2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案

2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析

一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．

指定位置上. (1) 设

{x n } 是数列,下列命题中不正确的是 (

)

(A) 若lim x n = a ,则 lim x 2n = lim x 2n +1 = a

n →∞

n →∞

n →∞

(B) 若lim x 2n = lim x 2n +1 = a , 则lim x n = a

n →∞

n →∞

n →∞

(C) 若lim x n = a ,则 lim x 3n = lim x 3n +1 = a

n →∞

n →∞

n →∞

(D) 若lim x 3n = lim x 3n +1 = a ,则lim x n = a

n →∞

【答案】(D)

n →∞

n →∞

【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.

数列

x n → a (n → ∞) ? 对任意的子列{x n k }

均有 x n k 确； D 错(D 选项缺少 x 3n +2 的敛散性),故选 D

→ a (k → ∞) ,所以 A 、B 、C 正

(2) 设函数 f

( x ) 在(-∞, +∞) 内连续,其

2 阶导函数 f ''( x ) 的图形如右图所示,则曲线 y = f ( x ) 的拐点个数为 (

)

(A) 0 (B) 1

(C) 2

(D) 3

【答案】(C)

【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是 f ''(x ) 不存在的点或

f ''(x ) = 0 的点处产生.所以 y = f (x ) 有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改

变的点；二阶导函数 f ''(x ) 符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为 2，故选 C.

(3) 设

D =

{( x , y ) x 2

+ y 2

≤ 2x , x 2

+ y 2

≤ 2y },函数 f ( x , y ) 在 D 上连续,则

?? f ( x , y )d x d y = (

)

D

π

θ

2cos θ

π

2sin θ

(A) (A

)

0 d ?0

f (r cos θ , r sin θ )r d r + 2 d θ 0 4 f (r cos θ , r sin θ )r d r

π

θ 2sin θ

π

2cos θ

(B) (B

)

d ?0

f (r cos θ , r sin θ )r d r + 2 d θ 0 4

f (r cos θ , r sin θ )r d r

4 4 ?π ? ?π ? ?

?

3

n

∞

n ln n ?n

+1 n

1 x (C)

2 d x

f ( x , y )d y

?0 ?

1- 1

(D) (

D )

2?0 d x ?x

f ( x , y )d y

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域

D = ? π ? ? π π ? 1 ?(r ,θ

) 0 ≤ θ ≤ 4 , 0 ≤ r ≤ 2sin θ ? D 2 = ?(r ,θ ) 4 ≤ θ ≤ 2 , 0 ≤ r ≤ 2 c os θ ? ? ? ? ?

所以

π 2sin θ

π 2cos θ ??

?0

?

?π ?

f (x , y )dxdy = D

故选B.

4

d θ

f (r cos θ , r sin θ )rdr +

2

d θ

4

f (r cos θ , r sin θ )rdr ，

(4) 下列级数中发散的是(

)

∞ n

∞

1

1 (A) (

A )

∑ n

n =1 (B)

∑

n =1

ln(1+ n )

∞ (-1)n +1

∞ n !

(C) (

C )

∑

n =2 ln n

(D)

∑ n

n =1 【答案】(C)

A lim n +1 3n +1 = lim n +1 = 1 < 1

【解析】 为正项级数，因为 n →∞ n 3n

n →∞ 3n ，所以根据正项级数的比值 3 判别法∑ n n 收敛；B 为正项级数，因为 1 ln(1+ 1 ) ，根据 P 级数收敛准则，知 n =1 3

∞

1

1

∞ (-1)n +1 n

∞ (-1)n ∞ 1 ∑

n =1

ln(1+ ) 收敛；C ， ∑ n =1 ln n = ∑ n =1

ln n + ∑ ，根据莱布尼茨判别法知 n =1

∞

(-1)n

∞ 1 ∞

(-1)n +1 ∑ ln n 收敛， ∑ ln n 发散，所以根据级数收敛定义知，∑

ln n 发散；D 为正项级 n =1 n =1 (n +1)! (n +1)n +1

(n +1)! n n

n =1

? n ?n

1 数，因为lim n →∞ n ! n n ∞

n !

= lim n →∞ n ! (n +1) = lim n →∞ ? n +1 ?

= < 1，所以根据正项级数 e 的比值判别法

∑ n 收敛，所以选

C. n =1

1-x 2 2 x -x 2

n

n 1 n 2 3

n

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ? 1 2 3 ? ? ?

1 2 3 ?1 1 1 ?

?1 ? ?

? (5) 设矩阵 A = 1 2 a ? , b = d ? .若集合Ω= {1, 2} ，则线性方程组 Ax = b 有无穷

? 1 4 a 2 ?

2 ?

? ?

多解的充分必要条件为 (

)

? d ?

(A) (

A

)

a ?Ω, d ?Ω

(B) a ?Ω, d ∈Ω

(C) a ∈Ω, d ?Ω

(D) a ∈Ω, d ∈Ω

【答案】(D)

?1 1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ? 【解析】( A , b ) = 1 2 a d ? → 0 1 a -1

d -1 ?

? ? 1 4 a 2 d 2 ? 0 0 (a -1)(a - 2) (d -1)(d - 2) ? ? ? ? ? ，

由 r (A ) = r (A ,b ) < 3 ，故a = 1或a = 2 ，同时d = 1或d = 2 .故选（D ）

(6) 设二次型 f

( x 1, x 2, x 3 ) 在正交变换 x = Py 下的标准形为2 y 2 + y 2 - y 2

，其中

P = (e 1, e 2 , e 3 ) ，若Q = (e 1, -e 3, e 2 ) 则 f = (x 1, x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy 下的标准形为

(

)

(A) 2 y 2 - y 2 + y 2

(B)

2 y 2 + y 2 - y 2

(C) 2 y 2 - y 2 - y 2

(D) 2 y 2 + y 2 + y 2

【答案】(A)

【解析】由 x = Py ，故 f

? 2 0 0 ?

