向量共线的条件与轴上向量坐标运算

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第二章 平面向量

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算

教学目标：

理解向量共线的条件与轴上向量坐标运算

教学重点：向量共线的条件与轴上向量坐标运算

教学过程

一、复习引入：

1. 向量的表示方法

2. 向量的加法，减法及运算律

3．实数与向量的乘法

二、讲解新课：

1． 若有向量a (a ≠)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与

b 为共线向量

若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa , 当a 与b 反向时b =-μa

从而得：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ

使b =λa

2.若存在两个不全为0的实数μλ,使得=+μλ，那么a 与b 为共线向量，

零向量与任意向量共线

3.与向量a 同方向的a 的单位向量为e =

4．数轴上的基向量的概念

5、轴上向量的坐标：轴上向量，一定存在一个实数x ，使得x =，那么x 称为向量的坐标

6、设点A 、B 是数轴上的两点其坐标分别为1x 和2x ，那么向量AB 的坐标为 12x x AB -=

由此得两点A 、B 之间的距离为||||21x x AB -=

7．例子

例1 三角形两边中点的连线平行与第三边并且等与第三边的一半。

已知：如图3-1，ABC ?中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点。

求证：BC DE //且BC DE 21

=。

证明：因为D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， 所以?→??→?=AB AD 21，?→

??→?

=AC AE 21。 所以?→

?

?→??→??→

??→??→?=-=-=BC AB AC AD AE DE 21)(21

，

再由D ，B 不共点，故BC DE //且BC DE 21

=。

例2 如图3-2，平行四边形OACB 中，BC BD 31

=，

OD 与BA 相交于E 。 求证：BA BE 41

=。

证明：设E ’是线段BA 上的一点，且BA BE 41

'=，

只要证E ，E ’重合即可。设a OA =?→

?，b OB =?→

?，则

a BD 31

=?→?，a b OD

31+=?→

?。

b OE BE -=?→??→?''，?→??→?-=''OE a A E ，?→

??→

?=A E BE ''3，

?→??→?-=-∴')'(3OE a b OE ，

)31(43)3(41

'a b b a OE

+=+=∴?→?，

图3-2

?→??→

?=∴OD OE 43'， ∴ O ，E ’，D 三点共线，

∴ BA BE 4

1=。

小结：本节课学习了向量共线的条件与轴上向量坐标运算，应注意向量共线，并不是说表示向量的有向线段在一条直线上.

课堂练习：第99页练习A 、B

课后作业：第100页8，第101页5、6

空间向量的坐标运算练习

空间向量的坐标运算练 习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

空间向量的坐标运算——1 1、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点 答：a 的__________________________； b 的________________________________ 2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________ 4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是 ___________; 在yoz 面上的射影坐标是___________ 5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐 标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________ 6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若 AB 5 2OC =，则C 点的坐标是______________ 7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________ 8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0， 2) A ：2 D 3C 4B 6ππππ ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标： ______________= ______________=______________=A A'

2.3.4平面向量共线的坐标表示

平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示 一、教学分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能： 掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。 2、过程与方法： 通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。 3情感态度与价值观： 学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。 三、教学重点与难点 教学重点：平面向量的坐标运算。 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确. 四、教学设想 （一）导入新课 思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行向量的共线用代数运算如何体现 思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢 （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗 ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗标出点P 后,你能总结出什么结论 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:

《空间向量运算的坐标表示》说课稿

《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所

空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)

空间向量的坐标运算（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 3.若向量，，则向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 4.已知向量，，则=( ) A. B. C. D. 答案：C

解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组

基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( ) A. B.

