正四棱台体积公式
一
基于数学史的教学案例：正四棱台体积公式※
朱哲 张维忠（浙江师范大学数理与信息科学学院 321004）
对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。
1 教学案例：正四棱台体积公式
1.1提出问题
师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a ，上底面边长为b ，高为h ，那么它的体积该如何表示呢？今天我们就来研究这个问题。
生1：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求（演算：设小正四棱锥高为x ，则V V =大正四棱锥V -小正四棱锥=
=-+=-+x b a h a x b x h a )(3
1
3131)(3122222……）。我做不下去了。 1.2类比、猜想、实验
师：这位同学的思路非常好，只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边，先来猜想一下 正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式（与学生一起填写下表）。
生2：我想()
h b a V 2221+=
，因为梯形面积公式为()h b a S +=2
1
。 生3：我觉得应该是()
h b a V 2
231+=，因为正四棱锥体积公式中有系数3
1，且当0=b 时，
()
h b a V 2231+=h a 23
1
=,即为正四棱锥体积公式。
师：这些公式对不对呢？我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器，上底边长2.0米，下底
边长3.0米，高2.0米，里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为()013.02.009.004.02
1
=+=V 立方
米，由生3的公式得()00867.02.009.004.03
1
≈+=V 立方米。我们再把沙子倒入底面边长为2.0米的柱
形容器，量一下，高为多少？约为315.0米，体积约为0126.0立方米。看来上面两个公式都不是很准确。
———————
※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）阶段成果。
生4：梯形面积公式中系数是
2
1
，是因为括号内只有b a 、两项。那么，如果正四棱台体积公式系数取31，则括号内应有三项，除了2a 、2
b 我想还应有ab ，也即()
h b ab a V 2231++=，计算()0126.02.009.006.004.031≈++=V 。这与我们的实验结果一致。另外，当0=b 时，h a V 23
1
=是正
四棱锥的体积公式；当a b h ==时，3
a V =是正方体的体积公式。我想这个公式应该是正确的。
1.3推导公式
师：大家同意他的观点吗？（同意！）那好，下面我们就来证明或者说是推导这个公式。用什么方法来推导呢？刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的，那我们能不能用类似求梯形面积的方法来求正四棱台的体积呢？我们不妨试试看，我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法。
生5：(如图1)S S 2
1=
平行四边形
=
()h b a +2
1
。 b
a h a b
x
h
b
（图1） （图2）
生6：（如图2）设小三角形高为x ，大三角形高为h x +，因为这两个三角形相似，所以h
x x
a b +=，即b a bh x -=
。()x b a ah bx h x a S )(21212121-+=-+=h b a b a bh b a ah )(2
1
))(
(2121+=--+= 。 生7：（如图3）bh ah S 2121+= h b a )(2
1
+=。
h
b
h a
h
b a
+
=
（图3）
生8：（如图4）h b a bh h b a S )(2
1
)(21+=+-=
。 a-b
+=
h
b
h
h b a
h
b
a
b （图 4） （图5）
师：有没有其他方法？还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的？
生9：（如图5）S S =三角形=
h b a )(2
1
