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24.1圆的相关性质

24.1圆的相关性质
24.1圆的相关性质

24.1-2 圆的有关性质

知识点1 圆的有关性质

1.下列条件中,能确定一个圆的是( )

A.以点O为圆心

B.以2 cm长为半径

C.以点O为圆心,以5 cm长为半径

D.经过点A

2.下列命题中正确的有( )

①弦是圆上任意两点之间的部分;②半径是弦;③直径是最长的弦;④弧是半圆,半圆是弧.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.如图所示,图中弦的条数为( )

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

知识点2 圆中的半径相等

4.如图所示,MN为⊙O的弦,∠N=52°,则∠MON的度数为( )

A.38°

B.52°

C.76°

D.104°

5.已知AB,CD是⊙O的两条直径,∠ABC=30°,那么∠BAD=( )

A.45°

B.60°

C.90°

D.30°

6.如图,AB,AC为⊙O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C.求证:CE=BF.

7.下面3个命题:①半径相等的两个圆是等圆;②长度相等的弧是等弧;③一条弦把圆分成两条弧,这两条弧不可能是等弧.其中真命题的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

8.如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B=60°,∠BOD=100°,则∠C的度数为( )

A.50°

B.60°

C.70°

D.80°

9.点P到圆上各点的最大距离为10 cm,最小距离为8 cm,则此圆的半径为( )

A.9 cm

B.1 cm

C.9 cm或1 cm

D.无法确定10.已知A,B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点,则弦长AB的取值范围是_____.

11.已知,如图,OA,OB为⊙O的半径,C,D分别为OA,OB的中点.求证:AD=BC.

12.如图所示,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB,CD的延长线交于E点,已知AB=2DE,∠E=18°,求∠AOC的度数.

24.1.2 垂直于弦的直径

知识点1 认识垂径定理

1.(佛山中考)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是( )

A.3

B.4

C.

D.

2.(黔东南中考)如图,已知⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为点E,

∠ACD=22.5°,若CD=6 cm,则AB的长为( )

A.4 cm

B.3cm

C.2cm

D.2cm

3.(湘西中考)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5 cm,CD=6 cm,则OE=________.

知识点2 垂径定理的推论

4.下列说法正确的是( )

A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧

B.平分弦的直径垂直于弦

C.垂直于直径的弦平分这条直径

D.弦的垂直平分线经过圆心

57

236

5.如图,⊙O 的弦AB=8,M 是AB 的中点,且OM=3,则⊙O 的半径等于( ) A.8 B.2 C.10 D.5

6.(黄冈中考)如图,M 是CD 的中点,EM ⊥CD ,若CD=4,EM=8,则弧CED 所在圆的半径为________. 知识点3 垂径定理的应用

7.(兰州中考)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,若水面AB 宽为8 cm ,水的最大深度为2 cm ,则该输水管的半径为( )

A.3 cm

B.4 cm

C.5 cm

D.6 cm

8.(潍坊中考)如图,⊙O 的直径AB=12,CD 是⊙O 的弦,CD ⊥AB ,垂足为P ,且BP ∶AP=1∶5,则CD 的长为( )

A.4

B.8

C.2

D.4

9.如图,已知⊙

O

的半径为

4,OC 垂直弦AB 于点C ,∠AOB=120°,则弦AB 的长为________

10.如图,在⊙O 中,AB 、AC 是互相垂直的两条弦,OD ⊥AB 于点D ,OE ⊥AC 于点E ,且AB=8 cm ,AC=6 cm ,那么⊙O 的半径OA 长为________

11.如图,以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ,B 两点,点P 的坐标为(4,2),点A 的坐标为(2,0),则点B 的坐标为________

12.如图,AB 是⊙O 的弦,AB 长为8,P 是⊙O 上一个动点(不与A ,B 重合),过点O 作OC ⊥AP

于点C ,OD ⊥PB 于点D ,则CD 的长为________

13.(佛山中考)如图,⊙O 的直径为10 cm ,弦AB=8 cm ,P 是弦AB 上的一个动点,求OP 的长度范围.

14.(湖州中考)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于点C,D(如图所示). (1)求证:AC=BD;

(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O 到直线AB 的距离为6,求AC 的长.