且 P T AP = 0 1 0 ? .

= x T Ax = y T (P T AP ) y = 2y 2 + y 2 - y 2 .

0 0 -1?

? ? ? 1 0 0 ? 又因为Q = P 0 0 1 ?

= PC

0 -1 0 ? ? ? ? 2 0 0 ? 故有Q T

AQ = C T

(P T

AP )C = 0 -1 0 ?

所以 f ? 0 0 1 ? = x T Ax = y T (Q T AQ ) y = 2y 2 - y 2 + y 2

.选（A ）

值,则 E ?∑(

X i - X )

n -1 x 0

(x ) ?

?

1 (7) 若 A , B 为任意两个随机事件,则: ( )

(A) P ( A B ) ≤ P ( A ) P (B )

P ( A ) + P (B )

(B) P ( A B ) ≥ P ( A ) P (B )

P ( A ) + P (B )

(C) (C

)

P ( AB ) ≤

2 (D) P ( AB ) ≥

2

【答案】(C)

【解析】由于 AB ? A , AB ? B ，按概率的基本性质，我们有 P (AB ) ≤ P (A ) 且

P ( A ) + P (B )

P (AB ) ≤ P (B ) ，从而 P ( AB ) ≤≤

，选(C) .

2

(8) 设总体

X ~ B (m ,θ ), X 1, X 2, , X n 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均

? n ?i =1 2 ? = (

)

??

(A) (m -1)n θ (1-θ ) (C) (m -1)(n -1)θ (1-θ )

(B) m (n -1)θ (1-θ ) (D) mn θ (1-θ )

【答案】(B)

n

2

2 2 【解析】根据样本方差 S = ∑( X i - X )

i =1

的性质 E (S ) = D ( X ) ，而

D (X ) = m θ (1-θ ) ，从而

E [∑( X i i =1

- X )2 ] = (n -1)E (S 2

) = m (n -1)θ (1-θ ) ，选(B) .

二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．

指定位置上.

(9) (9) lim ln(cos x ) =

.

x →0

x 2

【答案】- 1

2

【解析】原极限= lim

ln(1+ cos x -1) = lim cos x -1 = -

1

x →0 x 2 x →0 x 2 2

2 (10) 设函数 f (x ) 连续，?(x ) = ? xf (t )d t , 若?

= ?' = 则 = 【答案】2

(1) 1, (1) 5, 0

f (1)

.

【解析】因为 f (x ) 连续，所以?(x ) 可导，所以?' = ?

x 2

f (t )dt + 2x 2 f (x 2 ) ；

因为?(1) = 1，所以?(1) = 1

f (t )dt = 1

又因为?'(1) = 5 ，所以?'(1) = 1

f (t )dt + 2 f (1) = 5

n P ( A ) ? P (B )

(0,0) 1 2 故 f (1) = 2

(11) 若函数 z = z (x , y ) 由方程e x +2y +3z + xyz = 1确定，则d z = ?. 【答案】- 1 dx - 2

dy

3 3

【解析】当 x = 0 ， y = 0 时带入e x +2y +3z + xyz = 1，得 z = 0 .

对e x +2y +3z + xyz = 1求微分，得

d (

e x +2y +3z + xyz ) = e x +2y +3z d (x + 2y + 3z ) + d (xyz )

= e x +2y +3z (dx + 2dy + 3dz ) + yzdx + xzdy + xydz = 0

把 x = 0 ， y = 0 ， z = 0 代入上式，得dx + 2dy + 3dz = 0

所以dz

(0,0)

= - 1 dx - 2 dy 3 3

(12) 设函数 y = y (x ) 是微分方程 y ' + y ' - 2y = 0 的解，且在 x = 0 处取得极值 3，则

y (x ) = ?.

【答案】 y (x ) = e -2x + 2e x

【解析】 y ' + y '- 2y = 0 的特征方程为λ2 + λ - 2 = 0 ，特征根为λ = -2 ， λ = 1，所

以该齐次微分方程的通解为 y (x ) = C e -2x + C e x ，因为

y (x ) 可导，所以 x = 0 为驻点，即 y (0) = 3 ， y '(0) = 0 ，所以C 1 = 1 ， C 2 = 2 ，故 y (x ) = e -2 x + 2e x

(13) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为2, -2,1 ， B = A 2 - A + E , 其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式 B = ?.

【答案】 21

【解析】 A 的所有特征值为2, -2,1. B 的所有特征值为3, 7,1. 所以| B |= 3?7?1 = 21.

(14) 设二维随机变量( X ,Y ) 服从正态分布 N (1, 0;1,1;0) ，则

P {XY -Y < 0} = ?.

1 【答案】

2

= ?

2 【解析】由题设知， X ~ N (1,1),Y ~ N (0,1) ，而且 X 、Y 相互独立，从而

P {XY -Y < 0} = P {(X -1)Y < 0} = P {X -1 > 0,Y < 0}+ P {X -1< 0,Y > 0}

= P { X > 1}P {Y < 0 }+ P {X < 1}P Y {> 1 1 1+ 1

? .

0 } 2 2 2 2

三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分 10 分)

设函数 f (x ) = x + a ln(1+ x ) + bx sin x , g (x ) = c = kx 3 .若 f (x ) 与 g (x ) 在 x → 0 时是

等价无穷小，求a ,b , k 的值.

-1 -1 【答案】 a = -1, b = , k =

2 3

【解析】法一：

x 2 x 3 3 x 3 3 因为ln(1+ x ) = x - + + o (x ) ， sin x = x - + o (x ) ， 2 3 3!

则有，

1 = lim f (x ) = lim x + a ln(1+ x ) + bx sin x = lim (1+ a )x + (b - a )x

2 + a

x 3 + o (x 3)

2 3 ， x →0 g (x ) x →0 kx 3 x →0 kx 3

? ?1+ a = 0 ?

