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武汉一中等部分重点中学2014-2015学年度下学期期中联考高一数学理科试卷

武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期期中联考

高一数学试卷（理科）

命题学校：武汉一中命题教师：王元祚审题教师：汪平

考试时间：2015年4月27日下午3：50-5：50 试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。)

11的等比中项是（）

1± 2.计算sin 77cos 47sin13cos 43-

的值等于（）

12 B. 3 C. 2 D. 2

3.符合下列条件的三角形ABC ?有且只有一个的是（）

A. 1,30a b A ===

B. 1,2,3a b c ===

C. 1,45b c B ===

D.1,2,100a b A ===

4.已知cos 23

θ=

sin cos θθ-的值为（）

B. 3-

C. 1118

D. 29-

5.若等差数列{}n a 满足7897200,0a a a a a ++>+<，则当{}n a 的前n 项和最大时n 的值为（）

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

6. 已知21tan(),tan()544παββ+=

-=，那么tan()4

α+等于（） A. 1318 B. 1322 C. 322 D. 16

7.已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ，且2015201420142013

32015,32015

a S a

S =+=+，则公比q

等于（） A. 3 B.

13 C.4 D. 1

8.如图，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β，α

（α＜β），则A 点离地面的高度等于（）

sin sin sin()a αββα- B. sin sin cos()a αβ

αβ-

sin cos sin()a αββα- D. cos sin cos()

a αβ

αβ-

9. 已知等比数列{}n a 中251

2,4

a a ==，则122334...n n a a a a a a a a +?+?+?++?等于（）

A. 16(14)n --

B. 16(12)n -

32(14)3n -- D. 32(12)3

n -- 10．在△A B C 中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则△A B C 的形状为（）

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形 11.将正奇数1，3，5，7，…按右表的方式进行排列，记a ij 表示第i 行第j 列的数，若a ij =2015则i+j 的值为（） A. 505 B. 506 C. 254 D. 253 12.给出以下命题： ①存在两个不等实数,αβ，使得等式sin()sin sin αβαβ+=+成立；

②若数列{}n a 是等差数列，且(*)m n s t a a a a m n s t N +=+∈、、、，则m n s t +=+； ③若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，则61261812S ,,S S S S --成等比数列；

④若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且;(B n n S Aq B =+∈*其中A 、是非零常数,n N )，则

A+B 为零；

⑤已知ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2

a b c +>，则ABC ?一定是锐角三角形。其中正确的命题的个数是（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上。) 13. 已知

θπ<<

，且sin 3

θ=

，则tan 2θ=__________.

14. 已知ABC ?中，设三个内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，

且1,30a b A ===

，

则边长c=__________.

15.已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且

n n S n T n +=

+，则

251924

8101418

b +b +b +b a a a a +++=__________.（用最简分数做答）

16. 数列{}n a 的首项为11a =，数列{}n b 为等比数列且1

n n n

a b a +=，若1

1010112015b b =，则

21a =__________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）

（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321n n S n =++，求n a

（2）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50,242n a a S ===，求n.

18.（本小题满分12分）已知1cos(

)cos(),,63432π

πππααα??

+?-=-∈ ???

，求：（1）sin 2α；（2）1

tan tan αα

-。

19.（本小题满分12分）

在△A B C 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，cos 10

A =-

sin sin sin sin 5

a A

b B

c C B +-=

。（1）求B 的值；

（2）设b=10，求△A B C 的面积S.

20. （本小题满分12分）

已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且12342,32,a a a a == （1）数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足3

121...1(*)13521

n n b b b b a n N n +++++=-∈-，求该数列{}n b 的前n 项和n T .

21. （本小题满分12分）

如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

22 （本小题满分12分）

数列{}n a 的首项为(0)a a ≠，前n 项和为n S ，且1(0)n n S t S a t +=?+≠。设1n n b S =+， c n =k+b 1+b 2+…+b n （k ∈R +

）．（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）当t=1时，若对任意n ∈N *

，|b n |≥|b 3|恒成立，求a 的取值范围；

（3）当t ≠1时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得{c n }为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列．

（第21题图）

高一理科数学试卷参考答案及评分标准

二、填空题：

13 14.1或2 15．

16．2015 三、解答题

17．解：(1) 当1n =时，116a s ==；

当2n ≥时，111(321)[32(1)1]232n n n n n n a s s n n ---=-=++-+-+=?+ 由于1a 不适合此式，所以1

6,1

232,2

n n n a n -=?=?

?+≥?……………………………5分

(2) 解由11020(1),30,50n a a n d a a =+-==，

得程组119301950

a d a d +=??

+=?解得112

2a d =??=?

