相似三角形综合题锦(含答案)
一、相似三角形中的动点问题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．
3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．
（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
二、构造相似辅助线——双垂直模型
6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段
OA的夹角是45°，求这个正比
例函数的表达式．
7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD 的长．
8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．
9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）
A. B.
C. D.
10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D两点的坐标。
三、构造相似辅助线——A、X字型
11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上
的中线AE交CD于F。
求证：
12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。
求证：
13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD 边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：
(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；
(3)当时，EF=．当时，参照上述研
究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．
14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC
上的两点，且BE＝EF＝FC。
求BN：NQ：QM．
15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线
的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．
四、相似类定值问题
16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．
求证：．
17.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD 交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。求证：．
18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
求证：．
19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a ．求证：．
五、相似之共线线段的比例问题
20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD
的对角线
BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：
（2）如图2，图3，当点在
平行四边形ABCD 的对角线
或的延长线上时
，
是否仍然成
立？若成立，试给出证明；若
不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；
21.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上
一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求
证：BP2＝PE·PF．
22.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC
边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，
交AC延长线于H。求证：DE2=EG?EH
23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一
点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长
线分别相交于点E、F、G、H.
求证：
24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H
为垂心
（三角形三条高线的交点）；在AD 上有一点P ，且∠BPC
为直角．求证：PD 2
＝AD·DH 。
六、相似之等积式类型综合 25.已知如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 于F 。 求证：
26如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，点M 在CD 上，DH ⊥BM 且与AC 的延长线交于点E. 求证：（1）△AED ∽△CBM ；（2）
27.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，
E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F. （1）求证：
.
（2）若G 是BC 的中点，连接GD ，GD 与EF 垂直吗？并说明理由.
28.如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：
．
29.如图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H 。
求证：（1）DG 2
＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH
七、 相似基本模型应用 30.△ABC 和
△
DEF 是两个等腰直角三角形，∠
A=∠D=90°，△DEF 的顶点E 位于边BC 的中点上．
（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．
32.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F 。求证：答案：1.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4
∴AB=5
又∵AD=AB，AD=5t
∴t=1，此时CE=3，
∴DE=3+3-5=1
（2）
如图当点D在点E左侧，即：0≦t ≦时，
DE=3t+3-5t=3-2t．
若△DEG与△ACB相似，有两种情况：
①△DEG∽△ACB ，此时，
即：，求得：t=；
②△DEG∽△BCA ，此时，
即：，求得：t=；
如图，当点D在点E右侧，即：
t>时，
DE=5t-(3t+3)=2t-3．
若△DEG与△ACB相似，有两种情况：
③△DEG∽△ACB ，此时，
即：，求得：t=；
④△DEG∽△BCA ，此时，
即：，求得：t=．
综上，t 的值为或或或．
3.答案：解：（1）证明：∵AD=CD
∴∠A=∠ACD
∵DE 平分CDB交边BC于点E
∴∠CDE=∠BDE
∵∠CDB为△CDB的一个外角