24.1.3 弧、弦、圆心角

一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列说法中,正确的是( )

A.等弦所对的弧相等

B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等,所对的弦相等

D.弦相等所对的圆心角相等

2.如图24-1-3-1,同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D ,已知AB=4,CD=2,AB 的弦心距等于1,那么两

个同心圆的半径之比为( )

2255

图24-1-3-1

A.3∶2

B.5∶2

C.5∶2

D.5∶4

3.半径为R的⊙O中,弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的弦心距分别为OE、OF,则OE∶OF等于( )

A.2∶1

B.3∶2

C.2∶3

D.0

二、课中强化(10分钟训练)

1.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为_____________.

2.弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是____________,弦所对的圆心角是____________.

答案:2∶2 90°

3.如图24-1-3-2,已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于C、D.

(1)求证:AC=DB;

(2)如果AB=6 cm,CD=4 cm,求圆环的面积.

图24-1-3-2

4.如图24-1-3-3所示,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上的两点,并且AC=BD.

求证:OC=OD.

图24-1-3-3

5.如图24-1-3-4,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6 cm,EB=2 cm,∠CEA=30°,求CD的长.

图24-1-3-4 6.如图24-1-3-5,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,我们知道EC和DF 相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样?

图24-1-3-5

三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图24-1-3-6所示,AB、CD是⊙O的两条直径,弦BE=BD,则弧AC与弧BE是否相等?为什么?

图24-1-3-6

2.如图24-1-3-7所示,AB是⊙O的弦,C、D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC、OD,分别交⊙O于点

E、F.试证:弧AE=弧BF.

图24-1-3-7

3.如图24-1-3-8,AB、CD、EF都是⊙O的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC、EB、DF是否相等?为什么?

24-1-3-8

和三角形个数不限),并且使整个图案成对称图形,请你画出你的设计方案图(至少两种).

5.如图24-1-3-9,已知在⊙O 中,AD 是⊙

O 的直径,BC 是弦,AD ⊥BC ,E 为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?(要求:不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,只写出6条以上的结论)

图24-1-3-9

6.如图24-1-3-10

,AB 为⊙O 的弦,P 是AB 上一点,AB=10 cm ,OP=5 cm ,PA=4 cm ,求⊙O 的半径.

图24-1-3-10

7.⊙O 的直径为

50 cm ,弦

AB ∥CD ,且AB=40 cm ,CD=48 cm ,求弦AB 和CD 之间的距离.

1.小试牛刀:求下列带“?”的角.

2. 如图,AB 和CD

都是⊙0的直径,∠AOC=50°,则∠C

的度数是( )

A .20° B.25° C.30° D.50°

3. 如图,已知CD 为⊙O 的直径,过点D 的弦DE 平行于半径OA , 若∠D 的度数是50°,则∠C 的度数是( )

A .25°

B .40°

C .30°

D .50°

4. 如图,AB 是 O 的直径,点D 在 O 上∠AOD=130°, BC∥OD 交 O 于C,则∠A=.

5. 如图,AB 是⊙O 的直径,弦DC 与AB 相交于点E ,若∠ACD=60°, ∠ADC=50°,则∠ABD=,∠CEB=.

6. 如图,△ABC 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,∠ACB=500

点D 是BAC 上一点,则∠D=______.

7.如图1所示,A ,C ,B 是半圆上三点,若∠AOC=40°,则∠ABC 的度数为_______. 8.如图2所示,AB 是⊙O 直径,C ,D ,E 都是⊙O 上的点,则∠1+∠2=______. 9.如图3所示,D 是 的中点,与∠ABD 相等的角是____________________

图1 图2 图3

B B B

AC

10.如图,△ABC 的3个顶点都在⊙O 上,直径AD=4,∠ABC=∠DAC ,求AC 的长。

11.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB=6, ∠DCB=30°,求弦BD 的长。

12. 如图,△ABC 内接于⊙O ,∠A=50°,∠ABC=60°,BD 是⊙O 的直径,BD 交AC 于点E ,连结DC ,求∠AEB .

13. 如图,△ABC 内接于⊙O ,BC=12cm ,∠A=60°,求⊙O 的直径.

14. 如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E ,∠ACD=30°,AE=2cm .求DB 长.

15.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(提示:作出以这条边为直径的圆.)

已知:△ABC 中,CO 为AB 边上的中线,且CO=1/2AB 求证: △ABC 为直角三角形.

拓展提升

16.(1)如图, 队员们在球场上对球门BC 进行定位球的射门练习,一般的如果射门的角度越大,进球的机会就越大.其中球员A 的站位恰好与球门B 、C 这三点处在同一个圆上,球员B 位于该圆外,你认为球员A 和D 谁将球射进球门的机会大?说出你的理由.

