数学基础复习试卷
上海市杨思中学高三2008-2009学年第一学期期末数学基础复习试卷
班级 姓名 学号
一．填空：
1．已知集合{1 3}A =，，{|30}B x mx =-=，且A B A = ，则实数m 的值为 2．函数2()f x x =-)]2,((-∞-∈x 的反函数=-)(1
x f
3．若3cos 5α=
，且??
?
??∈2,0πα，则=2tg α 4．设+
∈R y x ,，若1
8
xy =
，则y x 2+的最小值为 5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面AA 1D 1D 所成的角的大小是 6．在ABC ?中，若?=120A ，AB=5，BC=7，则ABC ?的面积S=________ 7. 等差数列{}n a 中，若7320a a -=，则20082000a a -=
8. 若7
1(2)x x
-的二项展开式中的第5项是140，设12n n S x x x ---=++???+，则lim n n S →∞
=
9．设函数)(x f y =是奇函数. 若3)2()1(3)1()2(++=--+-f f f f ，则=+)2()1(f f 10．函数x x y arcsin sin +=的值域是
11． 给出下列命题：(1)常数列既是等差数列，又是等比数列；(2)实数等差数列中，若公差d<0，
则数列必是递减数列；(3)实数等比数列中，若公比q >1，则数列必是递增数列；
(4)1)4142(lim =-+∞→n n n n ；(5)首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =q
q a n --1)
1(1，
其中正确命题的序号是
12．已知函数2()2log x f x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当|()2005|
n f a -取得最小值时，n = 二、选择题： 13．若函数1
21
)(+=
x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是[ ] A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值 14. 设集合10x A x
x a ?
-?
=≥??-??
，集合{}
31B x x =-<，且B A ?，则实数a 的取值范围是
[ ]
A. 1a ≤；
B. 2a ≤；
C. 12a <<；
D. 4a ≥.
15．用数学归纳法证明()()()()()N n n n n n n n
∈-????=+++1231221 时，从“k ”到“1+k ”
的证明，左边需增添的代数式是[ ] （A ）12+k （B ）
1
1
2++k k （C ）)12(2+k （D ）132++k k
16．下列四个函数中，图像如图所示的只能是[ ]
(A) x x y lg +=. (B) x x y lg -= (C) x x y lg +-= (D) x x y lg --= 三．解答：
17．已知αtg 是方程01sec 22=++αx x 的两个根中较小的根，求α的值
18．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲
船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30
，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1?）？
19． 如图直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面△ABC 是等腰直角三角形，
∠ABC =90o，AC =2，D 是AA 1的中点 （1）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V （2）求异面直线AB 与C 1D 所成的角的大小
20．已知函数0()(2
≠+
=x x
a
x x f ，常数)
a ∈R
（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由
（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，
上为增函数，求a 的取值范围
A
B
C
D A 1 B 1
C 1
21．假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末
．．．．加1000元
（Ⅱ）每半年
．．．结束时加300元。请你选择
（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？
（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？
杨思中学高三第一学期期末数学基础复习试卷答案
班级 姓名 学号
一．填空：
1．已知集合{1 3}A =，，{|30}B x mx =-=，且A B A = ，则实数m 的值
为 0，1，3
2．函数2()f x x =-)]2,((-∞-∈x 的反函数=-)(1
x f ]4,(,--∞∈--x x
3．若3cos 5α=
，且??
?
??∈2,0πα，则=2tg α 21 4．设+
∈R y x ,，若1
8
xy =
，则y x 2+的最小值为 ．1 5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面AA 1D 1D 所成的角的大小是_______arc tg 2
2 6．在ABC ?中，若?=120A ，AB=5，BC=7，则ABC ?的面积S=________
4
3
15120sin 21S =
????=
AC AB 7. 等差数列{}n a 中，若7320a a -=，则20082000a a -=
8. 若7
1(2)x x
-的二项展开式中的第5项是140，设12n n S x x x ---=++???+，
则lim n n S →∞
=
9．设函数)(x f y =是奇函数. 若3)2()1(3)1()2(++=--+-f f f f ，
则=+)2()1(f f . 3-
10．函数x x y arcsin sin +=的值域是 ?????
?
+--21sin ,21sin ππ
11． 给出下列命题：(1)常数列既是等差数列，又是等比数列；(2)实数等差数列中，若公差d<0，
则数列必是递减数列；(3)实数等比数列中，若公比q >1，则数列必是递增数列；
(4)1)4142(lim =-+∞→n n n n ；(5)首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =q
q a n --1)
1(1。
其中正确命题的序号是 (2)、(4)
12．已知函数2()2log x f x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当|()2005|
n f a -取得最小值时，n = 110
二、选择： 13．若函数1
21
)(+=
x
x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值 14. 设集合10x A x
x a ?
-?
=≥??-??
，集合{}
31B x x =-<，且B A ?，则实数a 的取值范围是
（ ）
A. 1a ≤；
B. 2a ≤；
C. 12a <<；
D. 4a ≥
15．用数学归纳法证明()()()()()N n n n n n n n
∈-????=+++1231221 时，从“k ”到“1+k ”
的证明，左边需增添的代数式是 （ ）
（A ）12+k （B ）1
1
2++k k （C ）)12(2+k （D ）132++k k
16．下列四个函数中，图像如图所示的只能是[ ]
(A) x x y lg +=. (B) x x y lg -= (C) x x y lg +-= (D) x x y lg --= 三．解答：
17．已知αtg 是方程01sec 22=++αx x 的两个根中较小的根，求α的值 [解] ∵ αtg 是方程01sec 22=++αx x 的较小根，∴ 方程的较大根是αctg . ∵ αtg +αctg =αsec 2-，即 αααc o s
2
c o s s i n 1-
= ∴ 2
1
sin -
=α 解得 672ππα+
=k ，或Z ∈-=k k ,6
2π
πα 当)(6
72Z ∈+=k k π
πα时，αtg 33=
，αctg 3= 当)(6
2Z ∈-=k k π
πα时，αtg 33-=，αctg 3-=，不合题意
∴ Z ∈+=k k ,6
72π
πα
18．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲
船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30
，相距10海里C 处的乙船，试问乙
船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1?）？
[解] 连接BC,由余弦定理得 BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=107. ∵
7
10120sin 20sin ?=ACB , ∴sin ∠ACB=73
, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援
19． 如图直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面△ABC 是等腰直角三角形，
∠ABC =90o，AC =2，D 是AA 1的中点 （1）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V 2
（2）求异面直线AB 与C 1D 所成的角的大小arc cos 5
10
20．已知函数0()(2
≠+
=x x
a x x f ，常数)a ∈R ．
（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，
上为增函数，求a 的取值范围． 解：（1）当0=a 时，2
)(x x f =，
对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(2
2
x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．
A
B
C D A 1 B 1 C 1
当0≠a 时，2()(00)a
f x x a x x
=+
≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f f f ∴-≠-
-≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设122x x <≤， 22
212
121)()(x a x x a x x f x f --+
=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212
121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，
上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立． 121204x x x x -<> ，，即)(2121x x x x a +<恒成立．
又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，． 解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，
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