多边形及其内角和
多边形及其内角和
第一课时
（一）引入
你能从图7.3—1中找出几个由一些线段围成的图形吗?
（二）知识点
我们学过三角形。类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon）。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。
特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n
－2）个三角形，共有对角线n(n 3)2
-条。 例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式
n(n 3)10(103)3522
-?-==（条）。
如图7.3—6（1），画出四边形ABCD 的任何一条边（例如CD ）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。而图7.3—6（2）中的四边形ABCD 就不是凸四边形，因为画出边CD （或BC ）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节只讨论凸多边形。
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。图7.3－7是正多边形的一些例子。
特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备，①各内角都相等；②各边都相等。例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形。再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形。
（三）练习
一起学习课本86页的练习
（四）小结
引导学生总结本节的知识点。
多边形的内角和——教案
多边形的内角和 教学目标 1、认识多边形，探索多边形内角和的计算公式，并能运用公式解决简单的实际问题，发展学生的推理能力和代数思维。 2、在测量、类比、推理等数学活动中，感受“转化思想”在几何中的作用，体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、感受数学探究活动的乐趣和思考过程的条理性，体验学习数学的成功和喜悦。教学重点：探索多边形内角和的计算公式。 教学难点：体会从特殊到一般的认识问题方法。 教学过程 一、创设情境，导入新课 1.导入 (1)出示图片 谈话：同学们，请看大屏幕，这是2008年北京奥运会标志性建筑物之一是水立方，国家游泳中心。 提问：仔细观察水立方的外墙，用数学的眼光去观察，快速找出你认识的不同的形状？ 预设：三角形、四边形、五边形、六边形等等。 提问：我们把像三角形、四边形、五边形、六边形等等这样的在同一平面内由大于或等于3条线段依次首尾相连的平面图形叫做多边形。 （2）提问：对这些多边形你们已经有了哪些认识？同桌快速说一说。 （3）提问：三角形有几条边？几个内角？内角和是多少？所有三角形的内角和都是多少？我们是用什么方法来推导出任意三角形内角和是180度的？ 预设：三角形有3个内角，内角和是180度。（板书：三角形边数3 内角和180度） （4）揭题：我们已经知道三角形的内角和是180度，那四边形、五边形、六边形的内角和是多少呢？我们今天就一起来研究多边形的内角和。（板书：多边形的内角和） 二、探究新知，发现规律 （一）探索四边形的内角和 过渡：同学们,我们就从简单的四边形入手来研究多边形的内角和. 1、猜想 师：猜一猜，任意一个四边形的内角和是多少度？拿出活动单,找到活动一,填写猜想. 2、验证 师：你能想办法方验证你的猜想吗？ 活动要求：（1）在活动单上任选一个四边形（2）选择你喜欢的方法来验证，比一比哪位同学完成的又快又好。 3、呈现资源，汇报交流 第一层次：不同方法验证 （1）测量法：A 长、正方形90×4=360 师：长正方形是特殊的四边形，四个内角都是90度，乘4就能算出这个特殊四边形的内角和，那一般四边形呢？
多边形的内角和及角的计算(人教版)(含答案)
多边形的内角和及角的计算（人教版） 一、单选题(共14道，每道7分) 1.如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 答案：C 解题思路： ∵多边形的外角和都等于360°， ∴这个多边形的内角和为720°， ∴(n-2)×180°=720°， ∴n=6， 故选C． 试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和 2.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( ） A.正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形 答案：C 解题思路： ∵多边形的外角和都等于360°，正多边形的每个外角都相等， ∴n=10， 故选C． 试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和 3.若一个n边形的每一个内角为135°，则边数n的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.10 答案：C 解题思路： 多边形每个外角都相等，均为180°-135°=45°， 由多边形外角和为360°，知n=360°÷45°=8， 故选C． 试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和
