第二章:实数
知识梳理
【无理数】
1. 定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型:
(1)特殊意义的数,如:圆周率π以及含有π的一些数,如:2-π,3π等;
(2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。
(3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。如:2-π是无理数
(4)无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π,
(5)开方开不尽的数,如:39,5,2等;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如:π)
3.有理数与无理数的区别:
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;
(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。 例:(1)下列各数:①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3
2-、⑦0.33……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有____;是无理数的有___。(填序号)
(2)有五个数:0.125125…,0.1010010001…π,4,32其中无理数有 ( )个
【算术平方根】:
1. 定义:如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ”,
读作,“根号a ”,其中,a 称为被开方数。例如32=9,那么9的算术平方根是3,即39=。
特别规地,0的算术平方根是0,即00=,负数没有算术平方根
2.算术平方根具有双重非负性:(1)若a 有意义,则被开方数a 是非负数。(2)算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a ±。
例:(1)下列说法正确的是 ( )
A .1的立方根是1±;
B .24±=;(
C )、81的平方根是3±; (
D )、0没有平方根;
(2)下列各式正确的是( )
A 、981±=
B 、14.314.3-=-ππ
C 、3927-=-
D 、235=
- (3)2)3(-的算术平方根是 。(4)若x x -+有意义,则=+1x 。
(5)已知△的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ,求c 的取值范围。
(6)(提高题)如果x 、y 分别是4-的整数部分和小数部分。求x - y 的值.
平方根:
1.定义:如果一个数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个数x 就叫做a 的平方根;,我们称x 是a 的平方(也
叫二次方根),记做:)0(≥±=a a x
2.性质:(1)一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;
(2)0只有一个平方根,它是0本身; (3)负数没有平方根
例(1)若x 的平方根是±2,则 ;的平方根是 (2)当x 时,x 23-有意义。
(3)一个正数的平方根分别是m 和4,则m 的值是多少?这个正数是多少?
3. 的性质与22)0()(a a a ≥
(1)
77)0()22=≥=)如:(a a a (2)||2a a =中,a 可以取任意实数。如5|5|52== 3|3-|3-2==)(
例:1.求下列各式的值
(1)27 (2)27-)( (3)249-)(
2.已知1)12-=-a a (,那么a 的取值范围是 。
3.已知2<x <3,化简=-+|3|)-22x x ( 。
【立方根】
1.定义:一般地,如果以个数x 的立方等于a ,即x 3,那么这个数x 就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)记为3a ,读作,3次根号a 。如23=8,则2是8的立方根,0的立方根是0。
2.性质:正数的立方根的正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1,-1. 例:(1)64的立方根是 (2)若9.28,89.233==ab a ,则b 等于
(3)下列说法中:①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±。
其中正确的有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
【估算】
用估算法确定无理数的大小:对于带根号的无理数的近似值得确定,可以通过平方运算或立方运算并采用“夹
逼法”,即两边无限逼近,逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围,再确定十分位,百分位等小数部分。
“精确到”与“误差小于”的区别:精确到1m ,是指四舍五入到个位,答案唯一;误差小于1m ,答案在其值左右
1m 内都符合题意,答案不唯一。
方法点拨:解决此类问题的关键是依据平方根(立方根)及开平方(开立方)的定义,进而采取两边夹逼的办法求解。
例:估算下列各数的大小
(1))(误差小于1.0327 (2)
)(精确到1.0327 (3))(误差小于133453
用估算的方法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小,一般至少有一个是无理数,且在比较大小时,一般先采用分析法,估算出无理数的大致范围,再作具体比较
当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论:
(1)若a >b ≥0,则b a (2)若a >b ,则3333b a b a 或
(3)若a 、b 都为正数,且a >b 时,则a 2>b 2
例:通过估算比较下列各组数的大小
比较两个数的大小:
方法一:估算法。如3<10<4 方法二:作差法。如a >b 则>0.
