2通量与散度&环量与旋度

§1.3 矢量场的通量及散度

§1.3 矢量场的通量及散度 1、矢量场定义及图示 对于空间区域V 内的任意一点r ，若有一个矢量F (r )与之对应，我们就称这个矢量函数F (r )是定义于V 的矢量场。恒稳矢量场F (r ) ，时变矢量场F (r ,t )。矢量场图--矢量线0 l F =?d 其方程为 矢量线的示意图 F 线 F d l

矢量线 F (x,y,z )=F x (x,y,z ) e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z (F y d z -F z d y )e x +(F z d x -F x d z )e y +(F x d y -F y d x )e z =0F y d z -F z d y =0F z d x -F x d z =0 F x d y -F y d x =0 或 得直角坐标式的矢量线方程 z y x F z F y F x d d d ==矢量场的直角坐标式为 l F =?d

矢量F 沿有向曲面S 的面积分 S F d ??=S Ψ2、通量 矢量F 在面元d S 的面积分为d ψ= F n d s =F cos θd S =F ?d S 矢量场的通量

若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质: ?? = s Ψs F d ψ> 0(有正源) ψ< 0(有负源)ψ= 0(无源) 矢量场的闭合面通量

在直角坐标系中，设 F (x,y,z ) =F x (x,y,z )e x + F y (x,y,z )e y + F z (x,y,z )e z d s =d y d z e x + d x d z e y + d x d y e z 则通量可写成 ? ?++=?=s z y x s y x F z x F z y F Ψd d d d d d d s F

通量与散度的物理意义 - 烟台大学数学院

通量与散度的物理意义 专题摘要：给出向量场通量与散度的定义，有源与无源场的概念，通量为正，为负，为零的物理意义，散度的物理意义。通过实例揭示通量与散度的工程背景。 通量与散度是流体运动学中的两个重要的概念，在大气、海洋、热能、电磁场、土木工程等领域有着重要的应用。一些与通量和散度有着密切联系的重要工程术语（如：水气通量、热通量、风通量、电通量、电磁波通量等）在处理具体工程问题时是首先考虑的重要指标。下面以流速场为例研究通量与散度。 通量 设有流速场),,(z y x V k j i V ),,(),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x ++=， 其中流体是不可压缩的，即流体之密度是不变的，假设其密度为1，),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 具有连续的一阶偏导数。设S 是流速场中一有向曲面，曲面S 上点),,(z y x 处的单位法向量为 k j i n γβαcos cos cos ++= 单位时间流体经过S 流向指定侧的流体总流量为 [40] dS v S n ??=Φ， （1） 其中γβαcos cos cos R Q P v n ++=?=n V 。n v 表示流体的流速向量V 在有向曲面S 的法向量n 上的投影。由于n 表示点),,(z y x 处的单位法向量，所以 dS V n V n V ?=?=?=)(dS dS dS v n 因此，（1）式又可表示为 dS V ?=Φ??S 。 称（1）式的积分为流速场沿指定一侧穿过曲面S 的通量。 通量为正，为负，为零时的物理意义 设在单位时间内流体向正侧穿过S 的流量为Φ，则在单位时间内流体向正侧穿过面积元素dS 的流量为 dS V ?=Φd 。 当V 是从dS 的负侧穿到dS 的正侧时，V 与n 成锐角，此时0>?=ΦdS V d 为正流量； 当V 是从dS 的正侧穿到dS 的负侧时，V 与n 成钝角，此时0Φ时，表示向正侧穿过曲面S 的流量多于沿反向穿过S 的流量；当0≤Φ时，表示向正侧穿过曲面S 的流量少于或等于沿反向穿过S 的流量。 当S 为封闭曲面时，此时总流量为

