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2017.1九年级数学期末考试题(北师大版带答案)

2017.1九年级数学期末考试题（北师大版带答案）

2016～2017学年度第一学期槐荫区九年级数学调研测试题( 2017.1) 本试题分试卷和答题卡两部分．第1卷共2页，满分为36分，第II 卷共4页，满分为84分．本试题共6页，满分为120分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．点（一1，一2）所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 c．第三象限 D．第四象限 2．反比例函数y＝kx的图象生经过点（1，－2），则k的值为 A．－1 B．－2 C．1 D．2 3．若y＝ kx－4的函数值y随x的增大而减小，则k的值可能是下列的 A．－4 B．0 C．1 D．3 4．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1的图象经过 A．第一，二，三象眼 B.第二，三，四象限 C．第一，二，四象限 D．第一，三，四象限 5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B＝50°，则∠A的度数为 A．80° B．60° C．50° D．40° 6．如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝ A．1 B．1.5 C．2 7．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0

8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m与y＝－mx (m≠0)的图象可能是 9．如图，点A是反比例函数y＝2x(x＞0）的图象上任意一点，AB//x轴，交反比例函数y＝－3x的图象于点B，以AB为边作，其中C、D在x轴上，则为 A. 2 B. 3 C. 4 D.

5 10．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x一2与⊙O的位置关系是 A．相离 B.相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能 11．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是 A．第3秒 B.第3.9秒 C．第4.5秒 D．第6.5秒 12．如图，将抛物线y＝(x―1)2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到新的图像，若直线y＝－x＋m与新图象有四个交点，则m的取值范围为 A.43＜m ＜3 B.34＜m＜7 C.43＜m＜7 D.34＜m＜3 第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填

在答题卡的横线上．） 13．直线y＝kx＋b经过点(0，0)和(1，2)，则它的解析式为_____________ 14．如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB＝70°，则∠ACB的度数为__________ 15．如图，己知点A(O，1)，B（O，－1），以点A为圆心，AB为半径作圆,交x轴的正半轴于点C．则∠BAC等于____________度． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x,其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为______________ 17．如图，已知点A、C在反比例函数y＝ax(a＞0)的图象上，点B、D在反比例函数y＝bx(b＜0)的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a－b的值是________________ 18．如图所示，⊙O的面积为1，点P为⊙O上一点，令记号【n,m】表示半径OP从如图所示的位置开始以点O为中心连续旋转n次后，半径OP扫过的面积．旋转的规则为：第1次旋转m度；第2次从第1次停止的位置向相同的方向再次旋转m2度：第3次从第2次停止的位置向相同的方向再次旋转m4度；第4次从第3次停止的位置向相同的方向再次旋转m8度……依此类推．例如【2，90】＝38，则【2017, 180】＝_______________

三、解答题（本大题共9个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19．（本小题满分6分） (1)计算sin245°＋cos30°?tan60°

(2)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝3，求AC.

20．（本小题满分6分）如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M, OM∶OC＝3∶5. 求AB的长度．

21．（本小题满分6分）如图，点(3，m)为直线AB上的点.求该点的坐标． 22．（本小题满分7分）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，连结AD，BC，BD. (1)求证：△ABD≌△CDB; (2)若∠DBE ＝37°，求∠ADC的度数． 23．（本小题满分7分）某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内

可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.求当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

24.(本小题满分8分) 如图所示，某数学活动小组要测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67, tan48°≈l.ll, 3≈1.73) 25.(本小题满分8分) 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y 轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E(4，n)在边AB上，反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA ＝12． (1)求边AB的长； (2)求反比例函数的解析式和n的值； (3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点D

与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于H、G，求线段OG的长26．（本小题满分9分）如图，抛物线y＝33(x2＋3x一4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点C的坐标， (2)