(2)如果球员D

站在圆内,那么这时谁将球射进球门的机会大?为什么?

圆的有关概念和性质总结

圆的有关概念和性质 知识考点: 1、理解圆的定义,掌握点与圆的位置关系; 2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念; 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。 圆的形成性描述:在一个平面内,线段OA绕它固定的O一端旋转一周,另一端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,线段OA叫做半径。 以点O为圆心的圆记作“” 1.圆是定点的距离等于定长的点的集合 2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径 4、同圆或等圆的半径相等 5、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 6、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 7、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 8、不在通一条直线上的三点确定一个圆 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1: ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 12、推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等 13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 14、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

圆心角定义:顶点在圆心上,角的两边与圆周相交的角叫圆心角 圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。 推论: 在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。 圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理: 同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。 定理证明 已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC. 证明: 情况1: 如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时: 图1 ∵OA、OC是半径 解:∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO(等边对等角) ∵∠BOC是△AOC的外角 ∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情况2: 如图2,,当圆心O在∠BAC的内部时: 连接AO,并延长AO交⊙O于D

圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)

圆的基本概念和性质—知识讲解(提高) 【学习目标】 1.知识目标:理解圆的有关概念和圆的对称性; 2.能力目标:能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系,?圆的对称性进行计算或证明; 3.情感目标:养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态:如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”. 要点诠释: ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可; ②圆是一条封闭曲线. (2)静态:圆心为O,半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释: ①定点为圆心,定长为半径; ②圆指的是圆周,而不是圆面; ③强调“在一个平面内”是非常必要的,事实上,在空间中,到定点的距离等于定长的点的集合是球面,一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心; ②圆是轴对称图形:任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说,经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释: ①圆有无数条对称轴; ②因为直径是弦,弦又是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线(经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线). 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径. 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距.

圆的基本概念与性质

圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质,能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系;能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论,能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义,有两种方式: 错误!未找到引用源。在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心,以O 为圆心的圆记作O ,线段OA 叫做半径; 错误!未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意:圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念: 错误!未找到引用源。弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦;如图1所示 线段AB ,BC ,AC 都是弦; 错误!未找到引用源。直径:经过圆心的弦叫做直径;如AC 是O 的直径,直径是圆中最长的弦; 错误!未找到引用源。弧:圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简 称弧,如曲线BC,BAC 都是O 中的弧,分别记作BC 和BAC ; 错误!未找到引用源。半圆:圆中任意一条直径的两个端点分圆成

两条弧,每条弧都叫做半圆,如AC 是半圆; 错误!未找到引用源。劣弧和优弧:像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧,像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧; 错误!未找到引用源。同心圆:圆心相同,半径不等的圆叫做同心圆; 错误!未找到引用源。弓形:由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形; 错误!未找到引用源。等圆和等弧:能够重合的两个圆叫做等圆,在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧; 错误!未找到引用源。圆心角:定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角,圆心角的度数:圆心角的读书等于它所对弧的度数;∠ 错误!未找到引用源。 圆周角:定点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角;如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的直线都是它的对称轴,有无数条。圆是中心对称图形,圆心是对称中心,优势旋转对称图形,即旋转任意角度和自身重合。 错误!未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦,且评分弦所对的两条弧; B. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ,(2)CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立,则另外3个业成立。因此,垂径定理也称五二三定理,即推二知三。(以(1),(3)作条件时,应限制AB 不能为直径)。 错误!未找到引用源。弧,弦,圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等; B. 同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,他们所对应的其余各组量也相等; 错误!未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半; B.圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示,C 是⊙O 上一点,O 是圆心,若80AOB =∠,求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O

圆的有关概念与性质练习及答案

圆的有关概念与性质练习及答案 1.如图K28-1,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若∠ACO=50°,则∠B的度数为() 图K28-1 A.60° B.50° C.40° D.30° 2.如图K28-2,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为() 图K28-2 A.100° B.120° C.130° D.150° 3.在数学实践活动课中,小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图K28-3,在直角角尺中,∠AOB=90°,将点O放在圆周上,分别确定OA,OB与圆的交点C,D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为() 图K28-3 A.17 B.14 C.12 D.10 4.如图K28-4,四边形ABCD内接于☉O,E为CD延长线上一点,若∠ADE=110°,则∠AOC的度数是() 图K28-4 A.70° B.110° C.140° D.160°

