(完整版)高考数学三角函数知识点总结及练习
三角函数总结及统练
一. 教学内容：
三角函数总结及统练
（一）基础知识
1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ
2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值
3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan
5. 同角三角函数的关系
平方关系：商数关系：
倒数关系：1cot tan =?αα 1csc sin =?αα 1sec cos =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
α απ+k 2 α- απ-
απ+ απ-2
α
π
-2
α
π
+2
正弦 αsin αsin - αsin α
sin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切
αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切
αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan -
7. 两角和与差的三角函数
??????
?
?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(
8. 二倍角公式——代换：令αβ=
???????
-=
-=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin
降幂公式??????
?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα
半角公式：
2cos 12
sin
αα
-±
=；2cos 12cos αα+±=；
αα
αcos 1cos 12tan +-±
= αα
ααα
cos 1sin sin cos 12
tan
+=
-=
9. 三角函数的图象和性质
函数
x y sin = x y cos = x y tan =
图象
定义域
R
R
???
??
?∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且
值域 最值
]1,1[- 2/2ππ+=k x 时
1max =y
ππ-=k x 22/时1min -=y
]1,1[-
πk x 2=时1max =y
πk x 2=π+时1min -=y
R
无最大值 无最小值
周期性 周期为π2 周期为π2 周期为π 奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
]
22,2
2[π
ππ
π+
-
k k
上都是增函数；在
]
23
2,22[πππ
π++k k
上都是减函数（Z k ∈）
在]2,2[πππk k -上都是增函数，在
]2,2[πππ+k k 上都是
减函数（Z k ∈）
在?
?? ?
?
+-2,2ππππk k 内都是增函数（Z k ∈）
10. 函数)sin(?ω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA
函数)sin(?ω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：
（1）?????????→
?+=????→?=倍
横坐标缩短到原来的图象左移ω??1
)sin(sin x y x y
)sin(?ω+=x y )sin(?ω+=?????????→?x A y A 倍
纵坐标伸长为原来的
（2）????→
?=?????????→?=ω?
ωω图象左移
倍
横坐标缩短到原来的)sin(sin 1
x y x y
)sin(?ω+=x y )sin(?ω+=?????????→?x A y A 倍
纵坐标伸长为原来的
（二）数学思想与基本解题方法
1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4. 角的和与差的相对性
如：)(βαβ+=－α 角的倍角与半角的相对性
如：
42
2
,22αααα==
5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6. 数形结合：心中有图，观图解题。
7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。 8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。
【典型例题】
1. 如：
a b
x b a x b x a y =
++=+=??tan ),sin(cos sin 22（化成一个角的一个三角函数）
??????
?
±=±=±=±=±=±=)6sin(2cos sin 3)3sin(2cos 3sin )4sin(2cos sin πππx x x y x x x y x x x y ；
[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
（1）x x x x x f 2
2
cos 3cos sin 2sin )(+?+=
（2）
1cos sin sin )(2
+?+=x x x x f 解：
（1）
)42sin(22π
+
+=x y ，22max +=y ，
)
(8
Z k k x ∈+
=π
π
)(83,22min Z k k x y ∈-
=-=π
π
（2）
)42sin(2223π-+=
x y ，223max +=y ，)(83Z k k x ∈+=π
π
223min -=
y ，)(8Z k k x ∈-=π
π
2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简
)4sin(2cos sin cos sin 21π
ααααα+
=+=?+
)42sin(
22
cos
2
sin
2
cos
2
sin
21sin 1π
α
α
α
α
α
α-=-=?-=-
2sin
2cos 1α
α=-；
2cos
2cos 1α
α=+
[例2] 化简=++
-8cos 228sin 12 。
答案：4sin 2- 3. 化异为同
[例3] 已知2tan =α，求：
（1）ααα
αcos sin cos sin -+ （2）ααα2
22sin cos 32sin -+
答案：（1）3；（2）14-
[例4] 已知
π
θπ
θ<<-=2
,
222tan ，求：
θ
θθθ
cos sin 1
sin 2
cos 22
+--
答案：223+
4. ααcos sin ±与ααcos sin ?间的相互转化
（1）若t =+ααcos sin ，则
21
cos sin 2-=
t αα；1sin 2-=t α；ααcos sin -= 22t -±
（2）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα
（3）
ααααα2sin 2
cos sin 1cot tan =
=
+ [例5] 化简：
=
+8
cot
8
tan
π
π
。
答案：22
[例6] 若α在第二象限，
252
cos
2
sin
-
=+α
α
，求2cos
2sin α
α-。
答案：
23
-
5. 互为余角的三角函数相互转化
若
2π
βα=
+，则βαcos sin =；βαsin cos = [例7] 已知
41)3
sin(
=
+απ
，则=-)6cos(απ
。
答案：41
[例8] 求值：=
??