+。 师：接下来我们就利用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式。第一组用生5的方法，第二、三、四组同学分别用生6、7、8的方法。如果你觉得这种方法做不出或者做出来了，请再用生9的方法推导。（学生独立思考、互相讨论来解决问题，教师适当介入，给予提示指导。当第四小组完成其推导后，教师再给他们一道思考题：有这样一个四棱台，它的两个底面是长方形。上底面边长分别为b a 、，下底面边长分别为d c 、，高h ，求其体积。） 1.4展示成果
第一组（生10）：我们认为利用两个或多个正四棱台拼在一起无法推导其体积公式。 第二组（生1）：刚才我做不下去，现在我会了。（继续 +=--+=
h a b a bh b a h a 22223
1
))((3131 h b ab a bh b a )(3
1
)(3122++=+。 第三组（生11）：我们将正四棱台分成五个棱锥A 、B 、C 、D 、E ：（如图6）
D A D'
B
A'
C'
B'
C
D
D '
B'D '
B'
C
B
A
D '
A
C
A
C
D '
C 'C
B'
A
A'
（A ） （B ） （C ） （D ） （E ）
（图6）
其中h a V V V A B A 2312=
=+，h b V V V D E D 23
1
2==+。对于锥体C （如图7），我们取AC 中点O ，连结B`O 、D`O,容易看出AC ⊥ 面B`OD`。取B`D`中点O`，连结OO`，则OO`⊥B`D`。所以，S V C 3
1
=三角
形B`OD`31=
AC 21B`D`hAC=3121abh b ah 3
1
22=。由此得E D C B A V V V V V
V ++++= h b ab a )(3
1
22++=。 '
C
A
G
H
B F E D I
（图7） （图8） 第四小组（生12）：我们将正四棱台切割成九部分（如图8）：(1)一个长方体E ，其底面是边长为b 的正方形，高为h ，体积为h b 2
.(2)四个棱锥A 、C 、G 、I ，可以拼成一个大的四棱锥J ，起底面是边长为)(b a -的正方形，高为h ，体积为h b a 2
)(3
1
-。(3)四个直角三棱柱B 、D 、F 、H ，可以拼成两个长、宽、高分别为b 、
2)(b a - 、h 的长方体K 和L ，体积均为h b a b )(21
-。所以，（如图9）L K J E V V V V V +++= h b a b h b a h b )()(3122-+-+=，整理得 h b ab a V )(3
1
22++=。
（E ） (J) (K) (L)
（图9）
生13：同样方法可以求出思考题中四棱台体积
ah b d bh a c h a c b d abh V )(2
1
)(21))((31-+-+--+=
)333322226(61
ba da ba bc ba da bc dc ab h -+-++--+=
[]c b d a d b h ba da bc dc h )2()2(6
1
)22(61+++=+++=。 当c d b a ==、时，[]h c ac a ac c ac a h c a c a c a h V )(3
1)22(6)2()2(62
222++=+++=+++=。
生14：利用类似生9的方法来推导比较繁杂，我用图示的方法来说明。为了使大家看得清楚，我把它
先分成四等分，且选择其中一块（如图10）。把这一块分成三部分，这三部分又可以拼成一个不规则图形，这个图形的体积可以通过补形法求得。
（图10）
??
?
???-++-+=2)
2(21312)2(2131)2(314222
h b a h b a h b a V h b ab a h b a b a )(31)2(31)2(2222++=??
?
???-++=。
1.5教师总结
上面几位同学向大家展示了他们的研究成果，非常出色。同学们可能不知道，这个公式在距今四千年前就已经被古埃及人所掌握。成书时期约在公元前1850年的一册古埃及数学课本中就记载了一道计算正四棱台体积的问题。数学史家贝尔称这个问题为“最伟大的埃及金字塔”，在他看来，这个问题中涉及的归纳算法较之今日仍旧巍然耸立的任何一座由巨石堆砌而成的古埃及金字塔要雄伟的多。
那么古埃及人是如何得到这一公式的呢？我们现在已经无法知道这个公式的确切来源了。第三组同学展示的推导方法简洁优美，并且公式与图形联系紧密，我们可以猜测古埃及人可能是通过这种方法得到的。
在我国古代，《九章算术》给出了刍童（即两底是长方形的正四棱台）的体积公式
[]c b d a d b h
V )2()2(6
+++=
。同学们一定注意到了生13给出的思考题的解法。我国古人就是利用这种分割方法得到刍童体积公式的。
古代巴比伦人曾使用过错误公式()
h b a V 22
2
1+=
——注意这个错误我们也犯了，——后来的古巴比伦泥板文书上也记载了相当于下式的计算法则h b a b
a V ???