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD
∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE
∴∠ACD=∠CDE
∴DE∥AC
（2）①∠NCE=∠MBE
∵EM⊥BD，EN⊥CD，
∴△BME∽△CNE，如图
∵∠NCE=∠MBE
∴BD=CD
又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°
∴∠ACD=∠A
∴AD=CD
∴AD=BD=AB
∵在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB=10
∴AD=5
②∠NCE=∠MEB
∵EM⊥BD，EN⊥CD，
∴△BME∽△ENC，如图
∵∠NCE=∠MEB
∴EM∥CD
∴CD⊥AB
∵在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8
∴AB=10
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
综上：AD=5或时，△BME与△CNE相似．
4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x
，当PQ∥BC 时，，即：
解得：
（2）能，AP=cm或AP=20cm
①△APQ∽△CBQ ，则，即
解得：或（舍）
此时：AP=cm
②△APQ∽△CQB ，则，即
解得：（符合题意）
此时：AP=cm
故AP=cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．
5.答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t．
（1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）
∴t=2时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）∠B=∠QAP=90°
①当△QAP∽△ABC 时，，即：，
解得：（符合题意）；
②当△PAQ∽△ABC 时，，即：，
解得：（符合题意）．
∴当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与
△ABC相似．
6.答案：解：分两种情况
第一种情况，图象经过第一、三象限
过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC
则由上可知：＝90°
由双垂直模型知：△OCA∽△ADB
∴
∵A（2，1），＝45°
∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB
∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1
∴D点坐标为（2，3）
∴B点坐标为（1，3）
∴此时正比例函数表达式为：y＝3x
第二种情况，图象经过第二、四象限
过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC
则由上可知：＝90°
由双垂直模型知：△OCA∽△ADB
∴
∵A（2，1），＝45°
∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB
∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2
∴D点坐标为（3，1）
∴B点坐标为（3，﹣1）
∴此时正比例函数表达式为：y ＝x
7.答案：解：情形一：
情形二：
情形三：
8.答案：证明：方法一：
连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC
根据折叠可知MN⊥CP
∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°
∴∠2=∠CNM
∵∠CDP=∠NCM=90°
∴△PDC∽MCN
∴MC：CN=PD：DC
∵PD=DA
∴MC：CN=DA：DC
∵PD//BC
∴DA：DC=PA：PB
∴MC：CN=PA：PB
方法二：如图，
过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E
由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，
则
，
根据等比性质可知，而MD=DA，
NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB
9.答案：A
解题思路：如图
过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则∠M=∠DNA=90°，
由于折叠，可以得到△ABC≌△ADC，
又由B（1，3）
∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90°
∴∠1+∠2=90°
∵∠DNA=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△DMC∽△AND，
∴
设CM=x，则DN=3x，AN=1＋x，DM ＝
∴3x ＋＝3
∴x ＝
∴，则。答案为A
10.答案：解：
过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。
∵直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点
∴A（1,0），B（0,2）
∴OA=1，OB=2，AB=
∵AB：BC=1:2
∴BC=AD=
∵∠ABO+∠CBG=90°，∠ABO+∠BAO=90°
∴∠CBG=∠BAO
又∵∠CGB=∠BOA=90°
∴△OAB∽△GBC
∴
∴GB=2，GC=4
∴GO=4
∴C（4,4）
同理可得△ADF∽△BAO，得
∴DF=2，AF=4∴OF=5∴D（5,2）11.答案：证明：（方法一）如图
延长AE到M使得EM=AE，连接CM
∵BE=CE，∠AEB=∠MEC
∴△BEA≌△CEM
∴CM=AB，∠1=∠B
∴AB∥CM
∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF
∴△MCF∽△ADF
∴
∵CM=AB，AD=AC
∴
（方法二）
过D作DG∥BC交AE于G
则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF
∴，
∵AD=AC，BE=CE
∴
12.答案：证明：
过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3 ∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴AD=DF
∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3
∴△BEA∽△DEF
∴
∵AD=DF
∴
∵AC为AB、AD的比例中项
∴
即
又∵∠1=∠2
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴
13.答案：解：
证明：
过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q
∵AB∥CD，PQ∥BC
∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形