? a = -1 ? a ??1 可得： b - = 0 ，所以， ?b =- ． ? ? ? ? ? a = 1 ?k =- 1 ?? 3k ?? 3

法二： 由已知可得得

1+ a

+ b s in x + bx cos x

1 = lim f (x ) = lim x + a ln(1+ x ) + bx sin x = lim 1+ x

x →0 g (x ) x →0 kx 3 x →0 3kx 2

由分母lim 3kx 2 = 0 ，得分子lim(1+ a

+ b sin x + bx cos x ) = lim(1+ a ) = 0 ，求得

x →0 c ；

x →0 1+ x

x →0 2

2-x 2

1

?

? 2 dx x dy

于是1 = lim

f (x ) = lim 1- 1 1+ x + b sin x + bx cos x

x →0 g (x ) x →0 3kx 2

= lim

x + b (1+ x ) sin x + bx (1+ x ) cos x

x →0 3kx （2 1+ x ）

= lim x + b (1+ x ) s i n x + bx (1+ x ) c o s x x →0 3kx 2

= lim 1+ b sin x + b (1+ x ) cos x + b (1+ x ) cos x + bx cos x - bx (1+ x ) sin x x →0

由分母lim 6kx = 0 ，得分子

x →0

6kx

lim[1+ b sin x + 2b (1+ x ) cos x + bx cos x - bx (1+ x ) sin x ] = lim(1+ 2b cos x ) = 0 ，求

x →0

得b = - 1

；

2

x →0

进一步，b 值代入原式

1- 1 sin x - (1+ x ) cos x - 1 x cos x + 1

x (1+ x ) sin x

1 = lim f (x ) = lim

2 2 2 x →0 g (x ) x →0 6kx

- 1 cos x - cos x + (1+ x ) sin x - 1 cos x + 1 x sin x + 1 (1+ x ) s in x + 1 x sin x + 1

x (1+ x ) cos x

= lim 2

x →0 2 2 2 2 2 6k - 1 = 2 ，求得k = - 1 . 6k 3

(16)(本题满分 10 分) 计算二重积分

?? x (x + y )d x d y ，其中 D ={(x , y ) x 2 + y 2 ≤ 2, y ≥ x 2}.

D

【答案】 π - 2 4 5

【解析】

?? x (x + y )dxdy = ?? x 2dxdy

D

D

= ?0

2 x 2

= 2 1

x 2 0

1

x 2 )dx

2 x = 2 sin t π?2 = 2?0 x 2 - x 2 dx - = 5 2 4 2sin 2

t 2 c os 2 tdt - 0 5

π

2 u =2t π 2 π 2 = 2? 4 sin 2

2tdt - = ? 2

sin 2 udu - = - .

0 5

0 5 4 5 2 - x 2 ? 2

(17)(本题满分 10 分)

为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，

P 为价格，MC 为边际成本，η 为需求弹性(η > 0) .

(I) 证明定价模型为 P = MC

；

1- 1

η

(II) 若该商品的成本函数为C (Q ) = 1600 + Q 2 ，需求函数为Q = 40 - P ，试由（I ）中 的定价模型确定此商品的价格.

【答案】(I)略(II) P = 30 .

【解析】(I)由于利润函数 L (Q ) = R (Q ) - C (Q ) = PQ - C (Q ) ,两边对Q 求导，得

dL

= P + Q dP - C '(Q ) = P + Q dP

- MC . dQ dQ dQ

dL

P dQ dP 1 P

当且仅当

= 0 时，利润 L (Q ) 最大，又由于η = - ? ,所以 = - ? ,

dQ Q dP

dQ η Q

故当 P =

MC 1

时，利润最大.

1- η

(II)由于 MC = C '(Q ) = 2Q = 2(40 - P ) ,则η = - P ? dQ

= Q dP P 40 - P

代入(I)中的定价模 型，得 P =

2(40 - P ) ,从而解得 P = 30 .

1-

40 - P P

(18)(本题满分 10 分)

设函数 f (x ) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x 0 ∈ I ，曲线 y = f (x ) 在点

(x 0 , f (x 0 )) 处的切线与直线 x = x 0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且达式.

f (0) 2= ，求 f (x ) 表

【答案】 f ( x ) =

8

4 - x

【解析】曲线的切线方程为 y - f (x 0 ) = f '(x 0 )(x - x 0 ) ，切线与 x 轴的交点为

?

f ( x 0 ) ?

x 0 - ? f '( x 0 ,0 ? ? )

1 2 1 2

故面积为： S = 1

f 2

( x )

= 4 . 2 f '( x 0 )

故 f ( x ) 满足的方程为 f 2 ( x ) = 8 f '(x ),此为可分离变量的微分方程, 解得 f ( x ) =

-8

x + C ，又由于 f (0) = 2 ，带入可得C = -4 ，从而 f ( x ) = 8 4 - x

(19)(本题满分 10 分)

（I ） 设函数u (x ), v (x ) 可导，利用导数定义证明[u (x )v (x )]' = u '(x )v (x ) + u (x )v '(x );

（I I ） 设函数u 1 (x ),u 2 (x ),

,u n (x ) 可导， f (x ) = u 1(x )u 2 (x ) u n (x ) ，写出 f (x ) 的

求导公式.

【答案】 f '(x ) =[u 1(x )u 2 (x ) = u '(x )u (x ) 【解析】（I ）[u (x )v (x )]' = lim

u (x + h )v (x + h ) - u (x )v (x )

h →0

h

= lim u (x + h )v (x + h ) - u (x + h )v (x ) + u (x + h )v (x ) - u (x )v (x ) h →0 h

= lim u (x + h ) v (x + h ) - v (x ) + lim u (x + h ) - u (x ) v (x )

h →0 h h →0 h = u (x )v '(x ) + u '(x )v (x )

（II ）由题意得

f '(x ) =[u 1(x )u 2 (x ) = u '(x )u (x ) (20) (本题满分 11 分)

? a 1 0 ? 设矩阵 A=

1 a -1? ，且 A 3 = O .