?10cos 50sin 40sin 。
答案：21
[例9] 求值：=??54sin 18sin 。
答案：41
6. 公式的变形及活用
（1）]tan tan 1)[tan(tan tan βαβαβαμ+=±
（2）若
2
)tan 1)(tan 1(4
=++?=
+B A B A π
[例10] 计算=?+?+?+?+)45tan 1()3tan 1)(2tan 1)(1tan 1(Λ 。
答案：23
2
[例11] =??-?-?10tan 70tan 310tan 70tan 。
答案：3
7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性
[例12] 若2
)tan(,31
tan =-=αβα，则=βtan 。
答案：7
[例13] 若
2
cos
7)2
cos(5=+-
β
β
α，则
=
-2
tan
2
tan
α
β
α 。
答案：6-
[例14] 在ABC ?中，A 为最小角，C 为最大角，且8.0)2cos(-=+C A ，8.0sin =B ，求
)22cos(C B +的值。
答案：625527
8. 角的范围的限定
由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。
[例15] 已知)
,0(,31
cos sin πααα∈=+，求α2cos 。
答案：917
-
[例16] 若α是第二象限角且
252
cos
2
sin
-
=+α
α
，求2cos
2sin α
α-的值。
解法一：利用公式
α
α
α
sin 1)2cos 2(sin
2-=-然后限定角的范围。
解法二：设
t
=-2
cos
2
sin
α
α
利用平方和求t 的值，然后限定角的范围。
解法三：利用
)2cos 2)(sin 2cos 2(sin
α
ααα
-+αcos -=，可回避限定角的范围。
答案：
23
-
9. 在三角形中的有关问题
?=++180C B A ；C B A -?=+180；222C
B A -
=+π
结论：C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+
2cos 2sin
C B A =+；2sin 2cos C
B A =+
[例17] 已知A 、B 、C 是ABC ?的内角且2lg cos lg sin lg sin lg =--C B A ，试判断此三角形的形状。
答案：等腰三角形，B=C
[例18] 在锐角三角形ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++
证明：由
2π
>
+B A 则
22
0π
π
<
<-<
A B
故B A cos sin > 同理C B cos sin > A C cos sin > 三式相加，得证。
10. 形如ααααn
2cos 8cos 4cos 2cos Λ??的化简
[例19] 求值：（1）??72cos 36cos （2）
74cos
72cos 7cos πππ 答案：（1）41（2）81
-
11. 三角函数图像和性质的应用
会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。 [例20] 求下列函数的定义域。
（1）)sin(cos lg x y = （2）
x x y tan log 25.0++=
答案：
（1）
)
)(2
2,2
2(Z k k k ∈+
-
π
ππ
π
（2）]4,[)2,0(ππ
?
