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2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

专题三阅读理解型问题

阅读理解题通常是给出一段文字,或陈述某个数学命题的解题过程,或设计一个新的数学情境,要求学生在阅读理解的基础上,进行判断概括或迁移运用,从而解决题目中提出的问题.这类问题的考查目标既有基础知识,又涉及阅读理解能力、自习能力、书面表达能力、随机应变能力和知识迁移运用能力等.

阅读解题过程,模仿解题策略

【经典导例】

【例1】(2018贵阳中考)

(1)阅读理解:

如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断.

中线AD的取值范围是________;

(2)问题解决:

如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;[来源:学,科,网]

(3)问题拓展:

如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD 于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

【解析】本题属于阅读理解题,解题方法主要是数学中“转化”思想的运用.对于(2)延长FD至点M,使DM=DF,连接EM,BM,利用全等三角形性质和线段垂直平分线性质把线段BE,CF,EF转化到△BEM中来研究;对于(3)要延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,先证明△NBC≌△FDC,得CN=CF,∠NCB=∠FCD.再根据已知条件证明△NCE≌△FCE,得EN=EF,则有BE+BN=EN,所以有BE+DF=EF.

【学生解答】解:(1)2

=CD.∵∠BDM =∠CDF ,DM =DF ,∴△BMD ≌△CFD ,∴BM =CF.又∵DE ⊥DF ,DM =DF ,∴EM =EF ,在△BME 中,BE +BM>EM ,∴BE +CF>EF ;(3)BE +DF =EF.理由:延长AB 至点N ,使BN =DF ,连接CN.在△NBC 和△FDC 中,CB =CD ,BN =DF.∵∠NBC +∠ABC =180°,∠D +∠ABC =180°,∴∠NBC =∠D ,∴△NBC ≌△FDC ,∴CN =CF ,∠NCB =∠FCD.∵∠BCD =140°,∠ECF =70°,∴∠BCE +∠FCD =70°,∴∠NCE =70°,在△NCE 和△FCE 中,CN =CF ,∠ECF =∠NCE =70°,CE =CE ,∴△NCE ≌△FCE ,∴EN =EF.∵BE +BN =EN ,∴BE +DF =EF.

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

1.(张家界中考)阅读材料:解分式不等式x -13x +6<0,解:根据实

数的除法法则:同号两数相除得正数,异号两数相除得负数,因此,原不等式可转化为:①x -1>03x +6<0,或②x -1<0,3x +6>0,

解①得:无解,解②得:-2

请仿照上述方法解下列分式不等式:

(1)2x +5x -4≤0;

(2)2x -6x +2>0.

解:(1)根据实数的除法法则:同号两数相除得正数,异号两数相除得负数,因此原不等式可转化为:①2x +5<0,x -4≥0,或②2x +5>0,x -4≤0,解①得:无解,解②得:-2.50x +2>0,或②2x -6<0,x +2<0,解①得:x>3,解②得:x<-2,所以原不等式的解集是:x>3或x<-2.

2.(2018兰州中考)在数学课上,老师请同学们思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD 的四边中点E ,F ,G ,H 依次连接起来得到的四边形EFGH 是平行四边形吗?

小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC.

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

结合小敏的思路作答:

(1)若只改变图1中四边形ABCD 的形状(如图2),则四边形EFGH 还是平行四边形吗?说明理由;

参考小敏思考问题的方法解决以下问题:

(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC ,BD.

①当AC 与BD 满足什么条件时,四边形EFGH 是菱形,写出结

论并证明;

②当AC 与BD 满足什么条件时,四边形EFGH 是矩形,直接写出结论.

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

解:(1)四边形EFGH 还是平行四边形,理由如下:连接AC.∵E ,

F 分别是AB ,BC 的中点,∴EF ∥AC ,EF =21AC.∵

G ,

H 分别是CD ,AD 的中点,∴GH ∥AC ,GH =21AC ,∴EF ∥GH ,EF =GH ,∴四边形EFGH 是平行四边形;(2)①当AC =BD 时,四边形EFGH 是菱形,理由如下:由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形,当AC =BD 时,FG =21BD ,EF =21AC ,∴FG =EF ,∴四边形EFGH 是菱形;②当AC ⊥BD 时,四边形EFGH 是矩形.