求点D到AC的距离。 (3)看点P为抛物线上一点，以2为半径作⊙P，当⊙P与直线AC相切时，求点P的横坐标．

27．（本小题满分9分） (1)如图l，Rt△ABD和Rt△ABC的斜边为AB，直角顶点D、C在AB的同侧，求证：A、B、C、D四个点在同一个圆上． (2)如图2，△ABC为锐角三角形，AD⊥BC于点D，CF⊥AB 于点F，AD与CF交于点G，连结BG并延长交AC于点E，作点D关于AB的对称点P，连结PF. 求证：点P、F、E三点在一条直线上． (3)如图3，△AB C中，∠A＝30°，AB＝AC＝2，点D、E、F分别为BC、CA、AB边上任意一点，△DEF的周长有最小值，请你直接写出这个最小值．

九年级数学试题参考答案与评分标准一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C D C A A D B B D 二、填空题： 13. y=2x 14. 35 15. 60 16.4 17. 6 18. 或三、解答题： 19.(1) 解：= 1分 = 2分 =2 3分 (2)解：∵∠B=90°－∠A=90°－60°=30° 1分 tanB= 2分∴AC=3?tanB=3tan30°=3× = ． 3分 20. 解：连接

OB， 1分∵⊙O的直径CD＝10，∴OC＝5， 2分又∵OM?UOC＝3?U5，∴OM＝3， 3分∵AB⊥CD，且CD为⊙O的直径，∴△BOM是直角三角形，且AB＝2BM； 4分在Rt△BOM中，OB＝5，OM＝3，∴BM＝，5分∴AB＝2BM＝8 6分 21. 解：设直线AB的解析式为由图象可知，直线AB过点(－1，2)和(－2，0) 1分∴ 2分 (1)－(2)得k=2，把

k=2代入(1)得2=－2+b，∴b=4 3分∴ ∴直线AB的解析式为y=2x+4 4分当x=3时，y=2×3+4=10 5分∴该点坐标为（3，10） 6分 22.（1）证明：∵AB、CD为⊙O直径∴ ∠ADB＝∠CBD＝90°， 1分又∵∠A＝∠C，AB＝CD，∴△ABD≌△CDB（AAS）． 3分（2）∵BE与⊙O相切于B，∴AB⊥BE， 4分又∵∠ADB为直角，∴∠A和∠DBE 都是∠ABD的余角， 5分∴∠A＝∠DBE＝37°， 6分∵OA＝OD，

∴∠ADC＝∠A＝37°． 7分 23.解：设销售单价为x元，一个月内

获得的利润为ｗ元，根据题意，得 1分ｗ=(x－40)(240－×20) 4分 =（x－40）（－4x+480） =－4x2+640x－19200 =－ 4（x－80）2+6400 5分所以抛物线顶点坐标为（80，6400）抛物线的对称轴为直线x=80，∵a=－10＜0，∴当x=80时，ｗ的最大值为6400． 6分∴当销售

单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元7分 24.解：如图，过点D作DM⊥EC于点M，DN⊥BC于点N，设BC=h. 2分在Rt△DMA中，∵AD=6，∠DAE=30°，∴DM=3，AM= ， 3分则CN=3，BN=h－3； 4分在Rt△BDN中，∵∠BDN=30°，∴DN= ； 5分在Rt△ABC中，∵∠BAC=48°，∴AC= . 6分∵AM+AC=DN， 7

分∴ + = ，解之得h≈13. 故大树的高度为13米. 8分

25.解：(1)∵在Rt△BOA中，点E(4，n)在直角边AB上，∴OA=4，1分∴AB=OA×tan∠BOA=2. 2分(2)∵点D为OB的中点，点B（4，2），∴点D（2，1），又∵点D在的图象上，∴k=2，∴ ， 3分又∵点E在图象上，∴4n=2，∴n= . 4分 (3)设点F（a，2），∴2a=2，∴CF=a=1 ， 5分连结FG，设OG=t，则OG=FG=t ，CG=2－t， 6

分在Rt△CGF中，GF2=CF2＋CG2 ， 7分∴t2=（2－t)2＋12 ，解得t = ，∴OG=t= ． 8分 26.解：⑴∵当x=0时，y=－，∴C(0，－ )， 1分∵当y=0时，，得，，∴A(－4，0), B(1，0) 2

