小波变换去噪基础地的知识整理
1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语,顾名思义,“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性;而称之为“波”则是指它的波动性,其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比,小波变换是时间(空间)频率的局部化分析,它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化,最终达到高频处时间细分,低频处频率细分,能自动适应时频信号分析的要求,从而可聚焦到信号的任意细节,解决了Fourier变换的困难问题,成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种,为什么? 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况,分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算,而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器,每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题,如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波,可以视为有限长,并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示,作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类:离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于,连续变换在所有可能的缩放和平移上操作,而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以,DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看,小波变换存在以下几个优点: (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器,可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性,在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口),在高频段,可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值
几种时频分析综述1——傅里叶变换和小波变换
几种时频分析方法综述1——傅里叶变换和小波变换 夏巨伟 (浙江大学空间结构研究中心) 摘要:传统的信号理论,是建立在Fourier 分析基础上的,而Fourier 变换作为一种全局性的变化,其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier 变换进行各种改进,小波分析由此产生了。小波变换与Fourier 变换相比,是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis ),解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。本文对傅里叶变换和小波变换进行了详细介绍,并用算例分析指出了两者的差别。 关键词:傅里叶变换;小波变换;时频分析技术; 1 傅里叶变换(Fourier Transform ) 1 2/201 22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞ --∞∞--∞?=??=??????????→????=?=??? ∑??∑离散化(离散取样) 周期化(时频域截断) 2 小波变换(Wavelet Transform ) 2.1 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换(Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/) 从傅里叶变换的定义可知,时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态,不能反映h (t )在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间(比如:t ∈[a,b])内的频率成分,很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数[][]11,t ,()0,t ,a b t a b χ?∈?