???-++=22
)2(31)2(。大家也一定注意到了，生
14的推导中也出现了这种形式。为什么古巴比伦人没有把它写成古埃及人的形式呢？虽然它可以转化成那
种形式。也许，古巴比伦人用的是不同于古埃及人的方法，可能利用的就是生14的方法。
生15：老师，我打断一下，你说h b a b
a V ??
?
???-++=22
)2(31)2(是古巴比伦人的公式，并且可能是利
用生14的方法。我刚才在用类似生12的方法对棱台作进一步分割，推导过程中也出现这个形式。当时我觉得这样很繁没有提出来，现在我想给大家演示一下，也许古巴比伦人是利用我这种方法推导的。我也象生14选用其中四分之一块来用图说明（如图11）。把这一块切割成13块，再拼成一个长方体，还剩两个小锥体。
（图11）
h b a b a h b a h b a V ??
?
???-++=??????-++=2222
)2(31)2(2)
4(312)4(4。 2 案例简析
新教材（人民教育出版社《数学》（实验修订本））已经取消了台体及其体积公式这一内容。但是这块内容背后所蕴涵的思维价值远远大于这个公式本身的实用价值。所以，可以把它用来作为课外活动、兴趣小组以及研究性学习的课题，让学生在探索的过程中体验数学、欣赏数学。我们也可以预见若干年以后高考中会出现这样一道题目：先阅读一段关于正四棱台的定义、正四棱锥的体积公式以及推导梯形面积公式的几种方法的材料，再让学生写出正四棱台的体积公式以及推导这一公式的几种方法。2002年全国高考卷文科最后一题就传递了这样一种信息：关注平面图形与空间图形的转化和类比。
关于台体体积的教学，如果单是为了让学生记住公式，并利用公式计算，确实不难。只要将公式及某种推导方法直接告诉学生，然后证明，再通过大量练习进行巩固。这样也能达到一定的教学效果。可是，如果真是这样机械处理的话，那就大大忽略了让学生发现结果和探索问题的思维过程，失去了训练思维的绝好机会。上述案例的可贵之处在于通过对数学史材料的深入挖掘以及对学生认知水平的合理定位，把火热的思维过程展现在了课堂中。在这个过程中，可以说学生重演了人类对这一公式的认识历程，经历数学真理发现与发展的过程，体验经过艰辛摸索后成功的愉悦，这对他们今后学习数学、学好数学都是十分有益的。
以往教学只介绍一种推导方法（如第二组展示的），这样思考问题显得思路狭隘，限制了学生从多角度思考。这则案例的处理则走向开放化，让学生从多角度思考问题，用多种方法来解决问题。通过观察、类比、实验、猜想，培养了学生的数学思维能力，同时也调动了学生学习数学的积极性。
这个案例还有个突出的特点，那就是引入了数学实验。传统的数学教学常以严密的逻辑推理来论证因而排斥实验，因而数学课堂中基本上看不到实验的影子。然而，许多数学发现实际上都源于实验，同时实验也可以用来检验猜想。在数学教学中适当引入实验，对学生体验思维过程及数学思想都十分有利。在这里，通过猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的猜想——证明，学生完成一个完整的知识建构过程。
更进一步，这则教学案例不仅介绍了公式的最早记载，同时在教学过程中还隐含了对不同文化背景下的数学的比较。虽然没有事先说明，但学生重演了古埃及人、中国古人以及古巴比伦人对这一问题的处理过程。通过对这些方法的探索和比较，学生能欣赏到数学的美以及整个人类的智慧。多元文化背景下的数学教育让学生欣赏各种数学，而不管它是否属于自己的传统文化。包含各种文化根源的数学可以让学生形成丰富的体验，明白其他文化对数学发展所做的伟大贡献。这种教育的意义已经超出了数学课程的目标，但这确实是数学可以给予的。
参考文献：
1 张维忠.数学 文化与数学课程.上海教育出版社,1999年.
2（美）莫里斯·克莱因.古今数学思想.上海科学技术出版社,2002年.