5.如图K28-5,☉O的半径OC垂直于弦AB,垂足为D,OA=2√2,∠B=22.5°,AB的长为() 图K28-5 A.2 B.4 C.2√2 D.4√2 6.如图K28-6,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于() 图K28-6 A.-4和-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之间 7.如图K28-7,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则CD的长为 () 图K28-7 A.2 B.-1 C.√2 D.4 8.如图K28-8是张老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象,若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是 () 图K28-8

与圆有关的概念及性质

圆的有关概念与性质 教学目标:复习与圆有关的概念与性质。 教学重点:巩固垂径定理、圆心角、圆周角定理。并能运用这些定理进行正确的证明。 教学难点:灵活地运用这些定理进行有关的证明。 一、知识回顾 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的;圆又 是对称图形,是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分,并且平分;平分弦(不是直径)的 垂直于弦,并且平分 . 4. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一 组量,那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角,都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是,90°所对的弦是 . 例题精讲 例1、如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=l ,求弦AB的长. 对应练习1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.

例2、已知:如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,BC,AC分别交⊙O于D、E两点,,连接AD,求证:△ABD≌△ACD. 对应练习2、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上的一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD. (1)求证:BD平分∠ABC; (2)当∠ODB=30°时,求证:BC=OD. 例3、本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取、、 三根木柱,使得、之间的距离与、之间的距离相等,并测得长为120米,到 的距离为4米,如图所示.请你帮他们求出滴水湖的半径. 对应练习3、

九年级数学专题复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

总复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系 【考纲要求】 1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点,但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势,不会有太复杂的大题出现; 2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系,对应用、创新、开放探究型题目,会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题,进一步体现数学来源于生活,又应用于生活. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、圆的有关概念及性质 1.圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧; 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角. 要点进阶:等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. 2.圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性. 3.圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点进阶:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. 4.垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 要点进阶:在图中(1)直径CD ,(2)CD ⊥AB ,(3)AM =MB ,(4)C C A B =,(5)AD BD =.若上述5个条

件有2个成立,则另外3个也成立.因此,垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三.注意:(1)(3)作条件时,应限制AB不能为直径. 5.圆心角、弧、弦之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等. 6.圆周角 圆周角定理在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论1 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. 要点进阶:圆周角性质的前提是在同圆或等圆中. 7.圆内接四边形 (1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. (2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角).考点二、与圆有关的位置关系 1.点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有: 点P在圆外?d>r; 点P在圆上?d=r; 点P在圆内?d<r. 要点进阶:圆的确定: ①过一点的圆有无数个,如图所示. ②过两点A、B的圆有无数个,如图所示. ③经过在同一直线上的三点不能作圆. ④不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.

圆的性质及与圆有关的位置关系

圆的性质及与圆有关的位置关系 一、圆的有关概念 1.与圆有关的概念和性质 (1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. (2)弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,过圆心的弦叫做直径,直径是圆内最长的弦.(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧. (4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. (5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. (6)弦心距:圆心到弦的距离. 2.注意 (1)经过圆心的直线是该圆的对称轴,故圆的对称轴有无数条; (2)3点确定一个圆,经过1点或2点的圆有无数个. (3)任意三角形的三个顶点确定一个圆,即该三角形的外接圆. 二、垂径定理及其推论 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合,解题时往往需要添加辅助线,一般过圆心作弦的垂线,构造直角三角形. 2.推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. 三、圆心角、弧、弦的关系 1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立. 2.推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 四、圆周角定理及其推论

1.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.推论 (1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等. (2)直径所对的圆周角是直角. 圆内接四边形的对角互补.在圆中求角度时,通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化;同弧或等弧的圆周角间的转化;连直径,得到直角三角形,通过两锐角互余进行转化等.五、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d. (1)dr?点在⊙O外. 判断点与圆之间的位置关系,将该点的圆心距与半径作比较即可. 2.直线和圆的位置关系