∴PB＝EF＝CQ ，
又∵AB＝b，CD＝a
∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF
∴
∴
14.答案：解：
连接MF
∵M是AC的中点，EF＝FC
∴MF∥AE且MF ＝AE∴△BEN∽△BFM∴BN：BM＝
BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF∴BN：BM＝NE：MF＝1:2∴BN：NM＝1:1设NE＝x，则MF＝2x，AE＝4x∴AN＝3x∵MF∥AE∴△NAQ∽△MFQ∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2∴BN：NQ：QM＝5:3:2
15.答案：证明：（1）
如图1，AD、BE为△ABC的中线，且AD、BE交于点O 过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F
∵CF∥BE且E为AC中点
∴∠AEO＝∠ACF，∠OBD＝∠FCD，AC＝2AE
∵∠EAO＝∠CAF
∴△AEO∽△ACF
∴
∵D为BC的中点，∠ODB＝∠FDC
∴△BOD≌△CFD
∴BO＝CF
∴
∴
同理，可证另外两条中线
∴
三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
（2）
如图2，AD为△ABC的角平分线
过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E
则∠BAD=∠E
∵AD为△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠E=∠CAD
∴AC＝CE
∵CE∥AB
∴△BAD∽△CED
∴
∴16.答案：证明：
如图，作DP∥AB，DQ∥AC
则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形
∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ
∵M、N分别是边AB，AC的中点
∴MN ＝BC＝PQ
∵DP∥AB，DQ∥AC
∴△CDP∽△CFB，△BDQ∽△BEC
∴，
∴
∵DP＝DQ＝PQ ＝BC ＝AB
∴AB （）＝
∴
17.答案：证明：∵EF//AB，AB//DC
∴EF//DC
∴△AOE∽△ACD，△DOE∽△DBA
∴，
∴
∴
18.答案：证明：∵EF∥CD，EH∥AB
∴，
∵，
∴△AFE∽△ADC，△CEH∽△CAB
∴，
∵EF＝EH
∴
∴
19.答案：证明：∵EF∥AC，DE∥BC
∴，
∵，
∴△BFE∽△BCA，△AED∽△ABC
∴，
∴
∵EF＝DE＝a
∴
20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DRP=∠S，∠RDB=∠DBS
∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
（2）证明：成立，理由如下：
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PRD=∠S，∠RDP=∠DBS
∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
21.答案：证明:
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC,BP=CP
∴∠1=∠2
又∵∠ABC=∠ACB
∴∠3=∠4
∵CF∥AB
∴∠3=∠F,∠4=∠F
又∵∠EPC=∠CPF
∴△EPC∽△CPF
∴∴BP2＝PE·PF即证所求22.答案：证明：∵DE⊥AB
∴＝90°
∵＝90°
∴
∵
∴△ADE∽△DBE
∴
∴DE2=
∵BF⊥AC
∴＝90°
∵＝90°且
∴
∵
∴△BEG∽△HEA
∴
∴＝∴DE2=EG•EH
23.答案：证明：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠1=∠2，∠G=∠H，∠5=∠6
∴△PAH∽△PCG
∴
又∵∠3=∠4
∴△APE∽△CPF
∴
∴
24.答案：证明：如图，连接BH交AC于点E，
∵H为垂心
∴BE⊥AC
∴∠EBC+∠BCA=90°
∵AD⊥BC于D
∴∠DAC+∠BCA=90°
∴∠EBC=∠DAC
又∠BDH=∠ADC=90°
∴△BDH∽△ADC
∴，
即
∵∠BPC为直角，
AD⊥BC∴PD2＝BD·DC∴PD2＝AD·DH
25.答案：证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点
∴CE=EB=DE
∴∠B=∠BDE=∠FDA
∵∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°
∴∠B=∠ACD
∴∠FDA=∠ACD
∵∠F=∠F
∴△FDA∽△FCD
∴
∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD
∴△ACD∽△CBD
∴
∴
即
26.答案：证明：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°
∴∠A＋∠ACD＝90°
∠BCM＋∠ACD＝90°
∴∠A＝∠BCM
同理可得：∠MDH＝∠MBD
∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD
∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH
∴∠ADE＝∠CMB
∴△AED∽△CBM
（2）由上问可知
：，
即故只需证明即可
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC
∴△ACD∽△ABC
∴，即
∴
27.答案：（1）将结论写成比例的形式，，可以考虑证明△FDB∽△FCD（已经有一个公共角∠F）
Rt△ACD中，E是AC的中点
∴DE=AE
∴∠A=∠ADE
∵∠ADE=∠FDB
∴∠A=∠FDB
而∠A+∠ACD=90°
∠FCD+∠ACD=90°
∴∠A=∠FCD
∴∠FCD=∠FDB
而∠F=∠F
∴△FBD∽△FDC
∴
∴（2）判断：GD与EF垂直Rt△CDB
中，G是BC的中点，∴GD＝GB∴∠GDB=∠GBD而∠GBD+∠FCD=90°又∵∠FCD=∠FDB（1的结论）∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF
28.答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知，∠ADC=∠GDE=90°，则∠CDG=∠ADE=∠ADG+90°
在和中
∴≌
则∠DAM=∠DCN
又∵∠ANM=∠CND
∴△ANM∽△CND
则
∴
29.答案：证明：找模型。
（1）△BCD、△BDG，△CDG构成母子型相似。∴△BDG∽△DCG
∴
∴DG2＝BG·CG
（2）分析：将等积式转化为比例式。
BG·CG＝
GF·GH
∵∠GFC=∠EFH，而∠EFH+∠H=90°，∠GFC+∠FCG=90°
∴∠H=∠FCG
而∠HGB=∠CGF=90°
∴△HBG∽△CFG
∴∴BG·CG＝GF·GH．
30.答案：（1）证明：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB∴∠NEC＝∠EMB又∵∠B=∠C∴△BEM∽△CNE（2）△COE∽△EON证明：∵∠OEN=∠C＝45°，∠COE＝∠EON∴△COE∽△EON
31.
