2009年全国高中数学联赛训练题
一.填空题:
1.已知3()3,f x x x =-过点(1,)(2)m m ≠-可作曲线()y f x =三条切线,则m 的取值范围
是 . A .(-2,3)
B .(-3,-2)
C .(-1,1)
D .(-7,-2)
2.若函数()
2
log 1a y x ax =-+有最小值,则a 的取值范围是 .
3.将一组以1开头的连续的正整数写在黑板上,擦去其中一个数,余下的数的算术平均数为3
49
,则擦去的那个数是 .
4.已知,1a b ab >=,则b
a b a -+2
2的最小值是 .
5.设函数()f x 的定义域为R ,且满足()()()2f x y f x f y xy +=++,若()f x 的图像有对称轴
x k =,在区间[2,3]上单调递减,则k 的取值范围为 . ( )
A .[3,)+∞
B .(,2]-∞
C .(,1]-∞
D .[1,)+∞ 6.设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任一排列,f 是}4,3,2,1{到}4,3,2,1{的映射,且满足i i f ≠)(,记
数表?????
?)( )( )( 43214321a f a f )f(a a f a a a a .若数表N M ,的对应位置上至少有一个不同,就说N M ,是
两张不同的数表. 则满足条件的不同的数表的张数为( )
A .144
B .192
C .216
D .576 7.设集合{}1215S = ,,,,{}123A a a a =,,是S 子集,且()123a a a ,,满足:
123115a a a ≤<<≤,326a a -≤,那么满足条件的子集的个数为 .
8
.= .
9.从m 个男生,n 个女生(104m n ≥>≥)中任选2个人当组长,假设事件A 表示选出的2个人性别相同,事件B 表示选出的2个人性别不同.如果A 的概率和B 的概率相等,则(m ,n )的可能值为 .
10.在边长为1的正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点,使沿线段DE 折叠三角形
时,顶点A 正好落在边BC 上. AD 的长度的最小值为 .
11.,,O A B 是平面上不共线三点,向量a =,OB b =
,设P 为线段AB 垂直平分线上任意
一点,向量p =.若||5a = ,||3b = ,则)(b a p
-?的值是____ ____.
12.函数)(x f y =是定义在无限集合D 上的函数,关且满足对于任意的D x ∈,1()(),f x f x =
211()[()],,()[()],(2,).n n f x f f x f x f f x n n N -==≥∈ ①若,311)(x
x
x f y -+=
=则)1(8f = ;
②试写出满足下面条件的一个函数:)(x f y =存在D x ∈0,使得由)(),(0201x f x f ,…,
)(0x f n ,…组成的集合有且仅有两个元素.这样的函数可以是)(x f = .(只需写出一
个满足条件的函数) 二、解答题:
13.已知△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(→AB )2=→AB ·→AC +→BA ·→BC +→CA ·→
CB . (Ⅰ)判断△ABC 的形状,并求sin A +sin B 的取值范围;
(Ⅱ)若不等式a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b )≥kabc ,对任意的满足题意的a ,b ,c 都成立,求k 的取值范围.
14.设椭圆C :x 24+y 2
2=1的左焦点为F ,左准线为l ,一条直线过点F 与椭圆C 交于A ,B 两点,
若直线l 上存在点P ,使△ABP 为等边三角形,求直线AB 的方程.
15.已知71<
3
2
711122≥
-+-i i a a ; (2)求∑
=+--=
n
i i i
a a S 1
21
2)
7)(11
(的最小值,其中约定11a a n =+.
16、若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中,任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长,则称n 为四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数.
参考答案:1、(-3,-2) 2、12a << 3、6k = 4、22 5、[3,)+∞ 6、216 7、371个 8、1 9、()(),10,6m n = 10、3 11、8 12、0 sin x π 13、略
14、解法一:∵F (-2,0),l :x =-22,离心率e =
2
2
. (1)当AB 垂直x 轴时,A (-2,1),B (-2,-1).∴|AB |=2,又此时线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点为P (-22,0),P ,A ,B 不构成等边三角形,不合题意.
(2)当AB 不垂直x 轴时,设AB 的方程为y =k (x +2)(k ≠0),代入x 24+y 2
2=1得,(1+2k 2)x 2+42
k 2
x +4(k 2
-1)=0,∵△>0,且x 1+x 2=-42k 21+2k 2,x 1x 2=4(k 2-1)1+2k 2,设AB 中点为M ,则M (-22k 2
1+2k 2
,
2k 1+2k 2),线段AB 的垂直平分线方程为y -2k 1+2k 2=-1k (x +22k 2
1+2k 2),此直线与l 的交点为P ,则P
的坐标为(-22,22(1+k 2)k (1+2k 2)+2k
1+2k 2), |MP |=
? ????22(1+k 2)1+2k 22+? ??
