高中数学必修5第三章_不等式单元测试与答案
第三章 不等式
一、选择题
1．已知x ≥2
5
，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．
A ．最大值45
B ．最小值4
5
C ．最大值1
D ．最小值1
2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221
＋)(x
y 的最小值是( )．
A ．3
B ．
2
7
C ．4
D ．
2
9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋
ab
1≥22
B ．(a ＋b )(
a 1＋b
1
)≥4 C
22≥a ＋b
D ．
b
a ab
+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x
x f x f )
()(－－＜0
的解集为( )．
A ．(－1，0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0，1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1，0)∪(0，1)
5．当0＜x ＜2
π时，函数f (x )＝x x
x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．
A ．2
B ．32
C ．4
D ．34
6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a
＋3b
的最小值是( )． A ．18
B ．6
C ．23
D ．243
7．若不等式组??
?
??4≤ 34 ≥
30 ≥
y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．
A ．
7
3
B ．
37
C ．
43
D ．
34
8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为
35，则点P 的坐标是( )．
A ．(－5，1)
B ．(－1，5)
C ．(－7，2)
D ．(2，－7)
9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．
A ．－20
7 B ．
20
7 C ．
2
1
D ．不存在
10．当x ＞1时，不等式x ＋1
1
-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值围是( )．
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，3]
二、填空题
11．不等式组??? 所表示的平面区域的面积是 ．
12．设变量x ，y 满足约束条件??
?
?? 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值围是 ．
13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值围是 ． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，x
a
＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为 ．
15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则
m 1
＋n
2的最小值为 ． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．
(x －y ＋5)(x ＋y )≥0
0≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0
(第9题)
三、解答题
17．求函数y ＝1
＋10
＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．
18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．
(第18题)
19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？
20．(1)已知x ＜
45，求函数y ＝4x －1＋5
－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊
(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；
(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2
＋2
2
b ＝1，求2＋1b a 的最大值．
参考答案
1．D
解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝
2
1
?????
?2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥
2
5
，x －2＞0， ∴
2
1??
????2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ?)(＝1， 当且仅当x －2＝
2
－1
x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋
)(y x ＋221＋)(x
y ＝x 2
＋2
2
241＋＋＋41＋
x x y y y
y x ＝??? ?
?
22
41＋
x x ＋???? ??2241＋y y ＋???
?
??x y y x ＋． ∵ x 2
＋
241x ≥22241x x ?＝1，当且仅当x 2＝2
41x ，x ＝22时取等号；
41＋
2
2y
y ≥222
41y y ?＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x
y
y x ＋≥2x y y x ?＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝x
y ，y 2＝x 2
时取等号． ∴??? ??2241＋x x ＋???? ??2241＋y y ＋???
? ??x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝
2
2
时原式取最小值4． 3．D 解析：
方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有b
a ab
+2≥ab 不成立．
方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋
ab
1≥2ab ＋
ab
1≥2ab
ab 12?
＝22，不等式成立．
B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，
a 1＋
b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b
1
)≥4成立．
C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2
－22
2??? ??+b a ＝22
2??
? ??+b a ，
又ab ≤2b a +?
ab
1≥b a +2
22≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ?b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即b
a ab
+2≥ab 不成立．
4．D
解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，
x x f x f )()(－－＜0x x f )
(2?＜0?xf (x )＜0，满足x 与f (x )
异号的x 的集合为所求．
因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．
由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C
解析：由0＜x ＜
2
π
，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝x
x sin cos ＋x x cos sin 4
≥2
x x x x cos sin 4sin cos
· ＝4，当且仅当x
x sin cos ＝x x
cos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2
π
，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．
6．B
解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b
≥2b a 33?＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．
(第4题)
故3a ＋3b
的最小值是6．
7．A
解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．
由??
?4
34
3＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．
由于直线y ＝kx ＋
43过点C (0，4
3
)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，
则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝3
7
．
8．A
解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则???
?
?
??