=? ∈??,然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由 于1()t χ在t= a,b 处突然截断,导致中1()()h t t χ出现了原来h (t )中不存在的不连 续,这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点, D.Gabor 在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念,他的做法是,取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数,它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0,然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。 22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt h t df g t G f e d T ππτττττ +∞ --∞ +∞+∞ -∞ -∞ =-=-??? ::
离散小波变换的多分辨率分析
第10章 离散小波变换的多分辨率分析 在上一章,我们给出了连续小波变换的定义与性质,给出了在),(b a 平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。在这两种情况下,时间t 仍是连续的。在实际应用中,特别是在计算机上实现小波变换时,信号总要取成离散的,因此,研究b a ,及t 都是离散值情况下的小波变换,进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。由Mallat 和Meyer 自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术[87,88,8]在这方面起到了关键的作用。该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法[34,33]结合起来,构成了小波分析的重要工具。本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。 10.1多分辨率分析的引入 10.1.1信号的分解近似 现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。 给定一个连续信号)(t x ,我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。如图10.1.1(a)所示,令 ???=0 1)(t φ 其它 10<≤t (10.1.1) 显然,)(t φ的整数位移相互之间是正交的,即 )()(),(k k k t k t '-=?'--?δφφ Z k k ∈', (10.1.2) 这样,由)(t φ的整数位移)(k t -φ就构成了一组正交基。设空间0V 由这一组正交基所构成,这样,)(t x 在空间0V 中的投影(记作)(0t x P )可表为: )()()()()(,t k a k t k a t x P k 0k k 0φ φ∑∑=-= (10.1.3) 式中)()(,0k t t k -=φφ,)(k a 0是基)(,0t k φ的权函数。)(0t x P 如图10.1.1(b)所示,它可以看作是)(t x 在0V 中的近似。)(k a 0是离散序列,如图10.1.1(c)所示。
小波变换图像去噪的算法研究自设阈值
基于小波的图像去噪 一、小波变换简介 在数学上,小波定义卫队给定函数局部化的新领域,小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造,()x ψ称为母小波,(mother wavelet )或者叫做基本小波。一组小波基函数,()}{,x b a ψ,可以通过缩放和平移基本小波 来生成: ())(1 ,a b x a x b a -ψ=ψ (1) 其中,a 为进行缩放的缩放参数,反映特定基函数的宽度,b 为进行平移的平移参数,指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下,一维小波基函数序列定义为: ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i (2) 其中,i 为平移参数,j 为缩放因子,函数f (x )以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f (x )和()x b a ,ψ的内积: () dx a b x a x f f x W b a b a )(1)(,,,-ψ=ψ=?+∞ ∞- (3) 与时域函数对应,在频域上则有:
())(,ωωa e a x j b a ψ=ψ- (3) 可以看出,当|a|减小时,时域宽度减小,而频域宽度增大,而且()x b a ,ψ的窗口中心向|ω|增大方向移动。这说明连续小波的局部是变化的,在高频时分辨率高,在低频时分辨率低,这便是它优于经典傅里叶变换的地方。总体说来,小波变换具有更好的时频窗口特性。 二、图像去噪描述 所谓噪声,就是指妨碍人的视觉或相关传感器对图像信息进行理解或分析的各种因素。通常噪声是不可预测的随机信号。由于噪声影响图像的输入、采集、处理以及输出的各个环节,尤其是图像输入、采集中的噪声必然影响图像处理全过程乃至最终结果,因此抑制噪声已成为图像处理中极其重要的一个步骤。 依据噪声对图像的影响,可将噪声分为加性噪声和乘性噪声两大类。由于乘性噪声可以通过变换当加性噪声来处理,因此我们一般重点研究加性噪声。设f(x,y)力为理想图像,n(x,y)力为噪声,实际输入图像为为g(x,y),则加性噪声可表示为: g(x,y)= f(x,y)+ n(x,y), (4) 其中,n(x,y)和图像光强大小无关。 图像去噪的目的就是从所得到的降质图像以g(x,y)中尽可能地去除噪声n(x,y),从而还原理想图像f(x,y)。图像去噪就是为了尽量减少图像的均方误差,提高图像的信噪比,从而尽可能多地保留图像的特征信息。 图像去噪分为时域去噪和频域去噪两种。传统图像去噪方法如维纳滤波、中值滤波等都属于时域去噪方法。而采用傅里叶变换去噪则属于频域去噪。这些方法去噪的依据是一致的,即噪声和有用信号在频域的不同分布。我们知道,有用信号主要分布于图像的低频区域,噪声主要分布在图像的高频区域,但图像的细节信息也分布在高频区域。这样在去除高频区域噪声的同时,难免使图像的一些细节也变得模糊,这就是图像去噪的一个两难问题。因此如何构造一种既能降低图像噪声,又能保留图像细节特征的去噪方法成为图像去噪研究的一个重大课题。
初学者-从信号与系统角度浅谈傅里叶变换,拉氏变换,Z变换三者之间的关系
初学者-从信号与系统角度浅谈傅里叶变换,拉氏变换,Z 变换三者之间的关系 一 傅里叶级数展开与傅里叶变换 之所以要将一个信号f(t)进行傅里叶级数展开或傅里叶变换是因为一般自然界信号都非常复杂,且表面上并不能直观的表现出频率与幅值的关系,而一个信号的大部分有效信息恰藏于其频谱上,即其幅频关系和相频关系上。通过傅里叶级数展开或傅里叶变换,可将自然界中复杂的信号分解成简单的,有规律的基本信号之和或积分的形式,并且可以明确表达出周期信号的离散频谱和非周期信号的连续频谱函数。 傅里叶级数展开是对于周期信号而言,如果该周期信号满足狄利克雷条件(在电子和通讯中大部分周期信号均满足),周期信号就能展开成一组正交函数的无穷级数之和,三角函数集在一个周期内是完备的正交函数集,使用三角函数集的周期函数展开就是傅里叶级数展开,而欧拉公式是将三角函数和复指数连接了起来,所以傅里叶级数可展开成三角函数或复指数两种形式,此时就可画出信号的频谱图,便可直观的看到频率与幅值和相位的关系。 既然是级数和展开,则上述频谱图中横轴表示n 倍的角频率,是一个离散频谱图,那么由离散频谱的间隔与周期的反比关系知当f(t)的周期T 趋近于无穷大时,周期信号变成了非周期信号,谱线间隔趋近于无穷小,谱线无限的密集而变成为连续频谱,该连续频谱即为频谱密度函数,简称频谱函数,该表达式即是我们熟悉的傅里叶变换,傅里叶变换将信号的时间函数变为频率函数,则其反变换是将频率函数变为时间函数,所以傅里叶变换建立了信号的时域与频域表示之间的关系,而傅里叶变换的性质则揭示了信号的时域变换相应地引起频域变换的关系。 二 傅里叶变换与拉氏变换 上述的傅里叶变换必须是在一个信号满足绝对可积的条件下才成立,那么对于不可积的信号,我们要将它从时域移到频域上,就要将原始信号乘上一个衰减信号将其变为绝对可积信号再做傅里叶变换,即为 f t e ?σt e ?j ωt ∞?∞dt = f(t)e ?(σ+j ω)t dt ∞?∞= f(t)e ?st ∞ ?∞ dt s=σ+j ω 变为拉氏变换,如令σ=0则拉氏变换就变成了傅里叶变换,所以傅里叶变换是S 域仅在虚轴上取值的拉氏变换,拉氏变换是傅里叶的推广,拉氏变换的收敛域就是f t e ?σt 满足绝对可积条件的σ值的范围,在收敛域内可积,拉氏变换存在,在收敛域外不可积,拉氏变换不存在。拉氏变换针对于连续时间信号,主要用于连续时间系统的分析中,对一个线性微分方程两边同时进行拉氏变换,可将微分方程转化成简单的代数运算,可方便求出系统的传递函数,简化了运算。
小波去噪三种方法
小波去噪常用方法 目前,小波去噪的方法大概可以分为三大类:第一类方法是利用小波变换模极大值原理去噪,即根据信号和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性,剔除由噪声产生的模极大值点,保留信号所对应的模极大值点,然后利用所余模极大值点重构小波系数,进而恢复信号;第二类方法是对含噪信号作小波变换之后,计算相邻尺度间小波系数的相关性,根据相关性的大小区别小波系数的类型,从而进行取舍,然后直接重构信号;第三类是小波阈值去噪方法,该方法认为信号对应的小波系数包含有信号的重要信息,其幅值较大,但数目较少,而噪声对应的小波系数是一致分布的,个数较多,但幅值小。基于这一思想,在众多小波系数中,把绝对值较小的系数置为零,而让绝对值较大的系数保留或收缩,得到估计小波系数,然后利用估计小波系数直接进行信号重构,即可达到去噪的目的。 1:小波变换模极大值去噪方法 信号与噪声的模极大值在小波变换下会呈现不同的变化趋势。小波变换模极大值去噪方法,实质上就是利用小波变换模极大值所携带的信息,具体地说就是信号小波系数的模极大值的位置和幅值来完成对信号的表征和分析。利用信号与噪声的局部奇异性不一样,其模极大值的传播特性也不一样这些特性对信号中的随机噪声进行去噪处理。 算法的基本思想是,根据信号与噪声在不同尺度上模极大值的不同传播特性,从所有小波变换模极大值中选择信号的模极大值而去除噪声的模极大值,然后用剩余的小波变换模极大值重构原信号。小波变换模极大值去噪方法,具有很好的理论基础,对噪声的依赖性较小,无需知道噪声的方差,非常适合于低信噪比的信号去噪。这种去噪方法的缺点是,计算速度慢,小波分解尺度的选择是难点,小尺度下,信号受噪声影响较大,大尺度下,会使信号丢失某些重要的局部奇异性。 2:小波系数相关性去噪方法 信号与噪声在不同尺度上模极大值的不同传播特性表明,信号的小波变换在各尺度相应位置上的小波系数之间有很强的相关性,而且在边缘处有很强的相关
小波变换去噪
小波变换的图像去噪方法 一、摘要 本文介绍了几种去噪方法,比较这几种去噪方法的优缺点,突出表现了小波去噪法可以很好的保留图像的细节信息,性能优于其他方法。 关键词:图像;噪声;去噪;小波变换 二、引言 图像去噪是一种研究颇多的图像预处理技术。一般来说, 现实中的图像都是带噪图像。为了减轻噪声对图像的干扰,避免误判和漏判,去除或减轻噪声是必要的工作。 三、图像信号常用的去噪方法 (1)邻域平均法 设一幅图像f (x, y) 平滑后的图像为g(x, y),它的每个象素的灰度值由包含在(x, y)制定邻域的几个象素的灰度值的平均值决定。将受到干扰的图像模型化为一个二维随机场,一般噪声属于加性、独立同分布的高斯白噪声。可见,邻域平均所用的邻域半径越大,信噪比提高越大,而平滑后图像越模糊,细节信息分布不明显。 (2)时域频域低通滤波法 对于一幅图像,它的边缘、跳跃部分以及噪声都为图像的高频分量,而大面积背景区和慢变部分则代表图像低频分量,可以设计合适的低通滤波器除去高频分量以去除噪声。 设f(x,y)为含噪图像,F(x,y)为其傅里叶变换,G(x,y)为平滑后图像的傅里叶变换,通过H,使F(u,v)的高频分量得到衰减。理想的低通滤波器的传递函数满足下列条件: 1 D(u,v)≤D H(u,v)= 0 D(u,v)≤D 式中D0非负D(u,v)是从点(u,v)到频率平面原点的距离,即,即D(u, v) = u2 + v2 (3)中值滤波 低通滤波在消除噪声的同时会将图像中的一些细节模糊掉。中值滤波器是一种非线性滤波器,它可以在消除噪声的同时保持图像的细节。 (4)自适应平滑滤波 自适应平滑滤波能根据图像的局部方差调整滤波器的输出。局部方差越大,滤波器的平滑作用越强。它的最终目标是使恢复图像f*(x,y) 与原始图f(x,y) 的均方误差 e2 = E ( f (x, y) ? f *(x, y))2 最小。自适应滤波器对于高斯白噪声的处理效果比较好. (5)小波变换图像信号去噪方法 小波变换去噪法的基本思想在于小波变换将大部分有用信号的信息压缩而将噪声信息分散。对信号进行小波分解,就是把信号向L2 ( R) ( L2 ( R) 是平方可积的实数空间) 空间各正交基分量投影,即求信号与各小波基函数之间的相关系数,亦即小波变换值。“软阈值化” ( soft-thresholding) 和“硬阈值化”( hard-thresholding) 是对超过阈值之上的小波系数进行缩减的两种主要方法。一般说来,硬阈值比软阈值处理后的图像信号更粗糙,所以常对图像信号进行软 阈值的小波变换去噪。如图2 所示,横坐标代表信号( 图像) 的原始小波系数,纵坐标
小波变换去噪处理
自:https://www.wendangku.net/doc/3f11656087.html,/xiangshancuizhu/archive/2011/01/04/1925276.html 图像去噪是数字图像处理中的重要环节和步骤。去噪效果的好坏直接影响到后续的图像处理工作如图像分割、边缘检测等。图像信号在产生、传输过程中都可能会受到噪声的污染,一般数字图像系统中的常见噪声主要有:高斯噪声(主要由阻性元器件内部产生)、椒盐噪声(主要是图像切割引起的黑图像上的白点噪声或光电转换过程中产生的泊松噪声)等; 目前比较经典的图像去噪算法主要有以下三种: 均值滤波算法:也称线性滤波,主要思想为邻域平均法,即用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度。有效抑制加性噪声,但容易引起图像模糊,可以对其进行改进,主要避开对景物边缘的平滑处理。 中值滤波:基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性平滑滤波信号处理技术。中值滤波的特点即是首先确定一个以某个像素为中心点的邻域,一般为方形邻域,也可以为圆形、十字形等等,然后将邻域中各像素的灰度值排序,取其中间值作为中心像素灰度的新值,这里领域被称为窗口,当窗口移动时,利用中值滤波可以对图像进行平滑处理。其算法简单,时间复杂度低,但其对点、线和尖顶多的图像不宜采用中值滤波。很容易自适应化。 Wiener维纳滤波:使原始图像和其恢复图像之间的均方误差最小的复原方法,是一种自适应滤波器,根据局部方差来调整滤波器效果。对于去除高斯噪声效果明显。 实验一:均值滤波对高斯噪声的效果 代码 I=imread('C:\Documents and Settings\Administrator\桌面\1.gif');%读取图像 J=imnoise(I,'gaussian',0,0.005);%加入均值为0,方差为0.005的高斯噪声subplot(2,3,1);imshow(I); title('原始图像'); subplot(2,3,2); imshow(J); title('加入高斯噪声之后的图像'); %采用MATLAB中的函数filter2对受噪声干扰的图像进行均值滤波 K1=filter2(fspecial('average',3),J)/255; %模板尺寸为3 K2=filter2(fspecial('average',5),J)/255;% 模板尺寸为5 K3=filter2(fspecial('average',7),J)/255; %模板尺寸为7 K4= filter2(fspecial('average',9),J)/255; %模板尺寸为9 subplot(2,3,3);imshow(K1); title('改进后的图像1'); subplot(2,3,4); imshow(K2); title('改进后的图像2'); subplot(2,3,5);imshow(K3); title('改进后的图像3'); subplot(2,3,6);imshow(K4); title('改进后的图像4'); PS:filter2用法 fspecial函数用于创建预定义的滤波算子,其语法格式为:
和输出 y[n] 的傅里叶变换关系如下
马萨诸塞州技术学院 电气工程与计算机科学系 6.341:离散时间信号处理 开放课程课件 2006 第2讲 背景知识复习 相位、群延迟和广义线性相位 ——————————————————————————————————————— 阅读: Oppenheim ,Schafer & Buck (OSB )中的5.1,5.3和5.7部分。 ——————————————————————————————————————— 相位 一个 LTI 系统的频率响应 H (e )(z H j ω ) 可在单位圆 z = 1 上求得。 H (e j ω ) = ω j e z z H =)(系统输入x [n ] 和输出 y [n ] 的傅里叶变换关系如下 Y (e j ω ) = H (e j ω ) X (e j ω ) 通过观察幅度-相位表达式,可以更详细地理解输入-输出关系。 幅度/相位表示 例子: 在幅度/相位表示中,频率响应是实数不能充分意味着系统是零相位。 利用这个表达式, 且 则)(ωj e H 和 一般分别指系统增益和相移。
在幅度和相位图中,当ω通过单位圆上的零点时,幅度为零,相位跳变π,如下图所示。 椭圆型低通滤波器的幅度和相位响应 如果H(e jω )是实数且双极性的,经常更简单自然地用另一种表达式来移除相位图中π的 这些跳变。 振幅/相位表示 A(e jω ) 是实数但不一定是正数,这样θ2(ω) 不同于上面的θ1(ω)。A(e jω ) 存在符号的变 化,且在θ2(ω) 不存在π的跳变。 例子: 考虑下图给出的h[n]。 在幅度/相位表示中,θ1(ω) 在符号变化处有π的跳变。 在振幅/相位表示中,θ2(ω) = -ω(N-1)/2,斜率为-(N-1)/2的直线,而且在这个表达式中,无论A
FFT 与小波变换的区别---FFT的缺陷
分段平稳信号 这两种波形的FFT完全一样!完全分不出信号出现的位置,说明傅里叶变换缺乏时间对频率的定位功能。小波则可以还原。经过傅里叶变换
之后得到的是频域的信息,时间信息完全丢失,很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号?其实,这个可以理解为三维空间离得变换,这里涉及到泛函的一些知识,其通俗理解方法也将在下边进行解释。傅里叶逆变换同样可以理解为相关,只是此时需保证变换时t不变,也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关,积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。
傅里叶变换: 1)首先傅里叶变换是傅里叶级数(有限周期函数)向(无限周期函数)的扩展,将该函数展开成无限多个任意周期的正弦或余弦函数的和(或积分)。 2)傅里叶级数中各项系数例如cosx项系数是原函数与其在某一定义域内的积分,显然我们可以将该过程理解为对这两个函数进行相关,将相关系数作为该频率处的强度。 3)经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息,时间信息完全丢失,很多人会问那为什么逆变换可以完全恢复原始信号?其实,这个可以理解为三维空间离得变换,这里涉及到泛函的一些知识,其通俗理解方法也将在下边进行解释。傅里叶逆变换同样可以理解为相关,只是此时需保证变换时t不变,也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之间的相关,积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。可以知道所有有关时间的信息都是由e^(ift)导出的。 4)从泛函的角度,我们可以把傅里叶级数中的三角函数 {1/sqrt(2π),sin(t)/sqrt(π),cos(t)/sqrt(π),...}看做一个线性函数空间的一个基,这里与线性代数里的线性空间有两点不同,第一该处是函数空间,每个元素都是一个函数而不是一个数,第二这里是无限维空间,基有无限多个元素。但是这并不影响我们的理解。我们可以像在有限维线性空间中那样将傅里叶变换理解为这个函数在以三角函数为基的空间的展开,而将傅