解线性代数方程

解线性代数方程

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求解线性方程组的直接解法

5.3特殊矩阵的三角分解

①实对称矩阵的LDL T分解

设A是实对称阵,且A的所有顺序主子式均不为零，则LDR分解中R=L T, 故可用以作LDL T分解.这就是说,当A的对角元素非零时，我们可

以作LU分解,也就得到LDL T分解,L相同,是单位上三角阵,U的对角元素

构成D.不过没有利用对称性,存储量运算量都未能节省—预计是一半。试

用n=3的计算表格说明如何实现节省。

d1=u11 =a11

u12=a12

l21=u12/d1

u13=a13

l31=u13/d1

d2=u22=a22-l21u12u23=a23-l21u13

l32=u23/d2

u33=a33-l31u13-l32u23

这样,可用上半部元素逐列计算D,L T。也可用下半部元素逐行计算L,D。引进輔助量t1, t2代替u1j,u2j,并利用对称性得到：

d1=a11

t1=a21

l21= t1/d1

d2= a22-t1l21

t1=a31 l31=t1/d1t2=a32-t1l21

l32=t2/d2

d3=a33-t1l31-t2l32

据此不难写出LDL T分解A=LDL T的计算公式和程序(逐行计算L,D).

d1=a11

for i=2:n

for j=1:i-1

t j=a ij-l j1t1-l j2t2-…-l j,j-1t j-1

l ij=t j/d j

end

d i=a ii-l i1t1-l i2t2-…- l i,i-1t i-1

end

存储约n(n+1)/2单元,乘加运算各约n3/6.

利用LDL T分解解Ax=b分四步:

1．分解A=LDL T

2．解Lg=b 求g

3．解Dy=g 求y

4．解L T x=y 求x

②实对称正定矩阵的LL T分解

A实对称正定时顺序主子式皆正,可作LDL T,D的对角元素皆正,有正

的平方根。因此有LL T 分解A =LL T ,L 下三角阵,对角元素皆正,是LDL T 中的LD 1/2.乃可用上半部元素逐列计算L T .

l 11=a 111/2 l 21= a 12/l 11 l 31=a 13/l 11

l 22=(a 22-l 212)1/2 l 32=(a 23-l 21l 31)/l 22

l 33=a 33-l 312-l 322

也可用下半部元素逐行计算L .计算表格和算法安排如下:

l 11=a 111/2

l 21= a 21/l 11 l 22=(a 22-l 212)1/2

l 31= a 31/l 11 l 32=(a 32-l 31l 21)/l 22

l 33=(a 33-l 312-l 322)1/2

l 11=a 111/2 for i =2:n

for j =1:i -1

l ij =(a ij -l i 1l j 1-l i 2l j 2-…-l i ,j-1l j ,j-1)/d jj

end

2

/121

,2221)(-----=i i i i ii ii l l l a l Λ end

存储量,运算量同LDL T 分解,但要n 次求平方根.

利用LL T 分解解Ax =b 分三步:

1．分解A =LL T

2．解 Lg =b 求g 3．解 L T x =g 求x

③ 三对角方程组的追赶法

消去法或LU 分解用于三对角方程组有特殊形式,即称追赶法.设Ax =f : b 1x 1+ c 1x 2=f 1

a i x i-1+

b i x i +

c i x i+1=f i i=2,3,n -1 a n x n-1+b n x n =f n

A 是三对角阵,则L ,U 同样结构.L 的对角元素为α2,α3,…，αn ,U 的对角元素为β1,β2,…,βn ,上对角元素同A .

1．分解A =LU : β1= b 1,αi =a i /βi-1,βi = b i -αi c i -1, i=2,3,…,n 2．解 Lg =f 求g : g 1=f 1,g i =f i -αi f i -1, i=2,3,…,n 3．解 U x =g 求x : x n =g n /βn ,x i =(g i -c i x i +1)/βi , i=n -1,n -2,…,1

编程时，A 可用三个一维数组，f 用一个一维数组.L ,U 存入A 。g ，x

存入f 。

还有一种计算格式,消去时用主元素除主行元素,即分解A 为下三角矩阵和单位上三角矩阵之积,相当于对A T 作LU 分解.

???????

???

????

?

?→??????????

?

???

?

?--n n

n

n n n

n

n g g g a a f f f b a c c b a c b M M O O O O O M M O O O O O 2112221121122211)

()()(βγγβγβ

括号中是单位上三角矩阵的上对角元素.计算步骤:

1．分解A =LU : β1=b 1,γ1=c 1/β1,βi =b i -a i γi -1,γi =c i /βi , i=2,3,…,n 2．解 Lg =f 求g : g 1=f 1/β1,g i =(f i -a i g i -1)/βi , i=2,3,…,n 3．解 U x =g 求x : x n =g n ,x i =g i -γi x i +1, i=n -1,n -2,…,1 三对角矩阵是带形矩阵的特例.所谓带形矩阵是那些主对角线附近几条对角线以外元素皆零的矩阵,即a ij ≠0,仅当-m 1

5.4 向量和矩阵的范数

引入实数的绝对值和复数的模(也称绝对值)来表示实数和复数的”大

小”,从而带来许多用处.例如,数列收敛的概念就是通过绝对值来表示的.范数这个概念就是这些表示”大小”的数值普遍化.它在研究数值计算方法的收敛性和稳定性中有着重要的应用. ① 向量的范数

定义1. 如果向量)(n n C R x 或∈的某个实值函数x x N =)( ，满足条件：

1. 正定性:║x ║≥0,║x ║=0 iff x =0

2. 齐次性:║c x ║=│c │║x ║, C c ∈?

3.

三角不等式:①║x +y ║≤║x ║+║y ║ ② | y x - |y x -≤

则称C n 中定义了向量范数║x ║为向量x 的范数。

可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数。 常用向量范数有：（令x =( x 1,x 2,…,x n )T ）

1-范数： ║x ║1=│x 1│+│x 2│+…+│x n │ 2-范数： ║x ║2=(│x 1│2+│x 2│2+…+│x n │2)1/2 ∞-范数： ║x ║∞=max(│x 1│,│x 2│,…,│x n │)

易得

║x ║∞≤║x ║2≤║x ║1≤n 1/2║x ║2≤n ║x ║∞

P -范数： ).,1[,)(1

1∞∈=∑=P x x

n

i P P

i P

其中

定理1.C n 中任意两种向量范数║x ║α,║x ║β是等价的,即m ,M >0使

m ║x ║α≤║x ║β≤M ║x ║

可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得。

定理2.0lim lim )()(=-?=*∞

→*∞

→x x x x k k k k ，其中?为向量的任一种范数。此时

称{x (k )}收敛于x ,记作x (k ) →x (k →∞),或x x k k =∞

→)(lim 。

② 矩阵的范数

定义2.

设

R X C X n n ∈→∈??:,满足

1. 正定性:║X ║≥0,║X ║=0 iff X =0

2. 齐次性:║c X ║=│c │║X ║, C c ∈?

3. 三角不等式:║X +Y ║≤║X ║+║Y ║

4. 相容性: ║XY ║≤║X ║║Y ║ 则称C n ?

n 中定义了矩阵范数,║X ║为矩阵X 的范数.

注意:矩阵X 可视为n 2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性

和向量序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.

║Ax ║≤║A ║║x ║

所谓由向量范数导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的.

定理3. 设A 是n ×n 矩阵,║?║是n 维向量范数则

║A ║=max{║Ax ║/║x ║=1}= max{║Ax ║/║x ║，x ≠0}

是一种矩阵范数,称为由该向量范数导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性或者说是相容的。

单位矩阵的算子范数为1。

可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义:

║x ║=║X ║,X =(xx …x )

常用的三种向量范数导出的矩阵范数是

1-范数:║A ║1= max{║Ax ║1/║x ║1=1}=∑=≤≤n

i jj n

j a 11max

2-范数:║A ║2=max{║Ax ║2/║x ║2=1}=1λ,λ1是A T A 的最大特征值.

∞-范数:║A ║∞=max{║Ax ║∞/║x ║∞=1}=∑=≤≤n

j ij n

i a 11max

此外还有Frobenius 范数:∑==n

j i ij F

a A

1

,2

1

2)

(.它与向量2-范数相容.

③ 矩阵譜半径

定义3.设A 是n ×n 矩阵,λi 是其特征值,i =1,2,…,n .称

i n

i A λρ≤≤=1max )(

为A 的譜半径.

譜半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:

ρ(A )≤║A ║

因为任一特征对λ,x ,Ax =λx ,令X =(xx …x ),可得AX =λX .两边取范数,由矩阵范数的相容性和齐次性就导出结果.

定理3. 矩阵序列I ,A ,A 2,…A k ,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A )<1.

5.5 误差分析

① 病态现象

例3给出一个方程组顺序消去法解的误差很大,主元素法解的误差很小.该方程组数据有微小变化时解的变化也小.但有些方程组不是这样的,数据有微小变化时解的变化大.换句话说后一种方程组对数据变化敏感,前一种方程组对数据变化不敏感,这两种方程组(和相应的矩阵)分别称为病态的和良态的. 例5. 病态方程组

?

??

???→????????????→??????110001.220001.1111,02220001.1111

例6. 病态矩阵

????

????????--------=?????????

???=-28004200168014042006480270024016802700120012014024012016

,7/16/15/14/16/15/14/13/15/14/13/12/14/13/12/11144H H H 4取五位有效数字,其逆误差在前面第二、三位上:

????????????--2871.14310.0-1726.1144.20-4310.0-6650.12771.3- 246.491726.12771.3-1229.972.122144.20- 246.4972.122248.16

② 扰动分析与矩阵条件数

现在考虑系数、右端项有扰动时解的变化,也就是数据有误差时解的误差. 设Ax =b ,右端项有扰动A (x +δx )=b +δb ,A 可逆解皆存在惟一,其差

δx =A -1δb, ║δx ║≤║A -1║║δb ║, ║δx ║/║x ║≤(║A -1║║A ║)║δb ║/║b ║

再考虑系数有扰动(A +δA )(x +δx )=b.首先,当A 可逆,║A -1║║δA ║<1时A +δA 可逆.因为此时ρ(A -1δA )≤║A -1δA ║≤║A -1║║δA ║<1,I +A -1δA 可逆,从而A +δA=A (I +A -1δA )可逆.原方程与扰动方程解皆存在惟一,二方程相减有

A δx = -δA (x +δx ), δx = -A -1δA (x +δx )

两边取范数可得║δx ║≤║A -1║║δA ║(║x ║+║δx ║)从而有

A

A

A A

A A x

x

δδδ1

11---≤

类似的方法不难导出一般情况下,即系数、右端项都有扰动时的估计:

???

?

??+-≤

--A A x x

A A A

A A A x

x

δδδδδ111 注意到估计式表明:║A -1║║A ║不大,对解的影响也不大; ║A -1║║A ║越

大,扰动对解的影响也越大.这就是说该向量是方程组敏感性以及病态或良态的度量，称为矩阵的条件数,记为Cond(A )ν=║A -1║ν║A ║ν.它有如下性质:

1. Cond(A )≥1

2. Cond(c A )=Cond(A ),c ≠0

3. Cond(A )2=║A -1║2║A ║2=21λλ称为谱条件数。λ1,λn 分别是A H A 的最大和最小特征值.故正交矩阵,酉矩阵的谱条件数为1.

在例1中有Cond (A )1=2.00012×104.例2中Cond (H 4)1=28000.另外,计算机计算解可归结为数据有一定扰动的准确解,因而可据以事先估计计算解的误差(向后误差分析).

③ 事后误差分析

计算解的误差还可根据下列定理用计算解的剩余量估计.

定理4.设x 和x *分别为非奇异方程组Ax =b (≠0)的准确解和近似解,r 为x *的剩余

量r = b -Ax *则

b r A x x

x )

(Cond ≤-?

因为║b ║=║Ax ║≤║A ║║x ║,║x *-x ║=║A -1r ║≤║A -1║║r ║.

由此可见对病态方程组剩余量小时误差还可能很大.

例7. 解方程组

0.780x 1+0.563x 2=0.217 0. 913x 1+0.659 x 2=0.254

解 x =(1,-1)T ，x *=(0.341,-0.087)T ，r =(-0.000 001,0)T ，x *-x =(-0.659,0.913)T

二 实验部分

本章实验内容：

实验题目：Gauss 消元法,追赶法,范数。

实验内容：①编制用Gauss 消元法求解线性方程组Ax=f 的程序。

②编制用追赶法求解线性方程组Ax=f 的程序。

③编制向量和矩阵的范数程序。

实验目的：①了解Gauss 消元法原理及实现条件,熟练掌握

Gauss 消元法解方程组的算法,并能计算行列式的值。

②掌握追赶法，能利用追赶法求解线性方程组。

③理解向量和矩阵范数定义,性质并掌握其计算方法.

编程要求：利用Gauss 消元法,追赶法解线性方程组。分析误差。 计算算法:①Gauss 消元法:

1. 消元过程

设0)

(≠k kk

a ,对1,,2,1-=n k K 计算 n

k k j i b m b b a m a a a a m k k ik k i k i

k kj ik k ij k ij

k kk k ik ik ,,2,1,/)()()

1()()()

1()

()(K ++=?????-=-==++

⒉回代过程

1

,2,,1/)(/1)

()()()

()(K -=?

?

???-==∑+=n i a x a b x a b x n i j i ii j i ij i i i n nn n n n ②追赶法：

1.分解Ax=f: )/(,/1111--==i i i i i a b c b c βββ

( 1,,3,2-=n i K )

2.解Lg=f,求g:

)/()(,/11111----==i i i i i i i a b g a f g b f g β (n i ,,3,2K =)

3．解Ux=g,求x:1,+-==i i i i n n x y x y x β （1,2,,2,1K --=n n i ） ③范数：

常用向量范数有：（令x =( x 1,x 2,…,x n )T ）

1-范数： ║x ║1=│x 1│+│x 2│+…+│x n │

2-范数： ║x ║2=(│x 1│2

+│x 2│2

+…+│x n │2

)

1/2

∞-范数： ║x ║∞=max(│x 1│,│x 2│,…,│x n │)

常用的三种向量范数导出的矩阵范数是：

1-范数:║A ║1= max{║Ax ║1/║x ║1=1}=∑=≤≤n

i jj n

j a 1

1max

2-范数:║A ║2=max{║Ax ║2/║x ║2=1}=1λ,λ1是A T A

的

最大特征值.

∞-范数:║A ║∞=max{║Ax ║∞/║x ║∞=1}=∑=≤≤n

j ij n

i a 11max

实验例题⑴：用Gauss 消元法解方程组

????

? ??=????? ??????? ??---654131*********x x x

实验例题⑵: 用追赶法解三对角方程组Ax=b ,其中

???????

?????????=????????????????--------=00001,2100012100012100012100012b A 实验例题⑶：设

???

? ??=3.01.05.06.0A ， 计算A 的行列范数.

程序①:Gauss 消元法

function x=Gauss(A,b)

%A 是线性方程组的系数矩阵,b 为自由项. n=length(A) for k=1:n-1

m(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);

A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-m(k+1:n,k)*b(k); end

x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1

x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k); end x=x';

disp(sprintf('k x(k)'));

for i=0:n

disp(sprintf('%d %f ',i,x(i+1)));

end

数值结果：x=Gauss(A,b)

n =3

k x(k)

0 1.111111

1 0.777778

2 2.555556

程序②:追赶法

function [x,y,beta]=zhuiganfa(a,b,c,f)

%a,b,c是三对角阵的对角线上的元素,f是自由项.

n=length(b);

beta(1)=c(1)/b(1);

for i=2:n

beta(i)=c(i)/(b(i)-a(i)*beta(i-1));

end

y(1)=f(1)/b(1);

for i=2:n

y(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1))/(b(i)-a(i)*beta(i-1));

end

x(n)=y(n);

for i=n-1:-1:1

x(i)=y(i)-beta(i)*x(i+1);

end

disp(sprintf('k x(k) y(k) beta(k)')); for i=0:n

disp(sprintf('%d %f ',i,x(i+1),y(i+1),beta(i+1))); end

数值结果:

a=[0 -1 -1 -1 -1]';

b=[2 2 2 2 2]';

c=[-1 -1 -1 -1 0]';

f=[1 0 0 0 0]';

[x,y,beta]=zhuiganfa(a,b,c,f)

k x(k) y(k) beta(k)

0 0.833333 5.000000e-001 -0.500000

1 0.666667 3.333333e-001 -0.666667

2 0.500000 2.500000e-001 -0.750000

3 0.333333 2.000000e-001 -0.800000

4 0.166667 1.666667e-001 0.000000

程序③：

1.列范数:

function fan=lie(A)

%A为已知矩阵

n=length(A)

for j=1:n

x(j)=0

for i=1:n

x(j)=x(j)+abs(A(i,j));

end

end

fan=max(x)

disp(sprintf('n x(n)'));

for i=0:n

disp(sprintf(' %d %f',i,x(i+1)));

end

数值结果:

fan=lie(A)

fan =0.8000

n x(n)

00.700000

10.800000

2.行范数:

function fan=hang(A)

%A为已知矩阵

n=length(A)

for i=1:n

x(i)=0

for j=1:n

x(i)=x(i)+abs(A(i,j));

end

end

fan=max(x)

disp(sprintf('n x(n)'));

for i=0:n

disp(sprintf(' %d %f',i,x(i+1)));

end

数值结果:

fan=hang(A)

fan =1.1000

n x(n)

0 1.100000

10.400000

总结:从代数上看,直接分解法和Gauss消去法本质上一样,但如果我们采用”双精度累加”计算 i i b a,那么直接三角分解法的精度要比Gauss消去法为高.

求线性方程组的直接法,其算式繁杂,给人以枯燥沉闷的感觉.

为了改善教学效果,本章着重介绍了三对角方程组的追赶法.三对

角方程组以及其拓广形式的带状方程组有着广泛的实际应用.

追赶法是解三对角线方程组(对角元占优势)的有效方法,它具有计算量少,方法简单,算法稳定等优点,具有鲜明的对称美.

复习思考题

1. 用消去法解线性方程组为什么最好选主元？怎样的方程组可以不用选主元？

2. 用高斯—约当消去法求矩阵的逆，其理论根据是什么？

3. 求矩阵A的LU分解的紧凑格式有何规律？写出LU分解法解Ax = b的算法。

4. 乔累斯基分解法适用于哪类线性方程组？有何优点？

5. 追赶法有何优点？哪类方程组可用追赶法求解？

6. 向量范数与矩阵范数是如何定义的？各有何性质？常用范数有哪些？

7. 什么叫病态方程组？什么叫矩阵的条件数？条件数刻画了矩阵的什么性质？能否用选主元的方法求得病态方程组的高精度的解？

【免费下载】线性方程组的解空间

第六章 向量空间 6.1 定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关性 6.4 基和维数 6.5 坐标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间返回教案总目录6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间一、教学思考 1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。2、注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成n F 的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。 二、内容要求 1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。 2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。三、教学过程 1、矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ?∈，????? ??=mn m n a a a a A 1111，A 的每一行看作n F 的一个元素，叫做A 的行向量，用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。 类似地，A 的每一列看作m F 的一个元素，叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。注：)(F M A n m ?∈的行空间与列空间一般不同，分别是n F 与m F 的子空间；下证其维数相同。 引理6.7.1设)(F M A n m ?∈，1）若PA B =，P 是一个m 阶可逆矩阵，则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =，Q 是一个n 阶可逆矩阵，则C 与A 有相同的列空间。分析：设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ???===,,，),2,1(m i i =α是A 的行向量，),2,1(m j j =β是B 的行向量；只需证这两组向量等价。

线性方程组解的几何意义

设有三元非齐次线性方程组 线性方程组解的几何意义 ???????=++=++=++,,,)1(22221111m m m m d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义.

2) 有唯一解这时方程组(1) 中的m 个方?? ???=+--=--=+,423, 32,123z y x y x z x 该方程组有唯一解.817,21,4 7??? ??--则方程组(1) 的解有以下三种情况: 1) 无解这时方程组(1) 中的m 个方程所表示的平面既不交于一点, 也不共线、共面. 程所表示的平面交于一点. 例如

其几何意义如图3 -11 所示. 2x-y=-3 3x+2z=-1 x-3y+2z=4 图3-11

交直线所确定.3) 有无穷多组解 这时又可分为两种情形:情形一自由变量, 基础解系中有两个向量，其一般解的形式为 γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0(c 1, c 2为任意常数).这时方程组的所有解构成一个平面, 而这个平面是由过点γ0且分别以η1、η2为方向向量的两条相A 的秩=A 的秩= 1 .此时，有两个γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0 称为平面的参数方程.

例如, 设保留方程组为 x + y + z = 3, 则可求得其通解为 . 11110101121???? ? ??+????? ??-+????? ??-=c c x

则过点P (1,1,1) 分别以(1,-1,0)T , (1,0,-1)T 为方向,1 10111:,0 11111:21--=-=--=--=-z y x L z y x L 则这两条相交直线L 1, L 2所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为 为x + y + z = 3 . 如图3-12

线性方程组的解法

线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =

浅析线性方程组的解法及应用

目录 摘要 ........................................................................ I Abstract.................................................................... II 第一章绪论 (1) 1.1 引言 (1) 第二章行列式与线性方程组求解 (1) 2.1 标准形式的二元线性方程组 (1) 2.2 标准形式的三元线性方程组 (2) 2.3 克莱姆法则 (3) 2.3.1逆序数 (3) 2.3.2 克莱姆法则 (4) 第三章线性方程组的理论求解 (6) 3.1 高斯消元法 (6) 3.2 线性方程组解的情况 (7) 3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法 (8) 第四章求解线性方程组的新方法 (9) 第五章线性方程组的应用 (11) 5.1 投入产出数学模型 (11) 5.2 齐次线性方程组在代数中的应用 (14) 第六章结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)

浅析线性方程组的解法及应用 学生：陈晓莉指导教师：余跃玉 摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。对于线性方程组还有什么解法，本文也将有探讨。介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。 关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式

解线性方程组的基本思想

四：基本方法 基本思路将在解题的过程中得到体现。 1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠 密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。 1.1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解） 方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’) 例1-1 求方程组的解。 解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’ 由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。 >>X= A\b %求解X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。 1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。 则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。命令[L，U]=lu (A) 在matlab中可以编如下通用m 文件： 在Matlab中建立M文件如下 % exp1.m A;b; [L，U]=lu (A); X=U\(L\b) II）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：其中R为上三角阵。 方程A*X=b 变成所以 在Matlab中建立M文件如下 % exp2.m A;b; [R’，R]=chol(A); X=R\(R’\b) III）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形 式，即：A=QR 方程A*X=b 变形成QRX=b 所以X=R\(Q\b)

解线性方程组基思想

解线性方程组基思想

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四：基本方法 基本思路将在解题的过程中得到体现。 1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠 密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。 1.1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解） 方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’) 例1-1 求方程组的解。 解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’ 由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。 >>X= A\b %求解X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。 1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。 则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。命令[L，U]=lu (A) 在matlab中可以编如下通用m 文件： 在Matlab中建立M文件如下 % exp1.m A;b; [L，U]=lu (A); X=U\(L\b) II）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：其中R为上三角阵。 方程A*X=b 变成所以 在Matlab中建立M文件如下 % exp2.m A;b; [R’，R]=chol(A); X=R\(R’\b) III）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形 式，即：A=QR 方程A*X=b 变形成QRX=b 所以X=R\(Q\b)

《线性代数》线性方程组部分练习题

一，填空题 1 已知四维向量α，β满足3α+4β＝()2112T ，2α+3β＝()12 31T -，则向量α＝________，β＝_____ 2 有三维列向两组1α＝()100T ，()2110αT ＝，()3111αT ＝，()123βT ＝，且有112233βχαχαχα++＝，则123χχχ＝_____ ，＝_____，＝_____ 3.若向量组123,,ααα线性无关，则向量组122331,,αααααα+++是线性____。 4若n 个 n 维列向量线性无关，则由此n 个向量构成的矩阵必是______ 矩阵。 5若R )(1234,,,4αααα=，则向量组123,,ααα是线性________。 6若向量组)()()()( 12341,1,3,2,4,5,1,1,0,2,2,6,αααα===-=则此向量组的秩是______，一个极大无关组是______。 7已知向量组()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,2t ααα=-==--的秩为2，则t ＝____. 8已知方程组12312112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解，则a ＝_____。 二，选择题 1.向量组()()()()12341,1,2,0,1,1,2,3,5,2,2,4αααα==-==的极大无关组为（ ） （A ）12,;αα （B ）13,;αα （C ）123,,;ααα （D ）23,;αα 2.若A ＝12421110λ?? ? ? ??? 为使矩阵A 的秩有最少值，则λ应为（ ） （A ）2； （B ）－1; (C)94; (D)12 ; 3. n 元齐次线性方程组AX=0有非零解时，它的每一个基础解系中所含解向量的个数等于（ ） （A ）R )(A -n ； （B ）)(R n A + （C ）)(n R -A ; (D))( n R +A 4.设123412342 34234355222χχχχχχχχχχχλ+-+=??+-+=??+-=? 当λ取（ ）时，方程组有解。 （A ）-12 (B) 12 (C)1- (D)1

线性方程组的解空间

第六章 向量空间 6、1 定义与例子 6、2 子空间 6、3 向量的线性相关性 6、4 基与维数 6、5 坐标 6、6 向量空间的同构 6、7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间 返回教案总目录 6、7矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间 一、教学思考 1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构。 2、注意:齐次线性方程组(含n 个未知量)的解的集合构成n F 的子空间,而非齐次线性方程组的解的集合非也。 3、注意具体方法:1)证矩阵的行空间与列空间的维数相等;2)求齐次线性方程组的基础解系。 二、内容要求 1、内容:矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间。 2、要求:理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法。 三、教学过程 1、矩阵的秩的几何意义 几个术语:设)(F M A n m ?∈,??? ? ? ??=mn m n a a a a A ΛΛΛ ΛΛ 1111,A 的每一行瞧作n F 的一个元素,叫做A 的行向量,用),2,1(m i i Λ=α表示;由),2,1(m i i Λ=α生成的n F 的子空间 ),,(1m L ααΛ叫做矩阵A 的行空间。 类似地,A 的每一列瞧作m F 的一个元素,叫做A 的列向量;由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。 注:)(F M A n m ?∈的行空间与列空间一般不同,分别就是n F 与m F 的子空间;下证其维数相同。 引理6、7、1设)(F M A n m ?∈, 1)若PA B =,P 就是一个m 阶可逆矩阵,则B 与A 有相同的行空间; 2)若AQ C =,Q 就是一个n 阶可逆矩阵,则C 与A 有相同的列空间。 分析:设() ()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ???===,,,),2,1(m i i Λ=α就是A 的行向

完整word版最速下降法求解线性代数方程组

最速下降法求解线性代数方程组要求：对于给定的系数矩阵、右端项和初值，可以求解线性代数方程组 一、最速下降法数学理论 PP?tX?Xf(X)的负梯中，在基本迭代公式每次迭代搜索方向取为目标函数kk1kkk?t)X??f(P?取为最优步长，由此确定的算法称为最速度方向，即，而每次迭代的步长kkk下降法。 X)Xminf(kk。现在次，获得了第，假定我们已经迭代了为了求解问题个迭代点k X出发，可选择的下降方法很多，一个非常自然的想法是沿最速下降方向（即负梯度方从k X邻近的范围内是这样。因此，去搜索方向为 )进行搜索应该是有利的，至少在向k P???f(X). kk P k?1进行一维搜索，由此得到第为了使目标函数在搜索方向上获得最多的下降，沿k个跌带点，即 X?X?t?f(X)，kk1k?k t按下式确定其中步长因子k f(X?t?f(X))?minf(X?t?f(X))， kkkkkk X?ls(X,??f(X)). （ 1） k1k?k X X,XX,, ,,?k0,12是初始点，由计算就可以得到一个点列,显然，令其中0210{X}f)X(X)(f 的满足一定的条件时，由式（）所产生的点列必收敛于者任意选定。当1k极小点。 二、最速下降法的基本思想和迭代步骤 ???,)(Xf(X)g. ，终止限已知目标函数及其梯度和321Xf?f(X),g?g(X)k?0. ，计算；置（1）选定初始点00000X?ls(X,?g)f?f(X),g?g(X). （2）作直线搜索：；计算 k?1kk1?k1k?kk?1?1(X,f(X))k?k?1，置，结束；用终止准则检验是否满足：若满足，则打印最优解否则，1k?1?k转（2） （3）最速下降法算法流程图如图所示.

线性方程组解的判定

1 / 3 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。 方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列 的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b

线性方程组解决实际问题项目

线性方程组解决实际问题项 目 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

项目名称应用线性方程组解决实际问题项目 【项目内容】营养食谱问题 高考前期一个饮食专家给即将踏入高考大门的学子准备了一份膳食计划，以此来帮助同学们提高和调节身体所摄入的大量营养，提供一定量的维生素C、钙和镁。其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出 【相关知识点】 1.线性方程组间的代数运算； 2.线性相关性之间的关系； 3.矩阵与增广矩阵之间的行最简化法； 4.其次线性方程组与非齐次线性方程组的解法； 5.向量组的线性组合以及线性相关性； 【模型假设与分析】

【解】设X1、X2、X3分别表示这三种食物的量。对每一种食物考虑一个向量，其分量依次表示每单位食物中营养成分维生素C、钙和镁的含量： 食物1：1= 食物2：2= 食物3：3=食物4：4= 需求： 【模型建立】 则X11、X22、X33、X44分别表示三种食物提供的营养成分，所以，需要的向量方程为 X11+X22+X33+X4 4 = 则有= 【模型求解】 利用矩阵与增广矩阵之间的行最简化法； = ~

则线性相关 R（A）=4=R（A，b）该线性方程组有唯一解。 【结论及分析】 解此方程组 得到： X1= X2= X3= X4=-5 因此食谱中应该包含个单位的食物1，个单位的食物2，个单位的食物3。个单位的食物4。 由此可得合理的膳食与线性方程组息息相关，由方程可知合理膳食的特解，即在一定的条件下，食物的摄入量是相对稳定的，过多或过少都不利于生理所需，唯有达到一个特解时，营养与体能的搭配才是最完美的。 【心得与体会】 通过生活中的这个小例子，我们小组总结以下发现，线性方程组在生活中的运用是普遍而广泛的，通过学习和查阅资料，让我们更真切的理解和体会到线性方程在身边的实用性，如果合理的运用，不仅对我们身体健康有所帮助，而且有益于我们全面的理解数学世界观，对我们人生有重大的指导和参考意义，线性方程组在科学研究等诸多方面有更广泛深入的应用。希望通过这次的实践和应用，努力将其联系到实际中，真正的做到领会到数学的真谛。【参考文献】 【1】刘振兴，浅谈线性代数在生活中的应用 【2】Loveyuehappy，浅析线性方程组的解法及应用 【3】

线性方程组解的判定

第四节 线性方程组解的判定 从本节开始，讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222 22 11 22n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+ ++= ????+++=? （13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。 方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵11121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ? ?? ? ? ?=?? ?? ? ? 称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ?? ????=??? ??? 方程组（13-2）中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m 行、1 列的矩阵(或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=?????? ,12 m b b b b ?? ????=?????? 由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? 12n x x x ???????????? =12m b b b ???????????? 即 AX=b

浅谈线性方程组和矩阵方程

鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈线性方程组和矩阵方程 学生姓名：田鸽 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号：10号 指导教师：裴银淑 2013年12月24日

一、选题意义 1、理论意义：基于线性方程组和矩阵在线性代数以及在各个领域的广泛应用，再加上计算机和计算方法的普及发展,为矩阵的应用开辟了广阔的前景.通过矩阵来解线性方程组大大简化了计算过程,为解决许多数学问题提供了一种研究途径.研究该课题的意义是为了对矩阵在解线性方程组中的广泛应用有一个更深的了解与掌握.。求线性方程组的一般解则是所有学习线性代数的人们必须掌握的基本技能。通过矩阵可以使许多抽象的数学对象得到具体的表示，并把相关的运算转化为矩阵的简单运算，使代数学的研究在一定程度上化复杂为简单，变抽象为具体，变散乱为整齐有序，矩阵是线性代数中不可或缺的处理工具，它在其它的数学理论中也有着重要的作用。 2、现实意义；大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而科学研究中的非线性模型通常也可以被近似为线性模型，，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等.另外由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，所以，线性代数因成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用。如量子化学（量子力学）是建立在线性Hilbert空间的理论基础上的，没有线性代数的基础，不可能掌握量子化学。而量子化学（和分子力学）的计算在今天的化学和新药的研发中是不可缺少的。而矩阵是一种非常常见的数学现象，例如学校课表、成绩

常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算 董治军 （巢湖学院数学系，安徽巢湖238000） 摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of

Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：

线性方程组的解空间

第六章 向量空间 6.1 定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关性 6.4 基和维数 6.5 坐标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间 返回教案总目录 6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间 一、教学思考 1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。 2、注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成n F 的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。 3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。 二、内容要求 1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。 2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。 三、教学过程 1、矩阵的秩的几何意义 几个术语：设)(F M A n m ?∈，???? ? ??=mn m n a a a a A 1111，A 的每一行看作n F 的一 个元素，叫做A 的行向量，用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。 类似地，A 的每一列看作m F 的一个元素，叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。 注：)(F M A n m ?∈的行空间与列空间一般不同，分别是n F 与m F 的子空间；下证其维数相同。 引理6.7.1设)(F M A n m ?∈， 1）若PA B =，P 是一个m 阶可逆矩阵，则B 与A 有相同的行空间； 2）若AQ C =，Q 是一个n 阶可逆矩阵，则C 与A 有相同的列空间。 分析：设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ???===,,，),2,1(m i i =α是A 的行向量，),2,1(m j j =β是B 的行向量；只需证这两组向量等价。

浅析线性方程组的解法

目录 摘要................................................................................... I Abstract. ............................................................................. II 第一章绪论............................................................................ I 1.1引言 (1) 1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1) 1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1) 第二章线性方程组理论基础 (2) 2.1 线性方程组概念 (2) 2.2 线性方程组的解的情况分析 (2) 2.3 齐次线性方程组解的结构 (4) 2.4非齐次线性方程组解的结构 (4) 第三章线性方程组的数值解 (5) 3.1 迭代法 (5) 3.1.1 Jacobi方法 (6) 3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8) 第四章全文总结和展望 (10) 4.1 全文总结 (10) 4.2 未来展望 (10) 参考文献 (11) 致谢................................................................. 错误！未定义书签。

线性方程组的求解方法 学生：指导教师： 摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。得到线性方程组的数值解的一般方法。最后，对全文进行了总结和展望。 关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法

线性代数方程组求解

线性代数方程组求解 一、实验要求 编程求解方程组: 方程组1: 方程组2: 方程组3： 要求: 用C/C++语言实现如下函数： 1.bool lu(double* a， int＊ pivot, int n）； 实现矩阵的LU分解。 pivot为输出参数,pivot[0,n）中存放主元的位置排列. 函数成功时返回false，否则返回true。 2.bool guass（double const* lu， int const* p, double* b, int n）；

求线代数方程组的解 设矩阵Lunxn 为某个矩阵anxn 的LU 分解，在内存中按行优先次序存放。p[0，n)为LU 分解的主元排列.b 为方程组Ax=b 的右端向量.此函数计算方程组Ax=b 的解，并将结果存放在数组b ［0，n ）中.函数成功时返回false ，否则返回true 。 3。 void qr(double* a ， double ＊ d, int n);矩阵的QR 分解 假设数组anxn 在内存中按行优先次序存放。此函数使用HouseHolder 变换将其就地进行QR 分解。 d 为输出参数，d [0,n) 中存放QR 分解的上三角对角线元素。 4。 bool hshld(double const*qr ， double const*d, double*b ， int n); 求线代数方程组的解 设矩阵qrnxn 为某个矩阵anxn 的QR 分解,在内存中按行优先次序存放。d [0,n ） 为QR 分解的上三角对角线元素。b 为方程组Ax=b 的右端向量。 函数计算方程组Ax=b 的解,并将结果存放在数组b[0，n)中。 函数成功时返回false ，否则返回true 。 二、问题分析 求解线性方程组Ax=b ，其实质就是把它的系数矩阵A 通过各种变换成一个下三角或上三角矩阵，从而简化方程组的求解。因此,在求解线性方程组的过程中，把系数矩阵A 变换成上三角或下三角矩阵显得尤为重要,然而矩阵A 的变换通常有两种分解方法：LU 分解法和QR 分解法。 1、LU 分解法： 将A 分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U,即:A=LU ， 其中 L=??????? ?????1001 00 12121 n n l l l ， U=? ? ??? ? ??????nn n n u u u u u u 000 00222112 11 2、QR 分解法： 将A 分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R,即：A=QR 三、实验原理 解Ax=b 的问题就等价于要求解两个三角形方程组： ⑴ Ly=b，求y; ⑵ Ux=y,求x 。 设A 为非奇异矩阵，且有分解式A=LU , L 为单位下三角阵，U 为上三角

线性方程组解的判定与解的结构

***学院数学分析课程论文 线性方程组解的判定与解的结构 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名******* 年级 2009级 学号200906034*** 指导教师 ** 2011年6月

线性方程组解的判定与解的结构 姓名****** （重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班） 摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解 引言 通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式． 1 基本性质 下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组 1111221121122222 1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????++???+=? (1) 引入向量 112111s αααα??????=?????????，122222s αααα??????=?????????，…12n n n sn αααα??????=????????? ，12s b b b β?? ?? ??=??????? ?? 方程（1）可以表示为 1122n n x x x αααβ++???+= 性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合. 定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵

线性方程组求解

第三章 线性方程组 §1 消元法 一、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 ?? ? ?? ? ?=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111, , (1) 的方程组，其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量，s 是方程的个数， ),,2,1;,,2,1(n j s i a ij ==称为线性方程组的系数，) ,,2,1(s j b j =称为常数项. 方程组中未知量的个数n 与方程的个数s 不一定相等.系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系数. 所谓方程组(1)的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组 ),,,(21n k k k ，当n x x x ,,,21 分别用n k k k ,,,21 代入后，(1)中每个等式都变成恒 等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 ???? ?? ? ??s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21 222221111211 (2) 来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组. 例如，解方程组

一般线性方程组

7、5 一般线性方程组 课题: 一般线性方程组 目的要求:1.掌握矩阵秩概念 ２.掌握线性方程组解判定方法; ３.掌握齐次线性方程组的解法。 重点: 线性方程组解判定方法 难点: 线性方程组的消元法 教学方法: 讲练结合 教学时数: 4课时 教学进程: 一、矩阵的秩 矩阵的秩就是矩阵的重要特性之一,它在线性方程组解的讨论中起着关键的作用. 定义:矩阵A 的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩阵A 的秩,记为r (A ). 根据这个定义,可以得出求矩阵A 的秩的一般步骤: 1． 用矩阵的初等行变换把A 化为阶梯形矩阵; 2． 数一下阶梯形矩阵中有多少个非零行. 例1 求矩阵?? ? ? ? ? ? ? ?--=28552311314321 112 21A 的秩. 解 ???? ?? ? ??-----?????→?---??????? ??--=6110305502550011221)(2)()(3)() ()(2855231131432111221141312r r r r r r A ??? ?? ?? ??--?????→?+??????? ??-----?????→??255000000611011221)(5)(255003055061 1011221)()(2324r r r r ????? ? ? ??--?????→??00002550061 1011221)()(43r r 所以r (A )=3. 例2 求矩阵????? ?? ? ??------=231453312112231B 的秩.

解 ??????? ? ? ?------?????→?---+???????? ??------=46024077 055 0231)()()(3)() (2)() (2)(23145331211223115 141312r r r r r r r r B ??????? ? ???????→??-???????? ? ??????→?+++???????? ??------???→?000000 200110 231 )()()()(200200000 110231)(6)()(4)() (7)(460240*********)(5143452524232r r r r r r r r r r r 所以r (B )=3. 二、 一般线性方程组的解 一般的线性方程组,它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等.对于n 个未知 数n 个方程的线性方程组,当它的系数行列式不为零时,可以有以下三种求解方法:⑴克莱姆法则;⑵逆矩阵;⑶矩阵法.其中矩阵法还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性方程组.本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解.先考察先面的两个例子. 例3 讨论线性方程组??? ??=+--=-++=-++0 524232324321 43214321x x x x x x x x x x x x 的解. 解 ???? ? ??-------?????→?--????? ??----=228402284021321)()() (3)(015214112 321321~ 1312r r r r A ????? ? ??--???→?-????? ??----????→?-00000212121021321)(41000002284021321)()(223r r r ? ???? ? ??--?????→?-00000212121010101)(2)(21r r ① 最后一个矩阵对应于方程组:132********x x x x x -=???+-=??,因此有132******** x x x x x =+?? ?=-+??. 由于当x 3与x 4分别任意取定一个值时,都可得到方程组的一组解,因此该方程组有无穷多 组解.