? 0 1 a ? ? ?

(I) 求a 的值；

(II) 若矩阵 X 满足 X - XA 2 - AX + AXA 2 = E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X .

? 3 1 【答案】a = 0, X =

1 1 -

2 ? -1?

? 2 1 -1? ? ?

u n (x )]'

u (x ) + u (x )u (x ) u n (x ) + n 1 2 ' + u 1(x )u 2 (x ) u '(x )

n u n (x )]'

u (x ) + u (x )u (x ) u n (x ) + n 1 2 ' + u 1(x )u 2 (x ) u '(x )

n 0

? ?

? ? ?

a 1 0

0 1 0 【解析】(I) A 3 = O ? A = 0 ? 1 a -1 = 1- a 2 a -1 = a 3

= 0 ? a = 0

(II)由题意知

0 1 a

-a

1 a

X - XA 2 - AX + AXA 2 = E ? X (E - A 2 ) - AX (E - A 2 ) = E ? ( E - A ) X (E - A 2

) = E ? X = (E - A )

-1

(E - A 2 )

-1

= ?(E - A 2

)(E - A )?-1

? X = (E - A 2 - A )

-1

? 0 -1 1 ?

E - A 2 - A = -1 1 1 ?

，

-1 -1 2 ? ? ?

? 0 -1 1M 1 0 0 ? ? 1 -1 -1M 0 -1 0 ? -1 1 1M 0 1 0 ? →

0 -1 1 M 1 0 0 ?

? ? -1 -1 2M 0 0 1 ? -1 -1 2 M 0 0 1 ? ? ? ? ? ? 1 -1 -1M0 -1 0 ? ? 1 -1 -1M0 -1 0 ? → 0 1 -1M -1 0 0 ? → 0

1 -1M -1 0 0 ?

?

?

0 -2 1 M 0 -1 1 ? 0

0 -1M -2 -1 1 ?

? ? ?

?

? 1 -1 0M 2 0 -1? ? 1 0 0M 3 1 -2 ? → 0 1 0M 1 1 -1? → 0 1

0M 1 1 -1?

?

?

0 0 1M 2 1 -1? 0 0

1M 2 1 -1?

?

? ?

?

? 3 1 ∴ X =

1 1 -

2 ? -1?

? 2 1 -1? ? ?

(21) (本题满分 11 分)

? 0 2

-3?

? 1 -2 0 ? 设矩阵 A = -1 3 -3? 相似于矩阵 B = 0 b 0 ? .

? ? 1 -2 a ? 0 3 1 ? ? ? ? ?

(I) 求 a , b 的值；

（II ）求可逆矩阵 P ，使 P -1AP 为对角矩阵.

? 2 -3 -1? 【答案】a = 4, b = 5, P =

1 0 -1?

【解析】(1) ? 0 1 1 ? A ~ B ? tr (A ) = tr (B ) ? 3 + a =1+ b +1

3 ? ? n -1

0 2 -3 1 -2 0

A =

B ? -1 3 -3 = 0 b 0

1 -

2 a 0

3 1

∴?a - b = -1 ? ?a = 4 ?2a - b = 3 ? = 5 ? ?b

? 0 2 ∴ A = -1 3 -3? ? 1 0 0 ? ? -1 2 -3? = 0 1 0 ?

+ -1 2 -3? -3? = E + C

? ? ? 1 -2 3 ? 0 0 1 ? 1 -2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? -1 2 C =

-1 2 -3? ? -1? -3? = -1?(1

-2 3) ? ? 1 -2 3 ? 1 ? ? ? ? ? C 的特征值λ1 = λ2 = 0, λ3 = 4

λ = 0 时(0E - C )x = 0 的基础解系为ξ

= (2,1, 0)T

;ξ

= (-3, 0,1)T

1

2

λ = 5时(4E - C )x = 0 的基础解系为ξ = (-1, -1,1)T

A 的特征值λA = 1+ λC :1,1,5

? 2 -3 -1? 令 P = (ξ ,ξ ,ξ ) = 1 0 -1?

，

1 2 3

?1

∴ P -1AP =

1 ? 0 1 1 ? ? ?

? 5? ? ?

(22) (本题满分 11 分)

??2-x ln 2, x > 0

设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) = ? ??0,

x ≤ 0 ,对 X 进行独立重复的观测,直到

第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y 为观测次数

(I) 求Y 的概率分布； (II) 求 E (Y ) .

【答案】(I) P {Y = n } = C 1

p (1- p )n -2

p = (n -1)(1)2 ( 7 )n -2 ， n = 2,3, ；

8 8

(II) E (Y ) = 16 .

1)[( )

2( ) ( ) ] 记 S (x ) =

∑n ?(n -1)x

7

?

【解析】(I) 记 p 为观测值大于 3 的概率，则 p = P ( X > 3) = ?

+∞

2-x ln 2dx = 1

，

从而 P {Y = n } = C 1

p (1- p )n -2 p = (n - 1 2

7

3 n -2 ， n = 2,3, 8 为Y 的概率分布；

(II) 法一:分解法:

n -1

1)( ) ( ) 8 8

将随机变量Y 分解成Y =M + N 两个过程,其中 M 表示从1到n (n < k ) 次试验观测值大于3 首次发生， N 表示从n +1次到第 k 试验观测值大于3 首次发生.

