数列综合应用+三角函数
重点:掌握特殊数列的综合应用以及三角函数应用 规划:思维加解题方法以及应用技巧
一. 数列综合应用:1.等差等比数列基本公式应用——求和,通项
——等差中项 ——性质应用 2.特殊数列的通项求法——基本公式
——递推法 ——累加法 ——累乘法
——构造法。。。。。。。
3.Sn 的求法——基本公式法 ——倒序相加法
——错位相减法 ——裂项相消法
考点一:等差数列等比数列基本公式的应用
1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中,12=a ,54=a 则}{n a 的前5项和5S =( )
A.7
B.15
C.20
D.25
2..【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列,472a a +=,
,则( )
{}n a 568a a =-110a a +=
()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7
.3.(广东卷)已知等比数列的公比为正数,且·=2,=1,则= A. B.
C. D.2 4.(安徽卷)已知为等差数列,,
则
等于
A. -1
B. 1
C.3
D.7 5.(江西卷)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于
A. 18
B. 24
C. 60
D. 90 . 6.(湖南卷)设是等差数列的前n 项和,已知,,则等于【 】
A .13
B .35
C .49
D . 63 7.(辽宁卷)已知为等差数列,且-2=-1, =0,则公差d =
(A )-2 (B )- (C ) (D )2
8.(四川卷)等差数列{}的公差不为零,首项=1,是和的等比中项,则数列的前10项之和是
A. 90
B. 100
C. 145
D. 190 9. 设等差数列的前n 项和为。若,,则当取最小值时,n 等于( )
}{n a 3a 9a 25a 2a 1a 2
1
2
2
2{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S n S {}n a 23a =611a =7S {}n a 7a 4a 3a 1
2
12
n a 1a 2a 1a 5a {}n a n S 111a =-466a a +=-n S
A.6
B.7
C.8
D.9 二、填空题
1(浙江)设等比数列的公比,前项和为,则 . 2.(浙江)设等差数列的前项和为,则,,,
成等差数列.类比以上结论有:设等比数列的前项积为,
则, , ,
成等比数列. 3.(山东卷)在等差数列中,,则.
4.(宁夏海南卷)等比数列{}的公比, 已知=1,
,则{}的前4项和= .
{a n }是等差数列,且a 1+a 4+a 7=45,a 2+a 5+a 8=39,则a 3+a 6+a 9的值是( ) 5.等差数列{a n }中,已知a 1=-6,a n =0,公差d ∈N *,则n (n ≥3)的最大值为( )
6.设a n =-n 2+10n +11,则数列{a n }从首项到第几项的和最大( ) 7.已知等差数列{a n }的公差为正数,且a 3·a 7=-12,a 4+a 6=-4,则
S 20为( )
三.解答题
1. 设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足+15=0。 (Ⅰ)若=5,求及a 1;
{}n a 1
2
q =
n n S 4
4
S a ={}n a n n S 4S 84S S -128S S -1612S S -{}n b n n T 4T 16
12
T T }{n a 6,7253+==a a a ____________6=a n a 0q >2a 216n n n a a a +++=n a 4S 56S S 5S 6S
(Ⅱ)求d的取值范围。
2.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (1)求数列{b n}的通项公式;
3. 已知等比数列{a n}的公比q=3,前3项和S3=13 3
.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若函数f(x)=A sin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=π
6
处取得
最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式.
4.已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. 若a=1,求数列{a n}的通项公式;
5. 已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10.
(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列????
??
a n 2n -1的前n 项和.
6. 设{a n }是公比为正数的等比数列,a 1=2,a 3=a 2+4.
(1)求{a n }的通项公式;
(2)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n +b n }的前n 项和S n .
7. 等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 2
3=9a 2a 6.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列????
??
1b n 的前n 项和.
考点二:数列的综合应用
1. 设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +1=a n +1S n (n ∈N *). (1)若a 1,S 2,-2a 2成等比数列,求S 2和a 3;
2.(本题满分12分)已知数列{}n a 的通项公式为,数列的前n 项和为,且满足
(I )求的通项公式; (II )在{}n a 中是否存在使得1
9n a +是
中的项,若存在,请写出满足题意的一项(不要求写出所有的项);
若不存在,请说明理由.
3. 数列{n a } 中a 1=13,前n 项和n S 满足1n S +-n S =1
13n +?? ???
(n ∈*N ).
