万有引力

2014年度本科生毕业论文（设计）

毕业论文（设计）题目

对万有引力及引力理论的几点思考

教学系：信息科学学院

专业：物理学

年级： 2010级

姓名：

学号： 20100702011033

导师及职称：黄亚伟教授

2014年 5 月

毕业论文（设计）原创性声明

本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

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作者签名：指导教师签名：

日期：日期：

10物理学本科毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单

摘要

万有引力的发现是人类认识自然过程中取得的重大成果。本文从万有引力出发分析万有引力常量的物理意义；讨论引力常量的影响向因素；从历史的角度分析万有引力定律对库仑定律发现产生的影响。通过比较库仑定律与万有引力定律的相似之处，引入万有引力场强度和万有引力的高斯定理，在求解某些具有对称性的质点的万有引力时通过万有引力的高斯定理可以化简计算；对万有引力中的高斯定理应用的证明；高斯定理求解万有引力的具体应用举例。

关键词：万有引力；引力常量；引力场；高斯定理

Reflections on the theory of gravitation and

gravity

Abstract

Discovery of universal gravitation is a major achievement in the natural process of human understanding achieved. In this paper, starting from the analysis of the physical meaning of gravitation gravitational constant; discuss the impact of the gravitational constant factor; From a historical point of view of the law of gravity discovered the impact of Coulomb's law. Coulomb's law by comparing similarities with the law of gravitation, gravitational field strength and the introduction of universal gravitation Gauss theorem, Gauss theorem in solving some of the time by gravitation gravitational particle symmetry can simplify the calculation; gravitation of Gauss theorem proof of application; Gauss theorem gravitation specific application examples.

Key words: gravitation; gravitational constant; gravitational field; Gauss theorem

目录

第一章引言···························1页第二章关于万有引力常量的思考···················2页

1. 引力常量的物理意义····················2页

2. 引力常量是不变的么····················2页

3. 引得常量的影响······················2页第三章电磁学中的高斯定理是否适用于两物体间距由对称性的万有引力·3页

1. 万有引力定律对静电学的启示················3页

2. 库仑定律与万有引力定律的相似之处·············3页

3. 高斯定理求解某些万有引力·················3页

3.1通过静电场的高斯定理引入万有引力场的高斯定理····3页

3.2万有引力场中高斯定理的应用·············3页

4. 万有引力场中高斯定理的应用范围··············3页第四章结束语························· 10页参考文献··························· 11页致谢····························· 11页附录····························· 11页

第一章引言

自卡文迪许1798年采用精密扭秤取得历史上第一次较为精确的万有引力常量G的测量值以来，人们采用了各种各样的方法和技术，进行了艰苦卓绝的测量工作，然而G仍然是被测定的自然基本常数中最不精确的，测量结果的精度和吻合度出现不一致，各测量结果之间的吻合度仅达到10-3量级。在理论上,有的预言万有引力常量的非恒量性。到目前为止,万有引力常量的本质还不清楚，作者在此讨论引力常量的决定因素。

很多物理学定律都是通过数学形式表达的，再经过严格的实验来验证这些规律的正确性。牛顿的万有引力定律与静电场的库仑定律相似，都是与距离的平方成反比。所不同的是：库仑定律中电荷有正有负，而且同性相斥,异性相吸；牛顿万有引力中引力质量始终认为是正值，而且始终是吸引力。在质量分布的周围存在着引力场，那么我们可以利用万有引力定律以及微积分的知识能解决引力场场强的求解问题，但计算却相当繁琐。那么能不能用简单的方法求解出质量分布具有对称性的物体的引力场强呢?在此我们引入万有引力场中的高斯定理求解问题。我们知道万有引力定律和库仑定律两者的形式非常相似，而静电场中的高斯定理是库仑定律和叠加原理的必然结论。那么利用万有引力定律和叠加原理也可以得到引力场中的高斯定理。通过引力场中的高斯定理,来解决一些具有对称性物体的引力场强问题时，可以大大简化复杂的积分计算,非常方便。