第六节 高斯公式 通量与散度

第六节 高斯公式 通量与散度 一、填空题 1. 设∑是球面2222a z y x =++的外侧, 则??∑ zdxdy = . 2. 设∑是球面z z y x 2222=++, cos α、cos β、cos γ 是∑上点的外法线向量的方向余弦, 则 ??∑ ++dS z y x )cos cos cos (γβα=______. 3. divgrad(222z y x ++)= . 二、解答题 1. 指出下列求解过程的错误之处, 并改正之: 设∑是球面2222a z y x =++的外侧, ∑ 所围成的球体Ω 的体积33 4a V π=, 由高斯公式有: ??∑++dxdy z dzdx y dydz x 333=???Ω++dV z y x )(3222=???ΩdV a 23=54a π. 2. 计算曲面积分 ??∑++zdxdy ydzdx xdydz , 其中∑ 是介于z = 0和z = 3之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧. 3. 计算曲面积分??∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑ 为上半球体222a y x ≤+, 2220y x a z --≤≤的表面外侧. 4. 计算曲面积分??∑+-+-zdxdy dzdx x y x dydz z xy )()(22, 其中∑为锥面:)20(22≤≤+=z y x z 的下侧. 5. 计算曲面积分:??∑ --++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 4)1(2)18(2, 其中∑为是由曲线)30(,0,≤≤???==z x y z 绕z 轴旋转一周所成的曲面, 其法向量与z 轴的正向夹角恒大于2 π. 6. 求向量场A = i - j + xyz k 通过由平面y = x 截球2222R z y x ≤++所得的圆面S 朝x 轴正向一侧的通量.

第六节 高斯公式 通量与散度

第六节 高斯公式 通量与散度 格林公式揭示了平面区域上的二重积分与该区域的边界曲线上的曲线积分之间的关系. 本节要介绍的高斯公式则揭示了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 可以认为高斯公式是格林公式在三维空间中的推广. 一、高斯公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 ★ 例4 内容要点 一、高斯公式 定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式 ?????∑++=???? ????+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P Ω (6.1) .)cos cos cos (?????∑ γ+β+α=???? ????+??+??dS R Q P dv z R y Q x P Ω(6.2) 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式. 根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为(6.2) 若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的. 二、通量与散度 一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ),,(),,(),,(),,(++=, 其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面， n 是曲面∑的单位 法向量则沿曲面∑的第二类曲面积分 ??????∑ ∑ ∑ ++=?=?=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A 称为向量场A 通过曲面∑流向指定侧的通量.而z R y Q x P ??+??+??称为向量场A 的散度， 记为A div ，即z R y Q x P A div ??+??+??= . (6.4) 例题选讲利用高斯公式计算 例1 (E01) 计算曲面积分,)()(??∑ -+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面12 2=+y x 及平 面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧

10、6 高斯公式 通量与散度

§10.6 高斯公式 通量与散度 一、高斯公式 格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下： 【定理】设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(z y x P 、 ),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有 ?????Ω ∑ ++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv Z R y Q x P )( (1) 或 ?????Ω ∑ γ+β+α=??+??+??dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()( (1') 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧， }γ 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦,公式(１)或(1'证：由两类曲面积分的关系，公式(1)与(1')的右端是相等的，因此这里只要证明 公式(1)就可以了。 设闭区域Ω在xoy 面上的投影区域为xy D ，假定穿过Ω内部且平行z 轴的直线与 Ω的边界曲面∑的交点恰好是两个。这样，可设∑由1∑，2∑和3∑三部分组成，

其中1∑和2∑分别由方程),(1y x z z =和),(2y x z z =给定，这里),(),(21y x z y x z ≤，1∑取下侧，2∑取上侧；3∑是以xy D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面上的一部分，取外侧。 根据三重积分的计算法，有 []???????? Ω-=?? ? ???? ? ????=??y x y x D D y x z y x z y x z y x R y x z y x R dxdy dz z R dv z R )],(,,[)],(,,[12) ,() ,(21 (2) ????∑-=1 )],(,,[),,(1 xy D dxdy y x z y x R dxdy z y x R ????∑=2 )],(,,[),,(2 xy D dxdy y x z y x R dxdy z y x R 因为3∑上任意一块曲面在xoy 面上的投影为零，所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知 ??∑=3 0),,(dxdy z y x R 把以上三式相加，得 ????∑ -= xy D dxdy y x z y x R y x z y x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12 (3) 比较(2)、(3)两式，得 ?????Ω∑ =??dxdy z y x R dv z R ),,( 如果穿过Ω内部且平行于x 轴的直线以及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面 ∑的交点恰好有两点，那么类似地可得 ?????Ω∑=??dydz z y x P dv x P ),,( ?????Ω∑ =??dzdx z y x Q dv y Q ),,( 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式(1)。 在上述证明中，我们对闭区域Ω作了这样的限制，即穿过Ω内部且平行于坐 标轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好是两点。如果 Ω 不满足这样的条件，