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(完整版)二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案

(完整版)二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
(完整版)二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案

《二次函数图像和性质(交点式)》专题

《二次函数与坐标轴交点》专题 2014年( )月( )日 班级: 姓名 大多数人想要改造这个世界,但却罕有人想改造自己。 1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ,与x 轴交于点 。 我们知道:①一次函数与x 轴的交点的求法 ②一次函数与y 轴的交点的求法 那么:③二次函数与x 轴的交点的求法 ④二次函数与y 轴的交点的求法 【归纳】(1)函数与x 轴y 轴交点的求法是:__________ ______________________ (2)反比例函数与坐标轴没有交点的原因是______________________________ 2.一元二次方程02 =++c bx ax ,当Δ 时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ 时,方程有两个相等的实数根;当Δ 时,方程没有实数根; 3.解下列方程 (1)0322=--x x (2)0962=+-x x (3)0322 =+-x x 5.对比第3题各方程的解,你发现什么? 一元二次方程02 =++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交 点的 .(即把0=y 代入c bx ax y ++=2 )

1. 二次函数232 +-=x x y ,当x =1时,y =______;当y =0时,x =______. 2.抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标是 ; 3.二次函数642 +-=x x y ,当x =________时,y =3. 4.如图,一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。 5.如图,一元二次方程32 =++c bx ax 的解为 。 6. 已知抛物线922 +-=kx x y 的顶点在x 轴上,则k =____________. 7.已知抛物线122-+=x kx y 与x 轴有两个交点,则k 的取值范围是_________ (4) (5)

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗?

初三二次函数的图像与性质

龙文教育学科导学 教师:学生:年级:日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大,所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标:1、理解二次函数的概念;会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数; 2、熟练的画出各种抛物线的图像,根据解析式的变化判断图像的平移方法; 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移;待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容: 知识回顾 1.一般地,形如y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其中,x 是自变量, a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 (1)二次函数解析式的一般式(通式):,它的顶点坐标为(,),对称轴为;(2)二次函数解析式的顶点式(通式):,顶点坐标为(,)对称轴是;(3)二次函数解析式的交 点式:。此时抛物线的对称轴为。其中,(x 1,0)(x 2 ,0)是抛 物线与X轴的交点坐标。显然,与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a,b,c的符号与图像性质的关系: 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系

二次函数的常规解法: 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时,可选用y=ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y=ax2+bx+c(a≠0)为一般式(三点式)。 例:二次函数图象经过A(1,3)、B(-1,5)、C(2,-1)三点,求此二次函数的解析式。 说明:因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上,反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组,解方程组得a、b、c的值,即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时,可选用y=a(x+m)2+k (a≠0)求解。我们称y =a(x+m)2+k (a≠0)为顶点式(配方式)。 例:若二次函数图像的顶点坐标为(-2,3),且过点(-3,5),求此二次函数的解析式。 说明:由于顶点式中要确定a、m、k的值,而已知顶点坐标即已知了-m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的,不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)为双根式(交点式)。 例:已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3)三点,求此二次函数的解析式。 说明:很多同学看到此例会想到使用一般式来解,将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标,而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时,可选用 或 例:抛物线y=2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4,求此二次函数的解析式。 说明:对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程,记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之,要求一个二次函数的解析式,可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法,使计算过程简单化,达到迅速解题的目的。当然,也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数,才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法,提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),那么y叫做x的二次函数 注意:二次函数的表达形式为整式,且二次项系数不为0,b ,c可分别为0,也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习:

二次函数的性质与图像

第二章二次函数 1.二次函数所描述的关系 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念,对一次函数、反比例函数的相关知识如:各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础,相关应用也较常见,学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些解决实际问题活动,感受到了函数反映的是变化过程,并可通过列表、解析式、图像了解变化过程,对各种函数的表达方法的特点有所了解,获得了探究学习新函数知识的基础;同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本课的具体学习任务:本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系,重点是通过分析实际问题,以及用关系式表示这一关系的过程,引出二次函数的概念,获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系,并能利用尝试求值的方法解决实际问题.让学生通过 分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系),从学生感兴趣的问题入手,并广泛联系多学科问题,使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义,感受数学的广泛联系和应用价值.在教学中,让学生通过观察、思考、合作,交流,归纳出二次函数的概念,并从中体会函数的建模思想。 教学目标 (一)知识与技能 1.探索并归纳二次函数的定义. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. (二)过程与方法 1.经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系. 2.让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系. 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题. (三)情感态度与价值观 1.从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. 2.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用. 3.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移;当0>h 时向左平移;当0

3.二次函数的最值公式: 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ,图像有最低点,函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ;时当0?时抛物线与x 轴有两个交点;当0=?抛物线与x 轴有一个交点;当 0

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2,y=a(x-h)2,y =a(x-h)2+k 和c bx ax y ++=2图象,能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口 方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2的性质: 2. y =ax 2+k 的性质: (k 上加下减) 3. y =a (x -h )2的性质: (h 左加右减)

