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向量共线的条件与轴上向量坐标运算

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第二章 平面向量

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算

教学目标:

理解向量共线的条件与轴上向量坐标运算

教学重点:向量共线的条件与轴上向量坐标运算

教学过程

一、复习引入:

1. 向量的表示方法

2. 向量的加法,减法及运算律

3.实数与向量的乘法

二、讲解新课:

1. 若有向量a (a ≠)、b ,实数λ,使b =λa 则由实数与向量积的定义知:a 与

b 为共线向量

若a 与b 共线(a ≠0)且|b |:|a |=μ,则当a 与b 同向时b =μa , 当a 与b 反向时b =-μa

从而得:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ

使b =λa

2.若存在两个不全为0的实数μλ,使得=+μλ,那么a 与b 为共线向量,

零向量与任意向量共线

3.与向量a 同方向的a 的单位向量为e =

4.数轴上的基向量的概念

5、轴上向量的坐标:轴上向量,一定存在一个实数x ,使得x =,那么x 称为向量的坐标

6、设点A 、B 是数轴上的两点其坐标分别为1x 和2x ,那么向量AB 的坐标为 12x x AB -=

由此得两点A 、B 之间的距离为||||21x x AB -=

7.例子

例1 三角形两边中点的连线平行与第三边并且等与第三边的一半。

已知:如图3-1,ABC ?中,D ,E 分别是边AB ,AC 的中点。

求证:BC DE //且BC DE 21

=。

证明:因为D ,E 分别是边AB ,AC 的中点, 所以?→??→?=AB AD 21,?→

??→?

=AC AE 21。 所以?→

?

?→??→??→

??→??→?=-=-=BC AB AC AD AE DE 21)(21

再由D ,B 不共点,故BC DE //且BC DE 21

=。

例2 如图3-2,平行四边形OACB 中,BC BD 31

=,

向量共线的条件与轴上向量坐标运算

OD 与BA 相交于E 。 求证:BA BE 41

=。

证明:设E ’是线段BA 上的一点,且BA BE 41

'=,

只要证E ,E ’重合即可。设a OA =?→

?,b OB =?→

?,则

a BD 31

=?→?,a b OD

31+=?→

?。

b OE BE -=?→??→?'',?→??→?-=''OE a A E ,?→

??→

?=A E BE ''3,

?→??→?-=-∴')'(3OE a b OE ,

)31(43)3(41

'a b b a OE

+=+=∴?→?,

图3-2

?→??→

?=∴OD OE 43', ∴ O ,E ’,D 三点共线,

∴ BA BE 4

1=。

小结:本节课学习了向量共线的条件与轴上向量坐标运算,应注意向量共线,并不是说表示向量的有向线段在一条直线上.

课堂练习:第99页练习A 、B

课后作业:第100页8,第101页5、6