最新高三教案-分段函数的极限习题 精品

分段函数的极限习题

分段函数的极限习题答案

求函数极限的方法

一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε -定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,

例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44( lim 2 2 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：

复合函数极限条件

书中这样定义： 设函数y = f[g(x)]是由函数u = g(x)与函数y = f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若lim(x->x0)g(x) = u0, lim(u->u0)f(u) = A，且存在δ > 0,当x属于x0的去心δ邻域时，有g(x)不等于u0，则lim(x->x0)f[g(x)] = A u 与u0的接近程度是用0 < |u - u0| < δ描述的，u -> u0的过程中不等于u0 函数在某点的极限值是自变量逼近这一点时函数值无限接近的一个值，这个值与函数在这一点的函数值无关 如果能进一步针对这条举出反例就更好了， g(x)=xsin(1/x) 若u≠0，f(u)=0 若u=0，f(u)=1 在0的去心邻域中，f(g(x))有定义 (*) 对任意的正数δ，在0的去心δ邻域中，都有无数个点使得g(x)=0, 而f(g(x))=f(0)=1 lim{x→0}g(x)=0 lim{u→0}f(u)=0 而根据(*)，lim{x→0}f(g(x))不存在。 可见这个条件确实不能去掉。如果f(u)在u0处连续，那么这个复合函数的极限运算法则仍然是成立的，g(x)是否在其他点取值u0并无影响，因而很多时候在实际应用这条法则时并不去验证这条，因为我们通常面对的是连续函数。确实是这样的，因为g(x)在0的任意去心邻域内总是存在使得g(x)为0的点，而f(0) = 1 =/= lim(u->0)f(u)。所以就不存在0的某个去心邻域使得|f(g(x))-0|能够小于任意ε>0，自然极限也就不存在了。 另一种情况：设lim(u->u0)f(u) = A，且f(u)在u0的某个去心邻域是连续函数，那么就有f(u0) = lim(u->u0)f(u) = A，再设lim(x->x0)g(x) = u0，那这时候就不用考虑在x0的某个去心邻域中，g(x) =/= u0这个条件了，因为g(x) =u0时，|f(g(x)) - A| = 0 < 任意ε>0 。

函数极限的运算法则

教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞ →lim ,01lim .若求极限的函 数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数 二 0）. 说明：当三 例1 求)3(lim 2 2 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 2 31 ++-→x x x x 例3 求4 16lim 2 4 --→x x x

分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4 16 2 --= x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即 可求出函数的极限. 例4 求1 33lim 22 ++-∞ →x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、2 总结：lim x x o →lim x ∞ →例5 求lim ∞ →x 分析：同例计算了。 四 （1）lim 2 1 → x （3）lim 4 →x 1 432 1 -+→x x x （5）1 1lim 2 1 +--→x x x （6）9 65lim 2 2 3 -+-→x x x x （7）1 3322lim 2 3 2 +--+∞ →x x x x x （8）5 2lim 3 2 --∞ →y y y y

五 小结 1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）； 2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 )(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时， 要特别注意这一点. 3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限. 六 作业（求下列极限） （1） lim -→x 2 （4）lim 0 →x （7）lim 2 →x （10）x → （13）1 3lim 2 4 3 +++∞ →x x x x x （14）2 3 3 2 )2 312( lim -+→x x x （15）3 526113lim 2 2 1 --+-→x x x x x （16） 3 526113lim 22 --+-∞ →x x x x x （17） 3 2 320 3526lim x x x x x x x ----→ （18） 3 2 323526lim x x x x x x x ----∞ →

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法 信科2班江星雨250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使 得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

3 函数极限存在的条件

§3 函数极限存在的条件 与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。下面的定理只 对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。下述归结原则有 时成为海涅（Heine）定理。 定理3.8（归结原则）设在内有定义。存在的充要条件是：对任何含于 且以为极限的数列，极限都存在且相等。 证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数，使得当时， 有。 另一方面，设数列且，则对上述的，存在 ，使得当时， 有，从而有。这就证明了。 (充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出

事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在 一点，尽管，但有。现依次取，， ，…，，…，则存在 相应的点，，，…,…,使得，而，。 显然数列且，但当时不趋于 。这与假设相矛盾，所以必 有。 注1 归结原则也可简述为： 对任何（）有。 注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列 注3与，使与都存在而不相等， 则不存在。

例1 证明极限不存在。 证设，（），则显然有 ，（） ，（）。 故有归结原则即得结论。 函数的图象如图3-4所示。由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振 荡，而不趋于任何确定的数。 归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。从而，我们能应用归结原则和数列极限的有 关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。 对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的

