全国高考数学试题分类汇编——三角函数
2010年全国高考数学试题分类汇编——三角函数
（２０１0上海文数）1８.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =,则△ABC
（A)一定是锐角三角形． (B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形． (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形．
(2010湖南文数）7.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边长分别为a ，b,c ，若∠C=１20°，a ，则
Ａ.a ＞b B.a ＜b
C ． a=b D.ａ与ｂ的大小关系不能确定
（2０10浙江理数）(９)设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是
（Ａ）[]4,2-- (B)[]2,0- （C)[]0,2 （D ）[]2,4 (2010浙江理数）（４）设02
x π
＜＜
,则“2
sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的
(Ａ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (２010全国卷２理数）(7)为了得到函数sin(2)3
y x π
=-
的图像,只需把函数
sin(2)6y x π
=+的图像
(A)向左平移4π个长度单位 (B)向右平移4π
个长度单位
（C ）向左平移2π个长度单位 （D)向右平移2
π
个长度单位
(2０10陕西文数)3.函数f (x )=2si ｎｘc ｏｓｘ是???? ???
（Ａ）最小正周期为２π的奇函数?? （B)最小正周期为2π的偶函数 (C ）最小正周期为π的奇函数? ? （D)最小正周期为π的偶函数 (２010辽宁文数）（6)设0ω>，函数sin()23
y x π
ω=+
+的图像向右平移
43
π
个单位后与原图像重合,则ω的最小值是
(A)23 (B ） 43 （Ｃ) 3
2
(Ｄ） 3 (2010全国卷２文数）(3)已知2
sin 3
α=，则cos(2)x α-=
(A ）19-(C ）1
9
（Ｄ
(201０江西理数)7.Ｅ，Ｆ是等腰直角△ABC 斜边ＡB 上的三等分点,则tan ECF ∠=（ )
A. 1627 B ． 23 Ｃ. 33 Ｄ. 34
（2010重庆文数）(6）下列函数中，周期为π,且在[,]42
ππ
上为减函数的是 （A ）sin(2)2y x π
=+ （B)cos(2)2
y x π
=+ (C)sin()2y x π
=+
（D)cos()2
y x π
=+ (2010重庆理数）
（6）已知函数()sin (0,)2
y x π
ω?ω?=+><的部分图
象如题(6）图所示,则 A ． ω=1
?= 6π B ． ω＝1 ?=- 6
π
Ｃ． ω=2 ?= 6π D. ω=2 ?= -6
π （２０10山东文数)(1０）观察2'
()2x x =,4'3
()4x x =，
'(cos )sin x x =-,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数
()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -=
(A ）()f x （B ）()f x - （C) ()g x (D)()g x - (201０北京文数）（７）某班设计了一个八边形的班徽（如
图)，它由腰长为１,
顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，
该八边形的面积为
(A ）2sin 2cos 2αα-+； (B ）sin 33αα+ (C)3sin 31αα+； （D ）2sin cos 1αα-+
（2010四川理数)(6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变）,所得图像的函数解析式是 (A ）sin(2)10y x π=-
（B ）sin(2)5y x π
=- （C ）1sin()210y x π=- （Ｄ）1sin()220
y x π
=-
(2０10天津文数)（8)
5y Asin x x R 66ππω???
=∈????
右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个
函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点
(A)向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长
到原来的2倍,纵坐标不变
(C ） 向左平移
6
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变
(D) 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
（20１0天津理数)(７)在△AB Ｃ中，内角A,B,C 的对边分别是ａ,b,c,若
223a b bc -=,sin 23sin C B =，则Ａ=
(Ａ)0
30 (B ）0
60 （C ）0
120 (D ）0
150 (２01０福建文数）
(2０10福建文数）２.计算12sin 22.5-的结果等于（ )
A ．
1
2
?? B ．22 ? C 3 ?? D 3
（2０10全国卷1文数） (１)cos300?=
(A)32-
(B)－12 (C ）1
2
（Ｄ) 32
（２0１0全国卷1理数)（2)记cos(80)k -?=,那么tan100?=
B ．
C ． D.
(２0１0四川文数)(7)将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是
（A )sin(2)10y x π=-
（Ｂ）y =sin(2)5x π
- (C ）y =1sin()210x π- (D ）1sin()220
y x π
=-
解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π
个单位长度,所得函数图象的解 析式为y ＝sin （x -
10
π
) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是1sin()210
y x π
=-.
（2010湖北文数)2.函数f （x)= sin(),24
x x R π
-∈的最小正周期为
Ａ. 2
π? ?B.x ? ? C.2π ? Ｄ.4π
(２010湖北理数）３．在ABC ?中,a=1５,b ＝１０,A=６0°,则cos B =
A －
3 B 3 C －3Ｄ
3
(2010福建理数）１.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于( )
A.
12
? ?B ．
3
? C.