4.某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了( )米． A.8 B.9 C.10 D.12 答案：A 解题思路： 每走1米，左转45°，则机器人走过的轨迹为边长为1的正多边形．题目所求的是正多边形的周长，故只需求边数n即可． ∵正多边形的每个外角都相等， ∴n=360°÷45°=8， ∴机器人共走了：8×1=8（米）． 故选A． 试题难度：三颗星知识点：多边形的外角和定理 5.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数( )． A.50° B.60° C.70° D.80° 答案：C 解题思路：
新人教版八年级数学多边形及其内角和专题测试题
11.3多边形及其内角和练习题 一、选择题 1、n边形所有对角线的条数有（） A. B. C. D. 2、一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（） A．增加180°B．减少180° C．不变 D．以上三种情况都有可能 3、如果一个多边形的边数变为原来的2倍后，其内角和增加了1260°，则这个多边形的边数为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（） A． 5 B． 5或6 C． 5或7 D． 5或6或7 8、多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可引的对角线有 A.8条 B.9条 C.10条 D.11条 9、一个多边形有14条对角线，那么这个多边形有（）条边 A.6 B.7 C.8 D.9 10、一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为--（） A．8 B．9 C．10 D．12 三、简答题 1、如果一个多边形的内角与外角和的差是1440°，那么这个多边形是几边形？ 2.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，求这个多边形的边数
3、在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小． 4.如图12，在△ABC 中，∠A=40°，D 是BC 延长线上一点，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于E ，求∠E 的度数． 5.如图9，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD=∠ABC ，∠ADC=∠ACD ，若∠BAC=63°，试求∠DAC 、∠ADC 的度数． 6.如图7，已知△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC ，交AB 于E ，∠A ＝60°，∠C=80°，求：△BDE 各内角的度数． A B C D E 图 A B C D 图9 A E B C D 图7
八年级数学竞赛例题专题讲解：多边形的边与角
八年级数学竞赛例题专题讲解：多边形的边与角 阅读与思考 主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理,其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础． 多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决,将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略,转化的方法是连对角线或向外补形． 多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的,但外角和却总是不变的,所以,我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”,把内角问题转化为外角问题来处理,这是解多边形相关问题的常用技巧． 例题与求解 【例1】两个凸多边形,它们的边长之和为12,对角线的条数之和为19,那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿． （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：设两个凸多边形分别有m ,n 条边,分别引出 (3)2 m m -,(3)2n n -条对角线,由此得 m ,n 方程组． 【例2】凸边形有且只有3个钝角,那么n 的最大值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解题思路：运用钝角、锐角概念,建立关于n 的不等式,通过求解不等式逼近求解． 【例3】凸n 边形除去一个内角外,其余内角和为2570°,求n 的值． （山东省竞赛试题） 解题思路：利用n 边形内角和公式,以及边数n 为大于等于3的自然数这一要求,推出该角大小,进而求出n 的值．
【例4】如图,凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等,边AB ,BC ,CD ,DE ,EF ,FG 的长分为7,4,2,5,6,2,求该八边形的周长． （全国通讯赛试题） 解题思路：该八边形每一内角均为135°,每一外角为45°,可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决． 【例5】如图所示,小华从M 点出发,沿直线前进10米后,向左转20°,再沿直线前进10米后,又向左转20°,…这样走下去,他第一次回到出发地M 时,行走了多少米？ 解题思路：试着将图形画完,你也许就知道答案了． 能力训练 A 级 1．如图,凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿． C D E F G H M
多边形及其内角和讲义(学生用)