C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

平面向量共线的坐标表示

课时跟踪检测（二十一） 平面向量共线的坐标表示 层级一 学业水平达标 1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝????12 ，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12 e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B. 2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ―→，则实数λ的值为( ) A ．－23 B.32 C.23 D ．－32 解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ―→＝(3,1)， ∵a ∥AB ―→，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23 ，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2,1) B ．(－6，－3) C ．(－1,2) D ．(－4，－8) 解析：选D AB ―→＝(1,2)，向量(2,1)，(－6，－3)，(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8) 与(1,2)平行且方向相反． 4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4 D ．－6 解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6. 5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝? ???1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45° B ．30° C ．60° D ．15°

空间向量的基本运算

第六节 空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ， 使a ＝ 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是 的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作

(完整版)向量共线的坐标表示

《平面向量共线的坐标表示》教案 教学目标 (1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式； (2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力； (3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识. 教学重点和难点 (1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解； (2)难点：定比分点的理解和应用。 教学过程 一、新知导入 （一）、复习回顾 1、向量共线充要条件: 2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则 a + b =(x 1+x 2,y 1+y 2). a - b =(x 1-x 2,y 1-y 2). λa =(λx 1,λy 1). （2）. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. （二）、问题引入 已知下列几组向量： (1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)； (4)a ＝????12，1，b ＝??? ?－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？ 问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？ ),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x --=则. ,)(//λλ=?≠使存在唯一实数

二、新知探究 思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？ 设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。 由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?21 21y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时能不能两式相除？ （不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0） （2）能不能写成2 211x y x y = ？ （不能。 ∵x 1， x 2有可能为0） (3)向量共线有哪两种形式？ a ∥b (b ≠0)???===?. 01221y x y x b a λ 三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用） 1．向量共线问题： 例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 变式练习1： 2．证明三点共线问题： 例2: 例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。 变式训练2：设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线． 已知a //b,且a =(x,2),b =(2,1),求x 的值.

空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向

向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若

人教版高中数学高一A版必修4 平面向量共线的坐标表示

主动成长 夯基达标 1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,-2) B.e 1=(-1,2),e 2=(5,7) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e 2=(21,-4 3) 解析：平面内任意两个不共线的向量都可作为所在平面内所有向量的基底. 对于A,e 1=0与任何向量共线, C 中,2e 1=e 2,∴e 1与e 2共线. D 中,4 1e 1=e 2,∴e 1与e 2共线. 答案：B 2.已知a =(-1,3),b =(x,-1),且a 、b 共线,则x 等于( ) A.3 B.-3 C. 31 D.-31 解析：因为a 、b 共线,所以1=3x,∴x= 31. 答案：C 3.已知A(-1,-4),B(8, 2 1),且A 、B 、C 三点共线,则C 点的坐标为( ) A.(9,1) B.(-9,1) C.(9,-1) D.(-9,-1) 解析：设C(x,y),=(8, 21)-(-1,-4)=(9,29), =(x,y)-(8,21)=(x-8,y-2 1), =(x,y)-(-1,-4)=(x+1,y+4), ∵A 、B 、C 三点共线, ∴AB 与BC 与AC 三个向量共线. ∴??? ????+-=+--=-).1)(21()4)(8(),8(29)21(9x y y x x y 经检验x=9,y=1适合. 答案：A 4.设a =( 31,tanα),b =(cosα, 23),且a 、b 共线,则锐角α的值为( ) A.12π B.6π C.4π D.3 π 解析：∵a 、b 共线,∴31×2 3-tanα·cosα=0,

2.3.4 平面向量共线的坐标表示

第二章平面向量 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.4平面向量共线的坐标表示 [A组学业达标] 1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，－2y)．若a∥b，则y的值是() A．2B．－2 C．－1 D．1 解析：因为a∥b，所以(－1)×(－2y)＝2×1，解得y＝1. 答案：D 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝() A.1 4 B. 1 2 C．1 D．2 解析：由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0， 解得λ＝1 2. 答案：B 3．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是() A．(4，8) B．(8，4) C．(－4，－8) D．(－4，8) 解析：∵a＝(1，－2)＝－1 4(－4，8)，|b|＝4|a|， ∴b可能是(－4，8)． 答案：D 4．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝______．解析：∵a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，a∥b， ∴2λ－6×(－1)＝0，∴λ＝－3. 答案：－3

5．已知A ，B ，C 三点共线，BA → ＝－38AC →，点A ，B 的纵坐标分别为2，5，则点C 的纵坐标为________． 解析：设点C 的纵坐标为y .∵A ，B ，C 三点共线，BA →＝－38AC →，A ，B 的纵 坐标分别为2，5，∴2－5＝－3 8(y －2)，∴y ＝10. 答案：10 6．已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝25，且a ∥b ，则b ＝________． 解析：设b ＝(x ，y )，由已知可得???x 2＋y 2＝25，－2x ＝y ，解得???x ＝2，y ＝－4或???x ＝－2， y ＝4，所 以b ＝(2，－4)或(－2，4)． 答案：(2，－4)或(－2，4) 7．已知a ＝AB →，点B 的坐标为(1，0)，b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)，且a ＝3b － 2c ，求点A 的坐标． 解析：∵b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)，∴3b －2c ＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a ＝(－7，10)＝AB →. 又点B 的坐标为(1，0)，设点A 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1－x ，0－y )＝(－7， 10)， ∴???1－x ＝－7，0－y ＝10????x ＝8，y ＝－10， 即点A 的坐标为(8，－10)． 8．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线； (2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解析：(1)∵a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，∴k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－1 2.

人教版高中数学-必修四 作业 平面向量共线的坐标表示

1.下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) C ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) D ．e 1＝(－2，3)，e 2＝(－12，34 ) 解析：A 、B 、D 中的向量e 1与e 2共线，C 中e 1，e 2不共线，所以可作为一组基底． 答案：C 2．已知向量a ＝(3，5)，b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A.35 B.53 C ．－35 D ．－53 解析：∵a ∥b ，∴3sin α－5cos α＝0，得tan α＝53 . 答案：B 3．设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2，3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.512 π 解析：∵a ∥b ，∴4sin α×3cos α－3×2＝0. ∴sin2 α＝1，∵α为锐角，∴2 α＝π2，即α＝π4 . 答案：B 4．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10) 解析：∵a ∥b ，∴m －2×(－2)＝0，即m ＝－4. ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 答案：C 5．已知向量a ＝(2x ，7)，b ＝(6，x ＋4)，当x ＝________时，a ＝b ；当x ＝________时，a ∥b .

解析：a＝b时，2x＝6且x＋4＝7，即x＝3. a∥b时，2x(x＋4)－42＝0，即x2＋4x－21＝0. 解得x＝3，－7. 答案：33或－7 6．(2011·湖南高考)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a 的坐标为________． 解析：∵a与b方向相反，∴设a＝λb(λ＜0)，∵b＝(2，1)，∴a＝(2λ，λ)，∵|a|＝25，∴4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4， ∵λ＜0，∴λ＝－2.∴a＝(－4，－2)． 答案：(－4，－2) 7．已知点M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，且MN∥PQ，求y的值，并求出向量PQ的坐标． 解：∵点M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)， ∴MN＝(－1，1)，PQ＝(－1，y－1)． ∵MN∥PQ， ∴(－1)×(y－1)－1×(－1)＝0， 解得y＝2.∴PQ＝(－1，1)． 8．已知A、B、C三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE＝1 3 AC，BF＝ 1 3 BC. (1)求点E、F及向量EF的坐标； (2)求证：EF∥AB. 解：(1)设O(0，0)， 则OE＝OA＋AE＝(－13，23)， OF＝OB＋BF＝(7 3 ，0)， 即E(－1 3，2 3)，F( 7 3 ，0)，

最新空间向量运算的坐标表示练习题

课时作业(十七) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3) 【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A 2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132 【解析】 ∵AB 的中点M ? ? ???2，32，3，∴CM →＝? ????2，12，3，故|CM | ＝|CM → |＝ 22＋? ?? ??122＋32＝532. 【答案】 C 3．(2014·德州高二检测)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23 C.2 3 D ．14 【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝2 3.

【答案】 C 4. (2014·河南省开封高中月考)如图3-1-32，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( ) 图3-1-32 A ．1 B.52 C.62 D.32 【解析】 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E (1,1，2)， F ? ???? 2，1，22，所以|EF |＝ (1－2)2 ＋(1－1)2 ＋? ??? ?2－222 ＝6 2，故选C. 【答案】 C 二、填空题 5．(2014·青岛高二检测)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 【解析】 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA → ＝

数学必修四人教A版 2.3.4平面向量共线的坐标表示(教、学案)

平面向量共线的坐标表示 【教学目标】 ．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； ．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 ．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】 教学重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解． 教学难点：定比分点的理解和应用． 【教学过程】 一、〖创设情境〗 前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。这就为解决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。 二、〖新知探究〗 思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？ 设(, ) (, )（≠）其中≠ 由λ，(, ) λ(, ) 消去λ：－ 结论：∥(≠) 注意：?消去λ时不能两式相除，∵, 有可能为，∵≠， ∴, 中至少有一个不为. ?充要条件不能写成∵, 有可能为. ?从而向量共线的充要条件有两种形式：∥(≠) 三、〖典型例题〗 例. 已知，，且，求． 解：∵，∴．∴． 点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解. 变式训练：已知平面向量，，且，则等于. 例: 已知，，，求证:、、三点共线． 证明：，， 又，∴.∵直线、直线有公共点，

∴，，三点共线。 点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线. 变式训练：若(，)，(，)，(，)三点共线，则的值为. 例:设点是线段上的一点，、的坐标分别是(，)，(，). (1)当点是线段的中点时，求点的坐标； (2)当点是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 解：（）＝ 所以，点的坐标为 （）当时，可求得：点的坐标为： 当时，可求得：点的坐标为： 点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式. 变式训练：当时,点的坐标是什么？ 四、〖课堂小结〗 ．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式； ．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行； ．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。 五、〖反馈测评〗 .已知，－，（－），则（） . 、、三点共线、、三点共线 . 、、三点共线. 、、三点共线 .若向量(，)与(，)共线且方向相同，则为. ．设，，，且，求角． 【板书设计】

《平面向量共线的坐标表示》教学设计

《平面向量共线的坐标表示》教学设计 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =， 则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课： a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .

由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?2 121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0 （2）充要条件不能写成 2 2 11x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)0 1221=-=? y x y x b a λ 三、讲解范例： 例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y. 例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x 解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x ?(-x )=0 ∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平 行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？ 解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD 又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴

空间向量运算的坐标公式

空间向量运算的坐标公式 如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的 有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个 ______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一 个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一 点O和一个单位正交基底i、j、k 。以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐 标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、 向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系 O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是 存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量 的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则 121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例

空间向量及其运算的坐标表示

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【学习目标】 1.空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O叫做，i，j，k都叫做。 对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。 2.空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 3. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 2 3 b 21＋b 22＋b 2 3 1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB → ＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定 2、判断对错。 (1)空间直角坐标系中，向量AB → 的坐标与终点B 的坐标相同．( ) (2)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)且b ≠0，则a ∥b ∥x 1x 2 ＝y 1y 2 ＝z 1 z 2 .( ) (3)四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC → 的坐标相同．( ) (4)设A (0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA → ＝(0,1，－1)．( ) 【经典例题】 题型一 空间直角坐标系 注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示． 例1已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN → 的坐标．

空间向量及其坐标运算练习题

空间向量及其坐标运算 一．选择题 1.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A.x =1，y =1 B.x = 21，y =－21 C.x =61，y =－23 D.x =－61，y =2 3 2.在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是 A.1 B.51 C.53 D.5 7 4.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG = x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为 A.（ 41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32 ） 5.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为的余弦值 A D B C B C D 1 1 1 1 M N A. 2 3 B. 10 10 C. 5 3 D. 5 2 二．填空题 6.已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角 θ的大小是_________. 7.已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________. 8.命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面；③若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b =λa ；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM = 31OA + 31OB + 3 1 OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部. 上述命题中的真命题是_____________.

人教版高中数学-必修四 平面向量共线的坐标表示

2.3.4平面向量共线的坐标表示 课前预习学案 一、预习目标：通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的充要条件进行预算. 二、预习内容： 1、知识回顾：平面向量共线定理________________________________________. 2.平面向量共线的坐标表示： 设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠0） 其中b ≠a ， 则a ∥b (b ≠0)?_____________________. 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 一、学习目标： 1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 二、学习内容 1.思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个条件是否也能用坐 标来表示呢？ 设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)（ b ≠） 其中b ≠a 由a =λb ，得___________________,即__________________________,消去λ后得:

__________________________________.这就是说,当且仅当___________________时,向量a 与b 共 线. 2.典型例题 例1 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线． 例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 三、反思总结 1．平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么? 2．如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行? 3．判断两直线平行与两向量平行有什么异同?