形式，现以这种类型为例阐述如下： 定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。的充要条件是：对任何以 为极限的递减数列，有。 这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对 的取法要作适当的修改， 以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下： 定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。 证不妨设在上递增。因在上有界，由确界原理， 存在，记为。 下证。 事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。 取，则由 的递增性，对一切=，有 另一方面，由，更有。从而对一切有

二元函数极限存在的判别法

编号 学士学位论文二元函数极限存在的判别法 学生姓名：古丽加玛丽·图拉克 学号：20080101049 系部：数学系 专业：数学与应用数学 年级：2008-3班 指导教师：木台力甫·努尔 完成日期：2013 年05 月10 日

I 摘要 极限方法是研究函数的主要方法之一。极限理论，思想方法在许多领域有着广泛应用，函数的极限是高等数学的重点，难点的内容，二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展的，二者之间即有联系也有区别，一元函数和二元函数的四则运算是相同的，但是随着变量的个数的增加，二元函数的极限比一元函数极限变得复杂得多，本文先介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限的定义，讨论了二重极限与累次极限之间的关系，并且利用二重极限与累次极限的关系给出有关二重极限存在性的一些结论，二元函数极限存在的充分条件，主要讨论不可约有理分式函数极限存在的判别法，以及齐次有理分式函数极限存在的判别法。 关键词：二元函数极限，二重极限，累次极限。

II 目 录 摘要 ............................................................... I 引言 ............................................................... 1 1.二元函数极限的基本概念 ........................................... 1 2.二重极限与累次极限之间的关系 . (4) 2.1关系1 ...................................................... 4 2.2关系2 ...................................................... 4 2.3关系3 （定理1） ............................................ 5 3.二元函数极限存在的充要条件 ....................................... 6 4.有关极限存在的结论 .. (9) 4.1结论1 ...................................................... 9 4.2结论2. ..................................................... 9 4.3结论3 ..................................................... 11 4.4结论4 ..................................................... 15 总结 .............................................................. 19 参考文献 .......................................................... 20 致谢 .. (21)

函数的极限的求解方法

函数的极限的求解方法 摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限． 关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ：Hospital L '法 。 引 言 极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要 性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想. 函数的极限主要表现在两个方面： 一、自变量x 任意接近于有限值，或讲趋向（于）（记0x x →）时，相应的函数值的变化情况. 二、当自变量x 的绝对值无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值的变化情况. 相关知识点 （一）“0x x →”形： 定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值满足： ε<-A x f )(，就称常数为函数当0x x →时的极限，记为 A x f n =∞ →)(lim ，或 A x f →)( （当 x x →时） 注1：“x 与充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ， 即),(0δ∧ ∈x U x .显然越小，x 与接近就越好，此与数列极限中的 所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，相应地也小一些. 2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，有无限与)(0x f 在点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.

求函数极限的方法

求函数极限的方法 1. 预备知识 1.1 函数极限的定义 定义 1 设f 为定义在[],a +∞上的函数，A 为定数．若对任给的0ε>，存在正整数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限．记作：()lim x f x A →+∞ =或()()f x A x →→+∞． 定义2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()00;'U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限．记作：()0 lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→． 定义 3 设函数f 在()0 0;'U x δ+（或()00;'U x δ-）内有定义，A 为定数．若对任 给0ε>的，存在正数()'δδ<，使得当时00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）有 ()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0 x +（或0x - ）时的右（左）极限．记作： ()()00lim lim x x x x f x A f x A + -→→??== ??? 或()()()()() 00f x A x x f x A x x +-→→→→． 1.2 函数极限的性质 性质1（唯一性） 若极限()0 lim x x f x →存在，则此极限是唯一的． 性质2（局部有界性） 若()0 lim x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00U x 内有界． 性质3（局部保号性） 若()0 lim 0x x f x A →=>（或0<），则对任何正数r A <（或 r A <-） ，存在()00U x ，使得对一切()o o x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）． 性质4（保不等式性） 设()0 lim x x f x →与()0 lim x x g x →都存在，且在某邻域()00;'U x δ内 有()()f x g x <，则()()0 lim lim x x x x f x g x →→≤． 性质5（迫敛性）设()()0 lim lim x x x x f x g x A →→==，且在某邻域()00;'U x δ内有