[例21] 求下列函数的值域。
（1）
]
,0[sin 2sin π∈+=
x x x
y
（2）若x 是锐角，则x x y cos sin +=的值域。
答案：（1）
]
31,0[ （2）]2,1( 12. 可化为形如：B x A y ++=)sin(?ω的形式（一个角的一个三角函数）
[例22] 已知函数x x x x y 2
2sin cos sin 32cos 3++=，求“一套”。
答案：
2
)6
2sin(2++
=π
x y ，定义域：R ；值域：]4,0[，4max =y ，0min =y ；π=T
对称轴
)(62Z k k x ∈+=
ππ 增区间：
]6,3[ππππ+-k k 减区间：
)](32,6
[Z k k k ∈+
+
π
ππ
π
13. 函数B x A y ++=)sin(?ω的图像的变换——两个题型，两种途径
题型一：已知解析式B x A y ++=)sin(?ω确定其变换方法
变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。 注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与ω的关系 题型二：由函数图像求其解析式B x A y ++=)sin(?ω
[例23] 已知函数)sin(?ω+=x A y ，（0,0>>ωA ，
2π
?<
）在一个周期内，当
6π
=
x 时，
y 有最大值为2，当
32π
=
x 时，y 有最小值为2-，求函数表达式，并画出函数
)sin(?ω+=x A y 在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）
答案：
)
62sin(2π
+
=x y
14. 可化为形如：c bt at y ++=2
，D t ∈（定义域有限制的一元二次函数）
[例24] 求函数
)cos 5)(cos 2(3
x x y -+=
的值域
解：]21,41[
[例25] 已知x a x y sin 2cos +=，若记其最大值为)(a g ，求)(a g 的解析式。
解：
41)2(sin 2
2a a x y +
+--=，当2≥a 时，=)(a g a 当22<<-a 时，
41)(2a a g +
= 当2-≤a 时，a a g -=)( 15. 周期函数与周期
[例26] 已知函数)(x f y =对定义域中每一个x 都有)2()2(x f T x f =+，其中0≠T ，则)(x f 的周期 。 解：T
[例27] 已知奇函数)(x f y =对定义域中每一个x 都有)()2(x f x f -=+成立，求其周期。
解：4
[例28] 已知奇函数)(x f y =对定义域中每一个x 都有)2()2(x f x f -=+成立，求其周期。
解：8
[例29] 已知奇函数)(x f y =对定义域中每一个x 都有
)(1
)3(x f x f =
+成立，求其周期。
解：6
[例30] 已知奇函数)(x f y =对定义域中每一个x 都有)(1)
(1)3(x f x f x f +-=
+成立 ，求其周期。
解：6
16. 函数与方程的思想
[例31] 方程x x =sin 100的解的个数 。
解：63
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
x x x f 6
6cos sin )(+= 2. 已知2tan =α，求：αααα2
2cos 3cos sin 2sin ++
3. 设
41
cos sin =
θθ，则=+θθcos sin 。
4. 求x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值和最小值。
5. 求值：
?
+??+?+?40cos 170sin )
10tan 31(50sin 40cos 。
6. 若
51
cos sin -
=+θθ；),0(πθ∈，求θcot
7. 已知α、),0(πβ∈且
21)tan(=
-βα，71
tan -=β，求βα-2的值。
8. a 为何值时方程0cos 2cos =++a x x 有解？
9. 方程0sin 2cos =+x a x ，],0[π∈x 有两解时求a 的值。 10. 求值：
（1）????80cos 60cos 40cos 20cos
（2）??54sin 18sin 11. 求下列函数的定义域。 3tan sin lg ++=x x y
12. 已知函数x x x x y 2
2
sin cos sin 32cos 3++=，当]
4,4[π
π-
∈x 时，求函数的最大值
和最小值及何时取到？
【试题答案】
1. x y 2sin 4312-=，1max =y ，)
(2Z k k x ∈=π
41min =
y ，)(42Z k k x ∈+=π
π
2. 511
3.
26±
4. 令x x t cos sin +=，
43)1(212-+=
t y ，]2,2[-∈t ，43min -
=y ，243
max +=y
5.
2 6.
34
-
7.
提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。
解：
31
])tan[(tan =
+-=ββαα 1])tan[()2tan(=+-=-αβαβα
又由π
βπ
<<2
得
2π
βπ-
<-<-，
40π
α<
<得
220π
α<
<
则02<-<-βαπ故
432πβα-
=-
8.
]
89
,2[-∈a 9. )1,(-∞∈a
10.（1）161 （2）41
11.
)2,322()2
2,2(πππ
ππ
ππ++
?+
k k k k （Z k ∈）
12. 当
4π
-
=x 时，32min -=y ；
6π
=
x 时，4max =y