主振型叠加法解题步骤
抗震设计合理振型数研究
第22卷第5期2007年10月 山东建筑大学学报JOURNA L OF SH ANDONG J I ANZH U UNI VERSITY V ol.22 N o.5 Oct.2007 收稿日期:2006-10-31 作者简介:李世翠(1979-),女,甘肃白银人,中国轻工业西安设计工程有限公司助工,硕士,主要从事建筑抗震研究. 文章编号:1673-7644(2007)05-0395-04 抗震设计合理振型数研究 李世翠1 ,聂大亮2 ,孙斌 3 (1.中国轻工业西安设计工程有限公司,陕西西安710048;2.深圳大学建筑设计研究院西安分院,陕西西安 710075;3.西安建筑科技大学建筑学院,陕西西安710043) 摘要:介绍了确定合理振型数的90%准则的来源与机理,给出了有效质量法的证明,并对比了振型参与系数、有效质量系数、振型的有效质量、振型参与质量系数等与振型有关而又极易混淆的几个抗震规范振型系数的概念。结合一规则结构算例对不同阶振型下的周期、累计质量参与系数、楼层剪力和层间位移做了对比。针对规则与不规则结构,结合抗震设计人员对振型数选取的模糊性,提出了不同的程度的修正意见,对规范中振型的选取给出了合理的建议。 关键词:合理振型数;90%准则;有效质量法;有效质量系数;振型的有效质量;振型参与质量系数中图分类号:T U973.31 文献标识码:A The reasonable mode num reseach in the seismic design LI Shi 2cui 1 ,NIE Da 2liang 2 ,S UN 2bin 3 (1.China Light Industry X i ’an Design Engineering C o.Ltd.,X i ’an 710048,China ;2.The Institute of Architectural Design and Research ,Shenzhen University ,X i ’an 710075,China ;3.School of Architecture ,X i ’an University of Architecture and T echnolo 2gy ,X i ’an 710043,China ) Abstract :The origin and mechanism of the 90%criterion in the reas onable m ode num determination have been introduced ,and the effective mass law has been proved.The concept of m odal participating ratio ,effective mass ratio ,m odal effective mass ,m odal participating mass ratio have been contrasted.A regular structure has been used to contrast the period ,the accumulation of m odal participating mass ratios ,story shears and story drifts.C ontraposed to regular and irregular structures ,different levels of amendments have been put forward to help to have a clear choice of m odal num for the seismic designer.A reas onable proposal has been offered to the code about the m ode type selection. K ey w ords :the reas onable m ode num ;90%criterion ;effective mass law ;effective mass ratio ;m odal effec 2tive mass ;m odal participating mass ratio 0 引言 在抗震设计中如何选取合理振型数已有学者作出了一些研究,目前国外一些计算程序中采用质量90%参与准则。美国学者爱德华?L ?威尔逊(Edward L.Wils on )博士开发的ET ABS 程序最为典型。国内 《建筑抗震设计规范》G B50011—2001第五章第二节 中,在进行水平地震作用计算(不考虑扭转)时,书中写到“可只取2～3个振型,当基本周期大于1.5s 或房屋高宽比大于5时,振型个数可适当增加。”考虑
振型分解反应谱法
结构设计系列之振型分解反应谱法 苏义
