………………………………………8分
即2
000(1)(223)0x x x -++=，解得01x =……………………………………………11分
从而3b =-． ……………………………………………………………………………12分
19．解:
（Ⅰ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了
100
2.540
=小时，…………………………………2分 要耗油313
(
40408) 2.517.512800080
?-?+?=………………………………………4分
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升……………………5分 （Ⅱ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
100
x
小时，设油耗为()h x 升， 依题意得313100()(
8)12800080h x x x x =-+ 2180015
12804
x x =+- （0120x <≤）…7分 方法一:则33
22
80080()640640x x h x x x
-'=-= （0120x <≤）……………………………8分 令()0h x '=，解得80x =，列表得
………………………10分
所以当80x =时，()h x 有最小值(80)11.25h =．…………………………………………………11分 方法二: 2180015()12804h x x x =
+-2140040015
12804
x x x =++-…………………………8分 15
4
≥＝11.25………………………………………10分
当且仅当
214004001280x x x
==时成立，此时可解得80x =………………………………11分 答：当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升．…12分 20．解:
（Ⅰ）∵()ln f x x =,
∴当0x >时,()ln f x x =，1
()f x x '=
当0x <时,()ln()f x x =-,11()(1)f x x x '=?-=-. ∴当0x ≠时,函数()a
y g x x x
==+.…………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知当0x >时,()a
g x x x
=+,
∴当0,0a x >>时
, ()≥g x
x =.
∴函数()y g x =在(0,)+∞
上的最小值是
∴依题意得2=∴1a =.…………………………………………………………………8分
（Ⅲ）由27361
y x y x x ?=+????=+??
解得2121322,51326x x y y ?==????
??=??=???
∴直线27
36
y x =
+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积 232271()()3
6S x x dx x ??
=+-+?????=2ln 23ln 247-+………………………………………13分
21．解：
（Ⅰ）∵,αβ是方程2
10x mx --=的两个根，
∴m αβ+=，1αβ=-， ……………1分
∴()221
m f ααα-=+，又m αβ=+，∴()222()1f ααβαβααααβ-+-==+-1α=，………3分
即()1f αα=，同理可得()1f ββ=
∴()f α
α＋()2f ββ=……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵()222
2(1)
(1)x mx f x x --'=-+，…………………………………………………………………6分
将m αβ=+代入整理的()22
2()()
(1)x x f x x αβ--'=-
+……………………………………7分
又()(),,0x f x αβ'∈>，∴()x f 在区间()βα,的单调递增; ………………………8分 （Ⅲ）∵λαμβαλμ+-
+()0μβαλμ-=>+，λαμββλμ+-+()
0μαβλμ
-=<+
∴λαμβ
αβλμ
+<
<+…………………………………………………………………………10分
由（Ⅱ）可知()(
)()f f f λαμβαβλμ+<<+，同理()()()f f f μαλβ
αβλμ
+<<+
()()f f f f λαμβ
μαλβαβλμλμ????++-<-
? ?++????
…………………………………………12分 由（Ⅰ）可知1
()f αα
=
，1
()f ββ
=
，1αβ=-，
∴11
()()|
||
|||f f αβ
αβαβαβ
αβ
--=-
==- ∴βαμλλβμαμλμβλα-
? ?
?++-?
???
??++f f ……………………………………………14分