汇龙中学高二数学国庆假期作业二等差数列
1.已知数列{}n a 是等差数列,且74326,2a a a -==,则公差d =( ) A
.B .4
C .8
D .16
2.在数列{a n }中,a n +1-a n =2,a 2=5,则{a n }的前4项和为( ) A .21
B .23
C .24
D .26
3.已知{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,若a 3=6,S 3=12,则公差d 等于( ) A .1
B .
C .2
D .3
4.在等差数列{}n a 中,如果123440,60a a a a +=+=,那么78a a +=( ) A .95
B .100
C .135
D .80
5.在等差数列{}n a 中,()()35710133248a a a a a ++++=,则等差数列{}n a 的前13项的和为( ) A .24
B .39
C .52
D .104
6.已知数列{a n }的通项公式是a n =3n -16,则数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时,n 的值为( ) A .3
B .4
C .5
D .6
7.等差数列{}n a 的公差是2,若 248,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前 n 项和n S =( ) A .(1)n n +
B .(1)n n -
C .
(1)
2
n n + D .
(1)
2
n n - 8.在等差数列{}n a 中,3645a a a +=+,且2a 不大于1,则8a 的取值范围为( ) A .(],9-∞
B .[)9,+∞
C .(),9-∞
D .()9,+∞
9.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题:把120个面包分成5份,使每份的面包数成等差数列,且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍,则最少的那份面包个数为( ) A .4
B .3
C .2
D .1
10.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,公差d≠0,若S 11=132,a 3+a k =24,则正整数k 的值为( ) A .9 B .10
C .11
D .12
11.等差数列{}n a 中,2n n
a a 是一个与n 无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )
A .{}1
B .112??????
,
C .12??????
D .10,
,12??
????
12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足170S >,180S <,则11S a ,2
2
S a ,
…,1515S a 中最大的项为( ) A .
7
7
S a B .
8
8
S a C .
9
9
S a D .
110
S a 13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 8=32,则a 2+2a 5+a 6=________. 14.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=2a 3,S 5=15,则a 2016=__________. 15.在数列{}n a 中,13a =且对任意大于1的正整数n ,点(
)
1,n n a a -在直线30
x y --=上,则n a = .
16.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知12a =且{}n
S 也为等差数列,则13a
的值
为 .
17.设数列{a n }满足当n >1时,a n =
1114n n a a --+,且a 1=1
5
.
(1)求证:数列1n a ??
?
???
为等差数列; (2)a 1a 2是否是数列{a n }中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,请说明理由.
18.已知数列{a n }满足(a n +1-1)(a n -1)=3(a n -a n +1),a 1=2,令b n =1
1
n a -. (1)证明:数列{b n }是等差数列;
(2)求数列{a n }的通项公式.
19.已知数列{a n }满足a 1=1,a n =1121n n a a --+(n ∈N *
,n ≥2),数列{b n }满足关系式b n =
1n
a (n ∈N *).
(1)求证:数列{b n }为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.
20.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=4,S 5=30,数列{b n }满足b 1+2b 2+…+nb n =a n . (1)求a n ;
(2)设c n =b n ·b n +1,求数列{c n }的前n 项和T n .
21.已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36.
(1)求d 及S n ;
(2)求m ,k (m ,k ∈N *
)的值,使得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =65.
22.在数列{a n }中,已知a 1=1
,且22
11222n n n n a a a a ++--+=,n ∈N *.
(1)记b n =(a n -1)2,n ∈N *,证明数列{b n }是等差数列; (2)设{b n }的前n 项和为S n ,证明123111134
n S S S S +++?+<.
汇龙中学高二数学国庆假期作业二等差数列
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.A 11.B 12.C 13.16 14.2016 15. 3n 2 16.50 17. (1)证明:根据题意a 1=
15及递推关系a n ≠0.因为a n =1114n n a a --+.取倒数得1
11n n a a -=+4,
即
1
11n n a a --=4(n >1),所以数列1n a ??
????
是首项为5,公差为4的等差数列. (2)解:由(1),得1n a =5+4(n -1)=4n +1,1
41
n a n =
+. 又121111594541
a a n =
?==+,解得n =11.所以a 1a 2是数列{a n }中的项,是第11项. 18.(1) 见证明;(2) a n =
5
2
n n ++. 解:(1)证明:()()()()1111311n n n n a a a a ++--=---????, ∴
11
11113n n a a +-
=--,即b n +1-b n =13
,∴{b n }是等差数列. (2)∵b 1=1,∴123
,1332n n b n a n =
+-=+∴a n =
52
n n ++. 19.(1)见证明;(2) a n =
1
21n -. (1)证明:∵b n =1n a ,且a n =11
21n n a a --+,
∴
11
211
1
21
n
n n n n n a b a a a a +++=
==+,∴12112n n n
n n
a b b a a ++-=-=. 又b 1=
1
1
a =1,∴数列{
b n }是以1为首项,2为公差的等差数列. (2)解:由(1)知数列{b n }的通项公式为b n =1+(n -1)×2=2n -1, 又b n =
1n a ,∴a n =
1121n b n =-.∴数列{a n }的通项公式为a n =121
n -.
20.(1) a n =2n ,n ∈N *. (2) 41
n n
T n =
+ 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由a 2=4,S 5=30,得11454
5302a d a d +=??
??+=??
,, 得a 1=2,d =2,所以a n =2+(n -1)×
2=2n ,n ∈N *. 得,1222n b b nb n ++?+=,①所以2n ≥时,b 1+2b 2+…+(n -1)b n -1=2(n -1),② ①-②得,nb n =2,b n =
2n .(*)又b 1=a 1=2也符合(*)式,所以b n =2
n
,n ∈N *. 所以c n =b n ·
b n +1=4114(1)1n n n n ??=- ?++??
,
所以T n =11111144141223111
n n n n n ????-
+-+?+-=-= ? ?+++????. 21.(1)d =2,S n =n 2
;(2) 当m =5,k =4时,a m +a m +1+…+a m +k =65.
(1)∵S 2·S 3=36,a 1=1,∴(2a 1+d )·(3a 1+3d )=36, 即d 2+3d -10=0, ∴d =2或d =-5. ∵d >0,∴d =2,∴{a n }为1为首项,2为公差的等差数列, ∴S n =n +
(1)
2
n n - ×2=n 2. (2)∵a m +a m +1+…+a m +k =65,∴S m +k -S m -1=65.
由(1)得(m +k )2-(m -1)2=65,即2mk +k 2+2m -1=65, 2m (k +1)+k 2-1=65, 即(k +1)(2m +k -1)=65=5×13,∵k 、m ∈N +,∴2m +k -1>k +1, ∴15
2113
k m k +=??
+-=? 解之得m =5,k =4.∴当m =5,k =4时,a m +a m +1+…+a m +k =65.
22. 证明:(1)22
11222n n n n a a a a ++--+=,
b n +1-b n =22
1122n n n n a a a a ++--+=2,所以数列{b n }是以3为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)得S n =
(24)
2n n +=n (n +2),所以11111(2)22n
n n n n S ??==- ?++?? 所以
121111111111112322422n S S S n n ??????
++?+=-+-+?+- ? ? ?+??????
1111311131221242124
n n n n ????????=
+-+=-+< ? ? ???++++????????.