则

M ~ Ge (n , p ) ， N Ge (k - n , p ) (注：Ge 表示几何分布) E (Y ) = E (M + N ) = E (M ) + E (N ) = 1 + 1 = 2 = 2

= 16

所以 p p p 1 . 8

法二:直接计算

E (Y ) = ∑ n ? P {Y = n } = ∑ n ?(n -1)(1

)2

( 7 )n -2 = ∑∞

n ?(n - 7 n -2 - 7 n -1 + 7 n n =2 n =2

8 8 n =2 8 8 8

∞

n -2

1 -1 < x < 1，则

S 1(x ) = ∑ n =2

n ?(n -1)x

n -2

= (∑

n ?x

n -1 )' = (∑

x n )

' = ?2

， (1- x )3

n =2

∞

n =2

∞

n -1

n =2

n -2

2x

S 2 (x ) = ∑n ?(n -1)x

n =2

= x ∑n ?(n -1)x

n =2

= xS 1(x ) = (1- x )3

，

∞ ∞

n 2

n -2

2

2x 2 S 3(x ) = ∑n ?(n -1)x n =2

= x ∑n ?(n -1)x

n =2

= x S 1(x ) =

(1- x )3

，

所以 S (x ) = S 1(x ) - 2S 2 (x ) + S 3 (x ) =

从而 E (Y ) = S ( ) = 16 . 8

(23) (本题满分 11 分)

2 - 4x + 2x 2 (1- x )

3 = 2 ，

1- x

? 1

,θ ≤ x ≤ 1,

设总体 X 的概率密度为 f (x ,θ ) =

?

1-θ ??0,

X 1 , X 2 ,

, X n 为来自该总体的简单随机样本.

(I)求θ 的矩估计量； (II)求θ 的最大似然估计量.

其他,

其中θ 为未知参数，

∞

∞

∞

∞

∞

n ∑ ?

1 n

【答案】(I)θ = 2X -1,

X = ∑ X i ；

i =1

(II)θ = min{X 1 , X 2 , , X n } .

+∞

1

1 1+θ 【解析】(I) E ( X ) = ?

-∞

xf (x ;θ )dx = ?θ

x ?

1-θ

dx =

2

，

1+θ 令 E ( X ) = X ，即

2

= X ，解得θ = 2X -1,

X =

1 n

n

i =1

X i

为θ 的矩估计量 ；

?? 1 ?n

n

? ?

,θ ≤ x i ≤ 1

(II)似然函数 L (θ ) = ∏ f (x i ;θ ) = ?? 1-θ ? ，

i =1 ?0,

其他

当θ ≤ x ≤ 1时， L (θ ) =

∏ 1 = ( 1

)n

，则ln L (θ ) = -n ln(1-θ ) .

i

i =1

1-θ 1-θ

从而

d ln L (θ ) = d θ n

1-θ

，关于θ 单调增加，

所以θ = min{X 1 , X 2 ,

, X n } 为θ 的最大似然估计量.

n

全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲

全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲 高等数学一、函数、极限、连续 考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和 无穷大量的概念 及其关系无穷 小量的性质及无 穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个 准则：单调有界 准则和夹逼准则 两个重要极限:， 函数连续的 概念函数间断 点的类型初等 函数的连续性 闭区间上连续函 数的性质 考试要求 1．理解函数的概 念，掌握函数的 表示法，会建立 应用问题的函数 关系. 2．了解函数的有 界性、单调性、 周期性和奇偶 性． 3．理解复合函数 及分段函数的概 念，了解反函数 及隐函数的概 念． 4．掌握基本初等 函数的性质及其 图形，了解初等 函数的概念. 5．理解极限的概 念，理解函数左 极限与右极限的 概念以及函数极 限存在与左、右 极限之间的关 系． 6．掌握极限的性 质及四则运算法 则. 7．掌握极限存在 的两个准则，并 会利用它们求极 限，掌握利用两 个重要极限求极 限的方法． 8．理解无穷小 量、无穷大量的 概念，掌握无穷 小量的比较方 法，会用等价无 穷小量求极限． 9．理解函数连续 性的概念（含左 连续与右连续）， 会判别函数间断 点的类型． 10．了解连续函 数的性质和初等 函数的连续性， 理解闭区间上连

续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高 阶导数一阶微 分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则函 数单调性的判别 函数的极值函 数图形的凹凸 性、拐点及渐近 线函数图形的 描绘函数的最 大值和最小值 弧微分曲率的 概念曲率圆与 曲率半径 考试要求 1.理解导数和微 分的概念，理解 导数与微分的关 系，理解导数的 几何意义，会求 平面曲线的切线 方程和法线方 程，了解导数的 物理意义，会用 导数描述一些物 理量，理解函数 的可导性与连续 性之间的关系． 2．掌握导数的四 则运算法则和复 合函数的求导法 则，掌握基本初 等函数的导数公 式．了解微分的 四则运算法则和 一阶微分形式的 不变性，会求函 数的微分． 3．了解高阶导数 的概念，会求简 单函数的高阶导 数． 4．会求分段函数 的导数，会求隐 函数和由参数方 程所确定的函数 以及反函数的导 数. 5．理解并会用罗 尔(Rolle)定理、 拉格朗日 (Lagrange)中值 定理和泰勒 (Taylor)定理， 了解并会用柯西 中值定理． 6．掌握用洛必达 法则求未定式极 限的方法． 7．理解函数的极 值概念，掌握用 导数判断函数的 单调性和求函数 极值的方法，掌 握函数最大值和

全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案全

全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数2 ()ln(2)x f x t dt = +? 则()f x '的零点个数（ ） ()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3. （2）函数(,)arctan x f x y y =在点(0,1)处的梯度等于（ ） ()A i . ()B i -. ()C j . ()D j -. （3）在下列微分方程中，从123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为 通解的是（ ） ()A 440y y y y ''''''+--=. ()B 440y y y y ''''''+++=. ()C 440y y y y ''''''--+=. ()D 440y y y y ''''''-+-=. （4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （5）设A 为n 阶非零矩阵E 为n 阶单位矩阵若3 0A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （6）设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ?? ? = ? ??? 在正交变换下的标准方程 的图形如图，则A 的正特征值个数（ ） ()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F X ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）

2019研究生数学考试数一真题

2019年考研数学—真题及答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有() (),,0C P x y d x Q x y d y +=?，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续，则 (A) 12 ab =． (B) 12 ab =- ． (C) 0ab =． (D) 2ab =． 【答案】A 【详解】由0 11lim 2x b ax a + →-==,得1 2 ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ． 【答案】D 【详解】方向余弦12 cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