4. y =a (x -h)2+k 的性质: 5. y =ax 2+bx+c 的性质: 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如 下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”. 方法二:

二次函数的图像和性质知识点与练习

第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2 ,y=a(x-h)2,y =a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象, 能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 ,y =-x 2 ,y =2x 2 ,y =-2x 2 ,y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2 的性质: x y O

2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y=a (x-h)2+k的性质: 5. y=ax2+bx+c的性质:

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”. 方法二:

二次函数的图像与性质的综合应用

26.2.2二次函数的图象与性质的应用 教学内容:课本P19~20 教学目标 1、会把二次函数的一般式转换成顶点式,再画出简图,说出图象的性质; 2、构建二次函数,利用二次函数的性质求最大值或最小值。 教学重点和难点: 重点:会把二次函数的一般式转换成顶点式,再画出简图,说出图象的性质; 难点:构建二次函数,利用二次函数的性质求最大值或最小值。 教学准备:课件 教学方法:讲练法 教学过程: 一、复习与练习 1、把二次函数y=2(x-1)2-3的图象水平向左移动4个单位长度,再竖直向上移动5个单位长度得到的抛物线的解析式是; 2、通过配方,写出抛物线y=-3x2+5x-1的开口方向、对称轴、顶点坐标; 二、学习 1、学习问题1 问题1:用总长为20m的围栏材料,一面靠墙,围成一个矩形花圃。怎样围才能使花圃的面积最大? 解:设与墙垂直的一边的长度为xm,矩形的面积为ym2,则 y=x(20-2x)=-2x2+20x (0

问题2、某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。绕过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时,其每天的销售利润最大? 解:设将这种商品每件降价x 元,每天的销售利润为y 元。则 y=(10-x-8)(100+100x)=-100x 2+100x+200 (0≤x ≤2) =2 1100()2252x --+ ∵-100<0, ∴当x =0.5时,函数取得最大值,最大值y =225 答:将这种商品的售价降低0.5元时,其每天的销售利润最大,最大利润为225元。 3、学习例5 例5、用长为6m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框的高与宽各为多少时,它的透光面积最大?最大透光面积是多少?(铝合金型材宽度不计) 解:设矩形窗框的宽度为xm ,则高为2 36x -m 。 则?????>->02 360x x 解得:0<x<2 2633322x y x x x -==-+ =233(1)22 x --+ ∵-1.5<0, ∴当x=1时,函数取得最大值,最大值y =1.5 答:所做矩形窗框宽度为1m ,高为1.5m 时,它的透光面积最大,最大面积是1.5m 2 . 4、学生练习:课本P20试一试。 5、补充例题、如果二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,那么( )

一元二次函数的图像和性质教学设计

§ 3.4一元二次函数的图象和性质教学设计 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式: a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

二次函数图像与性质总结

二次函数图像与性质总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后 者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中 2 424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴 对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2 b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3.两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).

(整理)二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质:

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.

二次函数图像性质及应用

二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3,下列判断正确的是() A.开口方向向上,y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是(﹣1,﹣2) D.当x<1 时,y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=(x-2)2+k,则b、k 的值分别为() A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的表达式是 A. B. 3 =x D.3 - )2 y2- =x + (5 y2- (52+ )2 - =x )2 y C. 3 (5 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是() A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是() A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正数的有() A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图

7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是() A.a>0,△>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△>0 D.a<0,△<0 8.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是() A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2

一元二次函数的图像和性质

3.9 一元二次函数的性质和图象 一.选择题: 1. 二次函数y=(2m-1)x 2-3x+4的图象开口向下, 则m 的取值范围是( ) A. m=21 B. m> 21 C. m<21 D. 无法确定 2. 二次函数y=x 2-4x+3的顶点坐标是( ) A. (-2,1) B. (-2,-1) C. (2,1) D. (2,-1) 3. 二次函数y= -x 2+2x+3的减区间是( ) A. (-∞,+∞) B. (-∞,-1] C. [1,-1] D. [1,+∞) 4. 二次函数y=x 2-x-1的图象是( )的一条抛物线. A. 开口向上,顶点为(-21,45 ) B. 开口向下,顶点为(21,-45 ) C. 开口向上,顶点为(21,-45 ) D. 开口向下,顶点为(-21,45 ) 5. 二次函数y=f(x)的图象开口向上,它的对称轴方程为x=3,下列关系错误的是( ) A. f(5)>f(4) B. f(2)>f( 5) C. f(2)=f(4) D. f(0)