3 David Nelson,George Gbevergbese Joseph,and Julian Williams.Multicultural Mathematics.Oxford University Press,1993.
四棱台体积计算公式
四棱台体积公式： ①、[S上+S下+√(S上×S下)]*h /3 （可以用于四棱锥） [上面面积+下面面积+根号(上面面积×下面面积)]×高÷2 ②、(S上+S下)*h/2 （不能用于四棱锥） (上面面积+下面面积)x高÷2 第②个最简便的公式，可以把正方体当作四棱台验证。 注意：如果把四棱锥可以看成上面面积为0的四棱台，第①个公式仍然可以用，但是四棱锥不能用第②个公式，切记！！！！！！！！。 拟棱台： 对于一个多面体，如果有两个面互相平行，而其余的面均为顶点全在这两个平行面上的三角形、平行四边形或梯形，这样的多面体叫拟棱台。 若上下底面和中截面的面积分别是S1、S2、S0，高为H，则体积V=1/6(s1+s2+4s0)H 正四棱台体积V=底面积S×高H 圆锥体体积=底×高÷3 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b)
四棱台的体积公式
四棱台的体积公式 V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）
平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高
s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4
椭圆D－长轴 d－短轴S＝πDd/4 立方图形 名称符号面积S和体积V 正方体a－边长S＝6a2 V＝a3 长方体a－长 b－宽 c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱S－底面积 h－高V＝Sh 棱锥S－底面积 h－高V＝Sh/3 棱台S1和S2－上、下底面积 h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6 圆柱r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底 V＝S底h ＝πr2h 空心圆柱R－外圆半径 r－内圆半径 h－高V＝πh(R2-r2) 直圆锥r－底半径 h－高V＝πr2h/3 圆台r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 球r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6 球缺h－球缺高 r－球半径
正四棱台体积公式
一 基于数学史的教学案例：正四棱台体积公式※ 朱哲 张维忠（浙江师范大学数理与信息科学学院 321004） 对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。 1 教学案例：正四棱台体积公式 1.1提出问题 师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a ，上底面边长为b ，高为h ，那么它的体积该如何表示呢？今天我们就来研究这个问题。 生1：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求（演算：设小正四棱锥高为x ，则V V =大正四棱锥 V -小正四棱锥 = =-+ = - +x b a h a x b x h a )(3 13 13 1)(3 12 22 2 2 ……） 。我做不下去了。 1.2类比、猜想、实验 师：这位同学的思路非常好，只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边，先来猜想一下 正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式（与学生一起填写下表）。 生2：我想()h b a V 2 2 2 1+= ，因为梯形面积公式为()h b a S +=2 1。 生3：我觉得应该是()h b a V 2 2 3 1+= ，因为正四棱锥体积公式中有系数3 1 ，且当0=b 时， ()h b a V 2 2 3 1+= h a 2 3 1= ,即为正四棱锥体积公式。 师：这些公式对不对呢？我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器，上底边长2.0米，下底边长3.0米，高2.0米，里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为()013.02.009.004.02 1=+=V 立方 米，由生3的公式得()00867.02.009.004.03 1≈+= V 立方米。我们再把沙子倒入底面边长为2.0米的柱 形容器，量一下，高为多少？约为315.0米，体积约为0126.0立方米。看来上面两个公式都不是很准确。 ——————— ※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）阶段成果。