多边形内角和 第一部分知识点回顾 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类2： 多边形非正多边形： 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 只用一种正多边形：3、4、6/。 镶嵌拼成360度的角 只用一种非正多边形（全等）：3、4。 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在同一平面内。多边形的分类：不叫三边形 2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。 实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。 注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌。 第二部分经典习题 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形 【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数. 【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少 . 【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。 类型二：多边形对角线公式的运用 2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗 【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】一个十二边形有几条对角线。
《多边形的内角和》公开课
《多边形的内角和》公开课 《多边形的内角和》公开课教案北京市第五中学曹自由 教学任务分析 教学目标 知识与技能 掌握多边形内角和公式及外角和定理,并能应用. 过程与方法 1.经历把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题的过程,体会转化思想在几何中的应用,同时体会从特殊到一般的认识问题的方法; 2.经历探索多边形内角和公式的过程,尝试从不同角度寻求解决问题的方法.训练学生的发散性思维,培养学生的创新精神. 情感态度价值观 通过猜想、推理等数学活动,感受数学充满着探索以及数学结论的确定性,提高学生学习数学的热情. 重点 多种方法探索多边形内角和公式 难点
多边形内角和公式的推导 教学流程安排 活动流程 活动内容和目的 活动1学生自主探索四边形内角和 活动2教师引导学生探索总结把四边形转化为三角形添加辅助线的基本方法 活动3探索n边形内角和公式 活动4师生共同研究递推法确定n边形内角和公式 活动5多边形内角和公式的应用 活动6小结 作业 从对三角形及特殊四边形(正方形、长方形)内角和的认识出发,使学生积极参加到探索四边形内角和的活动中. 加深对转化思想方法的理解, 训练发散思维、培养创新能力. 通过把多边形转化为三角形体会转化思想,感受从特殊到一般的数学思考方法. 学生提高动手实操能力、突破“添”的思维局限
综合运用新旧知识解决问题. 回顾本节内容,培养学生的归纳概括能力. 反思总结,巩固提高. 课前准备 教具 学具 补充材料 教师用三角尺 课件 剪刀 复印材料 三角形纸片 教学过程设计 问题与情景 师生行为 设计意图 [活动1、2] 问题1.三角形的内角和是多少?
《多边形的内角和》教学设计与说明
多边形的内角和 [教学内容]苏教版四年级下册第96页~97页探究多边形内角和计算规律。 [教材简析] 这部分内容是一次探索规律的活动，主要引导学生通过观察、操作、归纳、类比等具体活动，发现多边形内角和的计算方法。多边形内角和是在学生认识了三角形内角和等于180°，了解多边形基本特征的基础上教学的。通过活动，使学生经历由特殊到一般的学习过程，发现多边形内角和和边数之间的关系，获得计算多边形内角和的一般方法，积累数学活动经验，感悟一些基本的数学思想的方法，体会三角形内角和以及相关数学方法的价值，使学生经历发现数学规律的过程，积累数学活动经验，感悟转化的数学思想。 [教学目标] 1.使学生经历提出问题、自主探索、观察分析、归纳概括等活动，了解多边形与它最少能分成三角形个数之间的关系，掌握多边形的内角和与边数之间的关系，掌握多边形的内角和的计算方法，能正确计算多边形的内角和。 2.使学生经历分一分、算一算、比较归纳等探索、发现规律的过程，加深感受探索数学规律的一般方法，积累相应的数学活动经验，提高解决问题的能力,进一步体会转化思想，培养观察、比较、归纳和概括等的思维能力，进一步发展空间观念。 3.使学生主动参与探索规律的活动过程，进一步产生对数学的好奇心，感受数学活动的挑战性和趣味性，增强学好数学的自信心。 [教学重点]探索多边形内角和的规律。 [教学难点]获得规律探究的一般方法。 [教学过程] 一、创设情境，提出问题 提问：三角形的内角和是多少度？（PPT出示：三角形） 引导：我们知道了三角形的内角和是180°，那四边形、五边形、六边形等多边形的内角和各是多少度呢？（ppt出示教材中的图形）其中有没有什么规律呢？这就是我们要研究的问题——多边形的内角和（板书课题）。我们就从边数较少的简单的图形开始研究不同边数的多边形内角和。 [设计说明：先回顾三角形的内角和再提出探讨四边形、五边形、六边形等多边形的内角和，使得新课导入亲切自然，使学生明确学习任务，激发孩子学习
专题16多边形的内角和及平行四边形(知识点串讲)(解析版)
专题16 多边形的内角和及平行四边形 知识框架 重难突破 一、多边形的内角和及平行四边形 1、多边形 （1）多边形的概念： 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段. （2）多边形的对角线： 从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2 条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形． （3）多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°. 备注：1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形. 2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）. 3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外