前言 我国规范对于常规结构设计有两个方法：底部剪力法和振型分解反应谱法。其中，底部剪力法视多质点体系为等效单质点体系，且其地震作用沿高度呈倒三角形分布，当结构层数较高或体系较复杂时，其计算假再用，因部剪时，其计算假定不再适用，因此规范规定底部剪力法仅适用于高度不超过40m、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构。因此，一般结构均采用振型分解反应谱法。
振型分解反应谱法的基本步骤： 通过体系的模态分析，求出多自由度体系的振型通过体系的模态分析求出多自由度体系的振型向量、参与系数等等；然后把每个振型看作单自由度体系，求出其在规定反应谱的地震加速度作用下产生的地震效应；最后把所有振型的地震效应式进行叠，得到体系震应应按一定方式进行叠加，就会得到体系地震效应的解。 注意 注意： 振型分解反应谱法只适用于弹性分析，对于弹塑性体系，由于力与位移不再具有对应关系，性体系，由于力与位移不再具有一一对应关系， 该法不再适用。
目录 一模态分析二 反应谱分析 三 振型组合方法 四 方向组合方法
一、模态分析 模态分析也被称作振型叠加法动力分析，是线性体系地震分析中最常用且最有效的方法。它最主要的 优势在于其计算一组正交向量之后，可以将大型 整体平衡方程组缩减为相对数量较少的解耦二阶平解阶微分方程，这样就明显减少了用于数值求解这些 方程的计算时间。模态分析为结构相关静力分析 提供相关结构性能，包括结构静力地震作用分析 和静力风荷载分析。 模态分析是其它动力分析的基础，包括反应谱分析和时程分析。
网孔电流法和节点电压法例题分析
课题8：支路电流法、网孔电流法和节点电压法 课型：讲授 教学目的： （1）利用支路电流法求解复杂直流电路 （2）利用网孔电流法求解支路数目较多的电路。 （3）利用节点电压法求解节点较少而网孔较多的电路 重点、难点： 重点：支路电流法、网孔电流法、节点电压法求解复杂直流电路 难点：列方程过程中电压、电流参考方向及符号的确定。 教学分析： 本节主要还是在巩固基尔霍夫定律的基础上，利用实例分析支路电流法、网孔电流法、 节点电压法并将其用于实践案例中。 复习、提问： （1）节点的概念和判别？ （2）网孔的概念和判别？ 教学过程： 导入：求解复杂电路的方法有多种，我们可以根据不同电路特点，选用不同的方法去求解。其中最基本、最直观、手工求解最常用的就是支路电流法。 一、支路电流法 利用支路电流法解题的步骤： （1）任意标定各支路电流的参考方向和网孔绕行方向。 （2）用基尔霍夫电流定律列出节点电流方程。有n个节点，就可以列出n-1个独立电流方程。 （3）用基尔霍夫电压定律列出L=b-（n-1）个网孔方程。 说明：L指的是网孔数，b指是支路数，n指的是节点数。 （4）代入已知数据求解方程组，确定各支路电流及方向。 例1试用支路电流法求图1中的两台直流发电机并联电路中的负载电流I及每台发电机的输出电流I1、和I2。已知：R1=1Ω，R2=0.6Ω，R=24Ω，E1=130V，E2=117V。 解：（1）假设各支路电流的参考方向和网孔绕行方向如图示。
图1 （2）根据KCL，列节点电流方程 该电路有A、B两个节点，故只能列一个节点电流方程。对于节点A有： I1+I2=I ① （3）列网孔电压方程 该电路中共有二个网孔，分别对左、右两个网孔列电压方程： I1R1-I2R2+E2-E1=0 ②（沿回路循行方向的电压降之和为零，如果在 I R+I2R2-E2=0 ③该循行方向上电压升高则取负号） （4）联立方程①②③，代入已知条件，可得： -I1-I2+I=0 I1-0.6I2=130-117 0.6I2+24I=117 解得各支路电流为： I1=10A I2=-5A I=5A 从计算结果，可以看出发电机E1输出10A的电流，发电机E2输出-5A的电流，负载电流为5A。由此可以知道： 结论：两个电源并联时，并不都是向负载供给电流和功率的，当两电源的电动势相差较大时，就会发生某电源不但不输出功率，反而吸收功率成为负载。因此，在实际供电系统中，直流电源并联时，应使两电源的电动势相等，内阻应相近。 所以当具有并联电池的设备换电池的时候，要全部同时换新的，而不要一新一旧。 思考：若将例1中的电动势E2、I2极性互换，列出用支路电流法求解I、I1、和I2所需的方程。 从前面的例子可以看出：支路电流法就是通过联立n-1个节点电流方程，L个网孔电压方程（n为节点数，L为网孔数）。但所需方程的数量取决于需要解决的未知量的多少。原则上，要求B条支路电流就设B个未知数。那么有没有特例呢？
高考数学典型例题---数学归纳法解题
数学归纳法 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究 ［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：a n+c n＞2b n.