二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质 复习目标: 1. 能结合具体情境确定二次函数的表达式。 2. 根据表达式求顶点坐标、对称轴、最大(小)值。 3. 二次函数图像的性质、平移。 Ⅰ题组练习一(问题习题化) 1. 已知函数y =x 2+2x -3. (1)函数的图象是 ,开口方向 . (2)函数的对称轴是 ,顶点坐标是_____. (3)函数图象与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标是 _________. (4)画出此抛物线的图象。 (5)观察图象回答: ①当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小。 ②当x 时,y>0,当x 时,y <0。 ③当x 时,函数有最 值为 。 (6)将函数图象向 平移 个单位,再向 平移 个单位,可得到函数y =x 2 (7)试确定与y =x 2+2x -3的图象关于y 轴对称的抛物线表达式。 2. 二次函数y =a x 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示, 试确定a,b,c, b 2-4ac,a+b+c 的符号。 Ⅱ知识梳理 1. 二次函数表达式: 一般式:y =a x 2+bx+c(a ≠0); 顶点式:y =a(x -h)2+k,(h,k)为抛物线的顶点坐标; 交点式:y=a(x-1x )(x-2x ),1x ,2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标。 2. 二次函数y =a x 2+bx+c(a ≠0)的图 象与各项系数、顶点坐标、对称轴、b 2-4ac 之间的关系。 3. 二次函数图象平移规律。 Ⅲ题组练习二(知识网络化) 1. 对于抛物线1032-+=x x y ,开口 方向 ,顶点坐为 。 2.若二次函数k x x y ++-=22的部分图 象如图所示,关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ,另 一个解=2x ; 3. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)

二次函数地图像与性质专项练习

二次函数的图像与性质专项练习 【知识要点】 1.二次函数:形如 的函数叫做二次函数. 2.二次函数的图像性质:(1)二次函数的图像是 ;(2)二次 函 数 ) ,,,0(2为常数c b a a c bx ax y ≠++=通过配方可得 c b a a a b a c a b x a y ,,,0(44)2(2 2≠-++=为常数),其顶点坐标为 。 (3)当0>a 时,抛物线开口 ,并向上无限延伸;在对称轴左侧)2(a b x -<即时,y 随x 的增大而减小;在对称轴右侧)2(a b x ->即时,y 随x 的增 大而增大;当a b x 2-=时,函数有 . 当0即时,y 随着x 的增大而减小; 当,2时a b x -=函数有 。 3.二次函数的图像平移: (1)二次函数k h x a y h x a y ax y +-=-==222)(,)(,的图像都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同(a 的取值决定抛物线的形状).将2ax y =的图像向右(h>0)、向左(h<0)平移h 个单位,就得到函数2)(h x a y -=的图像;再将此抛物线向上(k>0)、向下(k<0)平移k 个单位得到函数k h x a y +-=2)(的图像.上述平移的规律是:“h 值正、负、右、左移;k 值正、负、上、下移.” 4.抛物线与坐标轴的交点: (1)抛物线).,0(2c y c bx ax y 轴交于点与++= (2)若方)0,)(0,(,,0212212x x x c bx ax y x x c bx ax 轴点交则抛物线有两根++==++ 核心考点突破 考点㈠二次函数的图像性质 例1定义[,,a b c ]为函数2 y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ,1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论: ① 当m = – 3时,函数图象的顶点坐标是( 31,3 8 ); ② 当m > 0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于 2 3 ;

一元二次函数的图像和性质

§ 3.4 一元二次函数的图象和性质 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式: a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

二次函数的图像及性质专题复习

九年级数学期末复习教学案二次函数图像与性质 一、选择题 1、下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .21xy x += B . 220x y +-= C . 22y ax -=- D .2210x y -+= 2、抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为 ( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 3、抛物线y=x 2 -(m+2)x+3(m-1)与x 轴 ( ) A.一定有两个交点; B .只有一个交点; C .有两个或一个交点; D .没有交点 4、若直线y=ax +b (a ≠0)在第二、四象限都无图像,则抛物线y=ax 2 +bx+c ( ) A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴平行于y 轴 C.开口向上,对称轴平行于y 轴 D.开口向下,对称轴是y 轴 5、一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2 +bx+c 在同一坐标系中的图像可能是 ( ) 6、对于任何的实数t ,抛物线 y=x 2 +(2-t)x+t 总经过一个定点,这个点是 ( ) A . (1, 0) B.(-l, 0) C.(-1, 3) D. (l, 3) 7、将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位,得到函数232y x x =-+的图象,则a 的值为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 8、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A (1,2),B (3,2),C (5,7).若点M (-2,y 1), N (-1,y 2),K (8,y 3)也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上,则下列结论正确的是 ( ) A .y 1<y 2<y 3 B .y 2<y 1<y 3 C .y 3<y 1<y 2 D .y 1<y 3<y 2 9、已知=次函数y =ax 2 +bx+c 的图象如图.则下列5个代数式:ac ,a+b+c ,4a -2b+c ,2a+b , 2a -b 中,其值大于0的个数为 ( ) A .2 B 3 C 、4 D 、5 10、为了备战世界杯,中国足球队在某次集训中,一队员在距离球门12米处的挑射,正好射中了2.4米高的球门横梁.若足球运行的路线是抛物线c bx ax y ++=2 (如图),则下列结论:①a <

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