分⑵∵A(－4，0), C(0，－ )，∴AO=4, CO= ，在Rt△AOC中，

∵tan∠OAC= = ，∴∠OAC=30°， 3分作OD⊥AC于D，∴OD= AO sin∠OAC=2. 4分⑶∵A(－4，0), C(0，－ )，∴可解得直线AC

的解析式为， 5分当⊙P与直线AC相切时，点P到直线AC的距离为2，若点P在直线AC的上方，由(2)可知，点P在过点O且平行于直线AC的直线上，此时，直线OP的表达式为：， 6分∴ ，解得或， 7分若点P在直线AC的下方，可得点P在直线上， 8分∴ ，∴解得，∴点P的横坐标为或或－2. 9分

27.解： (1) 取AB的中点O，连结OD，OC， 1分∵Rt△ABD和Rt△ABC 的斜边为AB，∴OD= ，OC= ， 2分∴OA=OB=OC=OD, ∴A、B、C、D 四个点在同一个圆上. 3分 (2)如图，连结DF， 4分∵点D、P关于AB对称，∴∠1=∠2， 5分∵AD⊥BC于点D，CF⊥AB于点F，∴∠2+∠3=90°，∠4+∠BCE=90°，BE⊥AC，点A、C、D、F四点共圆，∴点B、F、E、C四点共圆，∠3=∠4， 6分∴∠2=∠BCE，

∠BFE+∠BCE=180°，∴∠2+∠BFE=180° ， 7分

∴∠1+∠BFE=180°，∴点P、F、E三点在一条直线上. 8分 (3) . 9分

新北师大九年级数学下册知识点总结

新北师大九年级数学下册知识点总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos ;

图1 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： 30 o 45 o 60 o sin α cos α tan α 1 图2 h i=h:l l B

北师大版九年级数学下册教学计划.doc

九年级数学下册教学计划李艳娟一、学情分析：本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。二、教材分析本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又

2020新版北师大版数学九年级下册教案(全)

2020新版北师大版数学九年级下册教案(全) 第1课时 §1.1.1 锐角三角函数教学目标 1、经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义;并能够举例说明 3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、能够根据直角三角形中的边角关系;进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计 ? 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形;无论是边;还是角;它都有其它三角形所没有的性质。这一章;我们继续学习直角三角形的边角关系。 ? 师生共同研究形成概念 1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里;为了达到美观等目的;往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中;人们无法测得倾斜角;这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度;这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1）（重点讲解）如果梯子的长度不变;那么墙高与地面的比值越大;则梯子越陡； 2）如果墙的高度不变;那么底边与梯子的长度的比值越小;则梯子越陡； 3）如果底边的长度相同;那么墙的高与梯子的高的比值越大;则梯子越陡；通过对以上问题的讨论;引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法;以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、想一想（比值不变） ☆ 想一想书本P 2 想一想通过对前面的问题的讨论;学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时;其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关;而与直角三角形的大小无关。 3、正切函数（1）明确各边的名称（2）的邻边的对边 A A A ∠∠=tan （3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与 ∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、如图;在△ACB 中;∠C = 90°; 1） tanA = ；tanB = ； 2）若AC = 4;BC = 3;则tanA = ；tanB = ； 3）若AC = 8;AB = 10;则tanA = ；tanB = ； b 、如图;在△ACB 中;tanA = 。（不是直角三角形）（4） tanA 的值越大;梯子越陡 4、讲解例题 A B C A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边斜边 A B C

北师大版九年级初三数学下册第二学期教学计划

九年级数学下册教学计划一、学情分析：本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。二、教材分析本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又反应用于实践，通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，

北师大版九年级数学下册试题期末.docx

初中数学试卷桑水出品九年级数学试题亲爱的同学：这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获. 请认真审题，看清要求，仔细答题. 预祝你取得好成绩！请注意: 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里. 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写. 3．考试时，不允许使用科学计算器. 4 ．试卷分值：120分. 题号一二三总分 19 20 21 22 23 24 25 得分第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里.每小题3分，共36分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分答案司在上海签署了《中俄东线供气购销合同》，这份有效期为30年的合同规定，从2018年开始供气，每年的天然气供应量为380亿立方米，380亿立方米用科学记数法表示为（）A．3.8×1010m3 B．38×109m3 C．380×108m3 D．3.8×1011m3 2如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（） A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n 3如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）