方法三:乘方法.如比较3362与的大小。
例:比较下列两数的大小
(1)
2
123-10与 (2)5325与 【实数】 定义:(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。
(2)实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质:实数a 的相反数是;实数a 的倒数是
a 1(a ≠0);实数a 的绝对值???<-≥)0()0(a a a a ,它的几何意义是:在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大于负数;正数大
于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一 实数与数轴的关系:每个实数与数轴上的点是一一对应的
1 / 4 北师大版八年级数学上册第二章实数测试题 一、选择题 1.在实数?1.414,√2,π, 3.1.4. ,2+√3,3.212212221…,3.14中,无理数的个数是( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.下列说法中 ①无限小数是无理数; ②无理数是无限小数; ③无理数的平方一定是无理数; 正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3.(?3)2的平方根是( ) A. ?3 B. 3 C. 3或?3 D. 9 4.若a 2=4,b 2=9,且ab >0,则a ?b 的值为( ) A. ±5 B. ±1 C. 5 D. ?1 5.64的立方根是( ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 6.√83的算术平方根是( ) A. 2 B. ±2 C. √2 D. ±√2 7.估算√19的值是在( ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8.下列四个数:?3,?√3,?π,?1,其中最小的数是( ) A. ?π B. ?3 C. ?1 D. ?√3 9.用计算器依次按键,得到的结果最接近的是( ) A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 10.实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是( )
一、选一选(每小题3分,共30分) 1.下列实数2π,722 ,,39 ,21中,无理数的个数是( ) (A)2个 (B)3个(C)4个(D)5个 2.下列说法正确的是( ) (A )278的立方根是23± (B )-125没有立方根 (C )0的立方根是0 (D )-4)8(3=- 3.下列说法正确的是( ) (A )一个数的立方根一定比这个数小 (B )一个数的算术平方根一定是正数 (C )一个正数的立方根有两个 (D )一个负数的立方根只有一个,且为负数 4.一个数的算术平方根的相反数是312 -,则这个数是( ). (A)79 (B)349 (C)499 (D)949 5.下列运算中,错误的有 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 ①1251144251 =;②4)4(2±=-;③22222-=-=-;④21414 1161+=+ 6.下列语句中正确的是( ) (A)带根号的数是无理数 (B)不带根号的数一定是有理数 (C)无理数一定是无限不循环的小数 (D)无限小数都是无理数 7.下列叙述正确的是( ) (A)有理数和数轴上点是一一对应的 (B)最大的实数和最小的实数都是存在的 (C)最小的实数是0 (D)任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 8.2)25(-的平方根是 ( )(A)25 (B)5 (C)±5 (D)±25 的立方根与4的平方根的和是( )(A)-1 (B)-5 (C)-1或-5 (D)±5或±1 10.已知平面直角坐标系中,点A 的坐标是(2,-3),将点A 向右平移3个单位长度,然后向上平移33个单位长度后得到B 点,则点B 的坐标是( ) (A)(33,23) (B)(32,32+) (C)(34,32--) (D)(3,33). 二、 填一填(每小题3分,共30分) 11.9的平方根是________. 12.面积为13的正方形的边长为_______. 13.若实数a 、b 满足(a+b-2)2+032=+-a b 则2b-a+1的值等于______.
八年级数学单元测试试卷---第二单元《实数》大全 第二章 实数 2.1认识无理数 一、问题引入: 1、 和 统称有理数,它们都是有限小数和无限 (填循环或不 循环)小数。 2、(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为b ,则b 应满足什么条件? (3)b 是有理数吗? 3、请你举出一个无限不循环小数的例子___________,并说出它的整数部分是 ,小数部分是 ,请指出它的十分位、 百分位、千分位……..。 4、 称为无理数,请举两个例子 。 二、基础训练: 1、2 8x =,则x _____分数,______整数,______有理数.(填“是”或“不是”) 2、在0.351,- 3 2 ,4.969696…,0,-5.2333,5.411010010001…,6.751755175551…中,不是有理数的数有_____ 。 3、长、宽分别是3、2的长方形,它的对角线的长可能是整数吗?可能是分数吗? _______ 个. 下图是由16个边长为1的小正方形拼成的,任意连结这些小正方形的若干个顶点,可得到一些线段,试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段. 四、课堂检测: 1、在下列实数-12,π,4,13,5中,无理数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2、下列说法正确的是( ) A .有理数只是有限小数 B .无理数是无限不循环小数 C .无限小数都是无理数 D .3 π 是分数
3、实数:3.14,π,0.315315315…, 7 22 ,0.3030030003…中,无理数有 _________ 个. 4、下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数? π 、0.351,-? ?69.4,3 2,3.14159,-5.2323332…,0、0.1234567891011112131…(小数部分由相继 的正整数组成)在下列每一个圈里,至少填入三个适当的数 . 5、(1)设面积为10的正方形的边长为x ,x 是有理数吗?说说你的理由。 (2)估计x 的值(结果精确到十分位),用计算器验证你的估计如果精确到百分位呢? 6、如图,是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形 边长是无理数的正方形有________个 7、如图,在△ABC 中,CD ⊥AB ,垂足为D ,AC =6,AD =5,问:CD 可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?