命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2 +c 2 )＞(a +c )2 ，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时， 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－ 3 21 -k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项，2 1 为公差的等差数列，
有关振型的基本概念
有关振型的几个概念 振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶,三阶....振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比,周期越长加速度越小,地震力也越小。自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意.在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态.振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。 振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构。）。某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方（(∑mx)2）。一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点的转动惯量之和。 有效质量系数：如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。这个概念是由WILSON E.L. 教授提出的，用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序。 振型参与质量：某一振型的主质量（或者说该模态质量）乘以该振型的振型参与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。 此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法来计算各地震方向的有效质量系数即振型参与质量系数，规范即是通过控制有效质量振型参与质量系数的大小来决定所取的振型数是否足够。（见高规（5.1.13）、抗规(5.2.2)条文说明）。这个概念不仅对糖葫芦串模型有效。一个结构所有振型的振型参与质量之和等于各个质点的质量之和。如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的振型参与质量之和与总质量之比即为振型参与质量系数。 由此可见，有效质量系数与振型参与质量系数概念不同，但都可以用来确定振型叠加法所需的振型数。 我们注意到：ETABS6.1中，只有有效质量系数（effective mass ratio）的概念，而到了ETABS7.0以后，则出现了振型质量参与系数（modal participating mass ratio），可见，振型参与质量系数是有效质量系数的进一步发展，有效质量系数只适用于串连刚片系模型，分别有x方向、y方向、rz方向的有效质量系数。振型参与质量系数则分别有x、y、z、rx、ry、rz六个方向的振型参与质量系数。 注释： 1）这里的“质量”的概念不同于通常意义上的质量。离散结构的振型总数是有限的，振型总个数等于独立质量的总个数。可以通过判断结构的独立质量数来了解结构的固有振型总数。具体地说： 每块刚性楼板有三个独立质量Mx,My,Jz； 根据这两条，可以算出结构的独立质量总数，也就知道了结构的固有振型总数。 2）若记结构固有振型总数是NM，那么参与振型数最多只能选NM个，选参与振型数大于NM是错误的，因为结构没那么多。 3）参与振型数与有效质量系数的关系： 3-1)参与振型数越多，有效质量系数越大； 3-2)参与振型数=0 时，有效质量系数=0 3-3)参与振型数=NM 时，有效质量系数=1.0 4）参与振型数NP 如何确定？ 4-1）参与振型数NP 在1-NM 之间选取。 4-2）NP应该足够大，使得有效质量系数大于0.9。 有些结构，需要较多振型才能准确计算地震作用，这时尤其要注意有效质量系数是否超过了0.9。比如平面复杂，楼面的刚度不是无穷大，振型整体性差，局部振动明显的结构，这种情况往往需要很多振型才能使有效质量系数满足要求。
高一数学归纳法分析及解题步骤
高一数学归纳法分析及解题步骤 当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老朋友重逢。我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。让我们一起到一起学习吧! 高一数学归纳法 《2.3数学归纳法》教学设计 青海湟川中学刘岩 一、【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2(人教A 版)》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。 二、【学情分析】 我校的学生基础较好，思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从骨牌游戏原理启发得到数学方法的
过程有困难;二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。 三、【策略分析】 本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;体验从实际生活理论实际应用的过程;采用教师引导学生探索相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。 四、【教学目标】 (1)知识与技能目标： ①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤; ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。 (2)过程与方法目标： 努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。 (3)情感态度与价值观目标： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。 五、【教学重难点】
(完整word版)单纯形法的解题步骤
三、单纯形法的解题步骤 第一步：作单纯形表. ）（1）把原线性规划问题化为标准形式； ）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵； ）（3）目标函数非基化； ）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取 得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划 问题无最优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. ，并确定所在列的非基变量为进基变量. （1）找到最大正检验数，设为 （2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号. 主元是最大正检验数 所在列，用常数项与进基变量所对应的列向 量中正分量的比值最小者； 替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在 （3）换基：用进基变量 （4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表； （5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止. 例3 求.