2
? ?D ．
2
二填空题
（2010浙江理数)(11)函数2()sin(2)4
f x x x π
=--的最小正周期是＿_____＿_＿_
＿_____＿＿ .
（201０全国卷2理数）(13)已知a 是第二象限的角,4
tan(2)3
a π+=-
，则tan a = .
（2010全国卷２文数）(1３）已知α是第二象限的角，tan α=-1／2,则ｃｏｓα=__________
(2010重庆文数）(1５)如题（1５）图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ,各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则
23
23
1
1
cos
cos
sin
sin
3
3
3
3
αααααα++-=＿___＿_＿_＿__＿ .
(２０10浙江文数)（12）函数2
()sin (2)4
f x x π
=-的最小正周期
是 。
(2０10山东文数）(1５） 在ABC 中，角Ａ,B ，Ｃ所对的边分别为ａ，b ，ｃ,若2a =2b =，
sin cos 2B B +=则角A 的大小为 .
（201０北京文数)（10）在ABC ?中。若1b =,3c =23c π
∠=
,则a= 。 (2０１0北京理数）（1０）在△ABC 中,若ｂ = 1,c 3，23
C π
∠=，则ａ = 。
（２０10广东理数）11.已知a ，b,c 分别是△ＡBC 的三个内角Ａ，Ｂ,C 所对的边，若3， A ＋C ＝2B,则sinC= . （2010福建文数)１6.观察下列等式： ① ｃo ｓ2a=２2
cos a -1;
② cos4a=84
cos a － 82
cos a + 1;
③ ｃo ｓ6a=3２6
cos a - 4８4
cos a ＋ 1８2
cos a - 1;
④ ｃos ８a ＝1288
cos a - 2５６6
cos a ＋ 16０4
cos a - 322
cos a + 1;
⑤ co ｓ10ａ= ｍ10
cos a - 12８０8
cos a + 1１206
cos a + ｎ4
cos a ＋ ｐ2
cos a - １.
可以推测，m – n ＋ ｐ = ．
（2010全国卷1文数)(１4)已知α为第二象限的角,3
sin 5a =
,则tan 2α= .
（２０1０全国卷1理数）(１4）已知α为第三象限的角，3cos 25
α=-
,则tan(2)4
π
α+= .
1. （2010福建理数）14.已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6
π
ωω和g(x)=2cos(2x+)+1?的图
象的对称轴完全相同。若x [0,
]2
π
∈，则f(x)的取值范围是 。
.（2０1０江苏卷）10、定义在区间??
?
?
?20π,
上的函数ｙ=6ｃos ｘ的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作P Ｐ1⊥ｘ轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P ２，则线段P 1Ｐ2的长为_＿___＿_▲_____。
3.(2010江苏卷)１３、在锐角三角形AB Ｃ,Ａ、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,6cos b a
C a b
+=,则
tan tan tan tan C C
A B
+
=____▲_____。 2010年高考数学试题分类汇编——三角函数
（2010上海文数)１9．(本题满分12分) 已知02
x π
<<
，化简：
2lg(cos tan 12sin )lg[2)]lg(1sin 2)22
x x x x x π
?+-+--+.
（2010湖南文数)１6. （本小题满分１2分） 已知函数2
()sin 22sin f x x x =- （Ｉ)求函数()f x 的最小正周期。
（II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合
（2010浙江理数）(18）（本题满分ｌ4分）在△ＡB Ｃ中,角Ａ、Ｂ、C 所对的边分别为a,b,ｃ，已知1cos 24
C =-
(Ｉ)求si ｎＣ的值;
(Ⅱ)当ａ＝2, 2s ｉｎA=sin Ｃ时,求b 及c 的长．
(２01０全国卷２理数)(１7）（本小题满分10分)
ABC ?中,D 为边BC 上的一点，33BD =,5sin 13B =
，3
cos 5
ADC ∠=，求AD .
（2０10陕西文数）1７.(本小题满分12分)
?在△ABC 中,已知Ｂ=4５°，D 是B Ｃ边上的一点,
?ＡD=１0,ＡC=14，DC ＝６，求AB 的长. ?
（2010辽宁文数)（１7）(本小题满分１2分)
在ABC ?中,a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，
且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ)求A 的大小;
(Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状. (2010辽宁理数）（17)（本小题满分12分）
在△AB Ｃ中,a, b, c 分别为内角A, B ， C 的对边,且
2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++
(Ⅰ）求A 的大小；
(Ⅱ)求sin sin B C +的最大值． ……12分 (２01０全国卷2文数)（17）（本小题满分１0分)
ABC 中,D 为边BC 上的一点,33BD =，5sin 13B =
,3
cos 5
ADC ∠=,求AD 。 (2010江西理数）17.(本小题满分12分）
已知函数
()()21cot sin sin sin 44f x x x m x x ππ?
???=+++- ? ?
????。 (1) 当m=0时,求()f x 在区间384ππ??
???
