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指数函数及其性质常见题型

――习题课题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域

1、含指数函数的复合函数的定义域

（1）由于指数函数y=a x a . 0,且a=1的定义域是R，所以函数y=a fx的定义域与f x的定义域相同.

（2）对于函数y =f a x a . 0,且a=1的定义域，关键是找出t = a x的值域哪些部分y = f t的定义域中?

2、含指数函数的复合函数的定义域

（1）在求形如y =a f（x ）（a a 0,且a式1 ）的函数值域时，先求得f（x）的值域（即t= f（x ）中t的范围），再根

据y =a t的单调性列出指数不等式，得出a t的范围，即y = a f x的值域.

（2）在求形如y二f a x a 0,且a=1的函数值域时，易知a x 0 （或根据y二f a x对x限定的更加具体的范围列指数不等式，得出a x的具体范围），然后再［0, ?二上，求y = f t的值域即可.

【例】求下列函数的定义域和值域.

1 _____________________________________________________

（1）y =0.4刁；（2）丫=3航；（3）y=€1—a x.

题型二：利用指数函数的单调性解指数不等式

解题步骤：（1）利用指数函数的单调性解不等式，首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式

广1屮4 2

1例,（1）解不等式匕厂2；（2）已知严匕%〉。*），求x的取值范围

题型三：指数函数的最值问题

解题思路：指数函数在定义域R上是单调函数，因此在R的某一闭区间子集上也是单调函数，因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值?需要注意的是，当底数未知时，要对底数分情况讨论

【例】函数fx二a x a 0,a -1在1,2 1上的最大值比最小值大 -，求a的值.

题型四：与指数函数有关的单调性

1、研究形如y =a fx a 0,且a=1的函数的单调性时，有如下结论：

（1 ）当a 1时，函数y二a f x的单调性与f x的单调性相同；

（2）当0 ：：：a 1时，函数y二a f x的单调性与f x的单调性相反.

2、研究形如y二「a x a 0,且a =1的函数的单调性时，有如下结论：

（1）当a 1时，函数y = a^的单调性与y = t的单调性相同；

（2）当0 ：：：a 1时，函数y二a x的单调性与y二t的单调性相反

注意：做此类题时，一定要考虑复合函数的定义域

【例】1.已知a 0,且a=1，讨论fx A a^3x2的单调性.

(1 )把y 二a x 的图像向左平移b 个单位，则得到

y = a x 力的图像; (2)把y =a x 的图像向右平移b 个单位，则得到

y =a x "的图像; x x 2.求下列函数的单调区间

题型五：指数函数与函数奇偶性的综合应用

虽然指数函数不具有奇偶性，但一些指数型函数可能具有奇偶性，对于此类问题可利用定义进行判断或证明

, 1

【例】1.已知函数f x x

a 为奇函数，则a 的值为

3X +1 1

2. 已知函数fx =a -x ?R 是奇函数，则实数 a 的值为

1 +2X

1 1

3.已知函数f x 二?丄a ? 0,a =1 ,判断函数f x 的奇偶性.

a x -1 2

题型六：图像变换的应用

1、平移变换：若已知 y =a x 的图像,

(1)

X 2 松 _3 y =a ； 1 0.2X -1

（4）把y =a x的图像向下平移b个单位，则得到y =a x _b的图像.

2、对称变换：若已知y二a x的图像，

（1）函数y二a x的图像与y二的图像关于y轴对称；

（2）函数y =a x的图像与y=-a x的图像关于x轴对称；

（3）函数y =a x的图像与y二-a」的图像关于坐标原点对称.

【例】1?画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y=2x的图像经过怎样的变换得到的.

① y 二鸟乂」：② 丫=2% +1 :③ y=2 丨；④ 丫=2*一1 二⑤ y = 一2乂； @ y = 一2?

3.若直线y =2a与函数y = a x -1 +1 （a >0,且a式1）的图像有两个公共点，则a的取值范围是 _______ . _______

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高一数学指数函数知识点及练习题

2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质指数函数练习

1．下列各式中成立的一项（） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果（） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-）（ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><≤-=-0 ,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（） A ．)1,1(- B ． ),1(+∞- C ．}20|{-<>x x x 或 D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数2 2)2 1(++-=x x y 得单调递增区间是（） A ．]2 1,1[- B ．]1,(--∞ C ．),2[+∞ D ．]2,2 1 [ 10．已知2 )(x x e e x f --=，则下列正确的是（） A ．奇函数，在R 上为增函数 B ．偶函数，在R 上为增函数

指数函数练习题

$ 指数与指数函数练习题姓名学号（一）指数 1、化简［32)5(-］4 3的结果为（） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为（） A ．212- B ．3 12- C ．2 12- - D ．6 52- 3.333 4)2 1 ()21() 2()2(---+-+----的值（）） A 4 3 7 B 8 C －24 D －8 4(a, b 为正数)的结果是_________． 5、3 21 41()6437 ---+-=__________． 6、)3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。（二）指数函数一．选择题： 1. 函数x y 24-= 的定义域为（） "

A ),2(+∞ B (]2,∞- C (]2,0 D [)+∞,1 2. 下列函数中，在),(+∞-∞上单调递增的是（） A ||x y = B 2 y x = C 3x y = D x y 5.0= 3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（） 511.A 个 512.B 个 1023.C 个 1024.D 个 4．在统一平面直角坐标系中，函数ax x f =)(与x a x g =)(的图像可能是（） 5．设d c b a ,,,都是不等于1的正数，x x x x d y c y b y a y ====,,,在同一坐标系中的图像如图所示，则 d c b a ,,,的大小顺序是（） d c b a A <<<. c d b a B <<<. c d a b C <<<. d c a b D <<<. | 6．函数0.(12 >+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点 )1,0.(A )1,1.(B )0,2.(C )2,2.(D 7 .若01<<-x ，那么下列各不等式成立的是（） x x x A 2.022.<<- x x x B -<<22.02. x x x C 222.0.<<- x x x D 2.022.<<- 8. 函数x a x f )1()(2 -=在R 上是减函数，则a 的取值范围是（） 1.>a A 2.