解（1）化标准型：令 ，引进松弛变量 ，其标准型为 求 （2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中 的系数构成单位矩阵，故取 为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8
（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为 目标函数取得最优值. 原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即. 例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求. 解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出 ，, 代入目标函数 , 经整理后，目标函数非基化了. 作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）. 最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变出基，非基变量进基. 换，基变量
高考最新-高中数学解题思想方法(数学归纳法) 精品
五、数学归纳法 数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k ＋1步的推证，要有目标意识。 Ⅰ、再现性题组： 1. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ·1·2…(2n －1) （n ∈N ），从“k 到k ＋1”，左端需乘的代数式为_____。 A. 2k ＋1 B. 2(2k ＋1) C. 211k k ++ D. 231 k k ++ 2. 用数学归纳法证明1＋ 12＋13＋…＋121 n - 用模态叠加法求固有频率 一、 模态分析法（振型叠加法）原理 对于n 个自由度系统，其在广义坐标系下的运动微分方程为 []{}[]{}{}()M x k x F t += （1-1） 设在t=0时，有初始条件： {}{}(0)0x x = 和 {}{}(0)0x x = 通过求解特征值问题，可得系统的固有频率和振型向量 {},(1,2,,)u i n ni i ω= { }}(1,2,,)u i n i i ?= 以正则振型矩阵[]?作为变换矩阵，令 {}[]{}x z ?= （a ） 代入方程（1-1），并前乘以正则振型矩阵的转置T ?????，得 [][][]{}[][][]{}[]{}()T T T M z k z F t ?????+= （b ） ∵ [][][][]T M I ??= [][][][]21222n T k n nn ωω??ω??????=Λ=???????? 令 {}[]{}()()T P t F t ?= ---- 是正则坐标系下的激励。 则方程（b ）为 {}[]{}{}()z z P t +Λ= （c ） 展开后，得 2()11112()22222()z z P t n z z P t n z z P t n nn n n ωωω?+=??+=???+=? （1-2） 式中 {}{}()()(1,2,,)T P t F t i n i i ?== ，为对应第i 个正则坐标的激励。 对于方程（1-2）是一组n 个独立的方程，每个方程和单自由度系统的强迫振动相同，因此可按单自由度系统中的方法独立地求解每个方程。则由杜哈美积分得方程（1-2）的通解 () 0()cos sin 01()sin ()1,2,,0z i z t z t t i i ni ni ni t P t d i n ni i ni ωωωτωττω=+?+-= 式中0z i 和 0z i 是第i 个正则坐标的初始位移和初始速度。 ∵ {}[]{}x z ?= ∴ {}[]{}00 x z ?= （d ） 和 {}[]{}00 x z ?= （e ） 用 [][]T M ? 前乘以式（d ）两端，得 [][]{}[][][]{}00T T M x M z ???= ∴ {}[][]{}00T z M x ?= 同理，有 {}[][]{}00T z M x ?= 写成分量形式 {}[]{},(1,2,,)00T z M x i n i i ?== {}[]{},(1,2,,)00T z M x i n i i ?== 最后，由方程（a ），将正则坐标的解{}z 变换到原广义坐标{}x ，就得到方程（1-1）的解。 （2）在许多工程问题中系统的自由度很多，要想求出系统的所有固有频率和振型向量，计算成本很大，有时甚至是不可能的。由于激励的高频成分很微弱，或者由于系统的高频振动没有激发出来，总之系统的响应中只有较低的几阶振型分量。