?，上的取值范围; (2） 当tan 2a =时,
()3
5f a =
,求m 的值。
（２０10安徽文数)16、(本小题满分12分)
ABC ?的面积是３0,内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13
A =。 (Ⅰ）求A
B A
C ;
(Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。
(２０1０重庆文数)(１8）.(本小题满分13分)， (Ⅰ)小问５分,(Ⅱ)小问８分.)
设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、ｂ、ｃ,且32b +３2
c -32a ＝
ｂc .
（Ⅰ) 求sin Ａ的值；
(Ⅱ)求
2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值.
（20１０浙江文数)（18）（本题满分)在△ABC 中,角A,Ｂ，C 所对的边分别为a,b,ｃ,设S 为
△ABC 的面积,满足2
22()4
S a b c =
+-。 (Ⅰ)求角Ｃ的大小；
（Ⅱ)求sin sin A B +的最大值。
(201０重庆理数）(16)(本小题满分13分,（I)小问7分，（II ）小问６分） 设函数()22cos 2cos ,32
x
f x x x R π?
?=++∈ ???。 （I ） 求()f x 的值域;
（II ）
记ABC ?的内角Ａ、B 、Ｃ的对边长分别为a,b ，c ，若()f B =1,b=１,求a 的值。
（2０10山东文数)(1７）（本小题满分1２分)
已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>)的最小正周期为π, (Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π??
????
上的最小值.
(2010北京文数）(１5)(本小题共13分） 已知函数2
()2cos 2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3
f π
的值;
(Ⅱ)求()f x 的最大值和最小值 (２0１０北京理数)(15)（本小题共13分)
已知函数(x)f 2
2cos 2sin 4cos x x x =+-。
（Ⅰ)求()3
f π
=的值； （Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值。
（20１0四川理数）（19）（本小题满分1２分）
(Ⅰ）错误!证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-;
错误!
由
C αβ
+推导两角和的正弦公式
S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+．
（Ⅱ)已知△ABC 的面积1,32
S AB AC =
?=，且3
5cos B =，求ｃos Ｃ．
（20１0天津文数)（17)（本小题满分12分) 在?ABC 中,
cos cos AC B
AB C
=
。 （Ⅰ）证明B=Ｃ: （Ⅱ）若cos A =-
13,求sin 4B 3π?
?+ ??
?的值。
(2０10天津理数)（17）(本小题满分12分）
已知函数2
()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈
(Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π??
????
上的最大值和最小值； (Ⅱ）若006(),,542f x x ππ??
=
∈????
,求0cos 2x 的值。 (201０广东理数)１6、(本小题满分1４分）
已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12
x π
=
时取得最大值4．
(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式;(3） 若f (23α ＋12π)＝12
5
,求
ｓｉn α．
(２010全国卷1理数）(17)(本小题满分1０分) 已知ABC 的内角A ，B 及其对边a
，b
满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C .
（2010四川文数)（19)（本小题满分１２分）
(Ⅰ)错误!证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-;
○2由C αβ+推导两角和的正弦公式S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+.
（Ⅱ)已知4
31cos ,(,
),tan ,(,),cos()5232
π
ααππββπαβ=-∈=-∈+,求cos()αβ+
（２0１0湖北文数)1６.（本小题满分12分）
已经函数22cos sin 11
(),()sin 2.224
x x f x g x x -=
=- (Ⅰ)函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ)求函数()()()h x f x g x =-的最小值，并求使用()h x 取得最小值的x 的集合。
（2010山东理数)
（2010湖南理数）16．(本小题满分12分）
已知函数2
()322sin f x x x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值； (II)求函数()f x 的零点的集合。
(20１0湖北理数） 1６.（本小题满分1２分) 已知函数f （ｘ）=11
cos(
)cos(),()sin 23324
x x g x x π
π+-=- （Ⅰ）求函数ｆ(x ）的最小正周期；
（Ⅱ)求函数ｈ(x ）＝f(ｘ)-g （ｘ)的最大值,并求使ｈ(ｘ)取得最大值的x 的集合。
(201０福建理数)19.（本小题满分13分)
O 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，
轮船位于港口O 北偏西30且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇。
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里／小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 （201０安徽理数）１6、(本小题满分1２分）
设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长,并且
22sin sin() sin() sin 33
A B B B ππ
=+-+。
(Ⅰ)求角A 的值；
(Ⅱ)若12,27AB AC a ==,求,b c （其中b c <）。 （２010江苏卷)17、（本小题满分14分)
某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆ＢC 的高度ｈ=4m ，仰角∠AB Ｅ=α,∠ADE ＝β。
(1)该小组已经测得一组α、β的值,tan α=1.２4，t ａn β=1.２0,请据此算出H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离ｄ（单位:ｍ),使α与β之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125ｍ,试问d 为多少时，α-β最大?
(２０10江苏卷)23．（本小题满分10分） 已知△ABC 的三边长都是有理数。
（1）求证cosA 是有理数；（2)求证:对任意正整数n ，c ｏsn Ａ是有理数。
［解析]本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。