函数极限存在的条件

§3 函数极限存在的条件 教学目的：通过本次课的学习，使学生掌握函数极限的归结原则和柯西准则并能加以应用解 决函数极限的相关问题。 教学方式：讲授。 教学过程： 我们首先介绍0x x →这种函数极限的归结原则（也称Heine 定理）。 定理3.8（归结原则）。A x f x x =→)(lim 0 存在的充要条件是：对任何含于);('0δx U o 且以0x 为极限的数列}{n x ，极限)(lim n n x f ∞ →都存在且等于A 。 证：[必要性] 由于A x f x x =→)(lim 0 ，则对任给的0>ε，存在正数)('δδ≤，使得当δ<-<||00x x 时，有。 另一方面，设数列}{n x ?);('0δx U o 且以0x 为极限，则对上述的0>δ，存在0>N ，当N n >时有δ<-<||00x x n ，从而有ε<-|)(|A x f 。这就证明了A x f n n =∞ →)(lim 。 [充分性] 设对任何数列}{n x ?);('0δx U o 且以0x 为极限，有A x f n n =∞ →)(lim 。现用反证法推出A x f x x =→)(lim 0 。事实上，倘若当0x x →时f 不以A 为极限，则存在某00>ε，对任何0>δ（无论多么小），总存在一点x ，尽管δ<-<||00x x ，但有0|)(|ε≥-A x f 。现依次取 ,,,,' '2'n δδ δδ=，则存在相应的点 ,,,,21n x x x ，使得 n n x x '||00δ <-<，而 ,2,1,|)(|0=≥-n A x f n ε 显然数列}{n x ?);('0δx U o 且以0x 为极限，但当∞→n 时)(n x f 不趋于A 。这与假设相矛盾，故必有A x f x x =→)(lim 0。 注：（1）归结原则可简述为： A x f x x =→)(lim 0 ?对任何)(0∞→→n x x n 且0x x n ≠都有A x f n n =∞→)(lim 。 （2）归结原则也是证明函数极限不存在的有用工具之一：若可找到一个以0x 为极限 的数列}{n x ，使)(lim n n x f ∞ →不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列}{'n x ，}{"n x ，使得)(lim 'n n x f ∞→，)(lim "n n x f ∞→都存在而不相等，则)(lim 0 x f x x →不存在。 （3）对于-∞→+∞→∞→→→-+x x x x x x x ,,,,00这几种类型的函数极限的归

高等数学第一章函数与极限试题

一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x =0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x =0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ( )。

； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )11(lim ( ) ； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） ； B.∞； ； ． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） ； B.∞； C 2 1； ． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ + →=（ ） ； B.∞； ； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） ； B.∞； C. 16 1； ． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . 12. lim →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 其定义域是 ,值域是

函数极限存在的条件

§3 函数极限存在的条件 1、 叙述函数极限)(lim x f x +∞→的归结原则,并用它证明x x cos lim +∞ →不存在. 解:设)(x f 定义在),[+∞a 上,则)(lim x f x +∞ →存在的充要条件是:对任何数列),[}{+∞?a x n , 且+∞=+∞→n x x lim ,极限)(lim x f x +∞ →都存在且相等. 证: 设πn x n 2=',22π π+="n x n ( ,3,2,1=n ), 则显然有+∞→='πn x n 2,+∞→+="22π πn x n (+∞→n ), 11cos →='n x ,00cos →="n x (+∞→n ) 故由归结原则知x x cos lim +∞ →不存在. 2. 设f 为定义在),[+∞a 上的递增函数,证明存在的充要条件是f 在),[+∞a 上有上界. 证: 必要性. 由题设)(lim x f x +∞→存在,记为A ,即A x f x =+∞ →)(lim . 由局部有界性定理可得,存在),()(+∞=+∞b U ,使)(x f 在)(+∞U 上有界,即存在M 与m ,对任给)(+∞∈U x ,都有m M x f ≤≤)( (1) . 又由)(x f 在),[+∞a 上递增知:对任给],[b a x ∈,有M b f x f ≤+≤)1()((2). 由(1)(2)可得,对任一),[+∞∈a x ,有M x f ≤)(. 故)(x f 在),[+∞a 上有上界. 充分性 设)(x f 在),[+∞a 上有上界,则由确界原理知)(x f 在),[+∞a 上有上确界. 设)(sup ) ,[x f a a x +∞∈=,则对任给正数ε,存在),[0+∞∈a x , 又因)(x f 在),[+∞a 上递增,从而当0x x >时,有εε+<≤<-A x f x f A )()(0. 因此当0x x >时, ε<-A x f )(,故A x f x =+∞ →)(lim .

高等数学函数与极限试题

高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2．