因此，使用振型叠加法可以使计算大大地简化。 例如，若系统为n 自由度，且只需考虑前p （p< 3.2.2 节点电压法 这种方法是在具有N 个节点的电路中，选取一个节点为参考点，其余各节点到参考点的电压（电位）称为该节点的节点电压，以节点电压为未知量列写除参考点外的N -1个节点的KCL 方程，连立求解该方程组求出节点电压，进而求出各支路电流。 1.节点电压法 现通过图3-22 所示电路求解各支路电流来阐述节点电压法。 在图3-22所示电路中，选0节点为参考点，1、2节点的节点电压分别为Un 1、Un 2，则各条支路的电流分别用节点电压表示为 11111n n U G R U I == 22222n n U G R U I == )(2133 213n n n n U U G R U U I -=-= )(2144214n n n n U U G R U U I -=-= )(2155215n S n S U U G R U U I -=-= 根据KCL 列1、2节点的电流方程： 节点1： 03211=---I I I I S 5S1图3-22 节点电压法 节点2： 022543=--++S I I I I I （3-24） 将支路电流用对应的节点电压代入上面的两节点1、2的电流方程式式（3-24），整理得： 11 2254321431 2431431)()()()(R U I U G G G G U G G I U G G U G G G S S n n S n n +-=+++++-=+-++ （3-25） 解式（3-25）方程组，求出节点电压21,n n U U ，便求出各支路电流。 观察与分析上题有如下特点： 1）式（3-25）中节点1的电流方程中，1n U 前面的系数是431G G G ++是连到节点1的所有电导之和，称为节点1的自电导，用11G 表示，即。43111G G G G ++=；同理在节点2的方程中2n U 前面的系数是5432G G G G +++，是连到节点2所有电导之和，称为节点的自电导，可用22G 表示，即543222G G G G G +++=，自电导总取正值。 2）在式（3-25）中，节点1的电流方程中2n U 前面的系数是)(31G G +-；在节点2的方程中，1n U 前面的系数 也是)(31G G +-，它们是节点1和节点2之间相连接的各支路的所有电导之和，称为互电导，互电导总取负值。 3）式（3-25）等式右边分别为流入节点1和节点2的电流源电流的代数和（流入为正，流出为负）；若是电压源与电阻相串联的支路，则相当于变换成电流源与电导相并联的支路，分别用21,Sn Sn I I 表示，则 11S Sn I I =，1122R U I I S S Sn + -= 这样，式（3-25）可写成： ∑∑=+-=-22221121 212111Sn n n Sn n n I U G U G I U G U G （3-26） 这就是具有两个独立节点电路的节点电压方程得一般形式。 将式（3-26 ）推广，对具有n -1个独立节点的电路，若将第n 个节点指定 3-1 如题3-1图所示电路，试用网孔法求电压u 1。 题3-1图 解 在各网孔中设网孔电流i 1，i 2，i 3，可列各网孔方程如下： 2i 1 – i 3 = 10 – 5 2i 2 – i 3 = 5 2i 3 – i 1 – i 2 = –2u 1 控制量u 1可表示为 u 1 = 1 ×i 2 代入以上方程组，可解得网孔电流i 2为 i 2 = 2.5A 故 u 1 = 2.5V 3-2 如题3-2图所示电路，用网孔分析法求电压u 。 题3-2图 解 由于该电路电流源和受控电流源均在非公共支路，故只要列一个网孔方程并辅之以补充方程即可求解。即 7i 3i S + 2 × (2u ) = 2 i Su 辅助关系（表示控制量）为 u = 2i 代入上式，可解得 i = 31A 故电压 u = 2i = 32V 3-3 对于题3-3图所示电路，试用网孔分析法求电流i 1和i 2。 题3-3图 解 由题3-3图，可列网孔方程： 5i 1 + u 1 = 30 （1） 2i 3 + u 2 - u 1 = -11 （2） 4i 2 - u 2 = 25 （3） 式（1）+式（2），消去u 1，得 5i 1 + 2i 3 + u 2 = 19 （4） 式（3）+式（4），消去u 2，得 5i 1 + 4i 2 + 2i 3 = 44 （5） 又由于 i 3 = i 1 - 4 i 2 = 1.5i 1 + i 3 = 1.5i 1 + i 1 - 4 代入式（5），得 i 1 = 4A i 2 = 6A 3-10 如题3-10图所示电路，试用网孔法求u1和u x。 