??22(1+k 2)k (1+2k 2)2=22(1+k 2
)1+2k 21+1
k
2. (或|MP |=
1+(-1k )2
|x M -x P |=
22(1+k 2)1+2k 2
1+1
k
2) 而|AB |=(ex 1+2)+(ex 2+2)=22(x 1+x 2)+4=22×(-42k 2
1+2k 2)+4=4(1+k 2
)1+2k 2. △ABP 为等边三角形?
3
2
|AB |=|MP |, 即32×4(1+k 2)1+2k 2=22(1+k 2
)1+2k 2
1+1k 2,32
=1+1
k
2,解得k =±2. 所以直线AB 的方程为y =±2(x +2).
解法二::如图,∵F (-2,0),l :x =-22,离心率e =
2
2
.设过点F 的弦AB 的中点为M ,分别过A ,B ,M 向准线l 作垂线,垂足分别为A 1,B 1,M 1,则|MM 1|=12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF |e +|BF |e )
=
12
|AB |,又因为△P AB 为等边三角形?|PM |=32|AB |,所以|MM 1||MP |=6
3,
即cos ∠PMM 1=6
3
, ∴sin ∠PMM 1=
33 ,tam ∠PMM 1=22
, x
又k PM =±tam ∠PMM 1=±
22
∵AB ⊥PM ,∴k AB =-1
k PM
=± 2.
所以直线AB 的方程为y =±2(x +2). 15、(1)证明:对于一切的正整数i ,
)7)(1(6
71112222i i i i a a a a --=
-+-3
227162
2
2=
???
?
?
?-+-≥i i a a . (2)由Cauchy 不等式知∑
=+--=
n
i i i
a a S 1
21
2)
7)(11
(∑
=+--≥
n
i i i a a n 1
2122
)
7)(1(
∑=+-+-≥n
i i i a a n 12122
2)7()1(3321
21
22n
a a n n
i i i =+-=∑=+)( 当221====n a a a 时,等于成立,所以S 有最小值
3
n
. 16、称(),,,a b c d 为n 的数码组,则{},,,1,2,,9a b c d M ∈= ;
一、当数码组只含一个值,为(),,,,1,2,,9a a a a a = ,共得9个n 值; 二、当数码组恰含二个值,a b ,()a b >.
()1、数码组为(),,,a a a b 型,则任取三个数码皆可构成三角形,对于每个
{}2,,9a ∈ ,b 可取1a -个值,则数码组个数为()9
2136a a =-=∑,对于每组(),,,a a a b ,
b 有4种占位方式,于是这种n 有364144?=个.
()2、数码组为(),,,a b b b 型,()a b >,据构成三角形条件,有2b a b <<,
b 的取值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(),2b b M 中a 的个数
0 1 2 3 4 3 2 1 0
共得16个数码组,对于每组(),,,a b b b ,a 有4种占位方式,于是这种n 有16464?=个.
()3、数码组为(),,,a a b b 型,()a b >,据构成三角形条件,有2b a b <<,同上得16个数
码组,对于每组(),,,a a b b ,两个a 有2
46C =种占位方式,于是这种n 有16696?=个.
以上共计1446496304++=个.
三、当数码组恰含三个值,,a b c ,()a b c >>.
()1、数码组为(),,,a b c c 型,据构成三角形条件,则有2c b a c <<<,这种(),,,a b c c 有14
组,每组中,a b 有2412A =种占位方式,于是这种n 有1412168?=个.
()2、数码组为(),,,a b b c 型,c b a b c <<<+,此条件等价于{}1,2,,9M = 中取三个不
同的数构成三角形的方法数,有34组,每组中,a b 有2412A =种占位方式,于是这种n 有
3412408?=个.
()3、数码组为(),,,a a b c 型,c b a b c <<<+,同情况()2,有2434408A =个n 值.
以上共计168408408984++=个n 值.
四、,,,a b c d 互不相同,则有d c b a c d <<<<+,这种,,,a b c d 有16组,每组有4!个排法,共得164!384?=个n 值.
综上,全部四位三角形数n 的个数为93049843841681+++=个.