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苏教版高中数学必修5同步讲义 3.1不等关系

第三章不等式

本章综述

【本章引入】

太极图(图3.1-1)由阴阳两鱼组成，白鱼黑眼睛，黑鱼白眼睛．由此可知，宇宙万物皆是由性质相对立的两种物质组成的对立统一体．如黑与白，

高与低，大与小，热与冷，强与弱，智与愚，善与恶，美与丑，虚与实，优

与缺等等，皆相对立而生．老子曰“万物负阴而抱阳，冲气以为和”．世间

无所谓之大，与小比后方知有大，故数学上有无穷大、无穷小之概念，皆因

于此．无所谓之强，与弱比后方知有强，没有最强，只有更强．故世间万物

之特性，皆为相对概念而生.

等与不等有着相对的辩证关系,不等式是刻画不等关系的数学模型,它与数、式、方程、函数、三角等有密切的联系，在解决各类实际问题时也有

广泛的应用．因此，不等式是进一步学习数学的基础，是掌握现代科学技术的重要工具．

【综合解说】

不等式是中学数学的重点内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是数学高考的

考查重点，在历年的高考数学试题中有相当的比重，这些试题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力.不等式的性质在解

不等式、证不等式中的应用、证明不等式既是重点又是难点，要求掌握证明不等式的基本方法：作差比较法、综合法、分析法，重点掌握作差比较法.熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，在此基础上掌握简单的线性规划问题.

§3.1 不等关系

情景引入

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关

系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的．研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式．实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是后面证明不等式与解不等式的主要依据．因此，本节课我们有必要来研究探讨不等式的关系问题．

生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?

转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a >b >0)，若再加m (m >0)克糖，则糖水更甜了，为什么?你

能够用不等式来解释这一现象吗?

知识技能详解

知识点1 不等关系

1.不等关系的实际背景

我们在日常生活中经常碰到一些生活现象，它们之中蕴涵着数学中的不等关系，下面我们来感受一下

生活中存在的不等关系的实际背景: (1)这是神州六号火箭发射升空时的场景(图3.1-2所示)，发射要成功，它

的速度必须满足怎样的条件；那么在飞行时呢？

(2)在日常生活中我们经常能发现食物的包装上会注明此食物的成分含量，

这表格说明了什么问题？

(3)我们到市场上去买东西，要进行比较，看看哪家的最便宜，我们当然最乐意买物优价廉的了.

实际中的问题背景大多都有表示“不等关系”的关键词：如至少、不少于、最多、满足什么范围、不超过、

图3.1-1

图3.1-2

多少、大小、高低、轻重、长短、远近、最佳等等，通过这些条件我们都能建立不等式，找到不等关系. 如

上面(2)不少于；(3)中的哪家的最便宜.当然也有一些问题，其不等关系，没有明显的“ 不等关键词”，

如(1) v ≥7.9km/s, v ≤7.9km/s.

2．不等关系的建模总结：

①不等号的种类：＞、＜、≥（≦）、≤（≧）、≠．

②解析式是指：代数式(包括指数式、对数式和三角式等）．

③不等式研究的范围是实数集R ．

④不等式a b ≤应读作“a 小于或等于b ”，其含义是指“a b <或a b =中有一个成立即可”，等

价于“a 不大于b ”，即若a b <或a b =中有一个成立，则a b ≤成立.

⑤不等式a b ≥应读作“a 大于或等于b ”，其含义是指“a b >或a b =中有一个成立即可”，等

价于“a 不小于b ”，即若a b >或a b =中有一个成立，则a b ≥成立.

将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间

的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系,它们的关系流程图如下所示.

实际问题(不等关系)?????→抽象概括数学问题(不等式),数学问题(不等式)

??→?刻画实际问题(不等关系)

(1)简单不等关系模型:运用不等符号表示不等量的关系

一元一次模型：ax b >、ax b <、ax b ≥、 ax b ≤、ax b ≠，(0a ≠),或其它常见的如a b x

>型不等式.

(2)一元一次不等式组模型:运用一元一次不等式组成的一元一次不等式组来表示实际问题中的不等

关系，经过化简，一元一次不等式组最终可归纳为四种基本类型：设a b <，则①,x a x b >??>?；②,x a x b

③,x a x b >??

?．利用数轴可以确定它们的解集.再复杂一些的问题，也可以转化为三元以上的不等

式组.