全国硕士研究生招生考试英语试题完整版及参考答案

2015 年全国硕士研究生入学统一考试英语一试题 Section 1 Use of English Directions: Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered blank and mark [A], [B], [C] or [D] on ANSWER SHEET 1. (10 points) Though not biologically related, friends are as related as fourth cousins, sharing about 1% of genes. That is 1 a study published from the University of California and Yale University in the Proceedings of the National Academy of Sciences, has 2 . The study is a genome-wide analysis conducted 3 1932 unique subjects which 4 pairs of unrelated friends and unrelated strangers. The same people were used in both 5 .While 1% may seem 6 , it is not so to a geneticist. As James Fowler, professor of medical genetics at UC San Diego, says, Most people do not even 7 their fourth

历年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．） （1）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 ． 【答案】1y x =- 【考点】导数的几何意义 【难易度】★ 【详解】 解析：由11 )(ln == '='x x y ，得1x =, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y ， 即 1-=x y . （2）已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()f x = ． 【答案】 2 1ln 2 x 【考点】不定积分的换元法 【难易度】★★ 【详解】 解析：令t e x =，则t x ln =，于是有 t t t f ln )(='， 即 .ln )(x x x f = ' 积分得2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x = ==+??. 利用初始条件(1)0f =, 得0C =，故所求函数为()f x = 2 1ln 2 x . （3）设L 为正向圆周2 2 2x y +=在第一象限中的部分，则曲线积分x y y x L d 2d -?的值 为 ． 【答案】 π2 3 【考点】第二类曲线积分的计算；格林公式 【难易度】★★★ 【详解】 解析：正向圆周22 2 =+y x 在第一象限中的部分，可表示为 . 2 0:, sin 2,cos 2π θθθ→ ?? ?==y x

于是 θθθθθπ d ydx xdy L ]sin 2sin 22cos 2cos 2[220 ?+?=-?? =.2 3sin 220 2πθθππ = + ? d （4）欧拉方程)0(02d d 4d d 222 >=++x y x y x x y x 的通解为 ． 【答案】22 1x C x C y += ，其中12,C C 为任意常数 【考点】欧拉方程 【难易度】★★ 【详解】 解析：令t e x =，则 dt dy x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1= =?=-， ][11122222222dt dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=?+-=， 代入原方程，整理得 0232 2=++y dt dy dt y d ， 解此方程，得通解为 .22 1221x c x c e c e c y t t += +=-- （5）设矩阵210120001A ????=?? ???? ，矩阵B 满足**2ABA BA E ＝＋，其中* A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则 B = ． 【答案】 19 【考点】抽象型行列式的计算；伴随矩阵 【难易度】★★ 【详解】 解析：方法1：已知等式两边同时右乘A ，得 A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有 A B AB +=63， 即 A B E A =-)63(， 再两边取行列式，有 363==-A B E A ，

2017年考研数学(二)考试大纲(原文)

2017年考研数学（二）考试大纲（原文） 2017数学二考试大纲 考试科目：高等数学、线性代数 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试试卷 试卷满分为150分，考试试卷为180分钟 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 三、试卷内容结构 高等数学约78% 线性代数约22% 四、试卷题型结构 单项选择题 8小题，每小题4分，共32分 填空题 6小题，每小题4分，共24分 解答题（包括证明题） 9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限于右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： ， 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛

2020年全国硕士研究生招生考试(数学一)--答案解析

2020年全国硕士研究生招生考试（数学一）参考答案及解析 1.D 解析：A 选项可知22 20 ( (1))'1~x t x e dt e x -=-? ； B 选项32 (ln(1)'ln(1~x dt x =? ； C 选项sin 2220 ( sin )'sin cos ~x t dt x x x =? ； D 选项1-cos 40 ( )'sin ~ =? . 2.C 解析：当()f x 在0x =处可导时,有()f x 在0x =处连续，()()0 0lim 0x f f x ?==，且()00()0() lim =lim x x f x f f x x x →→-存在设为a ,则有，()()0 0lim lim lim lim 0 0.x x x x f x f x f x a x x x x x =??? 3.A 函数(,)f x y 在点（0,0）处可微，,则有 ()(()()( )()(()()(0,0,0,00,0,0,0 ,0,0 ,0 li lim m x y x y f f f x y f x y x y f f f x y x y x y ??抖---抖抖--抖= = 即有(,)lim x y → 4.A 5.B 解析：矩阵A 经初等列变换化成B ，根据左行右列，应该选B . 6.C 解析：由于两直线相交，故两直线的方向向量无关，即21αα，无关，由因为两直线上有两点 组成的向量与两直线的方向向量共面，故03 22 1 322 13 221=---c c c c b b b b a a a a ，故选C .

7.D ()()()()()()()()[()()]()()[()()]()()[()()]111 1111000041241241212(512)()() p AB p ABC p AB p ABC p BC p ABC p A p AB p AC p ABC p B p AB p BC p ABC p C p BC p AC p P ABC P ABC P AB A C BC =-+-+-=---+---+---??= ---+--++-- ???=++ 8.B 100100 1 1 1 100502i i i i E X EX ====? =∑∑ 100 100 1111 10025 22i i i i D D X X ====??=∑∑ ()100100115050555011555i i i i X x P P ==???? --????-????==Φ??? ?????????????∑∑剟 9.-1 1)21 (21) 1()1ln(lim 2 222 -=+--= --+→x x x x x x e x x x 10. 解析：1dy dx t = ，223 d y dx t = -221 t d y dx =?= 11.n am + 解析：n am dx x f x f a dx x f +=''-'-= ?? +∞ +∞ )]()([)(. 12.e 4 解析：()()()()()2 22 3 33 2,e d ,e ,,1e ,1e 3e 1,14e. xy xt xx y x y y x x yx yx f x y t f x y x f x x f x x x f = ⅱ==ⅱ=+ⅱ=ò ； ； ；