角问题时，也往往转化为n边形的内角问题. 2、平面图形的镶嵌 （1）镶嵌的定义 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （2）平面图形的镶嵌 1）一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形； 2）两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形； 3）三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形. 备注：能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合. 3、三角形中位线定理 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 4、平行四边形的定义、性质与判定 （1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2） 平行四边形的性质： 1）平行四边形的对边平行且相等； 2）平行四边形的对角相等，邻角互补； 3)平行四边形的对角线互相平分； 4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心． （3）平行四边形的判定： 1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
多边形及其内角和
多边形及其内角和 基础过关作业 1、四边形ABCD中，假如∠A+∠C+∠D=280°，那么∠B旳度数是〔〕 A、80° B、90° C、170° D、20° 2、一个多边形旳内角和等于1080°，那个多边形旳边数是〔〕 A、9 B、8 C、7 D、6 3、内角和等于外角和2倍旳多边形是〔〕 A、五边形 B、六边形 C、七边形 D、八边形 4、六边形旳内角和等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏度、 5、正十边形旳每一个内角旳度数等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏，每一个外角旳度数等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏、 6、如图，你能数出多少个不同旳四边形？ 7、四边形旳四个内角能够差不多上锐角吗？能够差不多上钝角吗？能够差不多上直角吗？?什么缘故？ 8、求以下图形中x旳值： 综合创新作业 9、〔综合题〕：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，?DF平分∠ADC、 BE与DF有如何样旳位置关系？什么缘故？ 10、〔应用题〕有10个都市进行篮球竞赛，每个都市均派3个代表队参加竞赛，规定同一都 市间代表队不进行竞赛，其他代表队都要竞赛一场，问按此规定，?所有代表队要打多少场竞赛？ 11、〔创新题〕如图，以五边形旳每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合旳面积、
12、〔1〕〔2005年，南通〕一个多边形旳内角和为540°，那么那个多边形为〔〕 A 、三角形 B 、四边形 C 、五边形 D 、六边形 〔2〕〔2005年，福建泉州〕五边形旳内角和等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏度、 13、〔易错题〕一个多边形旳每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角〔?〕 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 培优作业 14、〔探究题〕 〔1〕四边形有几条对角线？ 五边形有几条对角线？ 六边形有几条对角线？ …… 猜想并探究： n 边形有几条对角线？ 〔2〕一个n 边形旳边数增加1，对角线增加多少条？ 15、〔开放题〕假如一个多边形旳边数增加1，?那么那个多边形旳内角和增加多少度？假设将n 边形旳边数增加1倍，那么它旳内角和增加多少度？ 数学世界 攻其不备 壁虎在一座油罐旳下底边沿A 处、它发觉在自己旳正上方──油罐上边缘旳B?处有一只害虫、壁虎决定捕捉这只害虫、为了不引起害虫旳注意，它有意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然突击如图7-3-5、结果，?壁虎旳偷袭得到成功，获得了一顿美餐、 请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短旳路程吗〔线段AB 除外〕？ 【答案】: 1、A 点拨：∠B=360°-〔∠A+∠C+∠D 〕=360°-280°=80°、应选A 、 2、B 点拨：设那个多边形旳边数为n ，那么〔n-2〕·180=1080、解得n=8、应选B 、 3、B 点拨：设那个多边形旳边数为n ，依照题意，得〔n-2〕·180=2×360、解得n=6、应选 B 、 4、720 5、144°；36° 点拨：正十边形每一个内角旳度数为：(102)18010 -??=144°， 每一个外角旳度数为：180°-144°=36°、 6、有27个不同旳四边形、 7、解：四边形旳四个内角不能够差不多上锐角，不能够差不多上钝角，能够差不多上直角、 因为四边形旳内角和为360°，假如四个内角差不多上锐角或差不多上钝角，?