(3)一元二次不等式、三角或其他类型不等关系模型:运用一元二次不等式、三角、二元或三元不等式

组或其他类型的不等关系模型来表示实际问题中的不等关系

最省、最低、最大等最值问题，在现实生活中有着广泛的应用,此类问题，一般都要构造函数，用函

数值域、三角不等式、二次方程的判别式等数学方法求出最值.且此类问题的实际背景非常广泛，应引起

我们的关注.

技能应用导引

题型一考查不等关系的建模

1．简单不等关系模型

例1某人10点10分离家赶11点整的火车,已知他家离车站10公里,他离家后先以3公里/小时的速

度走了5分钟,然后乘公共浩气去车站,设公共汽车每小时至少走x 公里才能不误当次火车,则x 所满足的

条件是 (不用求解).

【分析】由题意中的条件,找出速度与时间、路程的关系,抓住关键术语“至少”可以列出不等式.

【解】由题意得5453106060

x ?+≥. 【点拨】在解题时要抓住关键词“至少”、“不大于”、“超过”、“不超过”、“最多”、“不小于”等术语

与不等号“>”、“<”、“≥”、“≤”之间的对应关系.结合日常生活经验,从而得到一个不等式关系. 变式练习1 路标限速40/km h ,指司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 在什么范围内 .

变式练习2 一私营作坊在9月份生产工艺品176件，前10天每天平均生产4件，后来改进技术，提前3天并超额完成，若10天后平均每天至少生产工艺品x 个，请你写出x 所满足的关系式.

例2 经长期观察某港口水的深度y 是时间t(0≤t ≤24)的函数且近似满足关系式3sin 106y t π=+.

一般情况下船舶航行时船底离海底的距离为5m 或5m 以上认为安全.某船吃水深度为6.5m ，该船希望在同一天内安全进出港口，应该满足怎样的条件？

【分析】本题必须满足不等关系:水深≥吃水深度＋船底至少离海底的距离．

【解】由题意得3sin 10 6.556t π

+≥+.

【反思】船是用于装载货物的，装货的时候吃水深度就会增加，而卸货时吃水深度就会减少，现在我们就碰到了这样的问题.利用不等式去刻画实际生活中的实际问题时,我们往往可以更深刻的去体会其内涵,从而可以更轻松的解决实际生活中的实际问题. 变式练习3 若数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S 中2007S 最大，则首项20072008a a 与满足的不等关系式为 .

变式练习4 经长期观察某港口水的深度y 是时间t(0≤t ≤24)的函数且近似满足关系式3sin 106y t π

=+.

一般情况下船舶航行时船底离海底的距离为5m 或5m 以上认为安全.某船吃水深度为6.5m ，若该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m 的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？(只要求列出不等关系,不用求解).

2．不等式组模型

例3某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,用不等式组可表示为 .

【分析】根据题意中的两个信息,分别用不等式表示,最后列成不等式组即可.

【解】由题意得 2.5%,2.3%.f p ≤??≥?

【评注】这是一个二元一次不等式组,其实质上是由两个简单的一元一次不等式组合而成的.在实际生活中这一表达方式大量存在,对一件产品、一个物理现象通过不同的角度,用代表不同属性的未知量去建立不等关系去刻画.

变式练习5班级兴趣小组的图书角有若干本书，分给每一位同学，如果每人分3本，那么还余59本；如果每人分5本，那么最后一个人还少几本，求这个兴趣小组有多少本书？有多少名同学？

变式练习6某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=15km ，BC=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．若列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，试将该问题用不等关系表述.

例4某个电脑用户计划使用不超过1000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少剧买3片,磁盘至少买4盒,写出满足上述所有不等关系的不等式.

【分析】设两个未知数分别代表软件和磁盘的数量,列出所有这两个未知量的不等关系式,最后列成不等式组的形式.

【解】设购买单片软件和盒装磁盘分别为x 片、y 盒,则

产品木料（单位米3）第一种第二种圆桌 0．18 0．08 衣柜 0．09 0．28 x y 0 1 1 1)(2+=x x g 2)(x x f =*80901000,3,4,,.x y x y x y N +≤??≥??≥??∈?即*89100,3,4,

x y x y x y N +≤??≥??≥??∈? 【提示】在建立不等关系模型时要注意区分“不等关系”和“不等式”的异同,不等关系强调的是关系,其可以用不等号表示,不等式则是表示不等关系的式子.对于实际问题中的不等关系可以通过关键词及关键术语去把握,并充分考虑其实际意义,本题中容易忽视*,x y N ∈.

变式练习7私人办学是教育发展的方向，某企业准备投资不超过1200万元,每个高中班的硬件建设需要58万元,因生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜,初中至少12个班,高中至少8个班,写出满足上述所有不等关系的不等式.

变式练习8某木器厂有生立圆桌和衣柜两种木料,第一种有72米3,第二种有56米3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示,木器厂在现有木料条件下,试写出圆桌和衣柜各生产的不等关系式. 技能拓展探究

◆基础综合题例5 观察右面的图3.1-3所示,如何用不等式表示两个函数图象间

的关系?

【分析】()g x 的图象恒在()f x 的图象的上方,

则其每一个自变量所对应的两个函数的值的大小关

系可用不等关系式列出.

【解】由题意可得()g x 的图象恒在()f x 的图象的上方,即 21x +的函数值总是大于2x 的函数值,于是得212

x x +>. 【点评】函数不等式的几何背景是可以通过不等式左右两边的代数式所代表的两个函数的图象间的关系来表示.这一不等关系的表示方法也常用来解函数不等式,属数形结合数学思想方法的应用.

例6光线每通过一块玻璃,其强度要失掉10%,把几块这样的玻璃重叠起来,可使通过它们的光线的强度减弱到原来强度的13

以下?(取lg30.477=) 【分析】根据信息语“减弱到原来强度的13

以下”可以列出不等关系式,解不等式可得结论. 【解】设有玻璃板n 块,光线原来的强度为a ,

根据题意可得1(110%)3n a a ->, 化简可得1

0.477310.4920.4771lg 10n ->=≈?-, ∵*

n N ∈, ∴11n ≥, 故至少要11块这样的玻璃重叠才能满足要求.

【评注】这是一个玻璃板的遮光问题,其涉及了物理学中的光学问题、数学中的对数化简与求值、不等

图3.1-4

关系式的列式及化简,透过抽象的问题背景,可以深入的理解其数学不等关系.

◆拓展探究题

例7在一杯含有a 克糖的b 克糖水中(b a >),再加入m 克糖,则这杯水变甜,请你从中提炼出一个不等关系.

【分析】分别列出原糖水与加入糖后的糖水的浓度,根据提示语“变甜”可得不等关系式.

【解】因为原来糖水的浓度为

100%a b ?,加入m 克糖后,糖水浓度变为100%a m b m +?+, 于是a m a

+>. 例8有四个相同的电池，每个电动势都是，内阻都是，把它们按如图3.1-4所示的甲、乙、丙三种方法连接，对同一负载R 供电.如果要使负载R 得到的功率，用甲种方法连接时比按另两种方法连接时要大，那么R 的阻值应在什么范围内？

甲乙丙

【分析】分别求出按甲、乙、丙三种方法连接时电流强度和功率,列出不等式组,建立“不等式组模型”,可求得R 的取值范围.

【解】根据欧姆定律,按甲、乙、丙三种方法连接时,

通过R 的电流分别是1222I r R ε=+、244I R r ε=+、34

I r R ε=+. 根据电功率公式2P I R =,由题意可得2

2122213,,I R I R I R I R ?>??>??即222224()(),424()(),4R r R r R r R r

εεεε?>??++??>??++ 解之得22,,22

r R r r r R R -<<-??或又0r >, ∴22r R r <<. 即R 的取值范围是22

r R r <<. 【反思】解答此题,首先要明白“电功率公式”、然后要清楚“全电路欧姆定律”,才能建立相应的数学不等关系模型.因此解此类应用题时,首先要审查题中所涉及的各个学科的概念、公式是否清楚. ◆易错辨析题

例9已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是 ( )

A ．2枝玫瑰价格高

B ．3枝康乃馨价格高

C ．价格相同

D ．不确定

【分析】这是一个利用不等式关系而进行的大小比较问题,可以根据条件所给信息的整体进行比较,通

过方程与方程组的思想方法求解.

【解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为x 元、y 元，则由题设得6324,4522.x y x y +>??

=． ∴5332111223939

a b b a a b x y ----=-=． ∵24,22a b ><, ∴1112112412220a b ->?-?=,

∴23x y >，故应选A ．

【注意】本题在比较2x 与3y 的大小时，不少同学会从原不等式组中求出x ,y 的范围来比较，而不是把已知不等式看成一个整体来解，从而出现很多意想不到的错误,如本题中不少同学选了B 或C,在后面的不等式深入学习中，我们会逐步体现到这一点.