题3-10图 解按题3-11图中所设，列网孔方程： + i3 + u x = 0 2i 2i2 + 2u1–u x = 0 3i3 + i1 + 2u1 = 0 又因 i2-i1 = 1 u1 = –2i3 解之 i1 = -2A i2 = -1A i3 = -2A 故 u1 = –2i3 = 4V u x = 2i2 + 2u1 = 6V 单纯形法表的解题步骤 单纯形法表结构如下： j c → 对应变量的价值系数 i θ B C b X b 1x 2x 3x " j x 基变量的价值系数 基变量 资源列 θ规则 求的值 j σ 检验数 ①一般形式 若线性规划问题标准形式如下： 123451231425max 23000284164120,1,2,5 j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=??+=?? +=??≥=?" 取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。这样就得到初始可 行基解：()()0 0,0,8,16,12T X =。将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表 1-1所示： 表 1-1 ()()00,0,8,16,12T X = j c → 2 3 0 0 0 i θ B C b X b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 8 1 2 1 0 0 4 0 4x 16 4 0 0 1 0 - 5x 12 0 [4] 0 0 1 3 j σ 2 3 0 0 0 若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的 θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。修改后的单纯形表如表 1-2所示： 表 1-2 ()()10,3,2,16,0T X = 检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示： 表 1-3 ()()22,3,0,8,0T X = 模态叠加法谐响应分析 Hypermesh中ET types：对于SOLID185单元，需设置单元选项K2=2，即采用增强应变公式方法。这种方法可消除剪切锁定和体积锁定，虽然计算量较大，但可提高计算精度。 对于SOLID186单元，设置单元选项K2=1，即采用完全积分方法。这种方法可消除沙漏模式，但应谨慎用于不可压缩材料（泊松比约为0.5）的模拟，否则可能导致体积锁定。Hypermesh中Materials：一般单位采用mm,N,MPa,ton,s。Material type：MP；Number of temp：1；在Material Prop：EX杨氏模量，NUXY泊松比，DENS密度，在C0栏中输入数值。 三维单元每个节点具有三个自由度，即三个平动自由度。因此约束的时候只需约束dof1，dof2和dof3. Ansys：向ansys中导入.cdb文件以后，在菜单栏中Plot——Elements即可显示三维模型的单元。 谐响应分析师确定一个结构在已知频率的正弦（简谐）载荷作用下的响应特性的技术。 输入：已知大小和频率的谐载荷（力、压力和强迫位移）或同一频率的多种载荷、力和位移可以是同相或不同相的。表面载荷和体载荷的相位角度可以指定为零。 输出：每一个自由度上的谐位移，通常和施加的载荷不同相，也可以是其他多种导出量例如应力和应变等。 模态叠加法（Modal Superpos’n）:从前面的模态分析中得到各模态，再对乘以系数的各模态求和，是三种方法中最快的，但是首先必须进行模态分析。 模态分析：1.Main Menu>Preference>Structural,在Discipline options中点选h-Method。 2.Main Menu>Solution>Analysis Type>New Analysis点选Modal 3.Main Menu>Solution>Analysis Type>Analysis Options一般选用Block lanczos方法。在No.of modals to extract输入要提取的阶数。在NMODE No.of modes to expand中输入要扩展的模态。扩展就是指将振型结果写入结果文件，如果在后处理器中查看振型必须先扩展模态。一般地，无需设置求解频率范围，ANSYS默认将振型相对于质量矩阵归一化。 4.Main Menu>Solution>Solve>Current LS 5.Main Menu>Finish 谐响应分析：1.Main Menu>Solution>Analysis Type>New Analysis点选Harmonic。 