解得???. 1＝， 5＝－00y x
∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B
解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．
∵ k AC ＝
1
－5522
－
3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝20
7
． 10．D 解析：由x ＋
1－1x ＝(x －1)＋1
－1
x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1
x ＋1≥21
－11－x x )·(＋1＝3，
则a ≤3．
. 53＝5
6
＋2， 0＜1－－
， 0＝3＋2＋000000-y x y x y x
二、填空题 11．24．
解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ???
??
???? 或??
?
?
?
这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．
图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为
2
5＋113)
(?＝24． 12．?
?????21 ＞a a ．
解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－
2
1
，即a ＞21．
13．ab ≥9．
解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2
＋b
a ≥a
b 构造一个不等式．
∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即ab ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)，
∴ (ab )2
－ab 2－3≥0，
∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即ab ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2
． 解析：由已知
x
ay ，y bx
均为正数，
(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3
x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3
(第11题)
∴ x ＋y ＝(x ＋y )(
x a
＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋y
bx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ， 即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当
1＝＋
＝y
b x a y bx
x ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．
解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由
mn ＞0知
m
n ，n m 4均为正，
∴
m 1＋n
2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2
)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42?＝8，当且仅当1
＝＋24＝n m n m m n 即 2
1
＝41
＝n m 时取等号． 16．
2
2
1p p +． 解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2
＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，
所以a (1＋p )2
＝a (1＋p 1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1??? ??p p ＝a 2
212＋＋1??? ?
?p p ，解得
p ≤
2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2
＋21p
p ． 三、解答题
17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，
y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t
4＋5≥t t 42?＋5＝9，
当且仅当t ＝
t
4
，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．
18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0． 令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－
k
2
＋3． S △AOB ＝
21(2－3k )(－k 2
＋3)＝
2
1?????
?
)()(k k 4－＋9－＋12≥???????)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－
k 4
)，即k ＝－3
2时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－
3
2
(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：
A 原料用量
B 原料用量
甲产品x 吨 3x
2x 乙产品y 吨
y
3y
则有???????++>> 18≤
3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.
20．解：(1)∵ x ＜45
，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x
－451
)＋4．
∵ 5－4x ＋
x
－451
≥x －x －451452)(＝2，
∴ y ≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x ＝
x －451，即x ＝1或x ＝2
3
(舍)时，等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝2．
x
O
A
y P (3,2)
B
(第18题)
(第18题)
(2)∵ x ＞0，y ＞0，
x
1
＋y 9＝1， ∴ x ＋y ＝(
x 1＋y 9)(x ＋y )＝x
y
＋y x 9＋10≥2y
x
x y 9 · ＋10＝6＋10＝16． 当且仅当
x y ＝y x 9，且x 1＋y 9＝1，即?
?
?12＝，
4＝y x 时等号成立， ∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16．
(3)a 2
＋1b ＝a ????
??2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤22???
? ??2＋21＋22b a ＝423， 当且仅当a ＝2＋212b ，即a ＝23，b ＝22时，a 2＋1b 有最大值4
2
3．
必修五不等式单元测试题
人教版必修五《不等式》单元测试题 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．不等式x 2≥2x の解集是( ) A ．{x |x ≥2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |x ≤0或x ≥2} 2．下列说法正确の是( ) A ．a >b ?ac 2>bc 2 B ．a >b ?a 2>b 2 C ．a >b ?a 3>b 3 D ．a 2>b 2?a >b 3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域の是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2) 4．不等式x －1 x ＋2 >1の解集是( ) A ．{x |x <－2} B ．{x |－2
高中数学必修5(人教B版)第三章不等式3.5知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域 表示二元一次不等式组． 2. 能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面 与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的 区域或不等式的图象． 对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断 出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这 两个区域的边界（boundary）． 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域． （1） ；（2）． 解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画 成虚线． ② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平 面区域内，不等式表示的区域如图． 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0
高中数学必修5第三章不等式练习题
高中数学必修5第三章不等式题组训练 [基础训练A 组] 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522>-+-x x ，则221442 -++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋ 1 1+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 4 3≤x ≤2} B ．{x| 4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤4 3} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2 ＋y 2 =1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值 4 3 C ．最小值 4 3而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组?? ?->-≥3 2x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式 0212 <-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(2 2x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,12 2 N n n n n n n g n n ∈= -- =-+?,用不等号 连结起来为____________.