圆基本概念和性质

_O _A 图1 C D 北辰教育学科教师辅导学案 学员编号: 年 级: 课 时 数: 学员姓名: 辅导科目: 学科教师: 授课类型 T 圆的基本概念 C 圆的基本概念 T 圆的对称性 授课日期及时段 年 月 日 00:00--00:00 教学内容 —————圆的基本概念 知识结构 一、圆的基本概念: 1、圆的概念:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。如图,把线段OA 绕着端点O 在平面内旋转1周,端点A 运动所形成的图形叫做圆.其中,固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径.记作⊙O ,读作“圆O ”. 2、 2、圆的半径确定圆的大小;圆心确定圆的位置。 3、圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。 4、点与圆的位置关系:点P 与圆心的距离为d ,半径为r,则点在直线外?r d >; 点在直线上?r d =; 点在直线内?r d <。 注意:这里是等价关系,即由左边可以推出右边,由右边也可以推出左边。 二、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 1、弦:连接圆上任意两点的线段,如图1上弦AB ;直径是一条 特殊的弦,并且是圆中最大的弦;从圆心到弦的距离叫做弦心距。 2、直径:经过圆心的弦,如图1上弦CD 。 3、圆心角:顶点在圆心的角,如图2上:∠AOB 。 4、圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,如图3上:∠BAC 。 3、 5、同心圆:圆心相等、半径不同的两个圆。 图2

4、 6、等圆:半径相同、圆心不同的两个圆。 5、 7、等弧:能够互相重合的弧。同圆或等圆的半径相等。 注意:半圆(或直径)所对的圆周角是90°;90°的圆周角所对的弦是直径。 8、圆的任意一条直径的两个端点吧圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆。大于半圆 的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧。 题型1: 1、概念辨析:判断下列说法是否正确? (1)直径是弦; ( √ ) (2)弦是直径; ( × ) (3)半圆是弧,但弧不一定是半圆; ( √ ) (4)半径相等的两个半圆是等弧; ( √ ) (5)长度相等的两条弧是等弧; ( × ) (6)半圆是弧; ( √ ) (7)弧是半圆. ( × ) 2、如图,在Rt ABC △中,直角边3AB =,4BC =,点E ,F 分别是BC ,AC 的中点,以点A 为圆心, AB 的长为半径画圆,则点E 在圆A 的_________,点F 在圆A 的_________. 解题思路:利用点与圆的位置关系,答案:外部,内部 2、如图,扇形OAB 的半径OA =3,圆心角∠AOB =90°,点C 是弧AB 上异于A 、B 的动点,过点C 作CD ⊥OA 于点D ,作CE ⊥OB 于点E ,连接DE ,点G 、H 在线段DE 上,且DG =GH =HE . (1)求证:四边形OGCH 是平行四边形 (1)连结oc ,交de 于m , ∵四边形odce 是矩形 ∴om =cm ,em =dm 又∵dg=he ∴em -eh =dm -dg ,即hm =gm ∴四边形ogch 是平行四边形 3、已知:如图,AB 是⊙O 的直径,半径OC ⊥AB ,过CO 的中点D 作DE ∥AB 交⊙O 于点E ,连接EO ,则∠EOC 的度数为_____度. 答案:60 通过半径相等,把条件转化到Rt△ODE 中,OD=OE ,利用特殊直角三角形的性质求解 解:∵OD= OC= OE ,OC⊥AB,DE∥AB, ∴在Rt△ODE 中,∠E=30°, ∴∠EOC=90°-30°=60° 图3

初中数学.圆的概念及性质.学生版

中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概 念 会过不在同一直线 上的三点作圆;能利 用圆的有关概念解 决简单问题 圆的性质知道圆的对称性,了 解弧、弦、圆心角的 关系 能用弧、弦、圆心角 的关系解决简单问 题 能运用圆的性质解 决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心 角的关系;知道直径 所对的圆周角是直 角 会求圆周角的度数, 能用圆周角的知识 解决与角有关的简 单问题 能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题 垂径定理会在相应的图形中 确定垂径定理的条 件和结论 能用垂径定理解决 有关问题 点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系了解直线与圆的位 置关系;了解切线的 概念,理解切线与过 切点的半径之间的 关系;会过圆上一点 画圆的切线;了解切 线长的概念 能判定直线和圆的 位置关系;会根据切 线长的知识解决简 单的问题;能利用直 线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置 关系 能利用圆与圆的位 置关系解决简单问 题 中考内容与要求 圆的概念及性质

弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积 和全面积 能解决与圆锥有关 的简单实际问题 圆是北京中考的必考内容,主要考查圆的有关性质与圆的有关计算,每年的第20题都会考查,第1小题一般是切线的证明,第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题,有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质,掌握求线段、角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化,理解直线和圆的三种位置关系,掌握切线的性质和判定方法,会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2010年2011年2012年 题号11,20 20,25 8,20,25 分值9分13分17分 考点垂径定理的应用; 切线判定、圆与解 直角三角形综合 圆的有关证明,计 算(圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形);直线与圆的 位置关系 圆的基本性质,圆 的切线证明,圆同 相似和三角函数的 结合;直线与圆的 位置关系 中考考点分析

