第三版实变函数论课后答案
1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?.
证明：若()
B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立.
反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈，
则
()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有
()
x B A A ∈-.故
()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。 证毕
2. 证明c A B A
B -=.
证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c
x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-， 所以c A B A
B -?.
另一方面，
c x A B ?∈，必有,c
x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-，
所以 c A
B A B ?-.
综合上两个包含式得c A B A
B -=. 证毕
3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理
9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则
A B λλλλ∈∧
∈∧
?
.
证：若x A λλ∈∧
∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧）
成立
知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧
∈，这说明
A B λλλλ∈∧
∈∧
?
.
定理4中的（4）：
()()(
)A B A B λ
λλλλλλ∈∧
∈∧
∈∧
=.
证：若
()
x A B λ
λλ∈∧
∈
，
则
有
'λ∈∧
，使
''()(
)()x A B A B λλλλλλ∈∧
∈∧
∈?.
反过来，若()(
)x A B λλλλ∈∧
∈∧
∈则x A λλ∈∧
∈或者x B λλ∈∧
∈
.
不妨设x A λλ∈∧
∈，则有'λ∈∧使''
'()x A A B A B λλλλλλ∈∧
∈??
.
故(
)()()A B A B λλλ
λλλλ∈∧
∈∧
∈∧
?
.
综上所述有
()(
)(
)A B A B λ
λλλλλλ∈∧
∈∧
∈∧
=.
定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧
∈∧
=
.
证：(
)c x A λλ∈∧
?∈，则x A λλ∈∧
?
，故存在'λ∈∧ ，'x A λ?所以
'c c x A A λλλ∈∧
??
从而有(
)c c A A λλλλ∈∧
∈∧
?
.
反过来，若c x A λλ∈∧
∈
，则'λ?∈∧使'c x A λ?，故'x A λ?，
x A λλ∈∧
∴?
，从而()c x A λλ∈∧
∈
(
)c c A A λλλλ∈∧
∈∧
∴?
. 证毕
定理9：若集合序列12,,
,,
n A A A 单调上升，即1n n A A +?（相应地
1n n A A +?）对一切n 都成立，则 1lim n n n A ∞→∞
==
（相应地）1
lim n n n A ∞→∞
==
.
证明：若1n n A A +?对n N ?∈成立，则
i m i m
A A ∞==.故从定理8知
11
liminf n i m n m i m
m A A A ∞∞
∞→∞
====
=
另一方面,m n ?，令m i i m
S A ∞
==
，从1m m A A +?对m N ?∈成立知
1
11
1
1
(
)(
)m i m
i m i i m i m
i m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞++==+=+=+=
=?=
=.故定理8表
明
111
1limsup liminf n i m m n n n m i m
m m A A S S A A ∞
∞
∞
∞→∞
→∞
=====
=
==
=
故1
lim limsup liminf n n n m n n n m A A A A ∞→∞
→∞
→∞
====
.
4. 证明()()A B B A B B -=-的充要条件是B =?.
证
：
充
分
性
若
B =?
，
则
()()A B B A A A A A -=-??=-?==?=?-?
必要性 若()()A B B A B B -=-，而B ≠?则存在x B ∈.
所以()()x A B B A B B ∈-=-即所以,x A B x B ∈?这与x B ∈矛盾，
所以x B ∈.
4. 设
{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求
()F A .又如果
1
;1,2,3,
,S n n
??==????
01;A n ??=????为奇数,{}1111,,
,,321A i ??
??
??=??????-?????
?
,问()()01,F A F A 是什么.
解:若{}{}{}{}
1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,则
(){}{}{}{},1,2,3,4,1,2,3,4F A =?.
若011111
;1,2,3,
,;1,,,,35
21
S n A n n i ??????====??????-??????
为奇数, 则从1111111,,,
,,,,3521242c
i i ????=????-????
, 易知()111111,,1,,,
,,,,,3521242F A S i i ??????=???????-?????