3.(2018郴州中考)设a ,b 是任意两个实数,规定a 与b 之间的一种运算“⊕”为:a ⊕b =a -b (a ≤0).(a>0),

例如:1⊕(-3)=1-3=-3,(-3)⊕2=(-3)-2=-5,

(x 2+1)⊕(x -1)=x2+1x -1

.(因为x 2+1>0)

参照上面材料,解答下列问题:

(1)2⊕4=__2__,(-2)⊕4=__-6__;

(2)若x>21,且满足(2x -1)⊕(4x 2-1)=(-4)⊕(1-4x),求x 的值. 解:∵x>21,∴2x -1>0,∴(2x -1)⊕(4x 2-1)=2x -14x2-1=2x +1.又-4<0,∴(-4)⊕(1-4x )=-4-(1-4x)=-5+4x ,∴(2x -1)⊕(4x 2-1)=(-4)⊕(1-4x)化为:2x +1=-5+4x ,解得x =3,∴x 的值为3.

阅读新定义,新定理,解决新问题

【经典导例】

【例2】(2014兰州中考)给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.

(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;

(2)如图,将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到△DBE ,连接AD ,DC ,CE ,已知∠DCB =30°.

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

②求证:△BCE是等边三角形;

②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.

【解析】(1)根据定义和特殊四边形的性质,则有矩形或正方形或直角梯形;

(2)①首先证明△ABC≌△DBE,得出AC=DE,BC=BE,进一步得出△BCE为等边三角形;②利用等边三角形的性质,进一步得出△DCE是直角三角形,问题得解.

【学生解答】解:(1)学习过的特殊四边形中,符合条件的四边形有:矩形、正方形或直角梯形;(2)①由旋转的性质可知△ABC≌△DBE,∴AC=DE,BC=BE,∵∠CBE=60°,∴△BCE是等边三角形;②∵△BCE是等边三角形,∴∠BCE=60°,CE=BC.∵∠DCB =30°,∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°.∴△DCE是直角三角形,∴DC2+CE2=DE2,又∵AC=DE,CE=BC,∴DC2+BC2=AC2.即四边形ABCD是勾股四边形.

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

4.(2018衢州中考)如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;

(2)性质探究:试探索垂美四边形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系.猜想结论(要求用文字语言叙述),写出证明过程;(先画出图形,写出已知、求证)

(3)问题解决:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB 为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的长.

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

解:(1)四边形ABCD是垂美四边形.证明:∵AB=AD,∴点A 在线段BD的垂直平分线上,∵CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,∴直线AC是线段BD的垂直平分线,∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形;(2)猜想结论:垂美四边形的两组对边的平方和相等.如图2,已知四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为E,求证:AD2+BC2=AB2+CD2,证明:∵AC⊥BD,∴∠AED=∠AEB

=∠BEC =∠CED =90°,由勾股定理得,AD 2+BC 2=AE 2+DE 2+BE 2+CE 2,AB 2+CD 2=AE 2+BE 2+CE 2+DE 2,∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2;(3)连接CG ,BE ,∵∠CAG =∠BAE =90°,∴∠CAG +∠BAC =∠BAE +∠BAC ,即∠GAB =∠CAE ,在△GAB 和△CAE 中,AB =AE ,∠GAB =∠CAE ,∴△GAB ≌△CAE ,∴∠ABG =∠AEC ,又∠AEC +∠AME =90°,∴∠ABG +∠BMC =90°,即CE ⊥BG ,∴四边形CGEB 是垂美四边形,由(2)得,CG 2+BE 2=CB 2+GE 2,∵AC =4,AB =5,∴BC =3,CG =4,BE =5,∴GE 2=CG 2+BE 2-CB 2=73,∴GE =.w

5.(2018宁波中考)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)如图1,在△ABC 中,CD 为角平分线,∠A =40°,∠B =60°,求证:CD 为△ABC 的完美分割线;

(2)在△ABC 中,∠A =48°,CD 是△ABC 的完美分割线,且△ACD 为等腰三角形,求∠ACB 的度数;

(3)如图2,在△ABC 中,AC =2,BC =,CD 是△ABC 的完美分割线,且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形,求完美分割线CD 的长.