棱台体体积公式推导
正棱台体公式推导（1）将正四棱台切割成九部分（如下图） C A G H B F E D I （鸟瞰图）（立体切面图） E在棱台体中间位置，是一个方形体； B、D、H、F是四个三棱柱，分别位于在方形体的四周位置； A、C、G、I 是四个四棱锥，分别位于棱台体的四个角的位置。 （2）用字母表示图形部位 顶面棱长为，底面棱长为a,棱台体高为h。 （3）体积的计算 (1)一个方形体E，其底面是边长为b、高为h的方形体，体积为h b2； （图V1） (2)四个四棱锥A、C、G、I，用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为 2 b a- 、高为h的方形体。 （四棱锥）（三个四棱锥拼合图形）（多出一个四棱锥） 方形体的体积为（ 2 b a- ）2h。其中一个四棱锥的体积就是 3 1 （ 2 b a- ）2 h。四个四棱锥的体积和则 为 3 4 （ 2 b a- ）2 h。 化简可得： 3 1 （b a-）2 h (3)四个直角三棱柱B、D、F、H，可以拼成两个长、宽、高分别为b、 2 ) (b a- 、h的长方体，体积和为 b(a-b)h。
（三棱柱） （拼合图形） （4）四棱台的体积 四棱台的体积等于上述三项（九个部分）之和 V=h b 2+3 1（b a -）2h+ b (a-b )h 解：V= [b 2 +31（b a -）2+ b (a-b )] h 截面积组成： 方形体的截面积：顶面的边长乘以边长； 字母表示 b 2 四个三棱柱截面积和： 字母表示b(a-b) 一个三棱柱截面积等于方形体底面积一半。 四个四棱锥截面积和： 字母表示3 1（b a -）2 一个四棱锥截面积等于方形体底面积的三分之一。 化简可得 h b ab a V )(3122++=
高考数学刍甍、羡除、刍童楔形四棱台的体积公式
刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式 题1 (2013年高考湖北卷文科第20题)如图1，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面D E F G 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． 图1 (1)证明：中截面D EFG 是梯形； (2)在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =?估中来估算. 已知1231 ()3 V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. 笔者关心的是：该题中的1231 ()3V d d d S =++即)(6 1321d d d ah V ++=是怎么来的呢？ 这由下面推导的羨除体积公式立得. 题2 (2002年高考北京卷文科第18题)如图2，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. (1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值； (2)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公
(甘志国)刍甍羡除刍童及楔形四棱台的体积公式
刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式 见甘志国著《立体几何与组合》(哈工大出版社，2014)第48-52页 高考题1 (2013·湖北·文·20)如图1，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<.过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所 得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． (I)证明：中截面DEFG 是梯形； (II)在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =?估中来估 算. 已知1231 ()3 V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. 请问，该题中的1231 ()3V d d d S =++即)(6 1321d d d ah V ++=是怎么来的呢？这由下面 推导的羨除体积公式立得. 《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式， 这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们. 1.刍甍 刍甍是图2中的五面体ABCDEF ，其中EF DC AB ////，底面ABCD 是平行四边形.设a AB =，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)2(6 c a Hh V += . 图2 图3 证明 如图3.设点F E ,在面ABCD 上的射影分别是点F E '',. 图 1