圆的有关概念和性质

圆的有关性质 【中考考纲解读】 1.课标要求 ①理解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系. ②了解圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. ③掌握垂径定理,并能应用它解决有关弦的计算和证明问题. 2.考向指南 从2008、2009两年广东省统一中考数学试卷来看,本讲所学的圆的有关概念、弧长的计算、圆周角定理,垂径定理与三角形的联系等知识点考查的可能性较大.题型以选择题和填空题为主,难度不大,所占分值一般在3~5分. 【考点知识网络】 【中考考点剖析】 考点1:圆的有关概念 1. 圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.其中,定点为圆心,定长为半径 2. 弦:连接圆上任意两点的线段. 3. 直径:经过圆心的弦. 4. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 5. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 6. 优弧:大于半圆的弧,用三个大写字母表示,如ABC . 7. 劣弧:小于半圆的弧,用两个大写字母表示,如AC . 8. 弓形:由弦及其所对的弧组成的圆形. 9. 同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆. 10.等圆:能够重合的两个圆或半径相等的两个圆. 11.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧. 12.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 13.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. 14.圆周角:顶点在圆上,?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. ?? ??????????????? ???? ??基本概念:弧 弦 圆心角 圆周角确定圆的条件对称性圆基本性质垂径定理圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理2个推论

圆的有关性质

圆的有关性质 本章重点 1.圆的定义: (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R,OP=d,则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d

⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角. (3)弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质:弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4.圆的性质: (1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.垂径定理及推论: (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等. 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.

圆性质及基本概念

圆性质及基本概念公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

圆性质及基本概念 一基本概念 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中,定点称为圆心,定长称为半径;圆O记作?O. 2.相关概念: (1)弧:半圆、优弧、劣弧:(2)弦:直径(3)弦心距: (4)圆心角:(5)圆周角:(在同圆或等圆中5要素知道一可推得其他都相等) 二重要定理 垂径定理: 垂直于弦的直径,平分弦并且平分弦所对的优弧和劣弧. 推论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的优弧和劣弧. 垂径定理推论一:对于一个圆来说,如果具备下列五个条件中的任何两个,那么也具有其它三个:①垂直于弦,②过圆心,③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧。(当以、②③为题设时,“弦”不能是直径。) 相关定理 圆周角定理: 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半;

圆周角定理推论: 1.直径所对的圆周角是90°,90°圆周角所对弦是直径. 2.同(等)弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等; 三点定圆定理: 三点定圆定理:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.三角形的外心与内心 一概念练习 1已知:⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=24cm, CD=10cm,则AB、CD之间的距离为() A.17cm B.7cm C.12cm D.17cm 或7cm 2下列四个命题: ①直径是弦; ②经过三个点一定可以作圆; ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等; ④半径相等的两个半圆是等弧. 其中正确的是() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

中考数学《圆的有关概念及性质》复习题附参考答案

圆的有关概念及性质 【基础知识回顾】 一、圆的定义及性质: 1、圆的定义: ⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做 ⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合 2、弦与弧: 弦:连接圆上任意两点的叫做弦 弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类 3、圆的对称性: ⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴,的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是 【名师提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦,弦不一定是直径; 3、圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、垂径定理及推论: 1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的。 2、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的。 【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线(即弦心距)。3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】 三、圆心角、弧、弦之间的关系: 1、圆心角定义:顶点在的角叫做圆心角 2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、圆周角定理及其推论: 1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是,900的圆周角所对的弦是 【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角 有个,是类,它们的关系是,2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、圆内接四边形: 定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。 性质:圆内接四边形的对角。 【名师提醒:圆内接平行四边形是圆内接梯形是】

人教版八年级下册数学圆的有关概念与性质

圆的有关概念与性质 ◆课前热身 1.如图,AB是⊙O的弦,OD⊥AB于D交⊙O于E,则下列说法错误 ..的是() D.OD=DE 2.如图,⊙O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是() A. B. C. D. 3.如图,⊙O的弦AB=6,M是AB上任意一点,且OM最小值为4,则⊙O的半径为() A.5 B.4 C.3 D.2 4.如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动点,则OM不可能为() A.2 B.3 C.4 D.5 3,则弦CD 5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,⊙O的半径为cm 的长为()

A . 3 cm 2 B .3cm C . D .9cm 【参考答案】 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B ◆考点聚焦 1.圆的有关概念,包括圆心、半径、弦、弧等概念,这是本节的重点之一. 2.掌握并灵活运用垂径定理及推论,圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论,这也是本书的重点,其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点. 3.理解并掌握圆内接四边形的相关知识,而圆和三角形、?四边形等结合的题型也是中考热点. ◆备考兵法 “垂径定理”联系着圆的半径(直径)、弦长、圆心和弦心距,通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系,同时其中还蕴含着弓形高(半径与弦心距的差或和)与这三者之间的关系.所以,在求解圆中相关线段的长度时,常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段,连结半径构造直角三角形,把垂径定理和勾股定理结合起来,有直径时,常常添加辅助线构造直径上的圆周角,由此转化为直角三角形的问题. 常考题型:圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现;垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现. ◆考点链接 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的 ;圆又 是 对称图形, 是它的对称中心.

圆的概念及性质

一、圆的相关概念 1. 圆的定义 (1) 描述性定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转 所形成的图形叫做圆,其中固定端点O 叫做圆心,OA 叫做半径. (2) 集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径. (3) 圆的表示方法:通常用符号⊙表示圆,定义中以O 为圆心,OA 为半径的圆记作”O ⊙“,读作” 圆O “. (4) 同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同 心圆;能够重合的两个圆叫做等圆. 注意:注意:同圆或等圆的半径相等. 2. 弦和弧 (1) 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. (2) 直径:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍. (3) 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. (4) 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A B 、为端点的圆弧记作AB ,读作弧AB . (5) 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. (6) 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆. (7) 优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧. (8) 弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 3. 圆心角和圆周角 (1) 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1?的圆心角,我 们也称这样的弧为1?的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. (2) 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 二、圆的对称性 1. 旋转对称性 (1) 圆是中心对称图形,对称中心是圆心;圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度角,总能与自 身重合. (2) 圆的旋转对称性?圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系. 2. 轴对称性 (1) 圆是轴对称图形,经过圆心的任一条直线是它的对称轴. (2) 圆的轴对称性?垂径定理. 三、圆的性质定理 1. 圆周角定理 (1) 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2) 推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径. 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 (1) 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 圆的概念及性质 A

中考试题圆的有关概念与性质

学科:数学 专题:圆的有关概念与性质 主讲教师:黄炜北京四中数学教师 重难点易错点辨析 1、等弧的概念,区别于长度相等的弧. 2、利用圆周角定理求角时,注意分类讨论. 例题2.1: 题面:∠AOB=100o, 点C在⊙O上, 且点C不与A、B重合, 则∠ACB的度数为()A.50° B.80°或50° C.130° D.50°或130° 3、在应用垂径定理的计算中,注意分类讨论. 例题3.1: 题面:已知⊙O的半径为5cm,AB和CD是⊙O的弦,AB//CD, AB=6cm,CD=8cm,求AB与CD 之间的距离是多少?

金题精讲 题一 题面:已知,如图,△ABC内接于⊙O,BC=12cm,∠A=60°. 求⊙O的直径. 题二 题面:已知,如图,A,B是半圆O上的两点,CD是⊙O的直径,∠AOD=80°,B是弧AD的中点. (1)在CD上求作一点P,使得AP+PB最短; (2)若CD=4cm,求AP+PB的最小值. 满分冲刺 题一 题面:如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a﹥2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是()

A. 23 B.2+ 2 C. 22 D. 2+ 3 题二 题面:如图,在⊙O中,直径AB=15cm,有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A,点D 与B不重合),CF⊥CD交AB于F,DE⊥CD交AB于E. (1)求证:AE=BF; (2)在动弦CD滑动的过程中,四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值,请给出证明并求这个定值;若不是,请说明理由 A

讲义参考答案 重难点辨析 例题2.1 答案:D 例题3.1 答案:1cm 或7cm 金题精讲 题一 答案:83cm 题二 答案:(1)提示:作A 点或者B点关于直径CD的对称点A’或者B’,然后连接A’B或者B’A。 (2) 最小值23cm 满分冲刺

圆的基本概念和性质—知识讲解(基础)

圆的基本概念和性质—知识讲解(基础) 【学习目标】 1.知识目标:在探索过程中认识圆,理解圆的本质属性; 2.能力目标:了解圆及其有关概念,理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念,理解概念之间的区别和联系; 3.情感目标:通过圆的学习养成学生之间合作的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态:如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”. 要点诠释: ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可; ②圆是一条封闭曲线. (2)静态:圆心为O,半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释: ①定点为圆心,定长为半径; ②圆指的是圆周,而不是圆面; ③强调“在一个平面内”是非常必要的,事实上,在空间中,到定点的距离等于定长的点的集合是球面,一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心; ②圆是轴对称图形:任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说,经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释: ①圆有无数条对称轴; ②因为直径是弦,弦又是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线(经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线). 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径.