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

解:(1)∵∠A =40°,∠B =60°,∴∠ACB =80°,∴△ABC 不是

等腰三角形,∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD =∠BCD =21

∠ACB =40°,∴∠ACD =∠A =40°,∴△ACD 为等腰三角形,∵∠DCB =∠A =40°,∠CBD =∠ABC ,∴△BCD ∽△BAC ,∴CD 是△ABC 的完美分割线;(2)①当AD =CD 时(如图①),∠ACD =∠A =48°,∵△BDC ∽△BCA ,∴∠BCD =∠A =48°,∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =96°;②当AD =AC 时(如图②),∠ACD =∠ADC =2180°-48°=66°,∵△BDC ∽△BCA ,∴∠BCD =∠A =48°,∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =114°;③当AC =CD 时(如图③),∠ADC =∠A =48°,∵△BDC ∽△BCA ,∴∠BCD =∠A =48°,∵∠ADC>∠BCD ,矛盾,舍去,∴∠ACB =96°或114°;

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

(3)由已知得AC =AD =2,∵△BCD ∽△BAC ,∴BA BC =BC BD ,设

BD =x ,∴()2=x(x +2),解得x =-1±,∵x >0,∴x =-1,∵△BCD ∽△BAC ,∴AC CD =BC BD =23-1,∴CD =23-1

×2=(-1)=-.

6.(2018咸宁中考)阅读理解:

我们知道,四边形具有不稳定性,容易变形. 如图1,一个矩形发生变形后成为一个平行四边形. 设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α,我们把sin α1的值叫做这个平行四边形的变形度.

(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°,则这个平行四边形的变形度是________;

猜想证明:

(2)设矩形的面积为S 1,其变形后的平行四边形面积为S 2,试猜想S 1, S 2,sin α1之间的数量关系,并说明理由;

拓展探究:

(3)如图2,在矩形ABCD 中,E 是AD 边上的一点,且AB 2=AE·A D ,这个矩形发生变形后为平行四边形A 1B 1C 1D 1,E 1为E 的对应点,连接B 1E 1,B 1D 1,若矩形ABCD 的面积为4(m >0),平行四边形A 1B 1C 1D 1的面积为2(m >0),试求∠A 1E 1B 1+∠A 1D 1B 1的度数.x_k_b_1

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

解:(1)33;(2)sin α1=S2S1,理由如下:如图1,设矩形的长和宽分

别为a ,b ,其变形后的平行四边形高为h ,则S 1=ab ,S 2=ah ,sin α=b h ,∴S2S1=ah ab =h b ,sin α1=h b ,∴sin α1=S2S1;(3)由AB 2=AE·AD ,可得A 1B 12=A 1E 1·A 1D 1,即A1D1A1B1=A1B1A1E1.又∠B 1A 1E 1=∠D 1A 1B 1,∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1,∴∠A 1B 1E 1=∠A 1D 1B 1.∵A 1D 1∥B 1C 1,∴∠A 1E 1B 1=∠C 1B 1E 1,∴∠A 1E 1B 1+∠A 1D 1B 1=∠C 1B 1E 1+∠A 1B 1E 1=∠A 1B 1C 1,由(2)sin α1=S2S1,可知sin ∠A1B1C11=m m =2,∴sin ∠A 1B 1C 1=21,∠A 1B 1C 1=30°,∴∠A 1E 1B 1+∠A 1D 1B 1=30°.