高中数学必修五第二章数列学案 等差数列的前n项和(2)
§2.3 等差数列的前n 项和(2) 主备人： 王 浩 审核人： 马 琦 学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值. 学习过程 一、复习回顾 1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S . 2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S . 二、新课导学 ※ 探究一：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ ※探究二：记等差数列{}n a 的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇．当项数为2n 时，则有 S S nd -=奇偶 ；当项数为21n -时，则有n S S a -=奇偶 。 ※探究三：当等差数列{}n a 的项数为21n -时，有12-n S = 。 ※ 典型例题 例1、已知数列{}n a 的前n 项为212 n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列
吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 变式：已知数列{}n a 的前n 项为212 343n S n n =++，求这个数列的通项公式. 小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为 n a =11(1) (2)n n S n S S n -=??-≥?，由此可由n S 求n a . 例2、等差数列{}m a 共有2n 项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且 2133n a a -=-，求该数列的公差d 。 变式：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745 3 n n A n B n +=+，求n n a b 。 例2、已知等差数列24 54377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.
高中数学必修五第三章不等式复习知识点与例题
一对一个性化辅导教案
题型1：简单的高次不等式的解法 例1：解下列不等式 （1）340x x ->； （2）22 (1)(56)0x x x --+<； （3）221021x x x +-≥+
练习： 解不等式（1） 232532≥-+-x x x ； （2）0)4)(23()7()12(632>----x x x x 题型2：简单的无理不等式的解法 例1：解下列不等式 （1 ）21x -> （2 ）2x +< 题型3：指数、对数不等式 例1：若2log 13 a <，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．320< 练习： 1、不等式2 x x 432>-的解集是_____________。 2、不等式12 log (2)0x +≥的解集是_____________。 3、设()f x = 1232,2,log (1),2, x e x x x -?的解集为（ ） A ．(1,2)(3,)?+∞ B ．)+∞ C.(1,2))?+∞ D ．(1,2)
题型4：不等式恒成立问题 例1：若关于x 的不等式2122x x mx - +>的解集是{|02}x x <<，则m 的值是_____________。 练习： 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23 -，则a b +的值是（ ） A ．10 B ．10- C. 14D ．14- 例2：已知不等式2(1)0x a x a -++<， （1）若不等式的解集为(1,3)，则实数a 的值是_____________。 （2）若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是_____________。 （3）若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a 的取值范围是_____________。 例3：若一元二次不等式042≤+-a x ax 的解集是R 则a 的取值范围是_____________。 练习： 已知关于x 的不等式() ()012422≥-++-x a x a 的解集为空集，求a 的取值范围。 已知关于x 的一元二次不等式ax 2+(a-1)x+a-1＜0的解集为R ，求a 的取值范围. 若函数f(x)=)8(62++-k kx kx 的定义域为R ，求实数k 的取值范围. 解关于x 的不等式:x 2-(2m+1)x+m 2+m<0. 例12 解关于x 的不等式:x 2+(1-a)x-a<0. 线性规划
必修五数学不等式单元测试卷含答案
必修五数学不等式单元测试卷 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） 1. 若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A.a +b ≥b ?c B.ac ≥bc C. c 2a?b >0 D.(a ?b)c 2≥0 2. 不等式组{x +3y +6≥0 x ?y +2<0 表示的平面区域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x >?1，则x +4 x+1的最小值是( ) A.1 B.3 C.4 D.5 4. 不等式1 x <3等价于（ ） A.x >1 3或x <0 B.0
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