对万有引力及引力理论的几点思考

第二章 关于引力常量的思考

伟大的科学家牛顿于1687年在其著作《自然哲学的数学原理》一书中发表了万有引力定律，得出所有物体之间都有万有引力作用的结论。从而把天体的运动同地面的物体运动纳入到统一的框架之中，实现了人类科学认识的一次重大综合和飞跃，从那时起研究物体之间相互作用及相互作用之间通过什么方式实现传递便成为物理学基础研究中极其重要的方面。引力是自然界中最先被揭示同时又是物体之间普遍存在的一种作用力。关于物体间引力相互作用的研究拉开了人类对相互作用研究的序幕。然而它们与万有引力作用的统一还存在许多困难，人们期待着由精确测量万有引力常量G 得到启发和推动。

2.1引力常量的物理意义

牛顿站在巨人的肩膀凭借他超凡的数学能力总结出了万有引力定律：任何两个物体1、2存在着相互作用的引力，力的方向沿物体间的的连线，力的大小f 力的大小与物体的质量（注意，是引力质量）1m 、2m 的乘积成正比，与两者之间的距离12r 的平方成反比，即：

12

21r m Gm f = 其中万有引力常量G 是个与物质无关的普适常量。由上式可以看出G 的量纲为： 23122]][[][--==T L M m

r f G 数学表达式中的G 一般理解为比例系数，现在推荐值为

2311/10)10(73.6s kg m G ??=-

同胡克定律中的掘强系数一样为一个比例常数，而且反映自然界物体间的性质。万有引力常量是引力相互作用的特征常数，为天文学的发展奠定了坚实的基础。

2.2引力常量是不变的吗

狄拉克曾指出在宇宙膨胀过程中，随着宇宙年龄增大，哈勃常数H 变小、引力常量G 也随着时间变小。狄拉克的理论提出以后，国外有很多研究小组都

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设法探测有引力常量G 的变化带来的种种迹象。但是从现阶段的研究来看，还没有充分的实验能证明确实存在着这种变化。余德才等人认为，在引入万有引力势，并将万有引力势与电势类比，可得到万有引力常量的表达式：

4/1202/12])/(1[])/(1[4--=-=c v G c v e m G p p p p

π （2-1）

式中，p m 、p e 、p v 分别是质子质量、电荷及其运动速度，0G 是质子速度为零（不考虑相对论效应）时的万有引力常量。

2.3影响引力常量的因素

（1）式说明：当考虑电量（或电流）是通过力来计量，并通过力与质量相互联系在一起时，万有引力常量可表为质子质量、电荷和质子运动速度的函数。可见，万有引力常量的大小与上述三者实际值的大小有关。由于质子质量和质子电荷为常数，一个星体对应的万有引力常量就只与质子运动速度有关。而我们知道，单个微观粒子的运动速度是随机的，成整个星体的大量微观粒子运动速度的统计平均值取决于星体温度值。

第三章 电磁学中的高斯定理是否适用于求两物体间具

有对称性的万有引力

3.1万有引力定律对静电学的启示

万有引力定律的发表，验证了艾萨克·牛顿与其前人研究的成果的不同之处，牛顿从探索并发现物体质量和引力的关系入手，将引力关系从局限的天体间发展到包括地面所有物体之间，这个层面的创新内容就足以表明天上与地上的所有物体都遵循着同一运动规律。它统一了地面上的物体运动与天体运动，这种定律对后来物理学以及天文学的发展都影响至深。从库仑定律在理论上的大胆猜测，到提出假说以至假说的确证,引力理论自始至终起着决定性的指导作用。牛顿万有引力理论甚至可以理解为后人发现库仑定律的又一个“巨人的肩膀”，让人类认识自然规律更近一步。提出假设电荷间的相互作用与距离的平方成反比，并证明这一假设是发现库仑定律极为重要的一步。在库伦之前已有很多科学家研究这方面的问题，并且都受到万有引力定律的影响，其中可能受“万有”两个字的影响要更深一些。

1750年前后,爱宾努斯在实验中发现：当发生相互作用的电荷之间的距离缩

对万有引力及引力理论的几点思考

短时，两者之间的吸引力或排斥力便增加。1766年富兰克林在实验中发现放在金属杯中的软木球完全不受金属杯电性的影响。他的好友普利斯特利以一系列实验证明：当中空的金属容器带电时，除了靠近开口的地方外，金属容器的内表面上没有任何电荷，分布在外表面的电荷对空腔内部的电荷没有作用力。普利斯特利把电力的这一性质同牛顿提出的好多理论作类比。1687年,牛顿在《自然哲学的数学原理》中证明：如果引力服从平方反比定律，则均匀的物质球壳对壳内物体应无作用。普利斯特利在1767年的《电学历史的现状及其原理实验》一书中大胆猜测：“电的吸引力与万有引力服从同一定律”。然而普利斯特利的结论毕竟只停留在猜测阶段,并没有得到科学界的普遍重视。

库仑经过十多年的探索,于1785年创立了库仑定律：

在真空中，两个静止点电荷1q 和2q 之间的相互作用力的大小和1q 与2q 的乘积成正比，和和他们之间的距离r 的平方成反比；作用力的方向沿它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。令12F 代表1q 给2q 的力则

22101222141r q q r r

q q k F πε== 式中真空中的介电常数()

22120/10854187817.8m N C ??=-ε， 2292212

/1099.8/1085.841C m N C m N k ??=???=-π 0ε的量纲为[][][][]

24132210I T M L r F q q --==ε 首先，牛顿引力理论为库仑的研究确立了方向。其次，牛顿引力理论帮助库仑避开了“如何测量电量这一难题。当时，电量的量度方法尚未确立，电子相互作用力与电量之间的关系很难从实验中得到，这对研究电荷之间的相互作用起到很大的阻碍作用。

3.2库仑定律与万有引力定律的相似之处

万有引力定律适用于质点，库仑定律适用于点电荷。带电体间自己产生的电场来传递电荷间的相互作用力，这就是库仑定律；万有引力则是通过物体间自己产生的引力场来进行相互作用。物质所存在的形式可以包括电场以及引力场，它

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的特性就是对在场之内电荷以及物体存在力的作用，这种强度我们通过电场强度以及引力强度来表达。万有引力定律与库仑定律都属于有心力。都是由惯性参照系里的受万有引力定律或者库仑定律的作用的质点或者运动电荷对力心的角动量守恒。质点以及电荷一直都是经过力心的某个平面做运动，同时由力心在相等的时间里做出位矢扫过相同的面积，质点动能与引力的势能总和守恒必须在万有引力的作用下进行。电荷动能与电势能总和守恒必须在库仑力的作用下进行。

万有引力定律与库仑定律都是描述平方反比力的定律，质点或者是电荷在平方反比例的作用下，它的运动轨迹一直是沿着圆锥形进行曲线运动的，如果使圆锥曲线的离心率设为ε，质点以及电荷所等同的总能量就为E ，这里的E 代表的是动能与势能的总和，角动量设为 L ，质点或点电荷的运动轨迹取决于质点或点电荷的总能量。它们都是平方反比定律，根据矢量分析和场论可以证明，它们的共性：存在有场源，库仑定律的场源是电荷；万有引力定律的场源是质量；有势、无旋：都有势能存在，都是无旋场，都是保守场。它们是自然界四大基本力中的两种远程力，在理论上，它们作用距离是∞。另外的两种力：强相互作用力、弱相互作用力都是近程力，局限于核内部。库仑定律是通过光子进行作用，已经得到证实；万有引力定律是通过引力子进行作用，尚未得到证实。

库仑定律和万有引力定律的公式形式很接近主要是指它们都是平方反比律，这是由于传递电磁力的虚光子与传递引力的虚引力子都是静止质量为 0的媒介玻色子，这是两者的共同之处，正是这一点导致了两者都是平方反比律。在对电磁深入了解的时候也引导了科学家深入探究引力的相互作用的本质关系，从各种不同的方式来了解引力场。

下面来分析万有引力场和静电场的规律对比。

静电场是静止电荷周围激发的；万有引力场是质点在周围激发形成的。

库仑定律为 221022141r q q r q kq F πε==，k πε410=，22

9

109c m N k ??=； 万有引力定律为 221022141r m m r m m G F πα==，G πα41

0=,

2311/10)10(73.6s kg m G ??=-。

对万有引力及引力理论的几点思考

静电场场强q

E F =；万有引力场场强m F g =。 点电荷场强 0204r r

q E πε=；质点引力场场强02041r r m g r πα-=。 有限带电体场强02041r r

dq E ?=πε； 有限物体的万有引力场强02041r r

dm g v ?-=πε 电场线始于正电荷，终于负电荷，电场线不相交；万有引力场线从无穷远处终止于质点，引力场线也不相交。 电通量??=ΦS E S d E ；引力场通量?=ΦS g S d g

。

库仑力的叠加：当空间有两个以上点电荷时，作用于每一个电荷上的总静电

力等于其他电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和∑==n i i F F 1

，若点电

荷q 与连续带电体Q 间的库仑力，利用叠加原理。可将连续带电体看成许多“点电荷”组成，每个点电荷为一微元，库仑力利用积分求得20204141

r q d V r q d Q F V Q ρπεπε????==（ρ为带电体的电荷体密度）； 万有引力的叠加：质点m 受多个质点i m （i=1，2，3….，n ）的引力作用时，

m 受到的总引力是各个质点单独存在时m 所受到的引力的矢量和∑==n i i F F 1

。若

质点m 与连续体M 之间的万有引力，利用叠加原理将许多连续体看成“质点”组成，每个质点为微元。所以F 可以用积分的方法求得

????==V M r dV Gm r GmdM F 22ρ(ρ为连续体密度)。 3.3 高斯定理求解某些万有引力

3.3.1 通过静电场的高斯定理引入万有引力场的高斯定理

在静电场中高斯定理的表述如下：通过一个任意闭合曲面S 的电通量E Φ等于该面包围的所有电量的代数和∑q 除以0ε，与闭合面外的电荷无关。用公式来表达高斯定理，则有：

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()()∑????=

=?=Φi i s s E q ds d 01cos εθ

静电场中高斯定理是库仑定律平方反比形式推导的必然结论，万有引力定律表达式也是平方反比形的数学表达式，通过以上万有引力与库仑力各方面的对比很容易类比得到，在万有引力求解中的“高斯定理”表述如下：万有引力场中任意闭合曲面的引力场强度的通量等于该曲面内包含的总质量除以G

π41-，用公式表示为：GM ds E s g π4-=???

式中负号表示万有引力是相互吸引，证明如下： r r GM E g ?3-=，若M 是连续体则???-=V g r dV r G E 3 ρ. dv r ds G dv ds r r G ds r rdV G ds E v v S s v s g ρθρρ???????????????????????-=???????-=???????-=?233cos =GM dv G dv d G v v s πρπρ44-=-=??

????Ω-???????? 证毕。

3.3.2万有引力场中高斯定理的引用

已经知道求解静电场问题中的高斯定理能在求解万有引力场问题中应用，来尝试一下具体题目的求解，并通过引力场叠加求解问题来验证万有引力场中的高斯定理。

例1. 一质点的质量为m ，另有一质量均匀分布的球壳(厚度不计),均匀球壳质量为M,半径为R,质点与球壳球心的距离为h,求质点与均匀球壳间的引力.

首先用之前的万有引力的叠加来求解：

为计算质点与球壳之间的引力,先计算质点与均匀圆环之间的万有引力,假定

圆环质量为M,半径为R,取圆环上一段微元dM,θπ

θπd M Rd R M dM 22==，将质点与微元看成两质点。由于对称性Fx=0，Fy=0.

r r GmdM F d 3

=， ()()2

3222222cos 2R a GmMad d R a GmM dF +=+=πθαθπ ()()2322202222R a

GMma

d R a GMma F +=+=?θππ

由以上得出()2322R a GMm a

F += （3-1）

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再计算m 与均匀球壳之间的万有引力，用垂直于z 轴的的平面分割球壳为许多小圆环，取任意小圆环为微元，小圆环半径为θsin R ，宽为θRd 微元质量为

θθθθππd M Rd R R

M dM sin 2sin 242== (1) 当h >R 情况，因球壳具有对称性，所以Fx=0，Fy=0，利用公式（3-1）θcos R h o p -='，θ

cos R r =。

()()

[]()()()[]23222322sin cos 2sin sin )sin (cos cos θθθθθθθθR R h d R h GmM dM R R h R h GM dF +--=+--= ()()()()

dt rRt R h R h Rht R h h GMm dt hRt R h Rht h h GMm F ??---+-+-+=-+-=112322222211

232222)2(42224 ()????????-+-+-+-=--112122*********)2)((24Rht h R R h hRt R h R h GMm ()()()22

22114h G m M R h R h R h R h h R R h G M m =??

??????? ??+---+--+=

(2) h

()()()()[]()()()[]???

+---+--==πθθθθθθθθθ11232202322s i n c o s 2c o s c o s s i n c o s 2c o s c o s R R h d R h G M m R R h d h R G M m dF F ()()()0114222=??

??????? ??--+?-+--+=h R h R R h h R h R R h G M m 再用万有引力的高斯定理求解：

均匀球壳具有球对称性，可以用万有引力场的“高斯定理”，过m 作一个高斯面，由“高斯定理”得：

（1）GM ds E

s g π4-=??? ds 与n ?方向一致，故有：

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GM E h g ππ442

-=，2?h k GM E g -= 前面加负号表示吸引作用。

2

h G M m m E F g == （h >R ） （2）当h

F=0 （h

例2.质量分布均匀的无限长细杆，线密度为λ，求距离细杆为a 的引力场场强。

解：根据引力场中高斯定理可得 ?-=?G s d g π4

即：λπl 4s d g s d g s d g G -=?+?+

???????侧

下底上底

因为圆柱的上底面g r 的方向与s d 的方向处处垂直，所以???上底

s d g 与

???下底s d g 均为零，因此上式可简化为λπl 4s d g s d g s G -=?=????侧

，由此可得：λππGl a 4lg 2-=-

a G g λ2=

3.4万有引力求解中高斯定理的运用范围

高斯定理使我们能从场强（作为已知矢量场）求出点和分布。求解电场相关问题中高斯定理的运用条件为：电荷q 分布有某些特殊对称性，电场E 也具有某些特殊对称性，这些特殊对称性包括轴对称、面对称或者球对称。类比到求解万有引力问题中，高斯定理的运用要求质量分布具有轴对称性、面对称性或者球对称性，场强分布也必然具有轴对称性、面对称性或者球对称性。

对万有引力及引力理论的几点思考

第四章结束语

物理常数在最基本的物理定律中起着支撑作用，它们伴随着物理定律而诞生,标志着物理学的进程和发展，它们数值的精确测定凝聚着物理学家们的心血和智慧。引力常量作为物理学基本常量，影响着物理学的发展。虽然目前还没有实验充分说明引力常量G不再是一个常量，然而多种理论都已有相关论述，在此期待能有相关的实验证明。

万有引力定律与库仑定律公式形式上的相似就决定了万有引力定律以及库仑定律有部分相同的性质。对这两个定律的起源、定义以及区别与联系都有了清晰的认识，对理解以及掌握这两种定律的相关知识有很深刻的认识以及提高，通过对万有引力定律与库仑定律相似关系的分析，对我们今后的物理知识认知结构具有推动作用，能从层次中清晰知识内涵，这是帮助我们深入理解与巩固物理知识高效方法之一。万有引力场中的高斯定理说明了穿过闭合曲面的引力场强通量只和它包围的质量有关。万有引力场也是一种有源无旋场,它的源就是质量分布。由类比得出的引力场中的高斯定理通俗易懂。将引力场中的高斯定理应用到某些有对称性的问题中,可以大大简化繁杂的积分运算过程。然而由于许多方面的原因万有引力场中的高斯定理与环路定理并没有或者没有系统地在物理教学课堂中提及和讲述。作者建议在物理教学中适当地掺入引力场中的高斯定理内容,以全面提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学习者发散思维能力。

参考文献

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[9] 赵坚，李力.关于重力与万有引力关系的再探讨[A].物理教学，2011-01.

致谢

历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师—黄亚伟老师老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。还我对我在数学方面给我提供帮助的黄业广同学在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢！

感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。

感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。

由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！