所以210n a n =+．

1(1)

,2422n n n n s na d s -=+

= 得(1)

1222422

n n n -+

?= 解得11n =或22n =-(舍去)．……………………………10分

18．（1）cos()cos()63ππαα+?-=11

cos()sin()sin(2),6623

4πππααα

+?+=+=-

……………2分即1sin(2)32π

α+

=-，注意到(,)32ππα∈，故23πα+4(,)3

ππ∈，

从而2

2cos(-

α，………………5分 2

3sin

)32cos(3cos

)32sin(2sin =

=∴π

παππαα …………………… 7分

（2）22

1sin cos sin cos 2cos 22tan 21tan cos sin sin cos sin 22ααααα

ααααααα

---=-===-?=

……………………12分

19．解：（Ⅰ） sin sin sinC sin a A b B c B +-=

，

∴2225

a b c ab +-=

∴222cos 2a b c C ab +-=

=. 又 A B C 、、是ABC ?的内角，

∴sin A C =

…………………2分

(

)cos cos cos sin sin 1051052

A C A C A C +=-=

-=-

4分又 A B C 、、是ABC ?的内角，

∴0A C π<+<，

∴34

A C π

. ∴()4

B A

C π

π=-+=

. ………………6分

（Ⅱ）

sin sin c b

C B =，

∴sin sin b

c C B

?=∴ABC ?

的面积11sin 106022S bc A ==??=. ………12分 20．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得2

12512

a q a q ?=??=?? ．．．．．．．．．．．．2分

又 10,0a q >>，解得11

a q =??

=? ．．．．．．．．．．．．3分

12n n a -∴=；．．．．．．．．．．．．5分（2）由

12...21()13521

n n b b b b n N n *++++=-∈-可得当2n ≥时，有

112 (2113523)

n n b b b b n --++++=--， 1212121

n n n

b n -∴-+

=--，整理得1(21)2,(2)n n b n n -=-≥．．．．．．．．．．．．7分当11,1n b ==符合上式

∴1(21)2n n b n -=- ．

．．．．．．．．．．．8分

设12113252(21)2n n T n -=+?+?+???+-?，

2312123252(23)2(21)2n n n T n n -=?+?+?+???+-?+-?．

．．．．．．．．．．．10分两式相减得2112(222)(21)2(23)23n n n n T n n --=+++???+--?=--?- (23)23n n T n ∴=-+ ．．．．．．．．．．．．12分 21．设AMN θ∠=，在AMN 中，

sin 60sin(120)

MN AM

θ=

- ．

因为2MN =，所以)AM θ=

- ．………………2分在APM 中，cos cos(60)AMP θ∠=+ ．…………………5分

2222cos AP AM MP AM MP AMP =+-?∠

200016sin (120)422)cos(60)3θθθ=

-+-?-+ ……………7分

200016sin (60))cos(60)43θθθ=

++++

08[1cos(2120)120)43θθ=-+++

0820120)cos(2120)]33θθ=-++++

02016sin(2150),(0,120)33

θθ=-+∈ …………………10分

当且仅当2150270θ+= ，即60θ=

时，2

AP 取得最大值12，即AP 取得最大值

答：设AMN ∠为60

时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分 22．（1）因为a S t S n n +?=+1 ① 当2≥n 时，a S t S n n +?=-1 ②，

①—②得，n n a t a ?=+1（2≥n ），又由a S t S +?=12，得12a t a ?=，

所以，}{n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以1-?=n n t a a （*

N ∈n ）．…………2分

（2）当1=t 时，a a n =，na S n =，1+=na b n ，由||||3b b n ≥，得|13||1|+≥+a na ，0]2)3[()3(≥++-a n a n （*）当0>a 时，3

当0

3=n 时，（**）成立．

4≥n 时，有02)3(≤++a n ，即3

≤n a 恒成立，所以72-≤a ．

1=n 时，有024≥+a ，21-

≥a ．2=n 时，有025≥+a ，5

-≥a ．综上，a 的取值范围是??????--

72,5

． ………………………6分（3）当1≠t 时，t

t a S n n --=1)1(，t at t a t t a b n

n n ---+=+--=11111)1(，

)1()1(1t t at t an n k c n n ----++=2221)1()1(11)1(t at

t k n t t a t at n ---+?--++-=+， ………8分所以，当???

????=---=--+0)1()1(,01122

t at t k t

a 时，数列}{n c 是等比数列，所以?????-=-=,1,1t t k t a 又因为a ，t ，k 成等差数列，所以k a t +=2，即1

t ．………………………10分从而，215-=

a ，2

5+=k ．所以，当215-=

a ，215+=t ，2

5+=k 时，数列}{n c 为等比数列．………12分