圆锥体积计算
圆锥的体积是圆柱的体积的1/3 棱台体体积计算公式： V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]） H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。 棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。 关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因 鲁班算量2006在计算独立基础时，发现所有的正四棱台计算正确，而计算有长边与短边的四棱台时，就不对了，量都偏大的原因： 独立基础体积正确的计算公式为： 四棱台计算公式为(s1+s2+sqr(s1*s2))*h/3,sqr(x)对x求根 或 A*B*H+h/6*(AB+ab+(A+a)(B+b))其中A、B、H分别为独立基础下部长方体的长、宽、高；a、b、h分别为四棱台的长、宽、高，当然， A与a、B与b相对应。 用A*B*H+h/6*(AB+ab+(A+a)(B+b))是偏小 实际工作中，这两种公式都有人用，结果有时是不一样. 而使用鲁班算量计算结果偏大，计算不等边长的四梭台与计算公式算出结果不一样是因为我们预算中的四梭台计算公式是近似的计算方法，而鲁班用的是微积分算法，结果相差很小
另外鲁班的带马牙槎的构造柱计算结果也与实际算法有差别，其实我们算构造柱时是按如果有两边有马牙槎的为边长上加6cm计算，鲁班算量考虑了层高的不同与马牙槎的高度位也考虑了（马牙槎在板底时正好为退时鲁班的计算结果就会小，但其实鲁班算的是实际的量）。 圆台体积计算圆台体积计算公式是： 设上底的半径为r ,下底的半径为R ,高为h 则V＝(1/3)*π*h*(R^2 + Rr +r^2) V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 r－上底半径 R－下底半径 h－高 圆台吧……V=1/3（s+√ss' +s'）h 其中s'为台体的上底面面积，s为台体的下面面积，h为台体的高。（P S.√是根号啦，不过我不懂得打。）三棱锥体积计算公式：底面积×高/2 各种台体，都有它自己的体积计算公式。 我给你一个通式： 台身体积＝（上底面积+下底面积+4×中位面积）×高度÷6
四棱台体积算法
一中方法 你就把四棱台看做两个四棱锥,大的减小的 公式是 s=1/3[s1+(s1s2)^1/2+s2] s1是上底的面积 s2是下底的面积 ^1/2是开方 可是翻书的好不容易弄上 设棱台的两底面积分别为A与B，高为h，则其体积V为：V=h[A+B+sqrt(AB)]/3 这里sqrt( )是对括号内的结果求算术平方根。 二种方法 1、砂石垫层工程量 （1）带形基础下垫层：计量单位：“m3”。V垫层＝断面积×长度长度：外墙按外墙中心线；内墙按基底净长线；附墙垛凸出部分按砖垛折加长度；柱网结构按基底净长线。 （2）独立（杯形）基础下垫层：计量单位：“m3”。V垫层＝底面积×垫层厚度 （3）满堂基础（地下室底版）下垫层：计量单位：“m3”。 V垫层＝底面积×垫层厚度 2、砌筑基础工程量 （1）等高式放脚基础：计量单位：“m3”。
V＝（基础墙厚×基础墙高+放脚增加面积）×基础长－V应扣＋V搭接 =「dh+0.126×0.0625n(n+1)」×L－V应扣＋V搭接 =「dh+0.007875n(n+1)」×L－V应扣＋V搭接 （2）不等高式放脚基础：计量单位：“m3”。 V＝｛dh+0.007875「n(n+1)-∑半层放脚层数值」｝×L－V应扣＋V 搭接 注：0.007875——一个放脚标准块面积；n——放脚层数；d——基础墙厚 h——基础墙高；L——基础长； 半层放脚层数值：指半层放脚（0.063m高）所在放脚层的值。 长度L：外墙按外墙中心线；内墙按内墙净长线；附墙垛凸出部分按附墙垛折加线；柱网结构按基底净长线。 V应扣：平行嵌入砌筑基础的混凝土体积（如构造柱、地圈梁等）。V搭接：柱网结构时，搭接体积按图示尺寸计算。
基础计算公式