多边形内角和定理
多边形的内角和 教学目标 1．掌握多边形内角和及外角和公式． 2．能把多边形问题转化为三角形问题，体现了转化的数学思想，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法． 教学重点 探索并证明多边形内角和与外角和公式． 教学难点 探索多边形内角和时，将多边形转化成三角形来解决问题的思路． 教学设计 一、创设情景，明确目标 问题：1.三角形的内角和是180°；正方形的内角和是360°；一般四边形的内角和是多少呢？ 2．五边形的内角和呢？ 3．n边形的内角和是多少呢？ 二、自主学习，指向目标 学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一多边形的内角和 活动一：探究：教材P21“思考”． 内角和公式吗？ 反思小结：n边形的内角和等于(n－2)·180°. 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二多边形的外角和 活动二：见教材P22例1(答案见课本) 展示点评：任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？你能归纳出多边形外角和的求法吗？ 小组讨论：多边形的外角和与这个多边形的边数之间有数量关系吗？ 反思小结：多边形的外角和等于360°. 针对训练：见《学生用书》相应部分
四、总结梳理，内化目标 1．本节课学习的数学知识是：多边形的内角和公式，及外角和．2．数学思想：转化、数形结合． 五、达标检测，反思目标 1．填空： （1）八边形的内角和等于( ) （2）已知一个多边形的内角和等于2340°， 它的边数是( ) （3）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是1000°，他的答案正确吗？为 什么？ （4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4， 那么这个四边形中最大角的度是。 （5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角 都是n°，则n= 。 （6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则 这个六边形的每个内角是。 （7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B 与∠D有什么关系呢？为什么？ ●布置作业，巩固目标教学难点 1．上交作业课本P257、8、9、10. 2．课后作业见《学生用书》．
最新多边形及其内角和知识点
多边形知识要点梳理 边形的内角和等于180°（n-2）。 360°。 边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 3、4、6/。 拼成360度的角 ：3、4。 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形． 知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形 要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的 一条对角线。 要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。 知识点四：多边形的内角和公式 1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明： 证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为 ，再减去一个周角，即得到边形的内角和为. 证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于. 证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数， 即. 要点诠释： (1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。 (2)内角和定理的应用： ①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数。 知识点五：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于360°. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为 ，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。 要点诠释： (1)外角和公式的应用： ①已知外角度数，求正多边形边数；
由多边形内角和公式谈“转化”思想
1、由多边形内角和公式谈“转化”思想 2、开放的特殊四边形 3、巧构平行四边形妙解题 4、多边形内外角问题的解法多多 5、利用等腰梯形的特征解题 6、添好辅助线解梯形问题 7、梯形中的三“思想”赏析 8、巧构平行四边形来解题 1、由多边形内角和公式谈“转化”思想 我们学习了多边形内角和公式：??-=180)2(n S n ，它是如何推导来的呢？ 如图①，在n 边形的内部取一点M ，用线段把它和各顶点 连结起来，则这个n 边形被分割成了n 个三角形，这n 个三角形 的内角和为：n ·180°，而这n 个三角形除去顶点M 处的周角，其余的角都拼起来的和正好为这n 边形的n 个内角，所以可得n 边形的内角和为n 个三角形的内角和减去中间点M 处的一个周 角，即：?-??=360180n S n ＝??-180)2(n ． 由以上可以看出，推导过程的指导思想是把求多边形的内角和问题“转化”．．．．为三角形的内角和问题，“转化”．．．．的办法是将多边形分割为若干个三角形。其实“转化”．．．． 分割的方法不止这一种。