2.Main Menu>Solution>Analysis Type>Analysis Options选择Mode Superpos’n,在Mode Sup Harmonic Analysis中Maximum mode number输入模态分析的阶数。 3.Main Menu>Solution>Load Step Opts>Time/Frequenc>Freq and Substps,输入强制激振频率范围和子步数，载荷加载方式分为斜坡和阶跃。一般选用Stepped(Ramped载荷的幅值随各子步逐渐增长) 4.Main Menu>Solution>Load Step Opts>Time/Frequenc>Damping，ALPHAD和BETAD指定的是与和频率相关的阻尼系数，而DMPRAT指定的是对所有频率为恒定值的阻尼系数，一般为2%至2.5%。 5.施加简谐激励载荷，Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural 6.Main Menu>Solution>Current LS 7.查看结果，Main Menu>TimeHistPostpro即可打开Time History Variables,选择File>Open Results…选择.rfrg结果。单击+号选择要观察的节点。关闭Time History Variables时一定要File>close。导出数据时点击List Data，然后File>Save as… 将数据导入excel，点击F5，删除符合一定条件的行和列。然后将数据导入matlab中对数据进行处理。 节点电压法 .一、节点电压方程出发点 进一步减少方程数，用未知的节点电压代替未知的支路电压来建立方程。 图3.2-1电路共有4个节点、 6条支路（把电流源和电导并联的电路看成是一条支路）。用支路电流法计算，需列写6个独立的方程 选取节点d为参考点，d点的电位为，则节点a、b、c为独立的节点，它们与d 点之间的电压称为各节点的节点电压（node voltage），实际上就是各点的电位。这样 a、b、c的节点电压是。 各电导支路的支路电流也就可用节点电压来表示 结论：用3个节点电压表示了6个支路电压。进一步减少了方程数。 1、节点电压方程 根据KCL，可得图3.2-1电路的节点电压方程 节点电压方程的一般形式 自电导×本节点电压－Σ（互电导×相邻节点电压）= 流入本节点的所有电流源的电流的代数和 自电导（self conductance）是指与每个节点相连的所有电导之和，互电导（mutual conductance）是指连接两个节点之间的支路电导。 节点电压法分析电路的一般步骤 确定参考节点，并给其他独立节点编号。列写节点电压方程，并求解方程，求得各节点电压。由求得的节点电压，再求其他的电路变量，如支路电流、电压等。 例3.2-1 图3.2-1所示电路中，G1=G2=G3=2S，G4=G5=G6=1S，， ，求各支路电流。 解：1. 电路共有4个节点，选取d为参考点，。其他三个独立节点的节点电压分别为。 2. 列写节点电压方程 节点a： 节点b： 节点c： 代入参数，并整理，得到 解方程，得 3. 求各支路电流 特别注意：节点电压方程的本质是KCL，即Σ(流出电流) =Σ(流入电流)，在节点电压方程中，方程的左边是与节点相连的电导上流出的电流之和，方程的右边则是与节点相连的电流源流入该节点的电流之和。如果某个电流源上还串联有一个电导，那么该电导就不应再计入自电导和互电导之中，因为该电导上的电流（与它串联的电流源的电流）已经计入方程右边了。 例3.2-2 图3.2-2所示电路，试列出它的节点电压方程。 解：对于节点a，流入的电流源的支路上还串联了一个电阻R1，在计算a点的自电导时，不应再把R1计算进去，所以a点的节点电压方程为 b点的节点电压方程为 2、弥尔曼定理 当电路只有两个节点时，这种电路称为单节偶电路（single node-pair circuit）。对于单节偶电路，有弥尔曼定理。 弥尔曼定理：对于只有两个节点的单节偶电路，节偶电压等于流入独立节点的所有电流源电流的代数和除以节偶中所有电导之和。 1．试列出求解网孔电流I 1、I 2、I 3所需的网孔方程式（只列方程，无需求解）。 Ω 100 解： ??? ??--=-+=-+=--+++60 120100)10010060200)400200120100200)200300100100(1312321I I I I I I I （ （ 2. 图示电路，试用网孔法求U 3。 解： 2 3434323211144046202631m m m m m m m m m m i u i i i i i i i i A i =-=+-=-+-=-+-= 3.用网孔法求图中的电压U 。 