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2009年全国高中数学联赛训练题

2009年全国高中数学联赛训练题
2009年全国高中数学联赛训练题

2009年全国高中数学联赛训练题

一.填空题:

1.已知3()3,f x x x =-过点(1,)(2)m m ≠-可作曲线()y f x =三条切线,则m 的取值范围

是 . A .(-2,3)

B .(-3,-2)

C .(-1,1)

D .(-7,-2)

2.若函数()

2

log 1a y x ax =-+有最小值,则a 的取值范围是 .

3.将一组以1开头的连续的正整数写在黑板上,擦去其中一个数,余下的数的算术平均数为3

49

,则擦去的那个数是 .

4.已知,1a b ab >=,则b

a b a -+2

2的最小值是 .

5.设函数()f x 的定义域为R ,且满足()()()2f x y f x f y xy +=++,若()f x 的图像有对称轴

x k =,在区间[2,3]上单调递减,则k 的取值范围为 . ( )

A .[3,)+∞

B .(,2]-∞

C .(,1]-∞

D .[1,)+∞ 6.设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任一排列,f 是}4,3,2,1{到}4,3,2,1{的映射,且满足i i f ≠)(,记

数表?????

?)( )( )( 43214321a f a f )f(a a f a a a a .若数表N M ,的对应位置上至少有一个不同,就说N M ,是

两张不同的数表. 则满足条件的不同的数表的张数为( )

A .144

B .192

C .216

D .576 7.设集合{}1215S = ,,,,{}123A a a a =,,是S 子集,且()123a a a ,,满足:

123115a a a ≤<<≤,326a a -≤,那么满足条件的子集的个数为 .

8

.= .

9.从m 个男生,n 个女生(104m n ≥>≥)中任选2个人当组长,假设事件A 表示选出的2个人性别相同,事件B 表示选出的2个人性别不同.如果A 的概率和B 的概率相等,则(m ,n )的可能值为 .

10.在边长为1的正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点,使沿线段DE 折叠三角形

时,顶点A 正好落在边BC 上. AD 的长度的最小值为 .

11.,,O A B 是平面上不共线三点,向量a =,OB b =

,设P 为线段AB 垂直平分线上任意

一点,向量p =.若||5a = ,||3b = ,则)(b a p

-?的值是____ ____.

12.函数)(x f y =是定义在无限集合D 上的函数,关且满足对于任意的D x ∈,1()(),f x f x =

211()[()],,()[()],(2,).n n f x f f x f x f f x n n N -==≥∈ ①若,311)(x

x

x f y -+=

=则)1(8f = ;

②试写出满足下面条件的一个函数:)(x f y =存在D x ∈0,使得由)(),(0201x f x f ,…,

)(0x f n ,…组成的集合有且仅有两个元素.这样的函数可以是)(x f = .(只需写出一

个满足条件的函数) 二、解答题:

13.已知△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(→AB )2=→AB ·→AC +→BA ·→BC +→CA ·→

CB . (Ⅰ)判断△ABC 的形状,并求sin A +sin B 的取值范围;

(Ⅱ)若不等式a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b )≥kabc ,对任意的满足题意的a ,b ,c 都成立,求k 的取值范围.

14.设椭圆C :x 24+y 2

2=1的左焦点为F ,左准线为l ,一条直线过点F 与椭圆C 交于A ,B 两点,

若直线l 上存在点P ,使△ABP 为等边三角形,求直线AB 的方程.

15.已知71<

3

2

711122≥

-+-i i a a ; (2)求∑

=+--=

n

i i i

a a S 1

21

2)

7)(11

(的最小值,其中约定11a a n =+.

16、若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中,任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长,则称n 为四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数.

参考答案:1、(-3,-2) 2、12a << 3、6k = 4、22 5、[3,)+∞ 6、216 7、371个 8、1 9、()(),10,6m n = 10、3 11、8 12、0 sin x π 13、略

14、解法一:∵F (-2,0),l :x =-22,离心率e =

2

2

. (1)当AB 垂直x 轴时,A (-2,1),B (-2,-1).∴|AB |=2,又此时线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点为P (-22,0),P ,A ,B 不构成等边三角形,不合题意.

(2)当AB 不垂直x 轴时,设AB 的方程为y =k (x +2)(k ≠0),代入x 24+y 2

2=1得,(1+2k 2)x 2+42

k 2

x +4(k 2

-1)=0,∵△>0,且x 1+x 2=-42k 21+2k 2,x 1x 2=4(k 2-1)1+2k 2,设AB 中点为M ,则M (-22k 2

1+2k 2

2k 1+2k 2),线段AB 的垂直平分线方程为y -2k 1+2k 2=-1k (x +22k 2

1+2k 2),此直线与l 的交点为P ,则P

的坐标为(-22,22(1+k 2)k (1+2k 2)+2k

1+2k 2), |MP |=

? ????22(1+k 2)1+2k 22+? ??

??22(1+k 2)k (1+2k 2)2=22(1+k 2

)1+2k 21+1

k

2. (或|MP |=

1+(-1k )2

|x M -x P |=

22(1+k 2)1+2k 2

1+1

k

2) 而|AB |=(ex 1+2)+(ex 2+2)=22(x 1+x 2)+4=22×(-42k 2

1+2k 2)+4=4(1+k 2

)1+2k 2. △ABP 为等边三角形?

3

2

|AB |=|MP |, 即32×4(1+k 2)1+2k 2=22(1+k 2

)1+2k 2

1+1k 2,32

=1+1

k

2,解得k =±2. 所以直线AB 的方程为y =±2(x +2).

解法二::如图,∵F (-2,0),l :x =-22,离心率e =

2

2

.设过点F 的弦AB 的中点为M ,分别过A ,B ,M 向准线l 作垂线,垂足分别为A 1,B 1,M 1,则|MM 1|=12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF |e +|BF |e )

12

|AB |,又因为△P AB 为等边三角形?|PM |=32|AB |,所以|MM 1||MP |=6

3,

即cos ∠PMM 1=6

3

, ∴sin ∠PMM 1=

33 ,tam ∠PMM 1=22

, x

又k PM =±tam ∠PMM 1=±

22

∵AB ⊥PM ,∴k AB =-1

k PM

=± 2.

所以直线AB 的方程为y =±2(x +2). 15、(1)证明:对于一切的正整数i ,

)7)(1(6

71112222i i i i a a a a --=

-+-3

227162

2

2=

???

?

?

?-+-≥i i a a . (2)由Cauchy 不等式知∑

=+--=

n

i i i

a a S 1

21

2)

7)(11

(∑

=+--≥

n

i i i a a n 1

2122

)

7)(1(

∑=+-+-≥n

i i i a a n 12122

2)7()1(3321

21

22n

a a n n

i i i =+-=∑=+)( 当221====n a a a 时,等于成立,所以S 有最小值

3

n

. 16、称(),,,a b c d 为n 的数码组,则{},,,1,2,,9a b c d M ∈= ;

一、当数码组只含一个值,为(),,,,1,2,,9a a a a a = ,共得9个n 值; 二、当数码组恰含二个值,a b ,()a b >.

()1、数码组为(),,,a a a b 型,则任取三个数码皆可构成三角形,对于每个

{}2,,9a ∈ ,b 可取1a -个值,则数码组个数为()9

2136a a =-=∑,对于每组(),,,a a a b ,

b 有4种占位方式,于是这种n 有364144?=个.

()2、数码组为(),,,a b b b 型,()a b >,据构成三角形条件,有2b a b <<,

b 的取值

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(),2b b M 中a 的个数

0 1 2 3 4 3 2 1 0

共得16个数码组,对于每组(),,,a b b b ,a 有4种占位方式,于是这种n 有16464?=个.

()3、数码组为(),,,a a b b 型,()a b >,据构成三角形条件,有2b a b <<,同上得16个数

码组,对于每组(),,,a a b b ,两个a 有2

46C =种占位方式,于是这种n 有16696?=个.

以上共计1446496304++=个.

三、当数码组恰含三个值,,a b c ,()a b c >>.

()1、数码组为(),,,a b c c 型,据构成三角形条件,则有2c b a c <<<,这种(),,,a b c c 有14

组,每组中,a b 有2412A =种占位方式,于是这种n 有1412168?=个.

()2、数码组为(),,,a b b c 型,c b a b c <<<+,此条件等价于{}1,2,,9M = 中取三个不

同的数构成三角形的方法数,有34组,每组中,a b 有2412A =种占位方式,于是这种n 有

3412408?=个.

()3、数码组为(),,,a a b c 型,c b a b c <<<+,同情况()2,有2434408A =个n 值.

以上共计168408408984++=个n 值.

四、,,,a b c d 互不相同,则有d c b a c d <<<<+,这种,,,a b c d 有16组,每组有4!个排法,共得164!384?=个n 值.

综上,全部四位三角形数n 的个数为93049843841681+++=个.

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