许多同学还想到用下面的两种分割方法。 （1）如图②，由n 边形的某个顶点作对角线，这样的对角线可作（n －2）条，由此就把n 边形分割成了（n －2）个三角形，而每个三角形的内角和为180°，故可得多边形的内角和：??-=180)2(n S n ． （2）如图③，在n 边形的一边上取一点M ，把M 点和 不相邻的各个顶点用线段连结起来，则n 边形被分割成了（n －1）个三角形，这样，n 边形的内角和等于这（n －1）个三角形的内角和再减去一个平角（∠AMA 2），故?-??-=180180)1(n S n ＝??-180)2(n ． 至此，在多边形内部或多边形顶点处或多边形一边上任取一点，都可以使多边形内角和公式得证，但它们都是将多边形分割成三角形后，把求多边形内角和“转化”为三角形内角和问题来处理的。“转化”．．．．的思想是初中数学常用的一种思想，请同学们细细体会。 当然，你还会继续想，能不能在多边形外取一点？来证这个公式呢？这就请大家自己思考一下吧。 自主练习： （广东省改编）阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多 3 3 3
多边形及其内角和教案设计
多边形的内角和教案 一、教学目标 1、掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。 2、通过探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力，体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、通过探索多边形内角和公式，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。 4、通过猜想，推理等数学活动，感受数学活动充满探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习热情。 二、教学重点、难点 重点：探索多边形的内角和公式。 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形，利用三角形内角和180度求出多边形内角和。 三、教学方法： 学生自主探究、合作交流与教师启发引导相结合. 四、教具准备 ①每个小组一张“探究实验报告单”（活动1） ②每人一张“类比探索五边形、六边形、七边形的内角和的答题纸”（活动2） ③多媒体课件 五、教学过程 （一）创设情境，引入新课 问题1：把一个长方形纸片剪去一个角还剩几个角？ 【学生给出的答案可能是 ---三个角、四个角、五个角，教师演示动画。】 问题2：你知道所得图形的内角和吗？你知道102边形的内角和吗？ 【根据学生的回答，教师指出本课内容，板书课题: 多边形的内角和。】 （二）合作交流，探索新知 活动1：猜想验证四边形的内角和 问题：（1）任意四边形的内角和等于多少度？ （2）你是怎样得到的？你能找到几种方法？ 【问题（1）学生很容易猜到360°，问题（2）组织学生四人一组拿出课前老师发给每个小组的探究实验报告，讨论并记录探究方法。 在讨论的过程中，教师给出合格、良好、优秀的“自我评价标准”，每个小组对照评价表给出自我评价，教师深入到学生讨论中，以“边听—边问—边导”的形式，适时对各小组进行点拨。 讨论结束后，小组学生代表用实物投影展示探究实验报告，说明求四边形内角和的方法，并讲述想法。教师对学生找到的不同方法都给予肯定和评价，并加以总结，归纳学生提出的探究方法：度量、剪拼、分割。 教师将常用的3种分割方法板书到黑板上。重点引导学生比较三种不同的分割方法----即从四边形的一个顶点引对角线；从四边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段；从四边形的内部任取一点，连接这点与各顶点的线段,分别将四边形分成了几个三角形，如何利用三角形的内角和180°求出四边形的内角和360°，如何将四边形内角和的表示与边数n联系起来。】
初中数学多边形内角和的知识点归纳分析多边形内角和公式
初中数学多边形内角和的知识点归纳分析多边 形内角和公式 组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。 多边形内角和n边形的内角和等于180°×(n-2)。 可逆用： n边形的边=(内角和÷180°)+ 2 过n边形一个顶点有(n-3)条对角线 · n边形共有n×(n-3)÷2个对角线 · n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形 推论： 1.任意凸形多边形的外角和都等于360°。 2.多边形对角线的计算公式： n边形的对角线条数等于1/2·n(n-3) 3.在平面内，各边相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。 多边形外角和定理： n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360° 多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°
1、先从三角形这一简单图形介绍外角定义。多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫这个多边形的外角，(这样的产生外角有两个，由于他们相等，但我们通常只取其中一个)， 一个保安员拿着一手电筒，直照前方，巡视一个三角形街道，走完一圈回到出发点，他的身体一共转动了多少度? (1) 保安每从一条街道转入下一街道时，手电筒的光柱 转动的角是哪个?在图中标出它们。 (2)问它们的度数之和是多少? 第一种方法：射线平移法，如教材介绍。(个人认为：要理解为什么能用平移法，可以先用两条相交线作说明，两线平移后不改变他们的相交角大小。) 第二种方法：推导法。利用一个外角与它相邻的内角是邻补角的关系，以及多边形内角和公式。(这种方法应该是重点，难点，这种方法详细介绍) 其实多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
