基本不等式求最值的策略
例谈用基本不等式求最值的四大策略
摘要 基本不等式ab b a ≥+2
（0,0>>b a 当且仅当b a =时等号成立）是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。
关键字：基本不等式 求和与积的最值 策略
一、基本不等式的基础知识[1]
基本不等式：
如果0,0>>b a ，则
ab b a ≥+2
，当且仅当b a =时等号成立。 在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：
“一正”：a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。
“二定”：当两正数的和b +a 是定值时，积ab 有最大值；当两正数的积ab 是定值时，和b +a 有最小值。
“三相等”： b a =是ab b a =+2
的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致。
二、利用基本不等式求最值的四大策略
策略一 利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构
通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。
题型一 配凑系数
例1 设230< 30< 故2922322)23(22)23(42 =??? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即??? ??∈= 23,043x 时等号成立. 所以原式的最大值为 29. 题型二 配凑项 1 配凑常数项 例2 已知54 x <，求函数54124-+-=x x y 的最大值。[2] 分析：因450x -<，所以首先要“调整”符号。另外，541) 24(--=x x y 又不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项。 解：因为4 5 -=x x x x y 当且仅当15454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，y 取最大值1. 2 配凑一般项 例3 （2010年高考四川文科卷第11题）设0a b ＞＞，则() 211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 分析：如果要利用基本不等式来求和的最小值，就必须出现积的定值。考虑到11=?ab ab ，1)(1)(=-?-b a a b a a 即11)(22=-?-ab a a b a ，所以配凑ab ab -、这两项。 解：因为0>>b a ，所以0>ab ，01>ab ，故2121=?≥+ab ab ab ab 而0)(>-b a a ，0) (1>-b a a ， 所以2) (1)(2)(1)(=-?-≥-+-b a a b a a b a a b a a 故()211a ab a a b ++-w ＝211() a a b ab ab a a b -+++- ＝11()() ab a a b ab a a b ++-+-≥2＋2＝4 当且仅当ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立，如取a 2,b ＝ 22，式子取得最小值4. 故选择答案D 策略二 遇到分式，可尝试分离后再用基本不等式 题型一：配凑分子，分离分式 对于分子次数比分母高的分式不等式，可尝试先对分子进行配凑，使之出现与分母相同的项，然后分离得到可用基本不等式求解的结构。 例4 求)1(1 22y 2>-+-=x x x x 的最小值。[2] 分析：可先将分子配凑出含有1x-的项，再将其分离。 解：因为1>x ，所以01>-x 所以21 1111)1(12222≥-+-=-+-=-+-x x x x x x x 当且仅当.21 11时取等号时，也就是=-=-x x x 所以y 的最小值为2. 题型二：同除分子，分离分母 对于分母次数比分子高的分式不等式，可尝试上下同除以分子，使分母出现互倒的结构，再用基本不等式求最值。 例5 求9 y 2+=x x 的值域. 分析：题目没有交代x 的取值范围，此题需要分类讨论。 解：当0≠x 时，分子分母同除以x ,则 x x x x 919y 2+=+= （1） 当69290=?≥+>x x x x x 时，有， 所以6 19 1 y ≤+=x x , 当且仅当时，等号成立3=x （2） 当()6969)(290-≤+=-?-≥-+ - x y ，当且仅当时，等号成立3-=x 当时0=x ，9 y 2+=x x =0 综上可知，y 的取值范围是?? ????-6161， 策略三 遇到根式，可尝试平方后再用基本不等式 例6 求函数)2 521(2512y <<-+-=x x x 的最大值. 分析：观察式子的结构，可以看到是个定值4)25()12(=-+-x x ，所以将式子平方后，便可构造出可用基本不等式的结构。 解：将两x x 2512y -+-=边平方，得 8)25()12(4)25)(12(24)2512(y 22=-+-+≤--+=-+-=x x x x x x 又因为y>0，所以220< 当且仅当2x x 251-=-，即.2 3时，取等号=x 所以y 的最大值是2. 策略四 利用1的性质，合理代换后再用基本不等式 “1”是一个特殊的数，任何式子乘以1，式子仍不变。所以如果题目条件给出某个式子的值为1，则可在要求最值的式子上乘以这个式子，从而构造出可用基本不等式的形式。 例7 设0>xy ，且111=+y x ，求y x +的最小值. 分析：由于 111=+y x ，所以y x +=()y x x y y x y x ++=+??? ? ??+211，故可用基本不等式求最值.