?
. {}1111,,
,,321A i ??
??
??=??????-?????
?
. 令1
1;1,2,,;1,2,212B i C i i i
????
====?
???-?
???
. {}{}
{}
1,F A S A
K A B K C K A =?==?
为的子集，或.
证明: 因为{}111,,
,,,321A B i ????∈????-????
的任何子集()1F A .
所以有()1B F A ∈,而c
B C =,故()1C F A ∈,又()1F A ?∈. 任取B 的一子集A ,()1A A F A ?=∈,且()1A C F A ∈.
显S A ∈,故只用证A 的确是一个σ-域.
(1) ,c c
S S A ?==?∈,且B ?的子集A ,若K =?,则
,c K
A A A C ?==
(B A -是B 的子集,故(
)()
c
c
A A C F A ?=∈)
又B ?的子集A ,()c
c
c c
A
C A C A B ==.
显然是B 的子集,所以()()c
c A
C A B A =?∈.
又若n A 为B 的子集()1,2,3,,n n K C ==或?.
则
()1
11n n n n n n n A K A K A K ∞
∞∞===????
== ? ?????
.
这里1
n n A A B ∞
==
?是B 的子集.
1n n K K C ∞==
=或?.
所以
()1
n n n A K A ∞=∈.
若n A 中除B 的子集外,还有S ,则()1
n n n A K S A ∞==∈.
若n A 中有?,不影响
1
n n A B ∞=?.
故A 是σ-域,且()1F A A =. 证毕.
6.对于S 的子集A ，定义A 的示性函数为()10A x A
x x A
?∈?=???
证明：（1）()()liminf liminf n n A A x x ??=
（2）()()limsup limsup n n A A x x ??= 证明：x S ?∈，若()liminf n A x x ?∈
则()liminf 1n A x ?=。且只有有限个n ，使得n x A ? 所以? 00n > 使得 0n n ≥时 n x A ∈ 从而有 ()1n A x ?=
故()()liminf liminf 1n n A A x x ??== 若
()liminf n A x x ??， 则()liminf 0n A x ?= 且有无限个
().1,2,3,4k n N k ∈=
故()lim 0k A k x ?→∞
=
所以 ()()liminf liminf 0n n A A x x ??==. 故（1）成立.
（2）的证明： x S ?∈，若()limsup n A x x ?∈ 则()liminf 1n A x ?=.
且有无穷个 ().1,2,3,4
k n N k ∈=使得k
n
x A ∈ ，1n k
A ?=
所以 ()lim 1k A k x ?→∞
= 注意到()01k A x ?≤≤
所以 ()()limsup limsup 1n n A A x x ??==. 若()limsup n A x x ??，则()limsup 0n
A x ?=
且只有有限个n 使得n x A ∈
所以 ? 00n > 使得 0n n ≥时n x A ? ，()0n A x ?= 所以 ()()limsup limsup 0n n A A x x ??==. 所以（2）也成立.
也可以这样证（2）：注意n
A R ?? ()()1c A A x x ??=-.
()()
()()
()()
()()
()
()()
()
limsup limsup liminf liminf 11liminf 1limsup limsup 1limsup c
c
n
n c
c
c n n
c n
c n
c n n
A A A A A A A A x x x x x x x x ??
?
?????===-=-=+-=-=.
7.设f(x)是定义于E 上的实函数，a 为一常数，证明 （1）()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞
=?
?>=
≥+???????
? （2）()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞
=?
?≥=
>-???????
?. 证明：（1）()0;x E x f x a ?∈>???? 我们有()0f x a >，故存在n N ∈ 使
()01
f x a n ≥+
（因为()01
,n f x a n
?≤-使）
所以()011;n x E x f x a n ∞
=?
?∈
≥+???
?. 从而有()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞
=?
?>?
≥+???????
?；
反过来： 若()011;n x E x f x a n ∞
=?