答案：解：（1）△BCP∽△BER，△CQP∽△DQR，
△ABP∽△CQP，△DQR∽△ABP
（2）∵AC∥DE
∴△BCP∽△BER
∴
∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形
∴AD=BC，AD=CE
∴BC=CE，即点C为BE的中点
∴
又∵AC∥DE
∴△CQP∽△DQR
∴
∵点R为DE的中点
∴DR=RE
∴综上：BP：PQ：QR＝3：1：2
32.答案：证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB
∴△ADB∽△AED
∴
∴AD2＝AE AB
同理可证：AD2＝AF AC ∴AE AB＝AF AC
相似三角形练习题含解析
相似三角形练习题 一、选择题 1、下列各组图形中不是位似图形的是（） A．B． C．D． 2、若2：3=7：x，则x=（） A．2B．3C．3.5D．10.5 3、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（） A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm2 4、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（） A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1） 5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )
A .8 B .12 C .16 D .20 6、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（） A．2B．-2C．3D．-3 7、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( ) A .6 B .5 C .9 D .
8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( ) A .5∶8 B .3∶8 C .3∶5 D .2∶5 9、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=； ④=AD?AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 10、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从 点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P 关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之 间的函数图象大致为（）
相似三角形综合题练习
相似三角形综合题练习 类型一相似三角形中动点问题 例1:如图正方形ABCD的边长为2，AＥ=EＢ，线段ＭN的两端点分别在CB、CＤ上滑动,且MN=1,当ＣＭ为何值时△AED与以Ｍ、Ｎ、C为顶点的三角形相似? 变式：如图，在△ABC中,AＢ=８,BＣ=7，ＡＣ=6,有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为２单位／秒，有一动点Q从C沿CA移动到A,移动速度为1单位/秒,问两动点同时移动多少时间时,△PQA与△BCＡ相似. 例２：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点Ｐ、Q同时从A、Ｂ两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是１cm/s，点Q运动的速度是2cm/ｓ,当点Q到达点Ｃ时,P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s）,解答下列问题： （1）当t=２时，判断△ＢPQ的形状，并说明理由; （２）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）作QR//BA交ＡC于点Ｒ，连结PＲ,当t为何值时，△AＰR∽△PRQ? A B D C E N
N C M B 变式:如图，在矩形ABC Ｄ中,AB=1２cm,BC=8ｃｍ．点E 、Ｆ、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2c ｍ/s ，点F 的速度为4ｃm/ｓ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t 秒时,△ＥFG 的面积为S(c ｍ２） (1）当t ＝1秒时，S 的值是多少？ (2)写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围. （3）若点F 在矩形的边B Ｃ上移动,当t 为何值时,以点E 、B 、F 为顶 点的三角形与以点F 、C 、Ｇ为顶点的三角形相似？请说明理由. 例3：如图,在梯形ABC Ｄ中，AD ∥ＢC,AD ＝3，ＤC=５,BC=10，梯形的高为４.动点M 从Ｂ点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动N 同时从C 点出发沿线段C Ｄ以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t(秒). （１）当MN/／AB 时，求t 的值； （2)试探究：t 为何值时,△ＭN Ｃ为直角三角形．
相似三角形经典大题(含答案)
相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1）M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· （04x <≤） ②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边E F 上的高为1h ， 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取163 x = ，8y =最大 86> ∴当163 x = 时，y 最大，8y =最大 M N C B E F A A 1
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称 比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式 ：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点， （4）其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
相似三角形压轴经典大题(含答案)
相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1
中考相似三角形经典综合题
中考相似三角形经典综合题 1、如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C 向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= 3 3 QG? 2、在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′． ①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
3、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当ι=7时，点P与点Q相遇； （2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式； ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直 线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积． 4、如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N． （1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明． （2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系． 5.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M为AB一动点（点M与点A B 、不重合），过点M作MN BC ∥，交AC于点N，在AMN △中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h． （2）将AMN △沿MN折叠，使AMN △落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面 A B C E M D N