圆的概念及性质

圆的概念及性质 一、圆的相关概念 1.圆的定义 (1)描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径. (2)集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径.(3)圆的表示方法:通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作”O ⊙“,读作” 圆O“. (4)同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆. 注意:注意:同圆或等圆的半径相等. 2.弦和弧 (1)弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. (2)直径:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍. (3)弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. 、为端点的圆弧记作?AB,读作弧AB.(4)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A B (5)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. (6)半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆. (7)优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧. (8)弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 3.圆心角和圆周角 (1)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1?的圆心角,我们也称这样的弧为1?的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. (2)圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 二、圆的对称性 1.旋转对称性 (1)圆是中心对称图形,对称中心是圆心;圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度角,总能与自身重合. (2)圆的旋转对称性?圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系. 2.轴对称性 (1)圆是轴对称图形,经过圆心的任一条直线是它的对称轴. (2)圆的轴对称性?垂径定理. 三、圆的性质定理 1.圆周角定理 (1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

圆有关的性质

圆有关的性质 一、选择题 1、(2012年福建福州质量检查)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的截面半径OB =10,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6,则水面宽AB 是 A .8 B .10 C .12 D .16 答案:D 2、(2012年春期福集镇青龙中学中考模拟)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C 在 半圆上.点A 、B 的读数分别为86°、30°,则∠ACB 的大小为( B ) A .15° B .28° C .29° D .34° 答案B 3、 (2012年浙江丽水一模)如图,AB 为⊙O 的直径,点C,D 在⊙O 上,∠BAC=50°, 则∠ADC=_________ A B C O 第7题图 A C B (第11题)

C B A 1 56o l 2 l 1 答案:40° 4、(2012年浙江金华一模)如右图,已知圆的半径是5,弦AB 的长是6,则弦AB 的弦心距是( ) A .3 B .4 C .5 D .8 答案:B 5、 如图,内接于,若,则的大小为 ( ) A . B . C . D . 答案:D 6、如图,直线l 1∥l 2,以直线l 1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l 1、l 2于点B 、C ,连接AC 、BC .若∠ABC =56o,则∠1= ( ) A .36o B .68o C .72o D .78o 答案:B 7(西城2012年初三一模).如图,AB 是⊙O 的直径,AB =4,AC 是弦,AC =∠AOC 为( ) ABC △O ⊙28OAB ∠=°C ∠28°56°60°62°23O A B

初中数学圆的基本概念和性质知识点、经典例题及练习题

B C 教 育 学 科 教 师 讲 义 讲义编号: GE —ZBM 副校长/组长签字: 签字日期: 【考纲说明】 1、理解圆及其有关概念, 知道圆的对称性,了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。 2、了解圆周角与圆心角的关系,了解直径所对的圆周角是直角,会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。 3、本部分在中考中占5分左右。 【知识梳理】 1.圆的基本概念 定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心;线段OA 叫做半径;圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长(半径r);反之,到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上(另一定义); 以O 为圆心的圆,记作“⊙O ”,读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性: (1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. (3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4.直径:经过圆心的弦叫直径。 注:圆中有无数条直径 5.圆弧: (1)圆上任意两点间的部分,也可简称为“弧”

以A,B 两点为端点的弧.记作AB ? ,读作“弧AB ”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ? (用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ? (用三个字母). 6.垂径定理及其推论: (1)定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧; (2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。 垂径定理归纳为:一条直线,如果具有:①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所 对的劣弧。这五条中可以“知二推三” 7.垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角; 9.圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角; 10.弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系 (1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 12.圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半; (2)圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径。 【经典例题】 【例1】下列判断中正确的是( ) A. 平分弦的直线垂直于弦 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【例2】如果两条弦相等,那么( ) A .这两条弦所对的弧相等 B .这两条弦所对的圆心角相等 C .这两条弦的弦心距相等 D .以上答案都不对 【例3】如图,已知AB 为⊙O 的直径,∠E =20°,∠DBC =50°,则∠CBE =______.

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