(寒假总动员)2020年高二数学寒假作业 专题16 合情推理与演绎推理(背)

专题16 合情推理与演绎推理

【背一背】

1.推理的概念：

根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论． 要点诠释：

（1）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，推理的前提可以是一个，也可以是几个．结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．

（2） 推理也可以看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：“因为……，所以……”“根据……，可知……”“如果……，那么……”等．

2.推理的分类：

???合情推理推理演绎推理

3.合情推理：

根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。

4.归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．

5.合情推理的推理过程

要点诠释：

由合情推理的过程可以看出，合情推理的结论往往超越了前提所包含的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确，但是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供证明的思路和方向的作用．

6.演绎推理：

从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理．

7.归纳推理的定义：

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

8．归纳推理的特点

（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；

（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；

（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；

（4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．

要点诠释：

归纳推理的结论可真可假

归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归

纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.

9．运用归纳推理时的一般步骤

（1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；

（2）把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；

（3）对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．

10．完全归纳法和不完全归纳法

（1）完全归纳法：通过对某类事物中的每一个对象或每一子类的考察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理．由于完全归纳法考察了某类事物的全部情况，因而由正确的前提必然能得到正确的结论，所以完全归纳法可以作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．

（2）不完全归纳法：通过对某类事物的一部分对象或一部分子类的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理．由于不完全归纳法是对某类事物中的某一部分对象进行考察，因此，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完全归纳法得到的结论，结论不一定正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验．在本书中，如无特别说叫，归纳法都足指不完全归纳法．

11.类比推理的定义：

类比推理（以下简称类比）是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．

12．类比推理的几个特点

（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；

（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；

（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．

13．运用类比推理的一般步骤

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性．

（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

（3）检验猜想.

要点诠释：

（1）如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．

（2）事物之间的各个性质之间，并不是孤立存在的，而是相互联系的，相互制约的，如果两个事物在性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似．因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性．

（3）类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假．

14.演绎推理的定义：

从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

15.一般模式：

“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.

要点诠释：

①如果一个推理规则能用符号表示为“如果a?b，b?c，则a?c”，那么这种推理规则叫做三段论推理．

②三段论推理包含了三个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特殊对象，两者结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论．

16.用集合的观点理解“三段论”

若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具

有性质P.

要点诠释：演绎推理的结论一定正确

演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。

17.合情推理与演绎推理的区别与联系

（1）从推理模式看：

①归纳推理是由特殊到一般的推理．

②类比推理是由特殊到特殊的推理．

③演绎推理是由一般到特殊的推理．

（2）从推理的结论看：

①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.

要点诠释：

注意：在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能用作证明．