经典相似三角形练习题(附参考答案)
相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ． 2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：△CDF ∽△BGF ； （2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB=6cm ，EF=4cm ，求CD 的长． 3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ． 求证：△ABC ∽△FDE ． 4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试说明：△ABF ∽△EAD ． 5．已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点． （1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 6．如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ． 某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？ （2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连接AE ． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．
相似三角形试卷及答案
相似三角形单元测试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若 1 3 AD AB =，DE ＝4，则BC =（ ） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．12 2.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105公里，在一张比例尺为1:2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（ ） A ．一根火柴的长度 B ．一支钢笔的长度 C ．一支铅笔的长度 D ．一根筷子的长度 4. 如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ） Ａ．相似变换 Ｂ．平移变换 Ｃ．对称变换 Ｄ．旋转变换 6. 如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．． 判定ABC △∽ADE △的是（ ） A ．AE AC AD AB = B ．DE BC AD AB = C ． D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠ 7. 如图，已知 ABCD Y 中，45 DBC =o ∠，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ， DE BF ，相交于H ，BF AD ，的延长线相交于G ，下面结论： ①2DB BE = ②A BHE =∠∠③AB BH =④BHD BDG △∽△ 其中正确的结论是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④ 8. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD =12 m ，塔影长DE =18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平 地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ） A ．24m B ．22m C ．20 m D ．18 m 二、填空题（每题4分，共40分） 11.如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，如果要使ABC DCA △∽△，那么还要补充的一个条件是 （只要求写出一个条件即可）． 12. 如图，已知DE BC ∥，5AD =，3DB =，9.9BC =，则ADE ABC S S =△△ ． 14.如图，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交边CD 于点F ． 在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ． 15. 如图是一盏圆锥形灯罩AOB ，两母线的夹角90AOB ∠=?， 若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时，则光束照射到地面的面积是 米2． C B A E 1 2 D M C A N A B C D E F H G A D C B A B C D E A B O O
相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式 【知识疏理】 一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！ 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。 二， 相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如： 例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识 例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。 图3 （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。 （3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结： （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似； （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C
双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。 【课堂检测】 一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C Ａ Ｄ O Ｐ A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ） Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC =
初中数学相似三角形的经典综合题
初中数学相似三角形的性质与应用经典试题 一、知识体系： 1．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应边成比例； ③相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比都等于相似比； ④相似三角形的周长之比等于相似比。 ⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方（2 k ）。 二、典型例题： 例1：若△ABC∽△A′B′C′，且,, 3 4AB A B ，△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ） A ．18 B ．20 C ．154 D ．80 3 针对练习： 1．已知△ABC∽△DEF，且△ABC 的三边长为3、4、5，若△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．3 2．一直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ） A ．7 B ．5 C ．7或5 D ．无数个 例2：（2014江苏南京，3）若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1:2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．1:4 D ．4:1 针对练习： 1．两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为322 cm ，那么小三角形的面积为（ ） A ．102 cm B ．142 cm C ．162 cm D ．182 cm 2．如图，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。 3．如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE ，若△DEF 的面积为a ，则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ （用a 的代数式表示）。 4．如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ，若△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，则△BCE 的面积为 ▲ 。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． $ 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． ; 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． | 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： ' （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
初三数学相似三角形练习题集
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相似三角形练习题 1．如图所示，给出下列条件： ①；②；③；④． 其中单独能够判定的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，已知，那么下列结论正确的是（） A．B．C．D． 3. 如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为 1：4.其中正确的有：（） A．0个B．1个C．2个D．3个 4.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（） A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．１∶ 5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（） D B C A N M O
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个 6.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD 的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（） A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 7.如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（） A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 8.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（） A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 9.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米， AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （） A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米 10、在比例尺为1︰10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）
相似三角形中考试题选编(含答案)
年 级： 九年级 授课时间： 授课主题： 第 次课 学生姓名： 授课科目： 数学 教学内容 《相似三角形的识别、性质》 第1题. 某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米， 则这棵树的高度为（ ） Ａ．5.3米 Ｂ．4.8米 Ｃ．4.0米 Ｄ．2.7米 答案：Ｂ 第2题. 如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD AB CD ，∥，2m AB =，5m CD =，点P 到CD 的距离是3m ，则 点P 到AB 的距离是（ ） Ａ． 5 6 m Ｂ．6m 7 Ｃ．6m 5 Ｄ． 10m 3 答案：C 第3题. 如图，D E ，分别是ABC △的边AB AC ，上的点，请你添加一个条件，使 ABC △与AED △相似，你添加的条件是 ． 答案：AED B =∠∠或ADE C =∠∠或 AD AE AC AB = 第4题. 如图，已知ABC DBE △∽△，68AB DB ==，， 则 :ABC DBE S S =△△ ． 答案：9:16 第5题.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点 F ，下列各式中错误的是（ ） A B P C D A B D C E
A ．AE EF AB CF = B ． CD CF BE EC = C ．AE AF AB DF = D ．A E A F AB BC = 答案：D 第6题. 如图，90C E ∠=∠=o ，3AC =，4BC =，2AE =，则AD = ． 答案： 103 第7题.如图，A B C D E G H M N ，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF △与ABC △相似，则点F 应是G H M N ，，，四点中的（ ） A ．H 或N B ．G 或H C ．M 或N D ．G 或M 答案：Ｃ 第8题. 图中_______x =． 答案：2 第9题 已知111ABC A B C △∽△，11:2:3AB A B =，则ABC S △与111A B C S △之比为 ． 答案：4:9 第10.题 如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且:2:1BE EC =，AE 与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是_________． 答案：9:11 第11题 由三角形三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的 ． 答案：1 4 D E C N M G H 30o 45o 30o 105o 1 2 4 x A D F B E C
中考相似三角形经典综合题解析资料