( I ) 求数列{n a }的通项公式n a 以及前n 项和n S ;
(II )若S 1, t ( S 1+S 2 ), 3( S 2+S 3 ) 成等差数列,求实数t 的值。
4.已知数列{}n a 与{}n b 满足:
1123(1)0,2
n
n n n n n n b a a b a b ++++-++==, *n ∈N ,
且
122,4a a ==.
(Ⅰ)求345,,a a a 的值;
(Ⅱ)设*2121,n n n c a a n N -+=+∈,证明:{}n c 是等比数列;
12-=n a n }{n b n T n n b T -=1}{n b }
{n b
二.三角函数的综合应用:解斜三角形(正余弦定理)+三角函数+向量
1.(安徽卷理16)设是锐角三角形,分别是内角所
对边长,并且。
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,求(其中)。
2.(安徽卷文16)的面积是30,内角所对边长分别为,
。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求的值。
ABC ?,,a b c ,,A B C 22sin sin() sin() sin 33A B B B
ππ
=+-+
A 12,A
B A
C a ==,b c b c cos 13A = AB AC 1c b -=a 3.(辽宁卷文17)在中,分别为内角的对边,且 (Ⅰ)求的大小; (Ⅱ)若,是判断的形状。 4.(浙江卷文18)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积,满足。 (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求的最大值。 5.(重庆卷文18)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且. (Ⅰ)求的值. (Ⅱ)求的值. ABC a b c 、、A B C 、、2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++A sin sin 1B C += ABC 2 22()4S a b c = +-sin sin A B +2 22333b c a +-=sin A 2sin()sin() 4 4 1cos 2A B C A π π + ++ - 6.(重庆卷理16)设函数。 (Ⅰ)求的值域; (Ⅱ)记的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ,b ,c ,若=1, ,求a 的值。 7△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,向量=(2sinB ,2-cos2B ), )1),2 4 ( sin 2(2-+ =B n π ,m ⊥n . (1)求角B 的大小; (2)若a =b=1,求c 的值. 三角函数练习补充 1.、 已知α为第三象限角,则2 α 所在的象限是( ) (A) 第一或第二象限 (B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D) 第二或第四象限 变式1、若α是第二象限角,则 2 α 是第_____象限角。 ()22cos 2cos ,32x f x x x R π? ?=++∈ ???()f x ABC ?()f B 变式2、若α角的终边落在第三或第四象限,则2 α 的终边落在( ) A .第一或第三象限 B .第二或第四象 限 C .第一或第四象限 D .第三或第四象 限 2、(07全国1文2)α是第四象限角,12cos 13 α= ,则s i n α= ( ) A .513 B .513- C . 512 D .512 - 3.(07全国 2 理1)sin2100 = ( ) A 2 3 B- 2 3 C 21 D -2 1 4.角α的终边过点P (-8m ,-6cos60°)且cos α=-5 4,则m 的值是( ) A.2 1 B.-2 1 C.- 2 3 D. 2 3 5.(天津卷6)把函数sin y x =(x R ∈)的图象上所有点向左平行移动 3 π 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍 (纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 A sin(2)3 y x π =-,x R ∈ B sin()26 x y π =+,x R ∈ C sin(2)3 y x π =+,x R ∈ D sin(2)3 2y x π =+ ,x R ∈ 6.(2007年辽宁卷19).(本小题满分12分) 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662 x f x x x x ωωω????=++--∈ ? ? ? ? ? ? R ,(其中0ω>) (I )求函数()f x 的值域; (II )若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为 π 2 ,求函数()y f x =的单调增区间. 7.(天津卷17)(本小题满分12分) 已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=(,0x R ω∈>)的最小值正周期是2 π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求函数()f x 的最大值,并且求使()f x 取得最大值的x 的 [例1]已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列,若函数f (x )=(x -1)2,且a 1=f (d -1),a 3=f (d +1),b 1=f (q +1),b 3=f (q -1), (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; 解:(1)∵a 1=f (d -1)=(d -2)2,a 3=f (d +1)=d 2 , ∴a 3-a 1=d 2-(d -2)2=2d , ∵d =2,∴a n =a 1+(n -1)d =2(n -1);又b 1=f (q +1)=q 2,b 3=f (q -1)=(q -2)2 , ∴ 2 2 1 3)2(q q b b -==q 2 ,由q ∈R ,且q ≠1,得q =-2, ∴b n =b ·q n -1=4·(-2)n -1 [例2]设A n 为数列{a n }的前n 项和,A n = 2 3 (a n -1),数列{b n }的通项公式为b n =4n +3; (1)求数列{a n }的通项公式; (2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列{d n }的通项公式为d n =3 2n +1 ; 解:(1)由A n = 2 3(a n -1),可知A n +1= 2 3(a n +1-1), ∴a n +1-a n =2 3 (a n +1-a n ),即n n a a 1+=3,而a 1=A 1=2 3 (a 1-1),得a 1=3,所以数列是以3 为首项,公比为3的等比数列,数列{a n }的通项公式a n =3n . (2)∵32n +1=3·32n =3·(4-1)2n =3·[42n +C 12n ·42n -1(-1)+…+C 1 22-n n ·4·(-1)+(-1)2n ]=4n +3, ∴32n +1∈{b n }.而数32n =(4-1)2n =42n +C 12n ·42n -1·(-1)+…+C 122-n n ·4·(-1)+(-1)2n =(4k +1), ∴32n ?{b n },而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n },∴d n =32n +1. [例3]数列{a n }满足a 1=2,对于任意的n ∈N *都有a n >0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1- na n +12 =0,又知数列{b n }的通项为b n =2 n -1 +1. (1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ; (2)求数列{b n }的前n 项和T n ; (3)猜想S n 与T n 的大小关系,并说明理由. .解:(1)可解得 1 1+= +n n a a n n ,从而a n =2n ,有S n =n 2+n , 三角函数公式:(1).弧度制:180o rad π=,'18015718o o rad π =≈ 弧长公式:l r α= ,扇形面积公式:21 122 S r lr α== (2)定义式:设角α终边上一点为(),P x y ,22r OP x y == +则: sin ,cos ,tan ;y x y r r x ααα= == (3)同角基本关系式:2 2sin sin cos 1,tan ;cos α αααα +== (4)诱导公式:奇变偶不变,符号看象限. (5)两角和差公式:()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ±= ()tan tan tan ;1tan tan αβ αβαβ ±±= (6)二倍角公式:2 2tan sin 22sin cos ,tan 2;1tan α ααααα == - 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-; (7)降幂公式:()()22111 sin cos sin 2,sin 1cos 2,cos 1cos 2;222 ααααααα==-=+ (8)合一公式:()22 sin cos sin ,a b a b ααα?+=++其中tan b a ?=. 2.三角函数图像和性质: (二)、函数图像的四种变换: (三)、函数性质: 1。奇偶性: (1)定义:奇函数:对于定义域内任何自变量x ,都有()()f x f x -=-,则称()f x 为奇函 数。 偶函数:对于定义域内任何自变量x ,都有()()f x f x -=,则称()f x 为偶 函数。 (2)图像:奇函数图像关于原点对称,若自变量可以取0,则()00f =;偶函数图像关于y 轴对称。 ( 3) 常 见 的 奇 函 数 : ,,a k y kx y y x x == =(a 为奇 数),(),0,k y x k R k x =+ ∈≠sin ,y x =tan ;y x = 常见的偶函数:,a y m y x ==(a 为偶数),cos y x =,y x =。 (4)奇偶函数四则运算与复合: 2周期性: (1)定义:对于定义域内任何自变量x ,都有()()f x T f x +=,则称()f x 为以T 为周期的函数. (2) 若函数()f x 的周期为T ,则函数()f x ω的周期'T T ω = 。 (3)若()()f x m f x +=-,则函数()f x 的周期为2T m =; 若()() k f x m f x +=,则函数()f x 的周期为2T m =。 3.对称性: 对于定义域内任何自变量x ,都有()()2f x f a x =-,则函数()f x 图像关于x a =对称。 三、数列基础知识: 1。等差数列:(1)定义式:()1,2n n a a d n N n *--=∈≥或()1n n a a d n N *+-=∈用于证 明。 (2)通项公式:()()11;n n m a a n d a a n m d =+-=+-(3)中项公式:若,,a b c ,则 2b a c =+ 三角函数综合 1、若点P 在 3 2π 的终边上,且OP=2,则点P 的坐标( ) A .)3,1( B .)1,3(- C .)3,1(-- D .)3,1(- 2、已知=- =-ααααcos sin ,4 5 cos sin 则( ) A . 47 B .169- C .32 9 - D . 32 9 3、下列函数中,最小正周期为2 π 的是( ) A .)32sin(π-=x y B .)3 2tan(π -=x y C . ) 6 2cos(π +=x y D .)6 4tan(π +=x y 4、等于则)2cos(),,0(,3 1 cos θππθθ+∈=( ) A .924- B .924 C .9 7- D .9 7 5、若α是三角形的内角,且2 1 sin =α,则α等于( ) A . 30 B . 30或 150 C . 60 D . 120或 60 6、下列函数中,最小值为-1的是( ) A .1sin 2-=x y B .cos 1y x =- C . x y sin 21-= D .x y cos 2+= 7、设)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-= +则的值是( ) A . 1813 B . 22 13 C . 22 3 D .6 1 8、 300cos 的值是( ) A . 2 1 B .2 1- C . 2 3 D .2 3- 9、将函数x y 4sin =的图象向左平移 12 π 个单位,得到)4sin(?+=x y 的图象,则?等于( ) A .12 π - B .3 π- C . 3 π D . 12 π 10、 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A .3 B . 3 3 C .3 3- D .3- 11、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++等于( ) A .)2cos(y x + B .y cos C .)2sin(y x + D .y sin 12、若θθθ则,0cos sin >在( ) A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第一、四象限 D .第二、四 象限 13、函数是x x y 2cos 2sin 2=( ) A .周期为2π的奇函数 B .周期为2π的偶函数 C .周期为4π的奇函数 D 周期为4 π的偶函数 14、设m M 和分别表示函数1cos 3 1 -= x y 的最大值和最小值,则等于m M + 三角函数与数列(高考题)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=. (1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B. 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 3.在△ABC中,a2+c2=b2+ac. (1)求∠B的大小; (2)求cos A+cos C的最大值. 4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin 2B=b sin A. (1)求B; (2)若cos A=,求sin C的值. 5.设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值. 6.设f(x)=sin x cos x-cos2. (1)求f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 7.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长. 8.已知向量=,=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=·. (1) 求f(x)的最小正周期. (2) 求f(x) 在上的最大值和最小值. 9.已知ΔABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量,, . (1)若//,求证:ΔABC为等腰三角形;(2)若⊥,边长c= 2,角C=,求ΔABC的面积. 三角函数数列公式大全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 三角函数公式:(1).弧度制:180o rad π=,'18015718o o rad π = ≈ 弧长公式:l r α=,扇形面积公式:2112 2 S r lr α== (2)定义式:设角α终边上一点为(),P x y ,22r OP x y ==+则: sin ,cos ,tan ;y x y r r x ααα= == (3)同角基本关系式:22sin sin cos 1,tan ;cos α αααα +== (4)诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。 (5)两角和差公式:()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ±= ()tan tan tan ;1tan tan αβ αβαβ ±±= (6)二倍角公式:2 2tan sin 22sin cos ,tan 2;1tan α ααααα == - 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-; (7)降幂公式: ()()22111 sin cos sin 2,sin 1cos 2,cos 1cos 2;222 ααααααα==-=+ (8)合一公式:()22sin cos sin ,a b a b ααα?+=++其中tan b a ?=。 2.三角函数图像和性质: (二)、函数图像的四种变换: (三)、函数性质: 1.奇偶性: (1)定义:奇函数:对于定义域内任何自变量x ,都有()()f x f x -=-,则称()f x 为奇函数。 偶函数:对于定义域内任何自变量x ,都有()()f x f x -=,则 称()f x 为偶函数。 (2)图像:奇函数图像关于原点对称,若自变量可以取0,则()00f =;偶函数图像关于y 轴对称。 (3)常见的奇函数:,,a k y kx y y x x ===(a 为奇数), (),0,k y x k R k x =+ ∈≠sin ,y x =tan ;y x = 常见的偶函数:,a y m y x ==(a 为偶数),cos y x =,y x =。 (4)奇偶函数四则运算与复合: ,. 玉林市第十一中学2017春段考试卷 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=,,则7a =( ) A .64 B .81 C .128 D .243 2.设数列,,,,…,则是这个数列的 A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 3.一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列,那么()tan A C +的值是 A .3 B .3- C .3- D .不确定 4.(选修4—5)设,x y R +∈且2x y +=,则41x y +的最小值为( ) A .9 B .92 C .7 D .72 5.已知首项为正数的等差数列{}n a 满足:0,02004200320042003>+a a a a , 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数是 ( ) A .4005 B.4010 C .4011 D .4006 ,. 6.在ABC ?中,bc c b a ++=222,则A 等于( ) A ????30.45.60.120.D C B 7.在ABC ?中,若tan tan 1A B >,则ABC ?是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .无法确定 .38.在等差数列{}n a 中a 3+a 4+a 5=12,n S 为数列{}n a 的前n 项和,则S 7 =( ) A.14 B.21 C.28 D.35 9.已知ABC ?中,已知45,2,2,A AB BC ∠=?= =则C ∠= ( ) A .30° B .60° C .120° D .30°或150° 10.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边,∠A=60o,1=b , △ABC 的面积ABC S ?=3,则 C B A c b a sin sin sin ++++的值等于( ) (A) 3932 (B) 3326 (C) 338 (D) 32 11.在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则2a 10-a 12的值为 ( ) A.20 B.22 C.24 D.28 12.等差数列{}n a 的前n 项和是n S ,若12345,9,a a a a +=+=则10S 的值为 ( ) A 、55 B 、60 C 、65 D 、70 13.已知0>a ,0>b 且223=+b a ,则ab 的最大值为( ) 必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1.下列说法中,正确的是( ) A .第二象限的角是钝角 B .第三象限的角必大于第二象限的角 C .-831°是第二象限角 D .