例10甲、乙两人同去一家粮店买了两次粮食,两次粮食的价格不同,两人的购粮方式也不同,其中甲每次买1000kg ,乙每次买1000元.

(1)求两人购粮均价分别是多少? (2)谁的购粮方式更合算?

【分析】分别求得两人购买粮食的总钱数,及购买粮食的重量,求出两人购粮均价,并比较大小而得不等式,根据不等关系的实际意义作出解释.

【解】(1)设两次购粮价格分别是/,/m kg n kg 元元,且m n ≠.

则甲购粮均价为1000100020002

m n m n a ++=

=/kg 元; 乙购粮均价为20002/.10001000mn b kg m n m n ==++元 (2)2

2()22()

m n mn m n a b m n m n +--=-++=. ∵

, ∴a b >, 说明甲的购粮单价比乙的购粮单价高.因此乙的购粮方式更合算.

◆信息给予题

例11 (2006年北京市高考卷理8文8)下图3.1-5所示,为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BC

CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，

完整word版,苏教版高一数学必修1综合复习试题

高一数学必修1综合复习试题一、填空题 1．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(?R B )＝． 2．已知函数20()10x x f x x x ?=?->?，≤，，，若1()2f a =，则实数a = ． 3．方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为． 4．函数23 )(-=x x f 的定义域为． 5．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则0x <时，函数()f x 的表达式为()f x = ． 6．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =， {1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为． 7．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足),()2(x f x f -=+则)6(f =_________. 8．若2()2(1)2f x ax a x =+-+在(3,3)-为单调函数，则a 的取值范围是． 9 ．函数y 的单调递减区间为． 10．函数)86lg()(2++-=a ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是． 11．若关于x 的方程a a x -+= 523)43(有负实数解，则实数a 的取值范围为． 12．如果函数()223f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3，最小值2，则m 的范围是．

13．已知定义域为()(),00,-∞+∞U 的偶函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()0x f x ?>的解集为． 14．不等式012 ≥+-ax x 对所有]2,1[∈x 都成立，则实数a 的取值范围．二、解答题 15．设集合{}2|lg(2)A x y x x ==--，集合{}|3||B y y x ==-． ⑴ 求B A ?和A B U ； ⑵ 若{}|40C x x p =+<，C A ?，求实数p 的取值范围． 16．计算下列各式的值：（1）3212833)21() 32(??? ??--+-- ； (2) 2lg 2lg3111lg 0.36lg823 +++．

2019-2020年高二数学必修3 苏教版

2019-2020年高二数学必修3 苏教版教学目标： 1、理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。初步了解如何动用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性利税学。感受统计不仅是列表、画图的低层次的工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的学科。 2、掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法。 3、通过对数据的分析与估计，培养学生的理性思维能力。教学重点：利用平均数和组中值对样本数据进行分析和估计。教学难点：最小二乘法的思维过程的理解。教学过程：课堂引入：在2.2节中，我们通过列频率分布表、画频率分布直方图、条形图、折线图、密度曲线和茎叶图来对数据从分布规律角度进行分析和估计，发现数据的规律。从本节起，我们利用上节的相同背景问题，从不同的角度提取数量规律进行分析和估计。我们从天气预报中常见的“月平均气温”、“年平均气温”等概念，对某季篮球联赛中队员得分情况统计，也常利用“平均得分”，成绩统计中，也利用 “平均分”等，都涉及到“平均数”的概念。初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征，这些数字都能为我们提供关于样本数据的特征信息。学生思考：在频率直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数。定义：能反映总体某种特征的量称为总体特征数思考：怎样通过抽样的方法，用样本的特征数估计总体的特征数呢？新课讲授 §2.3.1平均数及其估计课本P50页引例：我们可以计算7月25日至8月10日平均气温为34.02度，8月8日至8月24日的平均气温为30.02度。学生自学、讨论课本引例，教师引导，适当提示分析最小二乘法的思维过程。注意以下两点：（1）n 个实数a 1，a 2，a 3，……，a n 的和简记为 ∑=n i i a 1 ；（2）n a a a a n +++= ......21称为这n 个实数a 1，a 2，a 3，……，a n 的平均数或均值。（算术平均数）例1：教师在电脑上用EXCEL 展示数据，并直接用EXCEL 中的函数“AVERAGE ”计算给定数据的平均数。学生练习：课本P66页第3题

高中数学必修五知识点总结及例题学习资料

高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形）注：在C ?AB 中，则有（1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0）（2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边）（3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则