考研数学(数学一,数学二,数学三的区别)

三类数学试卷最大的区别在对于知识面的要求上：数学一最广，数学三其次，数学二最低。 考试内容： 数学一： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。 数学二： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量)。 数学三： ①微积分(函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、随机变量的联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。 适用专业： 数学(一)适用的招生专业为： (1)工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、治金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业。

(2)管理学门类中的管理科学与工程一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(二)适用的招生专业为： 工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(一)、数学(二)可以任选其一的招生专业为： 工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(三)适用的招生专业为： (1)经济学门类的理论经济学一级学科中所有的二级学科、专业。 (2)经济门类的应用经济学一级学科中的二级学科、专业：统计学、数量经济学、国民经济学、区域经济学、财政学(含税收学)、金融学(含保险学)、产业经济学、国际贸易学、劳动经济学、国防经济 (3)管理学门类的工商管理一级学科中的二级学科、专业：企业管理(含财务管理、市场营销、人力资源管理)、技术经济及管理、会计学、旅游管理。 (4)管理学门类的农林经济管理一级学科中所有的二级学科、专业。。

2020年全国硕士研究生招生考试英语(二)试题-校对版

和小林一起备考英语2 2020年全国硕士研究生招生考试 英语(二) Section I Use of English Directions: Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered blank and mark A, B, C or D on the ANSWER SHEET. (10 points) Being a good parent is what every parent would like to be. But defining what it means to be a good parent is undoubtedly very 1 , particularly since children respond differently to the same style of parenting. A calm, rule-following child might respond better to a different sort of parenting than, 2 , a younger one. 3 , there's another sort of parent that's easier to 4 : a patient parent. Children of every age benefit from patient parenting. Still, 5 every parent would like to be patient, this is no easy 6 . Sometimes, parents get exhausted and are unable to maintain a 7 style with their kids. I understand this. You're only human, and sometimes your kids can 8 you just a little too far. And then the 9 happens: You lose your patience and either scream at your kids or say something that was too 10 and does nobody any good. You wish that you could 11 the clock and start over. We've all been there. 12 , even though it's common, it's vital to keep in mind that in a single moment of fatigue, you can say something to your child that you may 13 for a long time. This may not only do damage to your relationship with your child but also 14 your child's self-esteem. If you consistently lose your 15 with your kids, then you are modeling a lack of emotional control for your kids. We are all becoming increasingly aware of the 16 of modeling patience for the younger generation. This is a skill that will help them all throughout life. In fact, the ability to maintain emotional control when 17 by stress is one of the most significant of all life ' s skills. Certainly, it's 18 to maintain patience at all times with your kids. A more practical goal is to try to be as calm as you can when faced with 19 situations involving your children. I can promise you this: As a result of working toward this goal, you and your children will benefit and 20 from stressful moments feeling better physically and emotionally.

全国硕士研究生入学统一考试真题试卷

全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题 一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数10 (),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续，则 （A ）1 2ab = （B ）12 ab =- （C ）0ab = （D ） 2ab = 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 4． 若级数211 sin ln(1)n k n n ∞ =?? --??? ?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆 6．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ?? ? = ? ??? ，则 （A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B U 与

考研数学试题及参考答案数学一

2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知 (1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的 收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ， 说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛，2 x =时幂级数发散。可知收敛域为 [)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A ） 0)0(1 )0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1 )0(>''

全国硕士研究生入学统一考试分为初试和复试

全国硕士研究生入学统一考试分为初试和复试。 1、学术型研究生招生初试科目 一般为四个单元，即思想政治理论、外国语、业务课一和业务课二。教育学、心理学、历史学、西医、中医设置三个单元考试科目，即思想政治理论、外国语、业务课一。 2、专业学位研究生招生初试科目 一般为四个单元，即思想政治理论、外国语、业务课一和业务课二。 体育硕士、应用心理硕士、文物与博物馆硕士、药学硕士、中药学硕士、临床医学硕士、口腔医学硕士、公共卫生硕士、护理硕士初试科目设三个单元，即思想政治理论、外国语、专业基础课。 会计硕士、图书情报硕士、工商管理硕士、公共管理硕士、旅游管理硕士、工程管理硕士和审计硕士初试科目设两个单元，即外国语、管理类联考综合能力。 金融硕士、应用统计硕士、税务硕士、国际商务硕士、保险硕士、资产评估硕士初试增设经济类综合能力科目，供试点学校选考。 3、硕士研究生招生全国统考、联考科目 全国统考科目为思想政治理论、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三、教育学专业基础综合、心理学专业基础综合、历史学基础、西医综合、中医综合。

全国联考科目为数学（农）、化学（农）、植物生理学与生物化学、动物生理学与生物化学、计算机学科专业基础综合、管理类联考综合能力、法硕联考专业基础（非法学）、法硕联考综合（非法学）、法硕联考专业基础（法学）、法硕联考综合（法学）（其中的教育学专业基础综合、教育学专业基础综合、心理学专业基础综合、历史学基础、数学（农）、化学（农）、植物生理学与生物化学、动物生理学与生物化学、计算机学科专业基础综合试题由招生单位自主选择使用）。 全国统考和全国联考科目的命题工作由教育部考试中心统一组织；全国统考科目的考试大纲由教育部考试中心统一编制，全国联考科目的考试大纲由教育部考试中心或教育部指定相关机构组织编制。 备注：自2013年起，统考的八个专业中的教育学、心理学、计算机、农学和历史学，部分院校不参加专业课统考，所以虽为统考科目，但院校可以不采用统考试卷，自行出卷子。 4、复试：由各院校自行安排。一般占30-50%比重，考查方式为英语能力测试（口语、听力），专业课、综合面试。

