三棱锥的体积
锥体的体积
教学重点和难点
三棱锥体积公式及其探求．
教学设计过程
（一）复习三个问题（学生口答）
1．锥体平行于底面的截面的性质
2．祖暅原理
3．柱体的体积公式及探求思路
（二）学生探求锥体体积公式
1．底面积是S，高是h的柱体体积公式的探求思路？
构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，由祖暅原理知，它们的体积相等，所以V
柱体
=Sh．
2．等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？
用祖暅原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个四棱锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图1）．①把这两个锥体的底面放在同一个平面α上，由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β
之间；②用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S
1，S
2
，截面和顶点
的距离是h
1
，体积分别
由祖暅原理知：V
1=V
2
．（生叙述师板书）
可以叙述为：等底面积等高的两个锥体的体积相等．
3．如何求出锥体的体积？
怎样研究三棱锥的体积呢？（板书：三棱锥的体积，并作出一个底面积为S的，高为h 的三棱锥A＇－ABC，（如图2）
图1
（1）补成三棱柱，把三棱锥A＇－ABC以底面△ABC为底面，AA＇为侧棱补成个三棱柱ABC －A＇B＇C＇．
（2）分割成三个三棱锥．（补形过程及分割过程由学生完成）
怎样证明这三个三棱锥1，2，3等体积呢？
（学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件：（1）等底面积，（2）等高）
在三棱锥1，2中，S△
ABA＇=S
△B＇A＇B
，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V
1
=V
2
．又
在三棱锥2，3中，S
△BCB＇=S
△B＇C＇C
，它们有相同顶点A＇，故高也相等．所以V
2
=V
3
，所以V
1
=V
2
=V
3
．
一般锥体的体积又如何呢？（设一般锥体的底面积为S，高为h）
构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积
（三）锥体体积公式的简单应用
例1、如图7，在正方体ABCD－A＇B＇C＇D＇中，已知棱长为a，求：（1）三棱锥B＇－ABC的体积；
（2）这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几；
（3）B到平面AB＇C的距离？
分析（3）：注意到三棱锥B－AB＇C与三棱锥B＇－ABC是同一个三棱锥．
S
△AB＇C
也易求，这样h即可求出．
巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变得十分简捷．这种方法称作顶点转换法，有时也称作等积转换法．
例2、直三棱锥ABC-A 1B 1C 1的各侧棱和底面边长均为a ，点D 是棱CC 1上任意一点，求三棱锥A 1-ABD 的体积。
例3、如图有一个底面边长为3、4、5，高为8的直三棱柱形水箱，在棱AA 1上的D 、CC 1上的E 处分别有漏洞，测得AD=6、CE=4，利用此水箱盛水（可以任意放置），最多能盛多少水？
A 1
B 1
C
C 1
D
A
B
E