一)基础 1.带形基础 (1)外墙基础体积=外墙基础中心线长度×基础断面面积 (2)内墙基础体积=内墙基础底净长度×基础断面面积+T形接头搭接体积 其中T形接头搭接部分如图示。 V=V1+V2=（L搭×b×H）+L搭〔bh1/2+2(B-b/2×h1/2×1/3)〕=L搭〔b×H+h1(2b+B/6)〕式中：V--内外墙T形接头搭接部分的体积； V1--长方形体积，如T形接头搭接示意图上部所示，无梁式时V1=0； V2--由两个三棱锥加半个长方形体积，如T形接头搭接示意图下部所示，无梁式时V=V2； H--长方体厚度，无梁式时H=0； 2.独立基础（砼独立基础与柱在基础上表面分界） (1)矩形基础：V=长×宽×高 (2)阶梯形基础：V=∑各阶(长×宽×高) (3)截头方锥形基础：V=V1+V2=H1/6×［A×B+（A+a）（B+b）+a×b］+A×B×h2 截头方锥形基础图示 式中：V1--基础上部棱台部分的体积（m3） V2--基础下部矩形部分的体积（m3） A，B--棱台下底两边或V2矩形部分的两边边长（m） a,b--棱台上底两边边长（m） h1--棱台部分的高（m） h2--基座底部矩形部分的高（m） （4）杯形基础 基础杯颈部分体积（m3）V3=abh3 式中：h3--杯颈高度 V3_--杯口槽体积（m3） V4=h4/6+［A×B+（A+a）（B+b）+a×b］ 式中：h4-杯口槽深度（m）。 杯形基础体积如图7-6所示： V=V1+V2+V3－V4 式中：V1，V2，V3，V4为以上计算公式所得。 3.满堂基础（筏形基础） 有梁式满堂基础体积=（基础板面积×板厚）+（梁截面面积×梁长） 无梁式满堂基础体积=底板长×底板宽×板厚 4.箱形基础 箱形基础体积=顶板体积+底板体积+墙体体积 5.砼基础垫层 基础垫层工程量=垫层长度×垫层宽度×垫层厚度 （二）柱 1.一般柱计算公式：V=HF 式中：V--柱体积；
四菱台的基坑土方计算公式
四菱台的基坑： xxxx A、宽B 下口长a、宽b xxH V=[A*B+a*b+（A+a）*（B+b）]*H/6 分段计算，在高差处分开，但公式是一样的，如果两个坑的底部没有重合，而上口重合了，你就算二个四棱台的体积再扣去重合部份的三棱台体积就是了。复杂的你可以用CAD软件或图形算量软件去计算。如广联达的或清华斯维尔的。 一、基坑土方工程量计算 （一）基坑土方量计算基坑土方量的计算，可近似地按拟柱体体积公式计算（图 1—8）。 图1—8 基坑土方量计算图1—9 基坑土方量计算 V=H*（A'+4A+A''）/6 H ----- 基坑xx （m ）。 A1、A2――基坑上下两底面积（m2）。 A0——基坑中截面面积（m2）。 二、计算平整场地土方工程量 ①四棱柱法 A、方格四个角点全部为挖或填方时（图1—16），其挖方或填方体积为: 式中：h1 、h 2、h
3、h 4、一一方格四个角点挖或填的施工高度，以绝对值带入（m）; a――方格边长（m）。 图1—16角点全填或全挖；图1—17角点二填或二挖；图1—18角点一填三挖 B、方格四个角点中，部分是挖方，部分是填方时（图1—17），其挖方或填方体积分别为： C、方格三个角点为挖方，另一个角点为填方时（图1—18）， 其填方体积为： 其挖方体积为： ②三棱柱法 计算时先把方格网顺地形等高线将各个方格划分成三角形（图1—19） 图1—19按地形方格划分成三角形每个三角形的三个角点的填挖施工高度，用 h 1、h 2、h3 表示。 A、当三角形三个角 点全部为挖或填时（图1—20a）， 其挖填方体积为： 式中： 方格边长（m）；h1、h 2、h3――三角形各角点的施工
四棱台的体积公式
V=（）H（S上＋S下＋√[S上×S下]） 公式分类 平方差 和差的平方 和差的立方3常用数学公式表: 公式表达式 a-b=(a+b)(a-b) (a+b)=a+b+2ab a+b=(a+b)(a-ab+b) |a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b| -|a|≤a≤|a| -b-b+√(b-4ac)/2a X1*X2=c/a 常用数学公式表: 三角函数公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) tan2A=2tanA/(1-tanA)222 3223
22 22 (a-b)=a+b-2aba-b=(a-b)(a+ab+b)|a|≤b<=>-b≤a≤b注：xx定理注： 方程有相等的两实根 注： 方程有一个实根注： 方程有共轭复数根322三角不等式 |a-b|≥|a|-|b| 一元二次方程的解 根与系数的关系-b+√(b-4ac)/2a X1+X2=-b/a b-4a=0 判别式b-4ac>0 b-4ac<02222 两角和公式 tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) sin2a=2sinacosa 倍角公式 cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina