一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
班级__________ 姓名__________
1.利用判别式
例1.（2000年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。 解：∵方程2440mx x -+=有整数根，
∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1
又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根
∴22164(445)0m m m =---≥V 得54
m ≥-
综上所述，－45
≤m ≤1
∴x 可取的整数值是-1，0，1
当m=-1时，方程为－x 2
-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m ≠0 ∴ m=1 例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。
解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数. ∴244m m =+-V 一定是完全平方数
设2244m m k +-=（k 为正整数）
∴22(2)8m k +-=
即：(2)(2)8m k m k +++-=
∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同
∴2422m k m k ++=??+-=?或2224
m k m k ++=-??+-=-? 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。 当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。
2.利用求根公式
例 3.（2000年全国联赛）设关于x 的二次方程
2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-V
由求根公式得222642(6)2(68)
k k k x k k -++±-=-+
即 12241,142
x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=-
-=-++ 两式相减，得1224211
x x -=++ 即 12(3)2x x +=-
由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或
121,5x x ==-
分别代入，易得k=
3
10，6，3。 3.利用方程根的定义 例4.当b 为何值时，方程 220x bx --=和2
2(1)0x x b b ---=有相同的整数根并且求出它们的整数根
解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)
当b ≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得2(1)(1)20b b b +-+-= 解得b=1,x=2
当b=2时,两方程无整数根.
∴b=1,相同的整数根是2 4.利用因式分解
例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个.
解: 当a=1时,x=1
当a ≠1时,原方程左边因式分解,得 (x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得1221,11x x a
==-+- ∵ x 是整数 ∴ 1-a=±1,±2, ∴a=-1,0,2,3
由上可知符合条件的整数有5个.
例 6.(1994年福州竞赛题) 当m 是什么整数时,关于x 的方程
2(1)10x m x m --++=的两根都是整数
解：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得
121x x m +=-L ① 121x x m ?=+L ②
由②-①消去m ，可得12212x x x x --=
12(1)(1)3131(3)x x --==?=-?-
则有121113x x -=??-=? 或121113
x x -=-??-=-? 解得：1224
x x =??=? 或1202x x =??=-? 由此128x x ?=或0，分别代入②，得7m =或1m =-
5.利用根与系数的关系
例7.(1998年全国竞赛题) 求所有正实数a,使得方程240x ax a -+=仅有整数根.
解：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，且12x x ≤
由根与系数的关系得 120x x a +=>L ① 1240x x a ?=>L ② 由①得22a x a ≤≤…③ 将③代入②得1214a x x x a =≤ 12142a a x x x =≥? ∴148x ≤≤
显然 x 1≠4，故x 1可取5，6，7，8。 从而易得a=25，18，16。
6.构造新方程
例8.(1996年全国联赛)方程()(8)10x a x ---=有两个整数根,求a 的值. 解：原方程变为 2(8)(8)(8)10x a x -+---=
设y=x-8，则得新方程为 2(8)10y a y +--=
设它的两根为y 1，y 2，则 12128,1y y a y y +=-?=-
∵x 是整数，∴y 1，y 2也是整数，则y 1，y 2只能分别为1，-1或-1，1 即y 1+y 2=0 ∴a=8。
7.构造等式
例9.(2000年全国联赛C 卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于x 的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=所有的根都是正整数. 解：设三个方程的正整数解分别为123456,,,,,x x x x x x ，则有
21232()()x ax b x x x x -+=--
23432()()x bx c x x x x -+=--
25632()()x cx a x x x x -+=--
令x=1，并将三式相加，注意到x i ≥1（i=1，2，…6），有
1234563()(1)(1)(1)(1)(1)(1)0000a b c x x x x x x -++=--+--+--≥++=但 a ≥1，b ≥1，c ≥1，又有 3-（a+b+c ）≤0，
∴ 3-（a+b+c ）=0 故 a=b=c=1
8.分析等式
例10.(1993年安徽竞赛题) n 为正整数，方程21)60x x -+-=
有一个整数根，则n=__________.
解：设已知方程的整数根为α，则
21)60a a --=
整理得26)a a a n --=-
因为a 为整数，所以26a a --为整数
)a n -也一定是整数，要使)a n -为整数，必有a n =
由此得260a a --=，即260n n --=
解得n=3或-2（舍去） ∴ n=3。
9.反客为主
例11.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.
解：由原方程知x ≠2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程
2(44)212x x a x ++=+ 得22121(2)
x a x +=≥+（因为是正整数） 则得(4)(2)0x x +-≤
解得42x -≤≤
因此，x 只能取-4，-3，-1，0，1，2。
分别代入a 的表达式，故所求的正整数a 是1，3，6，10。
10.利用配方法
例12. (第三届《祖冲之杯》竞赛题) 已知方程22
(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根,则整数a 的值是__________.
解：原方程可变为 222102240a x ax x x ---+=
即222102521a x ax x x -+=++
22(5)(1)ax x -=+
5(1)ax x -=±+ 得：1264,11
x x a a ==-+ 当a-1=-1，-2，-3，-6，即a=0，-1，-2，-5时，x 1为负整数。
但a=0时，x 2＞0； a=-5时,x 1=2=-1
又a ≠-1 ∴ a=-2。
11.利用奇偶分析
例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程219990x x a -+=有两个质数根,则常数a=___________.
解：设方程的两个质数根为x 1，x 2( x 1＜x 2)
由根与系数的关系得x 1+x 2=1999.
显然 x 1=2,x 2=1997,于是a=2×1997=3994.
12.利用反证法
例14.不解方程,证明方程2199719970x x -+=无整数根
证明:假设方程有两个整数根αβ,则α+β=1997,αβ=1997,由第二式知αβ均为奇数,于是α+β为偶数,但这与第一式相矛盾,所以α,β不可能都是整数.
假设方程只有一个整数根,则α+β不可能是整数, 也与第一式相矛盾,所以方程不可能只有一个整数根.
综上所述,原方程无整数根.