?∈≥+???
?，则
()()()()000
011
1,,;1;;n n n f x a a n x E x f x a E x f x a E x f x a n ∞
=?≥?≥+>∴∈>?????
?∴
≥+?>????????
使
所以（1）成立.
下证（2） ()0;x E x f x a ?∈≥???? 我们有
()()()()()00011
1;1;n f x a a n N n
x E x f x a n N n x E x f x a n ∞
=≥>-?∈?
?∈>-?∈?????
?∈
>-???
?所以故
从而有()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞
=?
?≥?>-????????
反过来，若()011;n x E x f x a n ∞
=?
?∈
>-???
? 8.若实函数序列(){}
n f x 在E 上收敛于()f x ，则对于任意常数a 都有
()()()1111;liminf ;liminf ;k k E x f x a E x f x a E x f x a k k ∞
∞==???
?≤=≤+=<+????????????
证明：先证第一个等式
由定理8知
()()()()111111liminf ;;11liminf ;;n i m i m n i k k m i m E x f x a E x f x a k k E x f x a E x f x a k k ∞∞==∞∞∞∞====?
???≤+=≤+????
?
???????≤+=≤+????
?
???所以
()0;x E x f x a ?∈≤???? 我们有()01
f x a a k
≤≤+
对k N ?∈成立。 又条件 ()(),lim n n x E f x f x →∞
?∈= ， 有()()00lim n n f x f x →∞
= 故 对k N ?∈， ?()m m k =，使得 i m ≥ 时， ， 这表明
()()()011111;1;;i k m i m i k m i m x E x f x a k E x f x a E x f x a k ∞
∞
∞
===∞
∞
∞
===?
?∈
≤+??
?
??
?≤?≤+????????
所以.
反过来 ()0111;i k m i m x E x f x a k ∞
∞
∞
===?
??∈
≤+???
?， 我们知对 k N ?∈，
?() m m k =，使得i m ≥ 时， ()01
i f x a k
≤+.
实变与泛函期末试题答案
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ
实变函数论课后答案第三章1
实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.
实变函数论试题及答案
实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。
(0195)《实变函数论》网上作业题及答案
[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B
[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集
C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1
实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
实变函数与泛函分析基础第三版
书籍目录： 第一篇实变函数 第一章集合 1 集合的表示 2 集合的运算 3 对等与基数 4 可数集合 5 不可数集合 第一章习题 第二章点集 1 度量空间，n维欧氏空间 2 聚点，内点，界点 3 开集，闭集，完备集 4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 5 康托尔三分集 第二章习题 第三章测度论 1 外测度 2 可测集 3 可测集类 4 不可测集 .第三章习题 第四章可测函数 1 可测函数及其性质 2 叶果洛夫(EropoB)定理 3 可测函数的构造 4 依测度收敛 第四章习题 第五章积分论 1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 2 非负简单函数的勒贝格积分 3 非负可测函数的勒贝格积分 4 一般可测函数的勒贝格积分 5 黎曼积分和勒贝格积分 6 勒贝格积分的几何意义·富比尼(Fubini)定理第五章习题 第六章微分与不定积分 1 维它利(Vitali)定理 2 单调函数的可微性 3 有界变差函数 4 不定积分 5 勒贝格积分的分部积分和变量替换 6 斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分 7 L-S测度与积分
第六章习题 第二篇泛函分析 第七章度量空间和赋范线性空间 1 度量空间的进一步例子 2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 3 连续映射” 4 柯西(CaHcLy)点列和完备度量空间 5 度量空间的完备化 6 压缩映射原理及其应用 7 线性空间 8 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间第七章习题 第八章有界线性算子和连续线性泛函 1 有界线性算子和连续线性泛函 2 有界线性算子空间和共轭空间 3 广义函数 第八章习题 第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间 1 内积空间的基本概念 2 投影定理 3 希尔伯特空间中的规范正交系 4 希尔伯特空间上的连续线性泛函 5 自伴算子、酉算子和正常算子 第九章习题 第十章巴拿赫空间中的基本定理 l 泛函延拓定理 2 C[a,b)的共轭空间 3 共轭算子 4 纲定理和一致有界性定理 5 强收敛、弱收敛和一致收敛 6 逆算子定理 7 闭图像定理 第十章习题 第十一章线性算子的谱 1 谱的概念 2 有界线性算子谱的基本性质 3 紧集和全连续算子 4 自伴全连续算子的谱论 5 具对称核的积分方程 第十一章习题 附录一内测度，L测度的另一定义 附录二半序集和佐恩引理 附录三实变函数增补例题
实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案
第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？ 解： 若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则 因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是 一集列 ，证明： （i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ
第三版实变函数论课后答案
1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、 证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、 反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I 、 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、 另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、 综合上两个包含式得c A B A B -=I 、 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、 证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、 定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、 反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、 综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、 证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、 反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、 证毕 定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、 证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知
实变函数试题库 及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A U U 2．设n E R ?，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数 a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ? x E ∈ （是否成立） 二、选择题 1、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C =I U I U I （B ）(\)A B A =?I
（C ）(\)B A A =?I （D ）A B A B ?U I 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 2．若()E R ?的外测度为0，则（ ） （A ）E 是可测集 （B ）0mE = （C ）E 一定是可数集 （D ）E 一定不是可数集 3．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()n f x f x x E ?∈，则下列哪些结果不一定成立（ ） （A ）()E f x dx ?存在 （B ）()f x 在E 上L -可积 （C ）.()()()a e n f x f x x E →∈ （D ）lim ()()n E E n f x dx f x dx →∞=?? 4．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（ ） （A ）()()f x L E +∈与()()f x L E - ∈至少有一个成立 （B ）()()f x L E +∈且()()f x L E - ∈ （C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值 （D ）|()|()f x L E ∈
实变函数论课后答案第四章
实变函数论课后答案第四章4第四章第四节习题 1．设于，于，证明：于 证明：， （否则，若，而， 矛盾），则 （） 从而 2．设于，，且于，证明于 证明：由本节定理2（定理）从知的子列使 于 设，，于，从条件于，设 ，,于上 令，则，且 故 ，则 令， 故有，从而命题得证
3．举例说明时定理不成立 解：取，作函数列 显然于上，但当时 ，不 故时定理不成立，即于不能推出于 周民强《实变函数》P108 若是非奇异线性变换，，则 （） 表示矩阵的行列式的绝对值. 证明：记 显然是个的平移集（）的并集，是个（）的并集，且有， 现在假定（）式对于成立（） 则 因为，所以得到 这说明（）式对于以及的平移集成立，从而可知（）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体， ） 对一般开集，，为二进方体，互补相交 则
1-1 ，连续，连续开，则开，从而可测 于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（）式成立 设为有界集，开，，则开，且不妨设有界，否则令有界，令即可. 连续，则开，开，可测（），， 故 （开） 若为无界集，令，则，为有界集 ，线性，则若，则（后面证） ，则由注释书P69定理3，存在集，，若有界， 则，故（1-1） 则，故 若无界，则， 线性，若，则 证明：为的基，， ，,,令，则 则（即是连续的） 一边平行于坐标平面的开超矩体 于
，开，连续，则是中开集从而可测，从而是中可测集，由归纳法知是可测集 若（）式成立，则矩体， ，为正方体，则对开集也有，特别对开区间 这一开集有 则可知，若，则 事实上，，开区间，， 令知 若（）成立，则将可测集映为可测集，还要看（）证明过程是否用到将可测集映为可测集或推出这一性质！ 下面证（）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换的乘积 （i）坐标之间的交换 （ii） (iii) 在（i）的情形显然（）成立 在（ii）的情形下，矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以而得到从而可知（）式成立 在（iii）的情形，此时（）
实变函数论习题选解