A ． AE=BE B ．= C ． OE=DE D ． ∠DBC=90° 4（2014?东营）81的平方根是( ) A ． 3± B ． 3 C ． 9± D ． 9 5在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图1所示，若油面的宽 AB =160cm ，则油的最大深度为 ( ) （A ）40cm （B ）60cm （C ）80cm （D ）100cm 6如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C 、D 两点，且经过圆心O ，边AB 与⊙O 相切，切点为B ．已知∠A=30°，则∠C 的大小是（） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 40° 7如图，已知扇形的圆心角为60?，半径为3，则图中弓形的面积为（） A 433π-3π-233π- D 33π-

北师大版九年级数学下册各章知识点汇总

第一章直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 2 30°，45°，60°角的三角函数值 3 三角函数的计算 4 解直角三角形 5 三角函数的应用 6 利用三角函数测高 ※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠= cos ;

※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3 0 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tg α·ctg α=1。

北师大九年级数学下册知识点总结

图 1 图 3 图4 九年级数学下册知识点归纳第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： ①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A ) ②平方关系：③商数关系：图2 h

北师大九年级数学下册知识点汇总

图 1 北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册) 第一章直角三角形边的关系 ※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠=sin ; ※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos ; ※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot( tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tg α·ctg α=1。 ※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 22 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3 0

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北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章直角三角形的边角关系 1．正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，常省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。例在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 2. 正弦．．：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin ; 例在ABC ?中，若90C ∠=?，1 sin 2 A =，2A B =，则AB C ?的周长为 3. 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠= cos ; 例等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（） A ．4 B ．23 C ．2 D ．22

4. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。例 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2 |tan 3|2sin 30B A -+ -=（），则△ABC 是（） A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰（不等边）三角形 D ．等边三角形 5.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 6.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 7.在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； (2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系： ,tan , cos ,sin b a A c b A c a A = == ,tan , cos , sin a b B c a B c b B === 30 o 45 o 60 o sin α 2 1 2 2 2 3 cos α 23 2 2 2 1 tan α 3 3 1 3

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新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一?锐角三角函数 1. 正切：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A 的正切，记作 tanA , ① tanA 是一个完整的符号，它表示/A 的正切，记号里习惯省去角的符号“/”； ② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比； ③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”； ④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A 是锐角的正切； ⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2. 正弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin A A 的对边 ................................... """■ 斜边 3. 余弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A 的邻边 .............................. ■■■■■ 斜边之变化三?三角函数的计算 1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。 4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 i tan A l 5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。 6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角.。如图4，OA 、即 tanA A 的对边 A 的邻边锐角A 的正弦、余弦和正切都是/A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随 30 o 45 o 60 o sin a 1 亞矗 2 2 2 cos a 旦返 1 2 2 2 tan a 迴 3 1 3. 规律：禾U 用特殊角的三角函数值表，可以看岀, （1）当角度在0 °?90°间变化时，正弦值、正切（或减小）而减小（或增大）。（2）0 （或坡比）。用字母i 表示，即二?特殊角的三角函数值图2

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乂务教育基础课程初中教学资料 -- 第一章直角三角形的边角关系 § 1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标： 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2. 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点：........ .... 1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系 2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系学习难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法：引导一探索法. 学习过程：一、生活中的数学问题： 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子 AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？哪个更陡？你是怎样判断的？ B 2m C F 2.5m D ≡EL-?P 二组第三组二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △ AB I Cl和Rt△ AB2C2有什么关系？ ⑵B I C l和BC L有什么关系？ AC1 AC 2 ⑶如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3）呢？ ⑷由此你得出什么结论？三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡 A C3C2 C]例2、在△ ABC中，∠ C=90°, BC=12cm AB=20cm 求tanA 和tan B 的值. E'l Sm R

1: 1.5的斜坡AD,求DB 的长.（结果保留根号）五、课后练习: 1、在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,AB=3,BC=1,则 tanA= _______ 2、在厶 ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,贝U tanA= ________ . 3、在厶 ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则 tanC= ________ 四、随堂练习： 1如图，△ ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出 tanC 吗? 2、如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B,已知点B 到山脚的垂直距离为 55m 求山的坡度?（结 3、若某人沿坡度i = 3: 4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高 ____________ 米. 4、菱形的两条对角线分别是 16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为 tan θ = ______ . 5、如图，Rt △ ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为12 m ,它的坡角为45 ,为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为 4、在 Rt △ ABC 中，∠C 是直角，∠A ∠ B ∠C 的对边分别是 a 、b 、c,且 a=24,c= 25, 求 tanA 、tanB 的值. 5、若三角形三边的比是 25:24:7,求最小角的正切值 5 6、如图，在菱形ABCc 中,AE ⊥BC 于E,EC=1,tanB= ,求菱形的边长和四 12 边形AECD 勺周长.

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直角三角形的边角关系基础性测试卷班级姓名学号成绩一、选择题（每小题3分，满分24分） 1．如图，在ABC ?中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（） A ．34 B ．43 C ．35 D ．45 2．在Rt ABC ?中，90C ∠= ，13 AC AB =，则cos A 等于（） A B ．13 C ． D 3．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的点D '处，那么 tan BAD '∠等于（） A ．1 B C ．2 D ．4．如图.一个小球由地面沿着坡度i =1∶2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（） A ．5m B ． C ． D ．103 m 5．如图，在某海岛的观察所A 测得船只B 的俯角是30°.若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m ，当时的水位是＋ 3m ，则观察所A 和船只B 的水平距离BC 是（） A ．50 m B ．350 m C ．53 m D ．353m 6．如图，两条宽度均为40 m 的国际公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（） A ． α sin 1600（m 2） B ．αcos 1600（m 2） C ．1600sin α（m 2） D ．1600cos α（m 2） 7．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少需要（） A ．450a 元 B ．225a 元 C ．150a 元 D ．300a 元 8．身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、350米、280米，

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第一章直角三角形的边角关系第1课时 §1.1.1 锐角三角函数教学目标 1、经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。师生共同研究形成概念 1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、想一想（比值不变） ☆ 想一想书本P 2 想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。 3、正切函数（1）明确各边的名称（2）的邻边的对边 A A A ∠∠= tan （3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ； 2）若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB A B C A B C ∠A 的对边∠A 的邻边斜边 A B C

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新北师大九年级数学下册知识点总结文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

图1 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 30 o 45 o 60 o sin α cos α tan α 1 图2 h i=h: l B C

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/ 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ~ ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。 $ 二．特殊角的三角函数值 : 三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 30 o 45 o 60 o sin α 2 1 2 2 / 2 3 cos α 2 3 2 2 21 tan α 3 3 1 ￥ 3 图2 h i=h:l B C

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北师大版九年级数学下册第一单元测试题一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos 30°的值为( )A.12 B.32 C.22 D.33 2．如图，已知Rt △BAC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( ) A ．2 B ．8 C ．25 D ．4 5 (第2题)(第3题) 3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，已知AC ＝5，BC ＝2，那么 sin ∠ACD 等于( )A.53 B.23 C.253 D.52 4．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )A ．20° B ．30° C ．40° D ．50° 5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于( )A ．14.7° B ．14°7′ C ．75.3° D ．75°3′ 6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB ＝a ，BD ＝b ，则下列求旗杆CD 长的式子中正确的是( ) A ．CD ＝b sin 33°＋a B ．CD ＝b cos 33°＋a C ．C D ＝b tan 33°＋a D ．CD ＝b tan 33°＋a (第6题)(第7题) 7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ( )A ．2 B .255 C.55 D.12 8．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AB ＝2(1＋3)，则BC 等于( ) A ．2 B. 6 C ．2 2 D ．1＋ 3 9．如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m 到C 点，又测得仰角为45°，

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