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根号的由来

根号的由来
根号的由来

根号的由来

现在,我们已经会用根号来表示平方根、立方根等,并感觉到使用起来既简洁又方便,你知道根号是怎样产生而又演变成现在这样的吗? 古时候,埃及人用记号“

”表示平方根,印度人在开平方时,在被开数的前面写ka ,阿拉伯人用表示48.1480年以后,德国人用一个点“·”来表示平方根,两个点“··”表示4次方根,三个点表示立方根,比如,·3、··3、···3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根,到十六世纪初,可能是书写快的缘故,小点上带了一条细长的尾巴,变成了“”.1525年,路多尔夫在他的代数著作中,首先采用了根号,比如他写

是2,是3,并用表示348,8.但这种写法未得到普遍的认可与采纳. 与此同时,有人采用“根”字的拉丁文radix 中第一个字母的大写R 来表示开方运算,并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q ,或“立方”的第一个字母c 来表示开的

是多少次方.例如,现在的4352,当时有人写成R .q .4352.现在的3147+,用数学家

邦别利(1526~1572年)的符号可以写成:R .c .┖7p .R .q .14┙,其中“┖ ┙”相当于今天的括号,p 相当于今天的加号(那时候,连加减号“+”“-”还没有通用). 直到十七世纪,法国数学家笛卡尔(1596~1650年)第一个使用了现今用的根号“

”.在一本书中,笛卡尔写道:“如果我想求a 2+b 2的平方根,就写作22b a +,如果想求a

3+b 3

+abb 的立方根,则写作abb b a c ++33.”. 这是出于什么考虑呢?有时候被开方数的项数较多,为了避免混淆,笛卡尔就用一条横线把几项连起来,前面放上根号√(不过,它比路多尔夫的根号多了一个小钩),就成为现在的根式形式.

现在的立方根符号出现得很晚,一直到十八世纪,才在一些书中看到符号

的使用,比如25的立方根用325表示.以后,诸如等等形式的根号渐渐使用开来.

由此可见,一种符号的普遍采用是多么艰难,它是人们在悠久的岁月中,经过不断改良、选择和淘汰的结果,它是数学家们集体智能的结晶。

无理数典型练习题(菁优网)

无理数无理数无理数无理数

无理数无理数无理数无理数 一.选择题(共5小题) 1.(2013?安顺)下列各数中,3.14159,,0.131131113…,﹣π,,,无理数的个数有() 和和D 与 5.(2006?梧州)在﹣7.5,,4,,﹣π,,中,无理数的个数是() 二.填空题(共5小题) 6.(2011?淄博)写出一个大于3且小于4的无理数_________. 7.(2010?建邺区一模)写出﹣1和2之间的一个无理数:_________. 8.(2012?大丰市模拟)在数据﹣π,,中无理数的个数是_________个.9.(2010?泰安)1,2,3…,100这100个自然数的算术平方根和立方根中,无理数的个数有_________个.10.在,﹣(+5),,0,π,,0.303003000中,无理数是_________. 三.解答题(共2小题) 11.在:,,0,3.14,﹣,﹣,7.151551…(每相邻两个“1”之间依次多一个“5”)中, 整数集合{…}, 分数集合{…}, 无理数集合{…}.

12.下列数中:①﹣|﹣3|,②﹣0.3,③﹣,④,⑤,⑥,⑦0,⑧﹣,⑨1.2020020002…(每两个2之间依次 多一个0)(请填序号) 无理数是_________,整数是_________.负分数是_________.

无理数无理数无理数无理数 参考答案与试题解析 一.选择题(共5小题) 1.(2013?安顺)下列各数中,3.14159,,0.131131113…,﹣π,,,无理数的个数有() 和和D 解:其中 此题考查了无理数的概念,注意其中的 与 与 、在这三个代数式中, 4.(1997?广西)下面说法中,正确的是()

第一课时实数的有关概念

第一课时 实数的有关概念 知识点:有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 大纲要求: 1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念. 2. 了解有理数、无理数以及实数的有关概念;理解数轴、相反数、绝对值等概念,了解数的绝对值的几何意义。 3. 会求一个数的相反数和绝对值,会比较实数的大小 4. 画数轴,了解实数与数轴上的点一一对应,能用数轴上的点表示实数,会利用数轴比较大小。 考查重点: 1. 有理数、无理数、实数、非负数概念; 2.相反数、倒数、数的绝对值概念; 3.在已知中,以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件,解决有关问题。 实数的有关概念 (1)实数的组成 (2)数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注童上述规定的三要素缺一个不可), 实数与数轴上的点是一一对应的。 数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数, (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,零的相反效是零). 从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (4)绝对值 从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是 a 1(乘积为1的两个数,叫做互为倒数);零没有倒数. 考查题型: 以填空和选择题为主。如 一、考查题型: 1. -1的相反数的倒数是 2. 已知|a+3|+b+1 =0,则实数(a+b )的相反数 3. 数-3.14与-Л的大小关系是 4. 和数轴上的点成一一对应关系的是 5. 和数轴上表示数-3的点A 距离等于2.5的B 所表示的数是 6. 在实数中Л,-25 ,0, 3 ,-3.14, 4 无理数有( ) (A )1 个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 7.一个数的绝对值等于这个数的相反数,这样的数是( )

怎样证明根号2是一个无理数

怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数, 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后,唤醒的却是数学家们对数的重新认识,实数的概念开始确立,在此意义上讲,2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数,我们可以把它看作一根“晾衣绳”,上面挂着许多有趣的方法,值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数,从而体会这一点. 证法1:尾数证明法.假设2是一个有理数,即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1,且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个,因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =,所以2a 与22b 的尾数都是0,因此2b 的尾数只能是0或5,因此a 与b 有公因数5,与(a,b )=1矛盾!因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2:奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1,且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数,设a =2 c ,则2224b c =,222c b =,可知b 也是偶数,因此a 、b 都是偶数,这与(a,b )=1矛盾!因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数,动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌,希帕索斯因此葬身海底. 证法3:仿上,得到222b a =,易见b >1,否则b=1,则2=a 是一个整数,这是不行 的.222b a =改写成a a b ?= 22.因为b >1,因此b 有素因子p ,因此p 整除2 a 或a ,总之,p 整除a ,因此p 同时整除a 与 b ,这与(a,b )=1矛盾. 证法4:仿上,得到222b a =,等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=,因为b >1,因此存在素因子p ,p 整除a+b 或a-b 之一,则同时整除a+b 与a-b ,因此p 整除a ,因此p 是a 、b 的公因数,与(a,b )=1矛盾. 证法5:利用代数基本定理,如果不考虑素因子的顺序,任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式,因此m r m r r p p p a 2121=,n s n s s q q q b 2121=,其中m p p ,,1 与n q q ,,1 都是素数,m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数,因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ,素数2在等式左边是偶数次幂,但在右边是奇数次幂,矛盾,因此2是无理数.

1.2二次根式的性质(2)教案(浙教版八年级下)

1.2二次根式的性质(2) 【教学目标】 1.探索二次根式的性质的由来,体验归纳、类推的思想方法. 2.会用二次根式的性质进行简单的计算和化简. 【教学重点、难点】 重点:二次根式的积和商的性质. 难点:例3中(4)及探究活动涉及的较复杂的化简过程与技巧. 【教学过程】 一、 引入新课 动手做一做:填空(可用计算器计算): (1) 49?=_, 4×9=_; (2) 45?=_, 4×5=_; (3) 916 =_, 916=_; (4) 32=_, 32 =_. 比较每一组左右两边的等式,结果相等吗?多试几组类似的计算,想一想能否推广到一般形式?如果能,请用字母表示你发现的规律。 二、 新课讲解 1、 一般地,二次根式的积与商的性质: 积的性质:ab =a ·b (a≥0,b≥0); 商的性质: a b =a b ( a≥0,b >0) 2、讲解例题: 例3 化简:(1)121225?;(2)247?;(3)59; (4)27 ; 解:(1)121225?=121×225=11×15=165; (2)2 47?=24×7=47; (3)59=59=53; (4)27=2777??=1714; 注:①一般地,二次根式化简的结果中分母中不含根号,而且根号内的数就是一个自然数,且自然数的因数中,不含有除1以外的自然数的平方数。

②被开方数为带分数时,还要先化为假分数再利用性质化简 练习: 1、化简:⑴254?; ⑵ 0.010.49?; ⑶2235?. 2、化简:⑴ 925; ⑵ 213;⑶58. 例4 先化简,再求出下面算式的近似值(精确到0.01) ⑴ (18)(24)-?-; ⑵ 1149;⑶0.0010.5? 解:⑴(18)(24)-?-=2938???= 4323?=42×33=123≈20.78; ⑵ 1149=5049=5049=527≈1.01; ⑶ =3 110105--??=4105-?=22(10)-×5=210-×5=0.015≈0.02 总结:化简的结果要求:①根号内不再含有可以开方的因式;②根号内不再含有分母. 三、探究活动: 化简下列两组式子: ①223=_,223 +=_; ②338 =_,338+=_; ③4415=_,4415 +=_; ④55 24=_,5524+=_ 你发现了什么规律?请用字母表示你所发现的规律,并与同伴交流。 请再任意先几个数验正你发现的规律。 四、 小结: 师生共同完成:通过今天的学习,你有那些收获或困惑? 五、 布置作业 1.课后作业题 2.作业本

无理数的常见形式

无理数的常见形式,科学计数法 无理数 概念:无理数即无限不循环小数。 明确无理数的存在无理数来自实践,无理数并不“无理”,也不是人们臆想出来的,它是实实在在存在的,例如: (1)一个直角三角形,两条直角边长分别为1和2,由勾股定理知,它的斜边长为; (2)任何一个圆,它的周长和直径之比为一常数等等; 像这样的数,在我们周围的生活中,不是只有少数几个,而是像有理数一样有无限个。 概念剖析:无限不循环小数叫无理数,这说明无理数是具有两个基本特征的小数:一是小数位数是无限的;二是不循环的。这对初学者来说有一定难度,因此,我们必须掌握它的表现形式。 无理数的常见形式:在初中阶段,无理数表现形式主要有以下几种: 1. 无限不循环的小数,如0.1010010001……(两个1之间依次多一个0) 2. 含的数,如:,,等。 3. 开方开不尽而得到的数,如,等。 4. 某些三角函数值:如,等。 无理数与有理数的区别:1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成整数、小数或无限循环小数,比如4=4.0,4/5=0.8,1/3=0.33333……。而无理数只能写成无限不循环小数,比如√2=1.414213562…………。根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数; 2、无理数不能写成两整数之比。 错误辨析: 1. 无限小数都是无理数; 2. 无理数包括正无理数、负无理数和零; 3.带根号的数是无理数; 4. 无理数是用根号形式表示的数; 5.无理数是开方开不尽的数; 6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数; 7.无理数与有理数的乘积是无理数; 8. 有些无理数是分数; 9. 无理数比有理数少;10. 一个无理数的平方一定是有理数。 综上,学习无理数应把握住无理数的三个特征:(1)无理数是小数;(2)无理数是无限小数;(3)无理数是不循环小数。判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。另外,还应注意无理数的几种常见的表示形式,才是弄清无理数概念的关键。

八年二次根式、勾股定理综合复习经典复习过程

八年二次根式、勾股定理综合复习经典

学习过程 一、知识点复习讲解 1.二次根式:式子a(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质: (1)(a)2=a(a≥0);(2) = =a a2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式, 那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次 根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所 得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. (a≥0,b≥0);=b≥0,a>0) (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的 分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么222 a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五” 0 (

无理数练习题

【知识要点】 1.无理数: 定义:无限不循环小数叫做无理数,如π=3.1415926 1.414213= ,-1.010010001…,都是无理数。 注意: ①既是无限小数,又是不循环小数,这两点必须同时满足; ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是:前者不能化成分数,而后两者都可以化成分数; 2.实数:有理数和无理数统称为实数。 ????????????????????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3.实数的几个有关概念: ①相反数:a 与-a 互为相反数,0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数:若0a ≠,则1a 称为a 的倒数,0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值:一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。 即()()()0000a a a a a a >??==??-

④无理数乘以有理数是无理数; ⑤无理数除以有理数是无理数; ⑥有理数除以无理数是无理数。 A .0个 B .2个 C .4个 D .6个 4.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) ①带根号的数是无理数;( ) ( ) ③绝对值最小的实数是0;( ) ④平方等于3 ( ) ⑤有理数、无理数统称为实数;( ) ⑥1的平方根与1的立方根相等;( ) ⑦无理数与有理数的和为无理数;( ) ⑧无理数中没有最小的数,也没有最大的数。( ) 5.a ) A .有理数 B .正无理数 C .正实数 D .正有理数 6.下列四个命题中,正确的是( ) A .倒数等于本身的数只有1 B .绝对值等于本身的数只有0 C .相反数等于本身的数只有0 D .算术平方根等于本身的数只有1 7.下列说法不正确的是( ) A .有限小数和无限循环小数都能化成分数 B .整数可以看成是分母为1的分数 C .有理数都可以化为分数 D .无理数是开方开不尽的数 8.代数式 21a +y ,()21a -中一定是正数的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 9 ) A .m 是完全平方数 B .m 是负有理数 C .m 是一个完全平方数的相反数 D .m 是一个负整数 10.已知a 为有理数,b 为无理数,则a+b 为( ) A .整数 B .分数 C .有理数 D .无理数 11 215 的大小关系是( ) A 215< B .215<<215<<215<< 12的相反数之和的倒数的平方为 。 13、设a 、b 互为相反数,但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身,化简111c m m m d a b ??÷++- ???的结果是 。

