1.1.2弧度制学案

1.1.2 弧度制

一、【课前导学】

1．弧度角的定义：

思考：圆的半径为r ，圆弧长为r π、2r 、3r 的弧所对的圆心角分别为多少？

说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。 思考：弧度角π是什么？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？

2．弧度的推广及角的弧度数的计算：

规定：

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的

度量。

3．角度与弧度的换算

3602π=rad 180π=rad

1801π

=?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180

(π5718'≈

5．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？

圆的半径为r ，圆心角为n 所对弧长为：

扇形面积为 ：

6．弧长公式：

在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？

二、【典例示范】

例1 （1）'3067?化成弧度．

（2）35πrad 化成度。

例2 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。

（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。

高中数学人教B版必修4 1.1.2弧度制(1) 学案 Word版缺答案

第1页 共2页 1.1.2 弧度制（1） 学习要点：弧度制以及角度制与之换算关系。 学习过程： （一）复习： 度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 （二）新课学习： 1．1弧度角的定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为 的角。 如图：∠AOB=1rad ∠AOC=2rad 周角=2πrad 1． 正角的弧度数是 ，负角的弧度数是 ，零角的弧度数是 2． 角α的弧度数的绝对值 α= （为弧长，r 为半径） 3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算 360?= ∴180?= ∴ 1?=rad rad 01745.0180≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 例1 把'3067 化成弧度 例2 把rad π5 3化成度 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行； 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表 示3rad sin π表示πrad 角的正弦 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住 3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能 在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 o r C 2rad 1rad r 2r o A A B 正角 零角 负角 正实数 零 负实数

任意角的集合实数集R 例3用弧度制表示： 1?终边在x轴上的角的集合 2?终边在y轴上的角的集合 3?终边在坐标轴上的角的集合 四、课堂练习（P12 练习） 五、小结：1．弧度制定义2．与弧度制的互化 六、作业：见作业（61） 第2页共2页

任意角及弧度制知识点总结

任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如

任意角与弧度制导学案.doc

第一章三角函数 【学习目标】 1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【日主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ 所学的角的范围是什么？问题2：在体操、跳水中，有“转体720°”这样的动作名词，这里的 “ 720°”，怎么刻画? 二、建构数学 1.角的概念 角同?以看成平面内一条绕着它的从一个位置到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的和O 2.角的分类 按方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做O 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个,它的和重合。这 样，我们就把角的概念推广到了,包括________________________ 、 ________ 和 ________ 。 3.终边相同的角 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成? 4.象限角、轴线角的概念 我们常在直鱼坐度内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的与重合，角的 与重合。那么，角的（除端点外）落在第几象限，我 们就说这个角是o 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为.

象限角的集合 (1)第一象限角的集合： ____________________________________________ (2)第二象限角的集合： ____________________________________________ (3)第三象限角的集合： ____________________________________________ (4)第四象限角的集合： ____________________________________________ 轴线角的集合 (1)终边在x轴正半轴的角的集合：_____________________________________________ (2)终边在x轴负半轴的角的集合：_____________________________________________ (3)终边在y轴正半轴的角的集合：____________________________________________ (4)终边在y轴负半轴的佑的集合：____________________________________________ (5)终边在X轴上的角的集合：____________________________________________ (6)终边在y轴上的角的集合：____________________________________________ (7)终边在坐标轴上的角的集合： ____________________________________________ 三、课前练习 在百.角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。 30° ,150°,-60°, 390°, -390° ,-120° 【典型例题】 例1 (1)钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？ (2)若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度?

高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计

1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 整体设计 教学分析 教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点 教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉

弧度制教学设计

弧度制 江苏省淮州中学张建一、教材及内容分析 本节课是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容。本节课起着承上启下的作用——学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识作铺垫，因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，从而进一步加强学生对辩证统一思想的理解。本节内容一课时完成。 二、重难点分析 根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：1、理解并掌握弧度制的定义。 2、熟练地进行角度与弧度的相互转换。 3、弧长公式、扇形面积公式的应用。 难点：弧度的概念的理解。 三、目标分析 １、知识技能目标 （1）理解1弧度的角及弧度的定义。 （2）掌握角度与弧度的换算公式。 （3）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系。 （4）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。２、过程与方法 通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。

高中数学必修四学案 1.1.2 弧度制

1．1.2 弧度制 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．

知识点一角度制与弧度制 思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ [答案]周角的1 360等于1度． 思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？ [答案]把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示． 思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [答案]“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 梳理(1)角度制和弧度制 (2)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 知识点二角度制与弧度制的换算 思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ [答案]利用1°＝ π 180rad和1 rad＝? ? ? ? 180 π°进行弧度与角度的换算． 梳理(1)角度与弧度的互化

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 知识点三扇形的弧长及面积公式 思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ [答案]设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则： 1．1 rad的角和1°的角大小相等．(×) 提示 1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝π 180rad.

2．用弧度来表示的角都是正角．( × ) 提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( √ ) 提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π 5. [考点] 弧度制 [题点] 角度与弧度的互化 解 (1)20°＝20π180＝π 9. (2)－15°＝－15π180＝－π 12. (3)7π12＝7 12×180°＝105°. (4)－11π5＝－11 5 ×180°＝－396°. 反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以????180π°即可． 跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度：

最新高中数学必修4《任意角和弧度制》教案

最新高中数学必修4《任意角和弧度制》教案 高中数学必修4《任意角和弧度制》教案【一】教学准备 教学目标 一、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 二、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 三、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一

的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，为下一节学习三角函数做好准备https://www.wendangku.net/doc/398328188.html, 教学重难点 重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 教学工具 投影仪等 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里) 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制 ---弧度制.

任意角与弧度制导学案

第一章 三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0 720”，怎么刻画？ ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_________重合。这样，我们就把角的概念推广到了___________，包括_______、________和________。 3. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 ______. 4．象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________. 象限角的集合

2019-2020学年高一数学《112 弧度制》学案.doc

1.1.2 2019-2020学年高一数学《112 弧度 制》学案 【教学目标】 ① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ② 认识弧长公式，能进行简单应用. 【教学重难点】 重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 复习案：1.在00~360o 范围内，找出与0 510-终边相同的角，并指出它是第几象限角？ 新授探究案： 1.提出问题：初中的角是如何度量的？度量单位是什么？1度的角是怎样定义的呢？ 2.定义： (1)长度等于___________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作ra d 。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做___________。 (2)正角的弧度数是一个______,负角的弧度数是一个_______,零角的弧度数是______. (3)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是_______. 3．角度制与弧度制如何换算？ 3602π=rad 180π=rad 180 1π=?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180(π5718'≈ 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： 例1(1)0252 （2）0210- (4) 01200 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—160o (3) 0135 例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4) 4 π

变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—3 4π （3）103π 例3：利用弧度制证明下列关于扇形的公式： 211(1);(2);(3)22 l R s R S lR αα=== 课后练习案： 1、半径变为原来的 12 ，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。 2、若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ． 3. 0140_____rad = 07______8rad π= 05______6 rad π= 075____rad = 0390____rad = 06_____5rad π= 4.下列各组角中，终边相同的是（ ） .2,44 A k k k Z ππππ+±∈与 .,22k B k k Z πππ+∈与 2.2,33 c k k k Z ππππ-+∈与 .(21)3,D k k Z ππ+∈与

第1课时 任意角的概念与弧度制导学案教程文件

第1课时任意角的概念与弧度制导学 案

第1课时 任意角的概念与弧度制导学案1、学习目标 （1）了解任意角的概念。并会写象限角和终边相同的角的集合。 （2）熟练掌握角度与弧度的互化。 （3）熟记弧长和扇形面积的公式。 2、新知导读 1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ． 3．轴线角（终边在坐标轴上的角） 终边在x 轴上的角的集合为 ， 终边在y 轴上的角的集合为 ， 终边在坐标轴上的角的集合为 ． 4．象限角是指： ．如何确定四个象限角？ 5．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它 将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系． 6．弧度与角度互化：180o＝ 弧度，1o＝ 弧度，1弧度＝ ≈ o． 特殊角的角度与弧度的互化。30o= 弧度45o= 弧度60o= 弧度90o= 弧度 7．弧长公式：l ＝ ； 扇形面积公式：S ＝ . 8、阅读练习册P60的名师支招 3、范例点睛 例1.（象限角问题） 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,3 α的终边所在位置.

例2. （弧长与扇形面积） 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3 π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值． 4、达标检测 1、已知,αβ的终边关于y=x 对称，则αβ+= 。 2 、一个半径为r 的扇形，如果它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么该扇形的圆心角度数是________弧度或_____角度，该扇形的面积是____________________ 3、练习册P62对应演练。

《5.1 任意角和弧度制》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版） 前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础. 课程目标 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 数学学科素养 1.数学抽象：理解弧度制的概念； 2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合； 3.直观想象：区域角的表示； 4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题. 重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化； 难点：弧度制概念的理解． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课 阅读课本172-174页，思考并完成以下问题 1． 1弧度的含义是？ 2．角度值与弧度制如何互化？ 3．扇形的弧长公式与面积公式是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1 360 ． (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算 3.角度制与弧度制的转算 4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧 度0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π l r π 180( 180 π)° 正数 负数 零

人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)

1.1.2 弧度制 自主学习 知识梳理 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______． 2 3. 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)． 对点讲练 知识点一 角度制与弧度制的换算 例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π 12 化成角度． 回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180° 即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180° π 即可． 变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π 5＝________度． 知识点二 利用弧度制表示终边相同的角 例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：

(1)－1 500°； (2)23π 6 ； (3)－4. 回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________． 知识点三 弧长、扇形面积的有关问题 例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题． 变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π 180 rad ＝弧度数，弧度数×????180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度. 课时作业 一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( ) A.???? ?? α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z } D.???? ?? α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝???? ??α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π 2，k ∈Z }的关系是( ) A ．A ＝ B B ．A ?B C ．B ?A D ．以上都不对 3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )

高中数学1.1任意角和弧度制教案新人教a版必修

《任意角和弧度制》教案 【教学目标】 1.理解任意角的概念. 2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】 复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题： 1．初中所学角的概念. 2．实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ °的角是如何定义的？弧长公式是什么？ 5.角的范围是什么？如何分类的？ 新授课阶段 一、角的定义与范围的扩大 1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成 OA OB分别是角α的终边、始边. 一个角α，点O是角的顶点，射线, ∠”可以简记为α．说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α 2．角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：

在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30,390,330-o o o 都是第一象限角；300,60-o o 是第四象限角. （2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,270o o o 等等. 说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为 x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的 射线. 4．终边相同的角的集合：由特殊角30o 看出：所有与30o 角终边相同的角，连同30o 角自身在内，都可以写成30360 k +?o o () k Z ∈的形式；反之，所有形如 30360k +?o o ()k Z ∈的角都与30o 角的终边相同.从而得出一般规律： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 {}|360,S k k Z ββα==+?∈o ， 即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同. 例1 在0o 与360o 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120-o ；（2）640o ；（3）95012'-o . 解：（1）120240360-=-o o o ， 所以，与120-o 角终边相同的角是240o ，它是第三象限角； （2）640280360=+o o o ， 所以，与640o 角终边相同的角是280o 角，它是第四象限角； （3）95012129483360''-=-?o o o ，

人教版高中数学必修4-1.1《_弧度制》教学设计

《弧度制》教学设计 一、教学目标： （一）核心素养 通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系. （二）教学目标 1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性； 2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义； 3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化； 4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题 （三）学习重点 1．理解弧度“是什么”； 2．熟练弧度和角度之间“如何化”； 3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”； （四）学习难点 1．理解弧度“是什么”； 2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系 二、教学过程 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第6页至第11页． （2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？ 2．预习自测 =____________ （1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则AOB 【答案】1rad．

（2）2π rad =（）A．180° B．200° C．270° D．360° 【答案】D． （3）把50°化为弧度制（）A．50 B．5 18π C．18 5π D．9000π 【答案】B． （4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________ 【答案】2π；5π (二)课堂设计 1．知识回顾 （1）角的概念的推广； （2）终边相同的角的表示 2．问题探究 探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性； ●活动结合实例，引入弧度制 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.

高中数学必修4——任意角与弧度制导学案

任意角 【学习目标】1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念； 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边 相同的角的集合表示. 【重点难点】正确理解终边相同的角的概念 【学习过程与方法】 1．角的定义： 2．角的分类： 正角：按 方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按 方向旋转形成的角叫做负角； 零角：如果一条射线 旋转，我们称它为零角。 说明：零角的始边和终边重合。 3．象限角： 在直角坐标系中，使角的 与坐标原点重合，角的 与x 轴的非负轴重合， 若角的 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 如：30,390,330-都是第 象限角； 300,60-是第 象限角。 注：非象限角（也称象限间角、轴线角）：如果角的终边在 上，就认为这个角 不属于任何象限。例如：90,180,270等等。 4．终边相同的角的集合 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合： {}|360,S k k Z ββα==+?∈， 小结：1、任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 2、终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。 【典型例题】 例1．（1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？ （2）若将钟表拨慢10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

例2．在00到0360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第 几象限角： （1）0650 （2）0150- （3）0'99015- 例3、若3601575,k k Z α=?-∈，试判断角α所在象限。 例4．已知α与0240角终边相同，判断2α 是第几象限角. 例5． 写出终边落在第一、三象限的角的集合. 【课堂练习】 1.与500°终边相同的角为（ ） A .()36040k k Z ?+∈ B.()360140k k Z ?+∈ C .()360240k k Z ?+∈ D.()360340k k Z ?+∈ 2.下列各命题，其中正确的有（ ） ①相等的角终边相同； ②终边相同的角一定相等； ③第二象限的角一定大于第一象限的任意角； ④若0180α<<,则α必是第一或第二象限的角

必修4-任意角和弧度制-练习题整理

1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式） －150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置

高中数学 1.1.2弧度制 精品导学案

第一章 §1.1.2 弧度制 【学习目标】1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题. 【学习重点】理解弧度制的概念，能用弧度制表示角，并能进行角度与弧度的换算. 【基础知识】1. 弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度，记做1rad. 2.角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad, ∴180?=π rad. ∴ 1?= rad rad 01745.0180 ≈π . '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad . 3.公式：α?=r l . 4扇形面积公式 lR S 2 1 = ,其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径. 注意几点： 1.在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略,如：3表示3rad ，sin π表示πrad 角的正弦； 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系. 任意角的集合 实数集R 【例题讲解】例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0 252 （2）0 / 1115 (3) 0 30 (4)'3067? o R S l 正角 零角 负角 正实数 零 负实数

最新任意角和弧度制练习题有答案

任意角和弧度制练习题 一、选择题 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ） A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360° D ．315°－5×360° 4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D.｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 6.终边落在X 轴上的角的集合是（ ） Α.{ α|α=k ·360°,K ∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z } C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z } D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z } 7.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ） Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 8.下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等 9．下列命题中的真命题是 （ ） A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．第一象限的角是锐角 C ．第二象限的角比第一象限的角大 D ．{ }Z k k ∈±?=,90360| αα={}Z k k ∈+?=,90180| αα 10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C

任意角与弧度制教案

任意角与弧度制 【基础再现】 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 【重点、难点、考点】 ααα∠αx x

一、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ )(Z k k ∈{}Z k k S ∈?+==,360| αββ