中考相似三角形经典综合题解析 1、（2013哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线 段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= 3 3 QG? (1)解：如图l∵△AOB为等边三角形∴∠BAC=∠AOB=60。∵BC⊥AB ∴∠ABC=900∴∠ACB=300∠OBC=300 ∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3 ∴AC=6 ∴3 33 (2)解：如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N ∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN ∴QN=QA ∴△AQN为等边三角形 ∴NQ=NA=AQ=3-t ∴NON=3- (3-t)=t ∴PN=t+t=2t ∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ ∴OE PO QN PN = ∴ 1 32 OE t = - ∴ 31 22 OE t =- ∵EF∥x轴 ∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300 ∴EF=BE∴m=BE=OB-OE 13 22 t =+ (0 (3)解：如图2 11180120BE F BEF EBF EFB ∠=∠=-∠-∠= ∴∠AEG=600=∠EAG ∴GE 1 =GA ∴△AE’G 为等边三角形 111331 2222 QE BE BQ m t t t t =-=-=+-=- 111131 22 QE GA AE AB BE BQ t QE ∴===--=-= ∴∠l=∠2 ∠3=∠4 ∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900 即∠QGA=900 ∵EF ∥OC BF BE BC BO ∴ =333 332233 BF m BF m t ∴ =∴==+31 3322 BC CF -= - 3CP CO OP t =-=- 31 33322633 t CF t CP CB CA --∴=== ∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA． 32 PF CP t PF AB CA -∴ =∴= ∵2BQ —PF=33QG ∴33312(33)2322t t t --=?-∴t=1∴当t=1 时，2BQ —PF= 3 3 QG 2、（2013?天津）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），点B （0，4），点E 在OB 上，且∠OAE=∠0BA ． （Ⅰ）如图①，求点E 的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B 、BE ′． ①设AA ′=m ，其中0＜m ＜2，试用含m 的式子表示A ′B 2+BE ′2，并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标； 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 年 级： 九年级 授课时间： 授课主题： 第 次课 学生姓名： 授课科目： 数学 教学内容 《相似三角形的识别、性质》 第1题. 某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米， 则这棵树的高度为（ ） Ａ．5.3米 Ｂ．4.8米 Ｃ．4.0米 Ｄ．2.7米 答案：Ｂ 第2题. 如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD AB CD ，∥，2m AB =，5m CD =， 点P 到CD 的距离是3m ，则点P 到AB 的距离是（ ） Ａ． 5 6 m Ｂ．6m 7 Ｃ．6m 5 Ｄ．10m 3 答案：C 第3题. 如图，D E ，分别是ABC △的边AB AC ，上的点，请你添加一个条件，使 ABC △与AED △相似，你添加的条件是 ． 答案：AED B =∠∠或ADE C =∠∠或AD AE AC AB = 第4题. 如图，已知ABC DBE △∽△，68AB DB ==，， 则:ABC DBE S S =△△ ． 答案：9:16 第5题.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点 F ，下列各式中错误的是（ ） A ．AE EF A B CF = B ．CD CF BE E C = C ．AE AF AB DF = D ．A E A F AB BC = 答案：D 第6题. 如图，90C E ∠=∠=，3AC =，4BC =，2AE =，则AD = ． 答案： 103 第7题.如图，A B C D E G H M N ，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF △与ABC △相似，则点F 应是G H M N ，，，四点中的（ ） A ．H 或N B ．G 或H C ．M 或N D ．G 或M 答案：Ｃ 第8题. 图中_______x =． 答案：2 一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时 间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并 求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时， 求t的值． 2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的 面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关 于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当 △CPQ为等腰三角形时，求出t的 值． 3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB ＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在 边AB上运动，DE 平分CDB交 边BC于点E，EM⊥BD，垂足为 M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中， BA＝BC＝20cm，AC＝ 30cm，点P从A点出发， 沿着AB以每秒4cm的速 度向B点运动；同时点Q 从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中， AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？ 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求 精品文档 相似三角形综合题精选 1、在Rt ABC ?中, ∠ACB =90°, CD AB ⊥,垂足为D . E 、F 分别是AC 、BC 边上一点, 且CE = 13AC ,BF =1 3BC . (1 )求证∶AC BC =CD BD . (2 )求EDF ∠的度数. 2、在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP =x ，CE =y ． （1）如图，当点P 在边BC 上时（点P 与点B 、C 都不重合），求y 关于x 的函数解析式，并 写出它的定义域； （2）当x =3时，求CF 的长； （3）当EP/AP=2 1 时，求BP 的长． F F E D C B A 3、（1）在ABC ?中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠. ①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长； ②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）正方形ABCD 的边长为5（如图2），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与 点C 、点B 重合），且保持?=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长 （不需要计算过程，请直接写出结果）. 图1 A B C 备用图 A B C P Q A B C D 图2 ※ 课堂练习： 1、在ABC ?和AED ?中, AB ·AD ＝AC ·AE ,CAE ∠＝BAD ∠,ADE S ?＝4ABC S ?. 求证∶DE ＝2BC . 2、如图1,在平行四边形ABCD 中,CD AC =. （1）求证：ACB D ∠=∠； （2）若点E 、F 分别为边BC 、CD 上的两点,且CAD EAF ∠=∠.(如图2) ① 求证:ADF ?∽ACE ?； ② 求证:EF AE =. （图1） （图 2） E D C B A相似三角形中考试题选编(含答案)
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