解：网孔电流如图所示。 1I 2 I + _ 1 U 2 12121121242I U I I U I U I ==-=-= 4.试用网孔法求如图所示电路中的电压U 。（只列方程，不求解） 解： 123 2010840I I I --=- 1231024420I I I -+-=- 123842020I I I --== 38I = 5．列出求解图示电路结点1、2、3的电压所需的结点电压方程式（只列方程，无需求解）。 解： U + — ??????? ? ?--=-+=-+=S S S S I R U U R U R R I U R U R R U U 4111341 12 23 22 11)11 1)11 （（ 6．试用结点电压法求如图所示电路中的电流I 。（只列方程，无需求解） U 3 解：结点电压方程如下： 8 2408121)8 1812142081101)8 1 411012 4021101)211011013 2 133123 21U I U U U U U U U U U =?????????- =--++= --++=--++又有（（（ 7．试列出为求解图示电路中U 1、U 2、U 3所需的结点电压方程式（只列方程，无需求解）。 3 解： 振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶,三阶....振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比,周期越长加速度越小,地震力也越小。自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意.在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态.振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。 振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构。）。某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方（(∑mx)2）。一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点的转动惯量之和。 有效质量系数：如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。这个概念是由WILSON E.L. 教授提出的，用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序。 振型参与质量：某一振型的主质量（或者说该模态质量）乘以该振型的振型参与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。 振型参与质量系数：由于有效质量系数只实用于刚性楼板假设，现在不少结构因其复杂性需要考虑楼板的弹性变形，因此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法来计算各地震方向的有效质量系数即振型参与质量系数，规范即是通过控制有效质量振型参与质量系数的大小来决定所取的振型数是否足够。（见高规（5.1.13）、抗规(5.2.2)条文说明）。这个概念不仅对糖葫芦串模型有效。一个结构所有振型的振型参与质量之和等于各个质点的质量之和。如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的振型参与质量之和与总质量之比即为振型参与质量系数。 由此可见，有效质量系数与振型参与质量系数概念不同，但都可以用来确定振型叠加法所需的振型数。 我们注意到：ETABS6.1中，只有有效质量系数（effective mass ratio）的概念，而到了ETABS7.0以后，则出现了振型质量参与系数（modal participating mass ratio），可见，振型参与质量系数是有效质量系数的进一步发展，有效质量系数只适用于串连刚片系模型，分别有x方向、y方向、rz方向的有效质量系数。振型参与质量系数则分别有x、y、z、rx、ry、rz六个方向的振型参与质量系数。 注释： 1）这里的“质量”的概念不同于通常意义上的质量。离散结构的振型总数是有限的，振型总个数等于独立质量的总个数。可以通过判断结构的独立质量数来了解结构的固有振型总数。具体地说： 每块刚性楼板有三个独立质量Mx,My,Jz；用模态叠加法求固有频率.
节点电压分析法
网孔分析法
单纯形法表的解题步骤
Ansys模态叠加法谐响应分析
[电路分析]节点电压法
电路的基本分析方法(节点法、网孔法)
有关振型的几个概念