《无理数》习题

《无理数》习题 一、选择题 1、正三角形的边长为4,高h ( ) A .是整数 B .是分数 C .是有理数 D .不是有理数 2、如果一个圆的半径是2,那么该圆的周长是( ) A .一个有理数 B .一个无理数 C .一个分数 D .一个整数 4、下列说法正确的是( ) A .分数是无理数 B .无限小数是无理数 C .不能写成分数形式的数是无理数 D .不能在数轴上表示的数是无理数 5、在实数3.14,25,3.3333,0.412?? ,0.10110111011110…,π, 中,有( )个无理数? A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 6、下列说法中,正确的是( ) A .带根号的数是无理数 B .无理数都是开不尽方的数 C .无限小数都是无理数 D .无限不循环小数是无理数 7、下列命题中,正确的个数是( ) ①两个有理数的和是有理数; ②两个无理数的和是无理数; ③两个无理数的积是无理数; ④无理数乘以有理数是无理数; ⑤无理数除以有理数是无理数; ⑥有理数除以无理数是无理数. A .0个 B .2个 C .4个 D .6个 8、a 一定是( ) A .有理数 B .正无理数 C .正实数 D .正有理数 9、下列四个命题中,正确的是( )

A .倒数等于本身的数只有1 B .绝对值等于本身的数只有0 C .相反数等于本身的数只有0 D .算术平方根等于本身的数只有1 10、下列说法不正确的是( ) A .有限小数和无限循环小数都能化成分数 B .整数可以看成是分母为1的分数 C .有理数都可以化为分数 D .无理数是开方开不尽的数 二、填空题 1、整数包括 ,分数包括 . 2、把两个边长为1的小正方形,用剪拼的方法可以得到一个大正方形,则大正方形的面积是 ,边长a 满足 . 3、如图1,是由9个边长为1的小正方形拼成的,则图中标明字母的线段中, 和 是有理数的线段, 和 不是有理数的线段. 4、如图2为一个底面为正方形,侧面为四个全等三角形围成的的几何体(其中高与底面边长相等),若它的体积为7,试问它的棱长是整数吗-------------------,是分数吗 ,借助计算 器求它精确到0.001的值为 .(该几何体的体积V =1/3a 2h ,a 边长,h 为高) 5、若a 、b 都是无理数,且a +b =2,则a ,b 的值可以是 和 .(填上一组满足条件的值即可) 6的相反数之和的倒数的平方为 . 7、设a 、b 互为相反数,但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身,化简111c m m m d a b ??÷++- ??? 的结果是 . 8、大于的负整数是 . 9、试比较下列各组数的大小; ①_______② ,1π-,310-

根号的由来

根号的由来 现在,我们已经会用根号来表示平方根、立方根等,并感觉到使用起来既简洁又方便,你知道根号是怎样产生而又演变成现在这样的吗? 古时候,埃及人用记号“ ”表示平方根,印度人在开平方时,在被开数的前面写ka ,阿拉伯人用表示48.1480年以后,德国人用一个点“·”来表示平方根,两个点“··”表示4次方根,三个点表示立方根,比如,·3、··3、···3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根,到十六世纪初,可能是书写快的缘故,小点上带了一条细长的尾巴,变成了“”.1525年,路多尔夫在他的代数著作中,首先采用了根号,比如他写 是2,是3,并用表示348,8.但这种写法未得到普遍的认可与采纳. 与此同时,有人采用“根”字的拉丁文radix 中第一个字母的大写R 来表示开方运算,并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q ,或“立方”的第一个字母c 来表示开的 是多少次方.例如,现在的4352,当时有人写成R .q .4352.现在的3147+,用数学家 邦别利(1526~1572年)的符号可以写成:R .c .┖7p .R .q .14┙,其中“┖ ┙”相当于今天的括号,p 相当于今天的加号(那时候,连加减号“+”“-”还没有通用). 直到十七世纪,法国数学家笛卡尔(1596~1650年)第一个使用了现今用的根号“ ”.在一本书中,笛卡尔写道:“如果我想求a 2+b 2的平方根,就写作22b a +,如果想求a 3+b 3 +abb 的立方根,则写作abb b a c ++33.”. 这是出于什么考虑呢?有时候被开方数的项数较多,为了避免混淆,笛卡尔就用一条横线把几项连起来,前面放上根号√(不过,它比路多尔夫的根号多了一个小钩),就成为现在的根式形式. 现在的立方根符号出现得很晚,一直到十八世纪,才在一些书中看到符号 的使用,比如25的立方根用325表示.以后,诸如等等形式的根号渐渐使用开来. 由此可见,一种符号的普遍采用是多么艰难,它是人们在悠久的岁月中,经过不断改良、选择和淘汰的结果,它是数学家们集体智能的结晶。

带根号的数未必是无理数

带根号的数未必是无理数 鹿泉市获鹿镇第三中学 崔怀平 在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到:“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。”接着引出定义:“无限不循环小数又叫无理数。”例如: 2,3,是无理数,π=3.14159265......,也是无理数。时间一长, 有的学生把无理数和带根号的数混淆起来,误认为带根号的数就是无理数。其实带根号的数不一定是无理数,无理数也不一定都是带根号的数得来的。 无理数的定义是:“无限不循环小数叫无理数”。最本质特征是无限不循环。 我们知道,开方开不尽的数,开方后可以得到无限不循环小数,既无理 数。但是无限不循环小数不一定非得由开方得来,例如圆周率=3.14159265......,它不是开放得来的,它是圆的周长除以直径得到的,它是一个比值。还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数;它是通过求极限的方法得到的。还有我们也可以有意识地构造一些无理数,如:0.101001000…..,(构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个),显然这个数是无限不循环的小数,也是一个无理数。就是说无理数并不都是开方开不尽而得来,还有其他方式可以形成无理数。 另一方面,虽然很多带根号的数都是无理数,例如:2、45、33等,但不是带根号的数就一定是无理数。例如:35 2++35 2-,从感觉上看,这个数很像无理数,但是他确实是一个有理数。现在证明一下:设x= 35 2++35 2- 两边3次方得:3x= 3 3 35 2 5 2? ? ? ? ?- + + = 3 35 2? ? ? ? ?++3? ? ? ? ? ?+ ? 2 35 235 2-+3? + ?35 2 2 35 2? ? ? ? ?-+

八年级数学上册第2章课外资料:根号的由来(北师大版)

根号的由来 现在,我们都习以为常地使用根号(如 等等),并感到它使用起来既简明又方便.那么,根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢? 古时候,埃及人用记号“┌”表示平方根.印度人在开平方时,在被开方数的前面写上ka .阿拉伯人用 表示 .1840年前后,德国人用一个点“.”来表示平方根,两点“..”表示4次方根,三个点“...”表示立方根(稍细一些的点),比如, .3、..3、...3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根.到十六世纪初,可能是书写快的缘故,小点上带了一条细长的尾巴,变成“ ”.1525年,路多尔夫在他的代数著作中,首先采用了根号,比如他写 4是2, 9是3,并用 8, 8表示 , .但是这种写法未得到普遍的认可与采纳. 与此同时,有人采用“根”字的拉丁文radix 中第一个字母的大写R 来表示开方运算,并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q ,或“立方”的第一个字母c 来表示开的是多少次方.例如,现在的 ,当时有人写成R.q.4352.现在的 ,用数学家邦别利(1526—1572年)的符号可以写成 R.c.?7p.R.q.14╜,其中“?╜”相当于今天用的括号,P 相当于今天用的加号(那时候,连加减号“+”“-”还没有通用). 直到十七世纪,法国数学家笛卡尔(1596—1650年)第一个使用了现今用的根号“ ”.在一本书中,笛卡尔写道:“如果想求 的平方根,就写作 ,如果想求 的立方根,则写作 abb b a c +-33..” 这是出于什么考虑呢?有时候被开方数的项数较多,为了避免混淆,笛卡尔就用一条横线把这几项连起来,前面放上根号√(不过,它比路多尔夫的根号多了一个小钩)就为现在的根号形式.

实数,无理数常见形式

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号:xxxxx 年级:xx 课时数:xx 学员姓名:xxxx 辅导科目:数学学科教师:xx 授课类型C(数的开方) C (实数及其运算)T (实数应用)授课日期及时段Xxxx年x月x日xxxx---xxxx 教学内容 一、专题讲解 平方根 定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,或叫a的二次方根。 特点:一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根。 表示方法:一个整数a的正的平方根表示为“a”或“2a”,其中a叫做被开方数;“2”中的2叫做根的指数(一般可省略不写);“a”或“2a”读作“二次根号a”或“根号a”;正数a的负的平方根表示为“-a”或“-2a”;正数a的平方根为±a,读作“正负根号a”我们把a的正的平方根a称为a的算术平方根。 开平方运算 定义:求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方,其中数a叫做被开方数;平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系 平方根(或算术平方根)的几个公式:式子±a有意义的条件为a≥0; a表示a的算术平方根,a是非负数,即a≥0; ()2a =a(a≥0),()2a-=a(a≥0);2a=a=a,a≥0或;-a,a﹤0

例题:1、使式子2 52 x x --有意义的x 的取值范围是 。 2. 使等式2()x x --=成立的x 的值( ) A 、是正数 B 、是负数 C 、是0 D 、不能确定 3.81的平方根是( ) A .9 B .9± C .3 D .3± 非负性: A .非负数:若a ≥0,则称a 为非负数,初中阶段有三种非负数:a ,a ,2 a B .若几个非负数的和为0 ,在这几个非负数均为0. 例题:1. 已知231(1)0,a b a b ++-=+=则 。 2. 已知实数211,,a-b 20,24c a b c b c c c ab +++-+=满足 则的算术平方根是 。 3.△ABC 的三边长为a 、b 、c ,a 和b 满足21440a b b -+-+=,求c 的取值范围。 立方根 定义:如果一个数x 的立方等于a ,即3 x =a ,那么就称这个数x 为a 的立方根或三次方根。 表示法:a 的立方根表示为3a ,其中a 为被开方数,“3”中的3为根指数(根指数3不能省略);3a 读作“三次根号a ”或“a 的立方根”。 性质:任意数都有立方根,任意一个数都有唯一的立方根。正数有一个正的立方根;负数有一个负的立方根;0的立方根仍为0. 有关立方根的补充说明和公式 1)在3a 中,被开方数a 可为正数,负数,0;且3a 的正负与a 一致 2)3a -=-3a ; 3)() 3 3 a =3 3a =a 4)开立方运算:求一个数a 的立方根的运算叫做开立方运算。(开立方运算与立方运算是互为逆运算

根号二的故事

根号二的故事 原来根号二也可以成为那么一个形容词! --记一位根号二的女生 那个自称根号二的女生其实挺可爱的… 根号二是谁? 其实连我自己也不太熟,素未谋过面,只是知道她是成都的,是我同级的校友,然后通过qq接触过一两回,接着上空间逛过几次。在这里为什么要专门写她呢?就是想通过这样来解析解析,然后找出她身上的几个“谜团”。 NO.1 根号二的真假之谜时间:三天前 网络有时或许真的挺神奇的,就因为它会给你创造出很多虚拟的空间,在这虚拟的空间里你就可以神乎其神去找到忽悠人的快感,就像这根号二的由来一样,在这里就暂且当她是根号二一回! 男:你的名字是“枫叶林”的谐音吗? 女:不是! 女:还要告诉您个秘密,我又黑又矮农村户口身高嘛就根号二。诶,最要命的是我家还是卖菜的 男:1.4142135633731。。。有吗? 女:嗯! 男:是不是卖大白菜的? 女:还有白萝卜。

男:现在韩国的泡菜可火了! 还是会记起第一次主动与人家的搭讪,好多个的莫名其妙加在一起才会莫名其妙的聊到一块!莫名其妙的在校友册上发现了关于她的记录,莫名其妙的在那那天看了一部高圆圆主演的电影《好雨知时节》,莫名其妙的喜欢上了剧情中那个坐落在成都的杜甫草堂。成都的春天,总是会不时地下起淅淅沥沥的小雨!雨中的成都总是会让你更加了解这座城市的细腻...而又很凑巧的是根号二的家,偏偏又是在成都的某一小巷子里,很感慨这么多的莫名其妙会碰巧相聚到一块。在好奇的驱使下,我向一个不相识相知的陌生人发出了好友申请,然而人家尽然也默许同意了!当时也仅仅只是想了解一下关于现实当中的杜甫草堂是否如电影当中的一样那么诗意,那么唯美!于是就跟这位成都的女孩有了联系,在这里谁还会去在意根号二的真假了呢!谁又还会去在意你是不是又黑又矮并且还是农村户口了呢!哈哈,虽然我至今还没见过这位成都女孩,只是依稀感觉到她是一个有故事的女生,嗯,管它呢,就让她存在虚幻里好了! NO.2 精灵的陷阱之谜时间:两天前 一直很喜欢一句话:每个女孩都是天使。或许根号二不能算是天使吧! 因为她更应该称之为精灵! O木ΖīO:我告诉你个秘密?要不要听 O木ΖīO :又一个上当的! O木ΖīO :好吧,其实校友上的头像不是我耶。。哈哈,小样儿被骗了呗 O木ΖīO :我的目标是把坏人骗尽骗到底。您也算是呗! 在这个90小女生的眼里我尽然成了“一条”色狼!哈哈!或许我就是一色狼吧!(还记得

经典证明:几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数?这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的,证明方法非常巧妙:考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数,问题就已经解决了。如果这个数是无理数,那么就有: 我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。 这是一个典型的非构造性证明的例子:我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数,但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道,真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么,真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢?Gelfond-Schneider 定理告诉我们,假设α 和β 都是代数数,如果α 不等于0 和1 ,并且β 不是有理数,那么α 的β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出,根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数,实际情况应该是上述推理中的后者。 那么,是否存在一个无理数a ,使得a 的a 次方是有理数呢?最近,Stan Dolan 证明了这样一个结论:事实上,几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数a 的 a 次方。 注意到当x 大于1 时,函数f(x) = x x是连续单调递增的,因而对于所有(1, ∞) 里的有理数r ,一定存在唯一的a ,使得a a = r 。不妨假设a 是一个有理数,它的最简分数形式是n / m 。如果m = 1 ,那么我们会有平凡解n n = r 。下面我们证明,m 是不可能大于 1 的,否则会产生矛盾。 假设有理数r 的最简分数形式是c / b ,于是我们有: (n / m)n / m = c / b 或者说: n n · b m = m n · c m 注意到,m n是n n · b m的约数。然而,m 和n 是互质的,m n与n n没有公共因子,因而m n一定是b m的约数。同理,b m是m n · c m的约数,但由于b