-95°20′,984°40′,264°40′是终边相同的角 2.若点(a,9)在函数y =3x 的图象上,则tan a π 6的值为( ) A .0 B.3 3 C .1 D. 3 3.若|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则θ 2的终边在( ) A .第一、三象限 B .第二、四象限 C .第一、三象限或x 轴上 D .第二、四象限或x 轴上 4.如果函数f (x )=sin(πx +θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ,且当x =2时取得最大值,那么( ) A .T =2,θ=π 2 B .T =1,θ=π C .T =2,θ=π D .T =1,θ=π 2 5.若sin ? ???? π2-x =-32,且π 7.将函数y =sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到y =sin ? ?? ?? x -π6的图象,则φ=( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8.若tan θ=2,则2sin θ-cos θ sin θ+2cos θ的值为( ) A .0 B .1 C.34 D.54 9.函数f (x )=tan x 1+cos x 的奇偶性是( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既是奇函数又是偶函数 D .既不是奇函数也不是偶函数 10.函数f (x )=x -cos x 在(0,+∞)内( ) A .没有零点 B .有且仅有一个零点 C .有且仅有两个零点 D .有无穷多个零点 S C A D B 1(三角函数).已知向量()x x m ωωsin ,cos =,() x x n ωωcos 3,cos =,设函数n m x f ?=)(. (1)若)(x f 的最小正周期是π2,求)(x f 的单调递增区间; (2)若)(x f 的图象的一条对称轴是6 π =x ,(20<<ω),求)(x f 的周期和值域. 2(三角函数)在ABC ?中,a b c 、、分别为角A B C 、、的对边,已知向量(,)p a b c =+ , (,),q b a c b =-- ||||,p q p q +=- 且(Ⅰ)求角A 的值; (Ⅱ)若3a =,设角B 的大小 为,x ABC ?的周长为y ,求()y f x =的最大值. 3(立体几何)如图,已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形, SA ABCD ⊥平面,2SA =,E 是侧棱SC 上的一点. (1)求证:EBD SAC ⊥平面平面; (2)求四棱锥S-ABCD 的体积. 4(立体几何)如图,在四棱锥S ABCD -中,SA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,90ABC ∠= ,1, 2.SA AB AD BC ==== (Ⅰ)求异面直线BC 与SD 所成角的大小; (Ⅱ)求直线SC 与平面SAB 所成角的正切值; (Ⅲ)求三棱锥D SBC -的体积. 5(解析几何)已知直线1y kx =+ (k ∈R)与圆C:2 2 4x y +=相交于点A 、B, M 为弦AB 中点(Ⅰ) 当k=1时,求弦AB 的中点M 的坐标及AB 弦长; (Ⅱ)求证:直线与圆总有两个交点; (Ⅲ)当k 变化时求弦AB 的中点M 的轨迹方程. S B C D A E 公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 推导:cos(2α)=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2(α)-sin^2(α)……① 在等式①两边加上1,整理得:cos(2α)+1=2cos^2(α) 将α/2代入α,整理得:cos^2(α/2)=(cosα+1)/2 在等式①两边减去1,整理得:cos(2α)-1=-2sin^2(α) 将α/2代入α,整理得:sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定) cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα)/(1+cosα)]^(1/2) 推导:tan(α/2) =sin(α/2)/cos(α/2) =[2sin(α/2)cos(α/2] /2cos(α/2)^2 =sinα/(1+cosα) =(1-cosα)/sinα 一、高中数列基本公式: 1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系:a n= 2、等差数列的通项公式:a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、a k为已知的第k项) 当d≠0时,a n是关于n的一次式;当d=0时,a n是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式: S n=S n=S n= 当d≠0时,S n是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),S n=na1是关于n 的正比例式。 1 QA^ 三角函数公式:(1) ?弧度制:7irad = 180", Wad = —— ?57"18 71 弧长公式:1= a r,扇形面积公式:S = -ar 2 =-lr 2 2 (2)定义式:设角a 终边上一点为P (x,y ), r = \OP\ = y/x 2 + y 2 Wd : ? y x y sma = —,cos (7 = —,tan? =—; r r x (3)同角基本关系 式: .7 7 . sin a snr a + cos~ ? = 1, tan ? = ------ cos <7 (4)诱导公式:奇变偶不变,符号看象 限。 (5)两角和差公式:sin (cr ± /?) = sin a cos /? ± cos a sin /?, cos (a ± 0) = cos a cos 0 ¥ sin a sin 0, tan ( Q ± 0) tan 6Z ± tan /? 1 + tan a tan 0, (6) 二倍角公式:sin2? = 2sincrcoscr,tan 2a = ~~tan a 1-tan^ a cos= cos 2 cr-sin 2 a = l-2sin 2 a = 2cos 2 Q -1 ; (7) (8) 降墓公式:sin a cos a = -^-sin26Z,sin 2 a = g(l -cos26/),cos 2 a = y(' + cos 2a); Q + 0),其中 tan/= 2。 a 合一公式:<7sin<7 + /?cos (7 = \cr +Z?2 sin( 对称车由:x = lc7T H ——左已Z 对称中心: 、0 .k 已 Z 无对称轴 像 周期性 T=2TT 奇偶性 偶函数 奇函数 单 调 性 増区间: 减区间: .■ 穴、, 3/r , … 2g+亍2Qr + w (2Z) 增区间: [lk :7r — 7r.2/c7r][/c e Z i 减区间: [llc/r. 2Jc/r+ /rji J CG Z 9 増区间: (上TT —今工兀4- 分"Z ) 无减区间 、、函数 性底\ y = sin x y = tan x 2.三角函数图像和性质: 定义域值域 对称性 y = cos x H X z e 7r -2 + 奇函数 T = 7T 对称中心:穴、O\kwZ 对称轴x x = k 穴、k e Z 对称中心: Z 、 Ic7r + — .0、上 w Z 三角函数习题 1.在ABC ?中,角A . B .C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C . (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ?u r r 的最大值是5,求k 的值 2.在ABC ?中,已知内角A . B .C 所对的边分别为a 、b 、c ,向 量 (2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ??=- ???r ,且//m n r r ? (I)求锐角B 的大小; (II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值 3.已知??? ? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间? (2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3 4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值? 4.设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3()2 f x ≥成立的x 的取值集合? 5 .已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???,ππ42x ??∈???? ,. (1)求)(x f 的最大值和最小值; (2)2)(<-m x f 在ππ42x ??∈???? ,上恒成立,求实数m 的取值范围. 6.在锐角△ABC 中,角A . B .C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A; (II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值? 7.在锐角ABC ?中,已知内角A . B .C 所对的边分别为a 、b 、c ,且(tanA -tanB)=1+tanA·tan B . (1)若a 2-ab =c 2-b 2,求A . B .C 的大小; (2)已知向量m ρ=(sinA ,cosA),n ρ=(cosB ,sinB),求|3m ρ-2n ρ|的取值范围. 三角函数习题答案 1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C . 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA . ∵01,∴t =1时,m n ?u r r 取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. ? 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B 三角函数、向量、解三角形、数列综合测试(含答案) 大冶一中 孙雷 一、选择题(每题只有一个正确选项,共60分) 1.若向量===BAC ∠),0,1-(),2 3 , 21(则( ) ° ° C. 120° D. 150° 2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中,△,则对于ABC △所在平面内的一点P ,)(+?的最小值是( ) B. -14 3.已知在正方形ABCD 中,点E 为CD 的中点,点F 为CB 上靠近点B 的三等分点,O 为AC 与BD 的交点,则=DB ( ) @ A.51858- + B.74718-+ C.58518-+ D. 7 1874-+ 4.已知)2π-απ-(523- αsin -αcos <<=,则=+α ααtan -1) tan 1(2sin ( ) A.7528- B.7528 C.7556- D. 75 56 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3,则实数=m ( ) A.6- B.5- C.3- D.2- 6.已知α为锐角,且2)8 π -α(tan =,则=α2sin ( ) A. 102 B.1023 C.1027 D. 4 23 7.已知向量)sin 41 -(α,=a ,)4πα0)(1-α(cos <<=,,且//,则=)4 π-αcos(( ) ) A.21- B.2 1 C.23- D.23 8.在ABC △中,3:2:1::=A B C ,则=a b c ::( ) :2:3 :2:1 :3:2 D. 2: 3:1 9.在ABC △中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,若B A C sin sin sin 3+=, 5 3 cos =C ,且4=ABC S △,则=c ( ) A. 364 C.3 6 2 10.在ABC △中,°=60C ,322==AC BC ,点D 在边BC 上,且7 7 2sin =∠ BAD ,则CD =( ) A. 334 B.4 3 C.33 D.332 … 11.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少”根据上述问题的已知条件,若该女子共织布31 35 尺,则这位女子织布的天数是( ) 2020年高考数学一轮复习知识点总结 数列 考试内容: 数列. 等差数列及其通项公式.等差数列前n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前n 项和公式. 考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题. (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,井能解决简单的实际问题. §03. 数 列 知识要点 等差数列 等比数列 定义 d a a n n =-+1 )0(1 ≠=+q q a a n n 递推公式 d a a n n +=-1;md a a n m n +=- q a a n n 1-=;m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a (0,1≠q a ) 数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 等差数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n 项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n 项和 1. ⑴等差、等比数列: 等差数列 等比数列 定义 常数)为(}{1d a a P A a n n n =-??+ 常数) 为(}{1q a a P G a n n n =? ?+ 通项公 式 n a =1a +(n-1)d=k a +(n-k ) d=dn +1a -d k n k n n q a q a a --==11 求和公式 n d a n d d n n na a a n s n n )2(22) 1(2)(1211-+=-+=+= ?? ? ??≠--=--==)1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na s n n n 中项公式 A= 2 b a + 推广:2n a =m n m n a a +-+ ab G =2。推广:m n m n n a a a +-?=2 性 质 1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ,则q p n m a a a a =。 2 若}{n k 成A.P (其中N k n ∈)则}{n k a 也为A.P 。 若}{n k 成等比数列 (其中N k n ∈),则}{n k a 成等比数列。 3 .n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。 n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。 4 )(11n m n m a a n a a d n m n ≠--=--= 1 1a a q n n = - , m n m n a a q = - )(n m ≠ 5 ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- 中项 2 k n k n a a A +-+= (0,,* k n N k n ∈) ) 0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=(0,,* k n N k n ∈) 前n 项和 )(2 1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= () ? ?? ??≥--=--==)2(111)1(111q q q a a q q a q na S n n n 重要性质 ),,,,(* q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+) ,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈?=? 三角函数、数列导数测试题及详解 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是 符合题目要求的. 1.已知点A (-1,1),点B (2,y ),向量a=(l ,2),若//AB a ,则实数y 的值为 A .5 B .6 C .7 D .8 2.已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A .50 B .70 C .80 D .90 3.2 (sin cos )1y x x =+-是 A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 C .最小正周期为π的偶函数 D .最小正周期为π的奇函数 4.在右图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列,那么x+y+z 的值为 A .1 B .2 C .3 D .4 5.已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量 *1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈,下列命题中真命题是 A .若* ,//n n n N c b ?∈总有成立,则数列{}n a 是等差数列 B .若* ,//n n n N c b ?∈总有成立,则数列{}n a 是等比数列 C .若* ,n n n N c b ?∈⊥总有成立,则数列{}n a 是等差数列 D .若* ,n n n N c b ?∈⊥总有成立,则数列{}n a 是等比数列 6.若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项,则cos2x 的值为 A . 133 8 + B . 133 8 C . 133 8 ± D . 12 4 - 7.如图是函数sin()y x ω?=+的图象的一部分,A ,B 是图象上的一个最高点和一个最低 点,O 为坐标原点,则OA OB ?的值为 A .12π B . 2 119π+ C .2 119 π- D .2 113 π- 8.已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1,x 2,且方程()f x m =有两个 三角函数大题综合训练 1.已知函数 ()2sin()cos f x x x π=-.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求()f x 在区间,62ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 2.设函数f (x )=cos(2x + 3 π)+sin 2 x .(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角,若cos B =31, 1 ()24 c f =-,且C 为锐角,求sin A . 3.已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- (Ⅰ)将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω?ω?π++>>∈的形式, 并指出()f x 的周期; (Ⅱ)求函数17()[,]12 f x π π在上的最大值和最小值 4.已知函数 ()2sin cos 442x x x f x =+. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及最值;(Ⅱ)令π()3g x f x ? ?=+ ?? ?,判断函数()g x 的奇偶性,并说明理由. 5.已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x πππ=-+-+(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程(Ⅱ)求函数()f x 在 区间[,]122 ππ-上的值域 6.设2()6cos 2f x x x =-.(Ⅰ)求()f x 的最大值及最小正周期;Ⅱ)若锐角α 满足 ()3f α=-4 tan 5 α的值. 7.已知0α βπ<<4,为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期,1tan 14αβ????=+- ? ????? ,, a (cos 2)α=, b ,且m =·a b .求22cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值. 8.设a ∈R ,f (x )=cos x (a sin x -cos x )+cos 2()π2-x 满足f ()-π3=f (0).求函数f (x )在[] π4,11π 24上的最大值和最小值. 三角函数与数列(高考题) 1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=. (1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B. 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 3.在△ABC中,a2+c2=b2+ac. (1)求∠B的大小; (2)求cos A+cos C的最大值. 4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin 2B=b sin A. (1)求B; (2)若cos A=,求sin C的值. 5.设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值. 6.设f(x)=sin x cos x-cos2. (1)求f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 7.△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长. 8.已知向量=,=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=·. (1) 求f(x)的最小正周期. (2) 求f(x) 在上的最大值和最小值. 9.已知ΔABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量,, . (1)若知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1. (1)求数列{b n}的通项公式; (2)令c n=.求数列{c n}的前n项和T n. 11.设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*. (1)求通项公式a n;(2)求数列{|a n-n-2|}的前n项和. 12.已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立。 (Ⅰ)求,的值; 13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=,a n =-2S n S n -1(n ≥2且n ∈N *). (1)求证:数列是等差数列; (2)求S n 和a n . 14.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且数列{S n }是以2为公比的等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 3+…+a 2n +1. 16.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1, 2n a =2a n +1(a n +1)-a n . (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n =12log n a ,求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 18.已知正项等比数列{}n a 满足a 4=2a 2+a 3, 23a =a 6. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求a n +log 2(a n )的前n 项和T n . 19.已知数列{a n }满足a 1+a 2+…+a n =n 2(n∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)对任意给定的k∈N *,是否存在p ,r ∈N *(k 2011年高考数学试题分类汇编3——三角函数 D 【答案】D 4.(四川理6)在?ABC 中. 2 22sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-.则 A 的取值范围是 A .(0,6 π ] B .[ 6 π ,π) C .(0,3 π ] D .[ 3π ,π) 【答案】C 【解析】由题意正弦定理 2222 2 2 2 2 2 11cos 023 b c a a b c bc b c a bc A A bc π +-≤+-?+-≥?≥?≥?<≤ 5.(山东理6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间 0,3π?? ???? 上单调递增,在区间 ,32ππ?????? 上单调递减,则ω= A .3 B .2 C .3 2 D .23 【答案】C 6.(山东理9)函数 2sin 2 x y x = -的图象大致是 【答案】C 7.(全国新课标理5)已知角θ的顶点与原点重 合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线 2y x =上,则cos2θ= (A ) 45 - (B )35- (C ) 35 (D )45 【答案】B 8.(全国大纲理5)设函数()cos (0)f x x ωω=>,将() y f x =的图像向右平移3 π 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于 A .13 B .3 C .6 D .9 【答案】C 9.(湖北理3)已知函数()3cos ,f x x x x R = -∈,若 ()1 f x ≥,则x 的取值范围为 A . |,3x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈?? ?? B .|22,3x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈? ??? C . 5{|,}6 6 x k x k k Z π π ππ+ ≤≤+ ∈ D . 5{|22,}6 6 x k x k k Z π π ππ+ ≤≤+ ∈ 【答案】B 10.(辽宁理4)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对 的边分别为a ,b ,c ,asinAsinB+bcos2A= a 2,数列与三角函数练习题 难题
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