上海高二数学期末考试题

2015-2016上海市高二数学期末试卷 （共150分，时间120分钟）

一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1.对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ） A 开口向上，焦点为(0,1) B 开口向上，焦点为1(0,)16 C 开口向右，焦点为(1,0)

D 开口向右，焦点为1

(0,)16

2.已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ?是B ?的 （ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

3.椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为（ ） A 25- B 25 C 1- D 1

4.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A =11，

c A A =1，则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）

A c b a ++-2121

B c b a ++2121

C c b a +-2121

D c b a +--2

121 5.空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），

若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ ） A 平面 B 直线 C 圆 D 线段 6.给出下列等式：命题甲：2

2,2,)2

1

(1x x x -成等比数列，命题乙：)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列，则甲是乙的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件

D 既非充分又非必要条件

7.已知a =(1,2,3),b =（3，0，-1），c =??

?

??--53,1,5

1给出下列等式：

①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②c b a ?+)( =)(c b a +? ③2)(c b a ++=2

22c b a ++

④c b a ??)( =)(c b a ??

其中正确的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 8.设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为（ ） A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 圆

9.已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的（ ） A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件

10.椭圆122222=+b

y a x 与双曲线1222

22=-b y a x 有公共焦点，则椭圆的离心率是

A

23 B 315 C 4

6

D 630

11.下列说法中错误．．

的个数为 （ ） ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题

为假，则它本身一定为真；③12x y >??>?是3

2

x y xy +>??>?的充要条件；④a b =与a b

=是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件. A 2 B 3 C 4 D 5

12.已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ? 取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ）

A 131(,,)243

B 123(,,)

234

C 448(,,)333

D 447(,,)333

二、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

13．已知k j i b a +-=+82,k j i b a 3168-+-=-(k j i ,,两两互相垂直)，那么

b a ?= 。

14．以(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在直线方程为： ．

15．已知M 1（2，5，-3），M 2（3，

-2，-5），设在线段M 1M 2的一点M 满足21M M =24MM ，则向量OM 的坐标为 。 16．下列命题

①命题“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件. ② “am 2

④在ABC ?中，“?=∠60B ”是C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列的充要条件. ⑤ABC ?中,若sin cos A B =,则ABC ?为直角三角形. 判断错误的有___________

17．在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥．有下列条件： ①

AB AC BC ==； ②AB AC ⊥； ③AB AC =．

其中能成为11BC AB ⊥的充要条件的是________．（填上序号） 三、解答题（共4小题，每小题15分，共60分）

18．（本题满分15分）求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件．

19．（本题满分15分）已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：

f(x)=－(5－2m)x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围.

20．（本题满分15分）直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2231x y -=相交于不同的A 、

B 两点．

（1）求AB 的长度；

（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由．

21、（本题满分15分）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1底面△ABC ， 中，CA=CB=1∠BCA=90°，棱AA 1=2M ，N 分别是A 1B 1， A

1A 的中点。 （1）求BN 的长度；

（2）求cos （1BA ，1CB ）的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M 。

参考答案

一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）

1、B

2、C

3、D

4、A

5、B

6、B

7、D

8、C

9、B 10、B 11、C 12、C

二、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分） 13、- 65 14、430x y +-= 15、???

?

?--29,41,411 16、②⑤ 17、①、③

三、解答题（共5小题，满分74分）

18、（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于121

0x x a

=

若方程有两负根，等价于440201

0Δa a a

?

?=-≥??-??0＜a ≤1

综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1

由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根.

故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x+1=0至少有一负根的充分条件. 所以ax 2+2x+1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件是a ＜0或0＜a ≤1 19、（本题满分15分）解：不等式|x －1|

即p 是真 命题，m<1

f(x)=－(5－2m)x 是减函数，须5－2m>1即q 是真命题，m<2 由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题

故p 、q 中一个真，另一个为假命题 因此，1≤m<2

20、（本题满分15分）

联立方程组???=-+=1

31

22y x ax y 消去y 得()022322=---ax x a ，因为有两个交点，所以

{()

3840

3222

>-+=?≠-a a a

，解得2

212212232

,32,3,6a

x x a a x x a a --=-=

+≠<且。 (1)

)36(3

6

524)(1122224212

212

212≠<-++-=

-++=-+=a a a a a x x x x a

x x a AB 且。

(2)由题意得 0)1)(1(,0,121212121=+++=+-=ax ax x x y y x x k k ob oa 即即 整 理得1,12±==a a 符合条件，所以 21、（本题满分15分）如图，

轴，z 轴建

解：以C 为原点，1CC CB CA ，，分别为x 轴，y 立空间直角坐标系。 （1） 依题意得出

3101010=∴BN N B ），，，（），，，（；

（2） 依题意得出

），，

（），，，（），，，（），，（21000001020111B C B A 563210211111111===?=-=∴CB BA CB BA CB BA ，，），，，（），，，（

∴cos ﹤11CB BA ，﹥=

3010

1

1

111=

??CB BA CB BA （3） 证明：依题意将，，，），，，（，，，），，，（??

?

??=--=??

? ??021*******

1212001

111M C B A M C M

C B A M C B A M C B A 1111110021

21⊥∴⊥∴=++-=?∴，

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