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数学建模在生活中的应用

数学建模在生活中的应用

【摘要】 本文通过数学模型在实际生活中应用的讨论,阐述数学建模理论的重要性,研究其在实践中的重要价值,并把抽象的数学知识放到大家看得见、摸得着、听得到的生活情境中,从而让人们感受到生活中处处有数学,生活中处处要用数学。

【关键词】数学建模;生活;应用;重要性

最早的数学建模教材出现在公元1世纪我国古代的《九章算术》一书中,由此可见,数学建模是人才培养和社会发展的需要。同时,数学建模也是教育改革的需要,现代数学教育改革中越来越强调“问题解决”,而“问题解决”恰恰体现了数学在实际生活应用的重要性,由于数学建模是问题解决的主要形式,所以数学建模在实际生活中发挥着重要的作用。

一、数学建模

数学建模是指根据具体问题,在一定的假设下找出解决这个问题的数学框架,求出模型的解,并对它进行验证的全过程。由此可见,数学建模是一个“迭代”的过程,此过程我们可以用下图表示:

二、生活中的数学建模实例

赶火车的策略

现有12名旅客要赶往40千米远的一个火车站去乘火车,离开车时间只有3小时了,他们步行的速度为每小时4千米,靠步行是来不及了,唯一可以用的交通工具是一辆小汽车,但这辆小汽车连司机在内至多只能乘坐5人,汽车的速度为每小时60千米。问这12名旅客能赶上火车吗?

【分析】

题中没有规定汽车载客的方法,因此针对不同的搭乘方法,答案会不一样,一般有三种情况:(1)不能赶上;(2)勉强赶上;(3)最快赶上

模型准备 模型假设

模型求解 模型建立 模型分析 模型验证 模型应用

方案1 不能赶上

用汽车来回送12名旅客要分3趟,汽车往返就是3+2=5趟,汽车走的总路程为

5×40=200(千米),

所需的时间为

200÷60=10/3(小时)>3(小时)

因此,单靠汽车来回接送旅客是无法让12名旅客全部赶上火车的。

方案2 勉强赶上的方案

如果汽车来回接送一趟旅客的同时,让其他旅客先步行,则可以节省一点时间。

第一趟,设汽车来回共用了X小时,这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回,所以 4X+60X=40×2

解得X=1.25(小时)。此时,剩下的8名旅客与车站的距离为

40-1.25×4=35(千米)

第二趟,设汽车来回共用了Y小时,那么

4Y+60Y=35×2

解得Y=35/32≈1.09(小时)

此时剩下的4名旅客与车站的距离为

35-35/32×4=245/8≈30.63(千米)

第三趟,汽车用了30.63÷60~0.51(小时)

因此,总共需要的时间约为

1.25+1.09+0.51=

2.85(小时)

用这种方法,在最后4名旅客赶到火车站时离开车还有9分钟的时间,从理论上说,可以赶得上。但是,我们在计算时忽略了旅客上下车以及汽车调头等所用的时间,因此,赶上火车是很勉强的。

方案3 最快方案

先让汽车把4名旅客送到中途某处,再让这4名旅客步行(此时其他8名旅客也在步行);接着汽车回来再送4名旅客,追上前面的4名旅客后也让他们下车一起步行,最后回来接剩下的4名旅客到火车站,为了省时,必须适当选取第一批旅客的下车地点,使得送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站。

解法1 设汽车送第一批旅客行驶X千米后让他们下车步行,此时其他旅客步行的路程为

4×X/60=X/15(千米)

在以后的时间里,由于步行旅客的速度都一样,所以两批步行旅客之间始终相差14/15X千米,而汽车要在这段时间里来回行驶两趟,每来回一趟所用的时间为

由于汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行(40-X)千米的时间,

故 2×X/32=40-X/4

解得X=32(千米)

所需的总时间为 32/60+(40-32)/4≈2.53(小时)

这个方案可以挤出大约28分钟的空余时间,足以弥补我们计算时间所忽略的一些时间。

解法2 设每组旅客坐车时间为X小时,则步行时间为(40-60X)/4小时,每个空车回程所用的时间为(60X-4X)/(60+4)=7/8X.而汽车共行驶了3个去程和两个回程,且汽

车所用的的总时间与每个组