7.5多边形内角和与外角和模型专题
多边形内角和与外角和专题训练（模型） 【模型一】“A字”模型 求证：∠1+∠2=180°+∠A 证法一：连接BC，利用“三角形内和为180°”. 证法二：连接BC，利用“三角形内和为180°”与“四边形内和为360°”. 证法三：利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和”. 证法四：延长EA至F，利用“多边形外角和为360°”. C A B D E 2 1 C A B D E 2 1 C A B D E 2 1 3 4 C A B D E 2 1 3 F
【模型二】飞镖模型 求证：∠A +∠B +∠C=∠D 证法一、 证明：连接BC ， 证法二、连接并延长AD ， 证法三、连接并延长BD ，交AC 于点E, 【模型三】“8字”模型 求证：∠A +∠B=∠C+∠D 证法一、利用“三角形内角和为180°” 证法二、利用“三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和” A B C D O A B C D 1 2 A B C D 1 2 3 4 A B C D 1 E A B C D O 1
注意：“8字”模型的变式. 如图，∠1+∠2=∠C+∠D 【模型四】“五角星”模型 求证：∠A +∠B +∠C+∠D +∠E =180° 【模型五】“角平分线”模型 1、 两条内角平分线 已知：如图，∠B 、∠C 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠BPC=90°+2 1∠A 2、两条外角平分线 已知：如图，∠CBE 、∠BCF 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠P =90°-21∠A A B C P 1 2 P A B C 1 2 E F D A B O C 1 2 C D E A B
11.3 多边形及其内角和 能力培优训练(含答案)
11.3多边形及其内角和 专题一根据正多边形的内角或外角求值 1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．9 2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°． 3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数． 专题二求多个角的和 4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720° 5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°． 6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
状元笔记 【知识要点】 1．多边形及相关概念 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 2．多边形的内角和与外角和 内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°． 外角和：多边形的外角和等于360°． 【温馨提示】 1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错． 2．多边形的外角和等于360°，而不是180°． 【方法技巧】 1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决． 2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等． 参考答案 1．A解析：∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A． 2．1440 解析：∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°×10=1440°． 3．解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)·180°=9×360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为20． 4．B解析：∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．
初中数学多边形及其内角和专题训练
xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分 得分 一、xx题 评卷人得分 （每空xx 分，共xx分） 试题1: 已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形是（） A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 试题2: 一个多边形的外角和等于它的内角和的，则这个多边形的边数是﹍﹍，内角和是﹍﹍ A 3，180° B 4，360° C 5，540° D 6，720°试题3: 已知一个多边形的内角和为1080°则这个多边形是﹍﹍边形． 试题4: 如果n边形的边数增加一边，那么这个n边形的内角和增加的度数是（） A 360° B 270° C 180° D 90° 试题5: 已知一个多边形有三个内角为直角，其余各角的外角都等于30°，则这个多边形的边数是﹍﹍边形，内角和是﹍﹍ 试题6: 一个n边形的每一个外角都等于45°，则这个n边形的内角和是﹍﹍． 试题7:
一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是边形； 试题8: 一个多边形的各内角都等于1200，它是边形。 试题9: 已知一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是﹍﹍ 试题10: 已知一个n边形的内角和与外角和的比是９：２，则它的边数是﹍﹍，内角和是﹍﹍． 试题11: 一个n边形（n＞３）的内角之和与某一外角之和为630°，求n边形的边数和内角和． 试题12: 将正方形截去一个角，求余下多边形的内角的度数． 试题13: 一个多边形对角线的条数与它的边数相等，这个多边形的边数是（） Ａ7 Ｂ 6 Ｃ 5 Ｄ 4 试题14: 在四边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：（1）AC⊥BD， （2）BC=DE，（3）∠DBC=∠DAB，（4）△ABE是正三角形．请写出正确结论的序号﹍﹍．（把你认为正确的序号都填上） 试题15: 某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100 m，求AD、BC的长．（精确到1 m， =1.732） 试题1答案: 分析：设这个多边形的边数为n，本题计算的主要依据是n边形的内角和公式（n-2）×180°．又知道任意多边形的外角和都为360°，从而得到等式（n-2）×180°=360°，解得n=4．所以选B
多边形及其内角和练习题(含答案)
9.2 多边形的内角和与外角和练习一一、填空题 1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是______. 2.五边形的内角和等于______度. 3.十边形的对角线有_____条. 4.正十五边形的每一个内角等于_______度. 5.内角和是1620°的多边形的边数是___. 6.用正n边形拼地板,则n的值可能是_______. 二、选择题 7.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 10.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080° 11.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 12.用下列两种正多边形能拼地板的是( ) A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形 C.正六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形 三、解答题 13.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和. 14.已知一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的对角线的条数. 15.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数.11．3 多边形及其内角和 16.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的2/3, 求这个多边形的边数及内角和. 17.如图,一个六边形的六个内角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长. 19.若两个多边形的边数之比是1:2,内角和度数之比为1:3, 求这两个多边形的边数. 20.如果多边形恰有四个内角是钝角,那么多边形的边数共有几种可能? 其中最多是几边形?最少是几边形? 21.下列地板是由正方形、正六边形、正十二边形拼成的,试说明由这三种正多边形能拼地 板的理由. 22.已知四边形ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°, 求各内角的度数.
多边形的内角和 专题练习题 含答案
华东师大版数学七年级下册第9章9．2多边形的内角和与外角和 多边形的内角和专题练习题 1．从n边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，它们将n边形分成________个三角形． 2．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是() A．十三边形B．十二边形C．十一边形D．十边形 3．下列说法不正确的是() A．各边都相等的多边形是正多边形 B．正多边形的各边都相等 C．正三角形就是等边三角形 D．各内角相等的多边形不一定是正多边形 4．五边形的内角和是() A．180°B．360°C．540°D．600° 5．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是() A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形 6．一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为() A．4 B．5 C．6 D．7 7．如果一张多边形纸片的内角和是1800°，那么将它剪去一个角之后的多边形的内角和不可能是() A．1440°B．1620°C．1800°D．1980° 8．在四边形ABCD，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小． 9．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠3＝32°，求∠1＋∠2. 10．已知：如图，多边形的对角线条数是d，边数是n，容易知道d与n的部分关系是：三角形的对角线的条数是0；四边形的对角线的条数是2；五边形的对角线的条数是5；六边形的对角线的条数是9.问：多边形的对角线条数d和边数n有什么关系？
答案： 1. (n －3) (n －2) 2---7 AACCCA 8. ∠A ＝70°，∠B ＝90°，∠C ＝140° 9. ∠1＋∠2＝70° 10. d ＝12n(n －3)