考研数学一历年真题

1998年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (2) , (3) (4) . 有特征值_____________. (5) , 均匀分布 , _____________. 二、选择题(本题共5小题, 每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) , (2) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (3) 小 (4)设矩阵 是满秩的, (A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合 (D)异面 (5) , 三、(本题满分5分) , 所成曲面的方程. 四、(本题满分6分) , 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求, ) 间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用. , , 六、(本题满分7分)

. 七、(本题满分6分) 八、（本题满分5分） , , ?并说明理由. 九、（本题满分6分） . (1)试证存 得在区 高的矩形面积,等于在区 以 . (2) ,(1) . 十、（本题满分6分） 十一、（本题满分4分） , 证明:. 十二、（本题满分5分） 已知方程组 (Ⅰ (Ⅱ 的通解,并说明理由. 十三、（本题满分6分） ,且都服从均值为0,. 十四、（本题满分4分） , 于0.95,? 附:标准正态分布表 十五、（本题满分4分） 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差 为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附

2013年考研数学一考试大纲(免费版)

2013年全国硕士研究生入学考试数学(一)考试大纲 考试科目：数学 高等数学、线性代数、概率论与数理统计 试卷结构 （一）题分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）内容比例 高等教学约60％ 线性代数约20% 概率论与数理统计约20％ （三）题型比例 填空题与选择题约40％ 解答题(包括证明题)约60% 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性(有界和收敛的关系存在正数M 使f(x)

函数连续的概念(点极限存在且等于函数值)函数间断点的类型(第一型(有定义)：可去型，跳跃型第二型(无定义)：无穷型，振荡型)初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质(零点定理介值定理)考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念(点可导与域可导的关系)导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数(数学归纳法赖布妮子公式法)一阶微分形式的不变性微分中值定理(闭区间连续开区间可导ζ不是常数)洛必达（L’Hospital）法则(注意使用条件洛必塔求解不存在时，原极限可能存在)函数单调性的判别(利用导数)函数的极值(极值的判定：定义一阶去心邻域可导且左右邻域

2018年全国硕士研究生招生考试

2018年全国硕士研究生招生考试 临床医学综合能力（西医） 1.在维持机体稳态的调节中，负反馈控制的特点是 A.迅速 B.有波动 C.有预见性 D.有可能失误 【答案】B 【解析】P8。负反馈具有滞后性和波动性的缺点，而前反馈则较快速，并具有预见性，因而适应性更大，但前馈控制有可能失误。 2. 神经细胞在静息时，电压门控钠通道对Na+通透的门控状态是 A.激活门和失活门都开放 B.激活门和失活门都关闭 C.激活门开放，失活门关闭 D.激活门关闭，失活门开放 【答案】D 【解析】P34。静息电位状态下，电压门控钠通道存在三种功能状态，即静息态、激活态和失活态。上述三种状态是通道分子内部两个闸门，即激活门和失活门活动的结果。当膜电位保持-70mV，即静息时，激活门完全关闭，失活门则接近完全开放，此时钠通道关闭，处于“静息态”。当膜迅速去极化至+20mV时，激活门迅速开放，失活门则逐渐关闭。由于两个闸门的运动速度不等，故当激活门迅速开放面失活门尚未关闭时通道出现瞬间导通，呈“激活态”。随后，尽管激活门仍开放，但随着失活门的完全关闭，通道不再导通而进入“失活态”。随着膜的复极化，失活门从通道口逐渐退出，回到开放状态；而激活门则回到通道中央，保持关闭状态。于是，通道又回到原先的“静息

态”，这一过程称为通道的复活。 3.在生理性止血过程中，与识别损伤部位有关的血小板生理特性是 A.血小板黏附 B.血小板聚集 C.血小板释放 D.血小板吸附【答案】A 【解析】P68。（1）血管内皮细胞受损后内皮下胶原暴露，vWF首先与胶原纤维结合，引起vWF变构，然后血小板膜上的GPⅠb与变构的vWF结合，从而使血小板黏附于内皮下胶原纤维上。（2）血小板释放是血小板受刺激后将储存在致密体、α-颗粒或溶酶体内的物质排出的现象。血小板聚集是血小板与血小板之间的相互黏着，血小板释放的TXA2具有强烈的聚集血小板和缩血管作用。血小板吸附是指血小板表面可吸附血浆中多种凝血因子。 4.引起窦房结P细胞动作电位0期去极化的主要离子流是 A.I Na B.I K C.I Ca-L D.I Ca-T 【答案】C 【解析】P104。（1）由于窦房结P细胞缺乏I Na通道，其动作电位0期的产生依赖I Ca-L。（2）I K电流的进行性衰减是窦房结4期自动去极化的重要离子基础之一。I Ca-T是一种阈电位较低的快速衰减的内向电流，在窦房结P细胞4期自动去极化起作用，使细胞去极化达到能使I Ca-L通道激活的阈电位水平，从而引发新的动作电位出现升支。

2019年全国研究生考试数学(一)真题 排版整齐

2019年考研数学一真题 一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B. 2. C. 3. D.4. 2.设函数?? ?>≤=, 0,ln , 0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. 3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 A..1∑∞ =n n n u B. n n n u 1)1(1 ∑∞ =-. C.∑∞ =+??? ? ??-111n n n u u . D. () ∑∞ =+-1 22 1n n n u u . 4.设函数2 ),(y x y x Q = ，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有?=+C dy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为 A.32 y x y -. B.321y x y -. C. y x 11-. D.y x 1- . 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22 =+，且4=A ，则二次型 Ax x T 的规范形为 A.232221y y y ++. B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.2 32221y y y ---. 6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则 A..3)(,2)(==A r A r B..2)(,2)(==A r A r C..2)(,1)(==A r A r D..1)(,1)(==A r A r 7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P = 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2 σμN ，则{} 1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2 ,σμ都有关. D.与2,σμ都无关. 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则 y z cosy x z cosx ???+???11= . 10. 微分方程02'22 =--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y . 11. 幂级数n n n x n ∑∞ =-0 )!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .