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2010年高考数学试题分类汇编——数列

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2010年高考数学试题分类汇编——数列

（2010浙江理数）（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5

S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-

解析：解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =-2，

前n

（2010，那么

12a a ++（A ）（D ）35 【答案】【解析】

（201042a -，

233S a =（A （D ）6

（2010辽宁理数）（6）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。已知a 2a 4=1, 37S =,则5S =

（A ）

152 (B)314 (C)334

(D)17

【答案】B

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查了同学们解决问题的能力。

【解析】由a 2a 4=1可得2411a q =，因此121a q

，又因为2

31(1)7S a q q =++=，联力两式有11

(3)(2)0q q

+-=，所以q=12,所以551

4(1)

3121412

S --

=-，故选B 。

（2010全国卷2文数）(6)如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +?…+7a =

（A ）

【解析】∵ 3a a +

（2010，函数()f x =A ．62 【答案】()'0只与函数(f x （2010A. 53 B. 3

2 C. 2 D. 不存在

【答案】B

【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。

113

3lim ()1213n

n →+∞-=-

（2010安徽文数）(5)设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为

（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64 5.A

【解析】887644915a S S =-=-=.

【方法技巧】直接根据1(2)n n n a S S n -=-≥即可得出结论.

（2010重庆文数）（2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为

（A ）5 （B ）6

（C ）

（= (C)5 q =-2，前n

（ A. 2

（2010北京理数）（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=

（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 答案：C

（2010四川理数）（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且

112n n S S a +=+，则lim

n n

a S →∞= （A ）0 （B ）

（C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+

作差得a n ＋2＝2a n ＋1

又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1 ? a 2＝2a 1 故{a n }是公比为2的等比数列

S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1

则1

n n -答案：B

（n 项和，

且39s s =（A

显然，公比为

12【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。

（2010广东理数）4. 已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。若2312a a a ?=，且

4a 与27a 的等差中项为5

，则5S =

A ．35 B.33 C.31 D.29

4．C ．设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ?=?=，即42a =。由4a 与

27a 的等差中项为

知，475224

a a +=?

，即

7415151(2)(22)24244

a a =

?-=?-=． ∴3741

a q a =

=，即12q =．3411128a a q a ==?=，即116a =．

（2010广东文数）

（2010

123a a =5，

789a a a (A) 4.A 的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

【解析】由等比数列的性质知3

1231322()5a a a

a a a a =

== ，

37897988

()a a a a a a a === 10,所以1

2850a a =, 所以13

64564655

()(50)a a a a a a a =====

（2010全国卷1理数）（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }中，123a a a =5，

789a a a =10，则456a a a =

(A)

（2010湖北文数）7.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321

,22

a a 成等差

数列，则

910

a a a a +=+

A.1

（2010

1.（2010安徽理数）10、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2Y XZ =

D 、()()Y Y X X Z X -=-

10.D

【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n 表示代入验证得结论. （2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设

n s 为前n 个圆的面积之和，则lim n →∞

n s =

A ． 2r π

（201066a =-,则当n S A ．D ．9

6，解得

2d =，

所以22(1)

11212(6)362

n n n S n n n n -=-+

?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

2010年高考数学试题分类汇编——数列

（2010浙江理数）（14）设11

2,,(2)(3)23

n n n n N x x ≥∈+-+

2012n n a a x a x a x =+++???+，

将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则

23453355

1111

0,,0,,,,2323n T T T T T ==

-==-?????? 其中n T =__________________ .

解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题

【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导

数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。

【解析】a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2[1+2+…(n -1)]+33=33+n 2-n

所以33

1n a n n n

=+-

设()f n =331n n +-，令()f n =233

10n

-+>，则()f n 在)+∞上是单调递增，在上是递减的，因为n ∈N +,所以当n=5或6时()f n 有最小值。

又因为

55355a =，66321662a ==，所以，n a n

的最小值为62162a =

（2010浙江文数）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是。

n=4时

【温馨提示】本题的实质是求T n取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对n进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.

（2010湖南理数）15．若数列{}n a满足：对任意的n N*

∈，只有有限个正整数m使

得

a n

＜成立，记这样的m的个数为()

a*，则得到一个新数列{}

()

a*．例如，若数列{}n a是1,2,3,n

…，…，则数列{}

()

a*是0,1,2,1,

…，…．已知对任意的N

∈，2

a n

=，则

()

a*=，

(())n a **= ．

（2010福建理数）11．在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a = ．【答案】n-14

【解析】由题意知11141621a a a ++=，解得11a =，所以通项n a =n-14。

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题。

3. （2010江苏卷）8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2

a x =，所以1135,1641212

k a a a a a +=++=++=。

2010年高考数学试题分类汇编——数列

（2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；

(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 解析：(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以

1(1)6

n n a a --=-，

又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；

(2) 由(1)知：1

51156n n a -??

-=-? ?

??，得1

51156n n a -??

=-? ?

，从而

57590

n n S n -??

=?+- ?

(n ∈N *)；

由S n

（2010

其中表n 2行起，（I （II

{}n b 12231

n n +

（2010

已知数列（Ⅰ）求

【参考答案】

【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.

估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

（2010陕西文数）16.（本小题满分12分）

已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.

（Ⅰ）求数列{a n}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.

解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，

由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12

＝

，

解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n}的通项a n＝1+（n－1）×1＝n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知2m

a =2n

，由等比数列前n 项和公式得

S m =2+22

+23

+ (2)

=2(12)12

n --=2n+1

-2.

（2010全国卷2文数）（18）（本小题满分12分）

已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且

1212

)a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++

（1式。

（2

（2010（1）（2）存整数且

n a （1证明：考虑到结构特征，取特值2221,5,7满足等差数列，只需取b=5a ，c=7a ，对一切正整数a 均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当222n n n a b c ，，成等差数列，则2222

n n n n

b a

c b -=-，分解得：()()()()n n n n n n n n b a b a c b c b +-=+- 选取关于n 的一个多项式，24(1)n n -做两种途径的分解

2224(1)(22)(22)(22)(22)n n n n n n n n -=-+=-+24(1)n n -

对比目标式，构造222211(4)21n n n

a n n

b n n

c n n ?=--?

=+≥??=+-?，由第一问结论得，等差数列成立，

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。任取正整数m ，n ，若△

，

△

相似：则三边对应成比例

m m m m m n n n n n --++-=

=--++-，

11m m -+

（2010设12,,C C 与直线y 圆1n C +递增数列(Ⅰ)（Ⅱ）设n r ，同理得11n n λ++=即{}n r 中1n r +与n r 的关系，证明{}n r 为等比数列；（2）利用（1）的结论求{}n r 的通项公式，代入数列

r ，然后用错位相减法求和.

n n n n n n n+1n+1n+1n n n+1n+1n n n+1n

n n 11n n n n

n 1

1,332

r 1

2r 22r r r 2r 2r r 3r r q 3n

r 1q 3r 3n *3r 12.....r x C θθλλλλλλλ--=====++====∏=====

+++解：（1）将直线y=

的倾斜角记为,则有tan =设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理

，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。（）由于，，故，从而，记S n n

,11*33

1323

94n n n

S --=+=-=+-=∴=则有S S ①②,2S 形，结合所求

（2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）

已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；

（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .

（2010浙江文数）（19）（本题满分14分）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足56S S +15=0。（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1；（Ⅱ）求d 的取值范围。

（2010重庆理数）（21）（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）在数列{}n a 中，1a =1，()()1121*n n n a ca c n n N ++=++∈，其中实数0c ≠。（I ）求{}n a 的通项公式；

（II ）

若对一切*k N ∈有21k zk a a ->，求c 的取值范围。