《实变函数论》习题选解 一、集合与基数 1.证明集合关系式： （1）)()()()(B D C A D C B A --?---Y ； （2）)()()()(D B C A D C B A Y I I -=--； （3）C B A C B A Y )()(-?--； （4）问)()(C B A C B A --=-Y 成立的充要条件是什么？ 证 （1）∵c B A B A I =-，c c c B A B A Y I =)(（对偶律）， )()()(C A B A C B A I Y I Y I =（交对并的分配律） ， ∴)()( )()()()(D C B A D C B A D C B A c c c c c Y I I I I I ==---第二个用 对偶律 )()()()()()(B D C A D B C A D B A C B A c c c c c --=?=Y I Y I I I Y I I 交对并 分配律 . （2）)()() ()()()(c c c c D B C A D C B A D C B A I I I I I I I ==--交换律 结合律 )()()()(D B C A D B C A c Y I Y I I -== 第二个用对偶律 . （3）)()() ()()(C A B A C B A C B A C B A c c c c I Y I Y I I I = ==--分配律 C B A C B A c Y Y I )()(-=?. （4）A C C B A C B A ??--=-)()(Y . 证 必要性（左推右，用反证法）： 若A C ?，则C x ∈? 但A x ?，从而D ?，)(D A x -?，于是)(C B A x --?； 但C B A x Y )(-∈，从而左边不等式不成立，矛盾！ 充分性（右推左，显然）：事实上， ∵A C ?，∴C C A =I ，如图所示： 故)()(C B A C B A --=-Y . 2.设}1 ,0{=A ，试证一切排列 A a a a a n n ∈ ),,,,,(21ΛΛ 所成之集的势（基数）为c . 证 记}}1 ,0{),,,,,({21=∈==A a a a a a E n n ΛΛ为所有排列所成之集，对任一排列}1 ,0{ ),,,,,(21=∈=A a a a a a n n ΛΛ，令ΛΛn a a a a f 21.0)(=，特别， ]1 ,0[0000.0)0(∈==ΛΛf ，]1 ,0[1111.0)1(∈==ΛΛf ， 即对每一排列对应于区间]1 ,0[上的一个2进小数]1 ,0[.021∈ΛΛn a a a ，则f 是一一对
实变函数论课后答案第三版
实变函数论课后答案第三版
1. 证明：()B A A B -=U 的充要条件是A B ?. 证明：若()B A A B -=U ，则()A B A A B ?-?U ，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?U U ，又x B ?∈，若x A ∈，则 ()x B A A ∈-U ，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-U .总有()x B A A ∈-U .故 ()B B A A ?-U ，从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I . 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-， 所以c A B A B -?I . 另一方面，c x A B ?∈I ，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ?-I . 综合上两个包含式得c A B A B -=I . 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I . 证：若x A λλ∈∧ ∈I ，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧） 成立 知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈I ，这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I . 定理4中的（4）：()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U . 证：若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ，则有'λ∈∧，使 ' ' ()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U . 反过来，若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U . 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ，则有'λ∈∧使' ' ' ()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U . 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U .
实变函数论 第三版 课后答案 高等教育出版社
1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则() ()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈，则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有() x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。 证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-， 所以c A B A B -?. 另一方面，c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈ ，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧）成立 知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()( )( )A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若()x A B λ λλ∈∧ ∈ ，则有'λ∈∧，使 ''()( )( )x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈ 或者x B λλ∈∧ ∈. 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = .
西南大学《实变函数论》网上作业及参考答案
1：[单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A 2：[单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B 3：[单选题] A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C 4：[单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B 5：[判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。参考答案：正确 6：[单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A 7：[单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可数集
参考答案：A 8：[判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 9：[判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 10：[判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 11：[判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 12：[判断题] 参考答案：正确 13：[判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 14：[判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 15：[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 16：[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 1：[单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C 2：[单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A 3：[单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1 C:2 参考答案：A
最新实变函数题库集答案
实变函数试题库及参考答案 本科 一、题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U =A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集 4．有限个开集的交是开集 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ?? 是可数集，则* m E =0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈?，()E x f x a ??≥??是可测集，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +?()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积 11．设,A B 为集合，则()\B A A U ?A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{} 211,2,A k k =-=L ，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设n E ?? ，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集 14．任意个开集的并是开集 15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ?，则1mE ≤2mE 16．设E 中只有孤立点，则* m E =0 17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈?，()E x f x a ??
实变函数标准答案 第三版 第二章 点集
第二章 点集 1、证明：' 0P E ∈的充要条件是在任意含有0P 的领域(),P δ?（不一定以0P 为中心）中，恒有异于0P 的点1P 属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）；0o P E ∈ 的充要条件则是有含有0P 的领域(),P δ?（同样，不一定以0P 为中心）存在，使(),P E δ??. ()()()'00100010101001001'0010 000:min ,,,,..o P E d P P d P P P P E P E P E P E P E P E E δδδδδδδδ∈?=-????∈?∈?∈?∈∈∈?∈? 证明若，对任意含有P 的领域(P,)，取则(P ,)(P,),而(P ,)中含有异于的点，所以(P ,）中存在异于P 的点若任意一个含有P 的领域(P,)中有异于P 的点，则任一 （P ）也有异于P 的点，故 若，则存在（P ），使（P ()()()0100010=min ,,,. o d P P d P P E P E δδδδδδ?∈??=-????∈ ）（P ，）即得证.若P (P,)E ，取，则有(P ,)(P,)，从而 4、设3E 是函数 1 sin ,0,0,0 x y x x ?≠?=??=?当 当 的图形上的点所作成的集合，在2 R 内讨论' 333o E E 的E 与. (){}'33=0y 11. o E y E φ?-≤≤=解：E ， 8.x -+a f ∞∞≥设（）是（，）上的实值连续函数，则对于任意常数,E={x|f(x)>a}是一开集，而E={x|f(x)a}总是一闭集。 (){} ()()(){}(){}()(){}()()o ,?,0,,,, ,|()||()| |{|}|{|}. {, |}. ' ',o o o o o c o x E x f x a f x a f x x x x f x a x E x f x a x E E x f x a H x f x a x f x a H x f x a x H H f x a H x δδδ∈=>>>-<>?∈=><=≥=<=≥∈=≥?' 任取则由在处连续及极限的保号性知， 存在当时有即即为的内点，从而 证明为开：集； 类似可证为开集从而是闭集又要证是闭集，只需证任取则存在()()(){}()(){|}{| ,, ,}n o n o o H x f x x f x a f x a x x f x a x f x a ≥≥∈≥≥中的点列使得由在处连续及，可知所以从而是闭集. 9.证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。
(完整word版)实变函数论与泛函分析基础(第三版程其襄)习题答案第二章
(完整word版)实变函数论与泛函分析基础(第三版程其襄)习题答案第二章 亲爱的读者： 本文内容由我和我的同事精心收集整理后编辑发布到文 库，发布之前我们对文中内容进行详细的校对，但难免会有错误的地方，如果有错误的地方请您评论区留言，我们予以纠正，如果本文档对您有帮助，请您下载收藏以便随时调用。下面是本文详细内容。 最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~
结尾处，小编送给大家一段话。米南德曾说过，“学会学习的人，是非常幸福的人”。在每个精彩的人生中，学习都是永恒的主题。作为一名专业文员教职，我更加懂得不断学习的重要性，“人生在勤，不索何获”，只有
不断学习才能成就更好的自己。各行各业从业人员只有不断的学习，掌 握最新的相关知识，才能跟上企业发展的步伐，才能开拓创新适应市场 的需求。本文档也是由我工作室专业人员编辑，文档中可能会有错误， 如有错误请您纠正，不胜感激！ At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!