数学符号的起源

数学符号的起源 数学除了记数以外,还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚,但是数量多得多。现在常用的有200多个,初中数学书里就不下20多种。它们都有一段有趣的经历。 例如加号曾经有好几种,现在通用"+"号。"+"号是由拉丁文"et "("和"的意思)演变而来的。十六世纪,意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"(加的意思)的第一个字母表示加,草为"μ"最后都变成了"+"号。 "-"号是从拉丁文"minus"("减"的意思)演变来的,简写m,再省略掉字母,就成了"-"了。也有人说,卖酒的商人用"-"表示酒桶里的酒卖了多少。以后,当把新酒灌入大桶的时候,就在"-"上加一竖,意思是把原线条勾销,这样就成了个"+"号。 到了十五世纪,德国数学家魏德美正式确定:"+"用作加号,"-"用作减号。 乘号曾经用过十几种,现在通用两种。一个是"×",最早是英国数学家奥屈特1631年提出的;一个是"· ",最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为:"×"号象拉丁字母"X",加以反对,而赞成用"· "号。他自己还提出用"п"表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。

到了十八世纪,美国数学家欧德莱确定,把"×"作为乘号。他认为"×"是"+"斜起来写,是另一种表示增加的符号。 "÷"最初作为减号,在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用":"表示除或比,另外有人用"-"(除线)表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里,才根据群众创造,正式将"÷"作为除号。 平方根号曾经用拉丁文"Radix"(根)的首尾两个字母合并起来表示,十七世纪初叶,法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中,第一次用"√"表示根号。"r"是由拉丁字线"r"变,"--"是括线。 十六世纪法国数学家维叶特用"="表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得:用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了,于是等于符号"="就从1540年开始使用起来。 1591年,法国数学家韦达在菱中大量使用这个符号,才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了"="号,他还在几何学中用"∽"表示相似,用"≌"表示全等。 大于号"〉"和小于号"〈",是1631年英国著名代数学家赫锐奥特创用。至于≯""≮"、"≠"这三个符号的出现,是很晚很晚的事了。大括号"{ }"和中括号"[ ]"是代数创始人之一魏治德创造的。

根号2是无理数的8种证明

1 2是无理数的8种证明 南京师大附中江宁分校 叶军 2是一个非常著名的无理数,第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.“危机”过去后,唤醒的却是数学家们对数的重新认识,实数的概念开始确立,在此意义上讲,2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好见证. 换一个角度来看这个数,我们可以把它看作一根“晾衣绳”,上面悬挂着许多有趣的方法,从中可以窥见数学的趣味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数,以体会这一点. 证法1:尾数证明法.假设2是一个有理数,即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1,且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个,因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =,所以2a 与22b 的尾数都是0,因此2b 的尾数只能是0或5,因此a 与b 有公因数5,与(a,b )=1矛盾!因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2:奇偶分析法.假设2=b a .其中(a,b )=1,且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数,设a =2c ,则2224b c =,222c b =,可知b 也是偶数,因此a 、b 都是偶数,这与(a,b )=1矛盾!因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数,动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌,希帕索斯因此葬身海底. 证法3:仿上,得到222b a =,易见b >1,否则b=1,则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ?=22.因为b >1,因此b 有素因子p ,因此p 整除2a

二次根式的概念及其应用

二次根式 知识点一:二次根式的定义 二次根式:一般地,式子√a (a ≥0)叫做二次根式,a 叫做被开方数。 1) 二次根式的定义必须包含二次根号“√”,尽管√9的结果为3,但由于√9满足二 次根式的特征,所以√9是二次根式; 2) 二次根式的被开方数可以使数字,亦可以是一代数式,但必须满足被开方数≥0, 如√-x 2-1,由于被开方数<0,所以它不是二次根式; 3) 根指数是2,此处的2可以省略不写; 4) 形如b √a (a ≥0)的式子也是二次根式; 知识点二:二次根式有意义的条件(被开方数是非负数) 知识点三:二次根式的性质 性质1:双重非负性 性质2:2=a (a ≥0) 性质3:a a a a a a 200==≥-0)、 、、1 x y +x ≥0,y?≥0). 例2. 求下列各式有意义的所有x 的取值范围。 例3.已知x,y 为实数,且 5y =,求22x xy y -+的值。 例4. 已知,求x y 的值 例5. 当a 1+取值最小,并求出这个最小值 例6. 已知2310x x -+=

例7. 已知:,x y 为实数,且3y p ,化简:3y --例8. 实数a 在数轴上的位置如图所示,化简: |1|a - 例9.已知a 、b 、 c 满足2(0a c -= (1)a 、b 、c 的值; (2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,求出三角形的周长;若不能构成三角形,请说明理由 巩固练习: 一、选择题 1、函数3 y x =-中,自变量x 的取值范围是( ) A. 1x ≥- B. 3x ≠ C. 13x x ≥-≠且 D. 1x <- 2、()a a -=-112 成立的条件是: A .a ≠1 B .a ≥1 C .a <1 D .a ≤1 3、下列根式中,最简二次根式为: A .4x B .x 24- C .x 4 D .()x +42 4、已知t <1,化简1212---+t t t 得: A .22-t B .2t C .2 D .0 5、下列各式中,正确的是: A .()-=-772 B .()-=07072.. C .()-=7722 D .()-=07072 .. 6、下列命题中假命题是:

无理数与实数(基础)

学习目标 1. 了解无理数和实数的意义; 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 要点梳理 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 要点诠释: (1)无理数的特征:无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环,不能表示成分数的形式. (2)常见的无理数有三种形式:①含类.②看似循环而实质不循环的数,如:1.313113111…….③带有根号的数,但根号下的数字开方开不尽,如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集,实数集通常用字母R表示. 1.实数的分类 按定义分: 实数 按与0的大小关系分: 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能

类型一、实数概念 出下列各数中的有理数和无理数: 【思路点拨】对实数进行分类时,应先对某些数进行计算或化简,然后根据它的最后结果进行分类,不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数,化简后含π的代数式也是无理数. 【答案与解析】 有理数有 无理数有…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 常见的无理数有三种形式:①含类.②看似循环而实质不循环的数,如:0.1010010001…….③带有根号的数,但根号下的数字开方开不尽,如,,,. 【变式】下列说法错误的是() ①无限小数一定是无理数;②无理数一定是无限小数; ③带根号的数一定是无理数;④不带根号的数一定是有理数. A.①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

根号起源

根号的起源... 在西元前五世纪左右的希腊,有一个非常权威的研究团体,叫做毕达哥拉斯学派.他们认为:万物皆数,即都可用整数与整数的比值表示. 但在毕达哥拉斯学派中,有一个叫做希博索斯的年轻人,首先发现一个正方形的对角线长度不能用整数的比值表示,虽受到激烈的反对,他仍坚持有这样一个数存在. 一直到16 世纪的大数学家笛卡尔,才开始采用(根号)表示平方根,期间相隔2000年. 开方亦是最早产生的运算之一.古埃及人以""表示平方根(root);七世纪印度人婆罗摩笈多以"c"(carani(平方根)之首个字母)表示平方根;十五世纪阿拉伯人盖拉萨迪以""为平方根号(Sign for root). 二世纪罗马人尼普萨斯以拉丁词语latus(意即"正方形的边")记平方根,这词的首个字母"l" 后更成为欧洲重要的平方根号之一.十二世纪,蒂沃利的普拉托等人也采用这符号.十六世纪法国人拉米斯也采用这符号,如"l 27 ad l 12" 得"l75"(即√27+√12=√75);法国数学家韦达亦用过这符号.到了1624年,英国人布里格斯分别以"l","l3","ll"表示方根,立方根及四次方根 而另一於欧洲被广泛采用之方根号"",亦是源自拉丁词语"radix"(意即"平方根").这符号最先出现於由阿拉伯文译成拉丁文的《几何原本》(欧几里得著)第十卷中,其后斐波那契和帕乔利等人均采用这符号.及至十六至十七世纪间,许多数学家如:塔尔塔利亚,韦达(亦采用"l")等 人都以""为平方根号.

於德累斯顿(1480)手稿内,在数字或字母前以一点"."表示求平方根;两点".."表示求四次方根;三点"…"表示求三次方根及四点" …."表示求九次方根.而於格丁根手槁(1524)内,则以""表示平方根;"ce"表示立方根及"cce"表示九次方根等,如:(即),其中的cs为communis(意为结合),表示先加再开平方. 德国人鲁多尔夫是较早以""表示平方根的人之一.他於1557年引入""后,又分别以""及""表示三次方根及四次方根.斯蒂文则分以""及"c"表示平方根及立方根,至1640年,又以3)(表示√3.x2及以3)20+392表示.1637年,笛卡儿采用√作平方根号.1647年,奥特雷德以"r"表示平方根,以"[12]"或"表示十二次方根;1655年,沃利斯以"3R2"表示;1721年,哈顿分别以""及""表示三次方根及四次方根;1732 年,卢贝尔以表示25的三次方根,与现代的符号无异.其后,各次方根号都逐渐以这形式表达,开始了现代符号的使用. 取材:网络资料 来信指教: yanch_ren@https://www.wendangku.net/doc/3011365991.html,

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