3.1.2导数的概念教案
导数的概念 课前预习学案
预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。怎样求瞬时变化率。 预习内容：
1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是3
3()4V r V π
=
，求当空气容量V 从0增加到1时，气
球的平均膨胀率.
2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：
2
()4.96.51
0h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.
3：求2中当t=1时的瞬时速度。
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。 2. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
学习重难点： 1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用 二、学习过程 合作探究
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：
1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
探究任务二：导数
问题2： 瞬时速度是平均速度t s
??当t ?趋近于0时的
得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000
()()
lim
lim
x x f x x f x f x
x
?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0
|x x
y ='即
000
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?
注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在
[来源:Z *x x *k .Co m ]
(2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0
(3)
x
y
??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率
(4)导数x
x f x x f x f x ?-?+=→?)
()(lim
)(000
0/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，
它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.
小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.
典型例题
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. [来源学科网ZXXK]
总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢. 例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，
(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s
??.
(2)当t =2，Δt =0.001时，求t
s
??.
(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度
小结：
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；
第二步：求平均变化率
0()
f x x y x
x +??=
??；
第三步：取极限得导数00
()lim
x y f x x
?→?'=?.
有效训练
练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度 [来源学。科。网Z 。X 。X 。K]
[来源学科网]
反思总结：
这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要
记住公式:瞬时速度v =t
t s t t s t ?-?+→?)
()(lim 0
当堂检测
1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +?时，物体的位移为s ?，那么0
lim t s t
?→??为（ ）
Ａ．从时间t 到t t +?时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为t ?时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +?时物体的平均速度
2. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +? D ．1
3. 在0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?中，x ?不可能（ ）
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0或小于0
4.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为
5. 若0()2f x '=-，则000
1[]()2
lim
k f x k f x k
→-
-等于
课后练习与提高
1. 高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能2
12U m v
=. 求物体开始运动后第5s 时的动能.
[来源:Z x x k .C o m]
3.1.2导数的概念教案
【教学目标】：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。
2. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
【教学重难点】：
教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用
教学难点：导数概念的理解
【教学过程】： 情境导入：
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h
与起跳后的时间t 的关系为：
2
()4.96.510
h t t t =-++
.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度。这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t=1时的瞬时速度。
展示目标：略
检查预习：见学案 合作探究：
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：
瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
探究任务二：导数
问题2： 瞬时速度是平均速度t s
??当t ?趋近于0时的
得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000
()()
lim
lim
x x f x x f x f x
x
?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0
|x x
y ='即
000
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?
注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0
(3)
x
y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率
(4)导数x
x f x x f x f x ?-?+=→?)
()(lim
)(000
0/
是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，
它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.
小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.
精讲精练：
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0
c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
(1)当t =2，Δt =0.01时，求
t s
??. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t
s
??.
(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度
有效训练：练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度
反馈测评：见学案 板书设计：略 作业布置：略